浙江省杭州市聯(lián)誼學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本試題卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)?姓名?考場號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào).3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選?多選?錯(cuò)選均不得分.）1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）A. B.C. D.2.在下列各組向量中，可以作為基底的是（）A. B.C. D.3.已知正三角形的邊長為1，則的值為（）A. B.1 C. D.24.在中，，則的面積為（）A. B. C. D.5.已知，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.6.已知平面向量滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.7.是斜邊上一點(diǎn)，若，則的值（）A. B. C. D.8.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，依次是邊的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），記，則（）A. B.C. D.二?多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選，錯(cuò)選得0分.）9.已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則下列正確的是（）A.的虛部為B.C.是純虛數(shù)D.若是方程的一個(gè)根，則10.已知單位向量的夾角為，若平面向量，有序?qū)崝?shù)對(duì)稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐標(biāo)，記，則下列命題正確的是（）A.已知，則B.已知，則線段的長度為1C.已知，則D.已知，則的最大值為11.已知銳角，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，下列命題正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.若，則等腰三角形C.若，則取值范圍D.若，則的取值范圍非選擇題部分三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知向量，若，則__________.13.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位，該公式被稱為歐拉公式.根據(jù)歐拉公式求的最大值為__________.14.已知為單位向量，設(shè)向量，向量夾角為，若，求的取值范圍__________.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足（1）求的值；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16.已知的內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為是外一點(diǎn)，若，且.（1）求角的大??；（2）若，求四邊形面積的最大值.17.在中，為線段上的點(diǎn)，分別為的中點(diǎn).（1）若，求的值；（2）若，求長度；（3）若，求值.18.杭州最高的建筑是杭州世紀(jì)中心，也被形象地稱為“杭州之門”，作為杭州的新地標(biāo)，它不僅是城市的一道亮麗風(fēng)景線，更是杭州發(fā)展的重要見證，也是旅游打卡的勝地.某校高一研究性學(xué)習(xí)小組在老師帶領(lǐng)下去測量“杭州之門”的高度，該小組同學(xué)在該建筑底部的東南方向上選取兩個(gè)測量點(diǎn)與，測得米，在兩處測得該建筑頂部的仰角分別為.（已知）（1）請(qǐng)計(jì)算“杭州之門”的高度（保留整數(shù)部分）；（2）為慶祝某重大節(jié)日，在“杭州之門”上到處設(shè)計(jì)特殊的“燈光秀”以烘托節(jié)日氣氛.知米，高直接取（1）的整數(shù)結(jié)果，市民在底部的東南方向的處欣賞“燈光秀”（如圖），請(qǐng)問當(dāng)為多少米時(shí)，欣賞“燈光秀”的視角最大？（結(jié)果保留根式）19.如圖，已知是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn).過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn).設(shè)，且.（1）若，求的面積；（2）求的最小值；（3）若，設(shè)的周長為.（i）求的值；（ii）設(shè)，記，求的值域.

高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本試題卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)?姓名?考場號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào).3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選?多選?錯(cuò)選均不得分.）1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)寫出復(fù)數(shù)，再應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法化簡求復(fù)數(shù).【詳解】由題設(shè).故選：A2.在下列各組向量中，可以作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的一組基底為兩個(gè)不共線的非零向量，結(jié)合的坐標(biāo)，逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】A.為零向量，不能作為基底，A錯(cuò)誤.B.由得，，故，不能作一組基底，B錯(cuò)誤.C.由得為不共線的非零向量，可以作為基底，C正確.D.由得，，故，不能作為一組基底，D錯(cuò)誤.故選：C.3.已知正三角形的邊長為1，則的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由向量加減的幾何意義及數(shù)量積的運(yùn)算律求.詳解】由題設(shè).故選：C4.在中，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知及余弦定理得，進(jìn)而有，再應(yīng)用三角形面積公式求面積.【詳解】由題設(shè)，且為三角形的最大角，所以，則的面積為.故選：D5.已知，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義求得答案.【詳解】由，得，，所以在上的投影向量為.故選：A6.已知平面向量滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)條件可得，表示，利用基本不等式可得最大值.【詳解】不妨設(shè)，∴，∵，∴，即，∴.∵，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最大值為.故選：B.7.是斜邊上一點(diǎn)，若，則的值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合幾何圖形，利用正弦定理及二倍角公式列式求解.【詳解】在中，令，由，則，，，在中，，由正弦定理，，即，整理得，即，因，則有，即的值是.故選：D8.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，依次是邊的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），記，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件得到，，表示，利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可比較大小.【詳解】∵，∴，∵，∴.∵，∴.∵依次是邊的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），∴，，，∴，，，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算，即可比較大小.二?多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選，錯(cuò)選得0分.）9.已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則下列正確的是（）A.的虛部為B.C.是純虛數(shù)D.若是方程的一個(gè)根，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)已知有，設(shè)且，進(jìn)而求得，，最后依次判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由題設(shè)，令且，所以，即，所以，則，可得，所以，，則，A錯(cuò)，B對(duì)；，C對(duì)；若是方程的一個(gè)根，則，，故，D錯(cuò).故選：BC10.已知單位向量的夾角為，若平面向量，有序?qū)崝?shù)對(duì)稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐標(biāo)，記，則下列命題正確的是（）A.已知，則B.已知，則線段的長度為1C.已知，則D.已知，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)“仿射”坐標(biāo)系的定義，依據(jù)各項(xiàng)條件并應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及相關(guān)坐標(biāo)運(yùn)算判斷正誤即可.【詳解】A：由題設(shè)，所以，對(duì)；B：由題設(shè)，則，對(duì)；C：由題設(shè)，錯(cuò)；D：由題設(shè)，即，由，且時(shí)取等號(hào)，則，故，即時(shí)的最大值為，對(duì).故選：ABD11.已知銳角，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，下列命題正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.若，則是等腰三角形C.若，則的取值范圍D.若，則的取值范圍【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)充分、必要性定義及誘導(dǎo)公式、銳角三角形性質(zhì)判斷A；由已知及正弦邊角關(guān)系及二倍角正弦公式有，結(jié)合銳角三角形有判斷B；由已知及正余弦定理、三角恒等變換得，進(jìn)而有，且，再由、求范圍，即可判斷C、D.【詳解】由，則，所以，必要性成立，由，又為銳角三角形，必有，充分性成立，所以“”是“”的充要條件，A錯(cuò)；由，又，故，則，又，則或，得或（舍），所以為等腰三角形，B對(duì)；由，又，則，所以，則，故，所以，即，結(jié)合三角形為銳角三角形，可得，故，由，故，C對(duì)；，又，顯然在上單調(diào)遞減，所以，D對(duì).故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于C、D，根據(jù)已知得到，且為關(guān)鍵.非選擇題部分三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知向量，若，則__________.【答案】【解析】【分析】由向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算及垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，且，所以，則.故答案為：13.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位，該公式被稱為歐拉公式.根據(jù)歐拉公式求的最大值為__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)新定義有，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求其最大值.【詳解】由題設(shè)，當(dāng)，即時(shí)，的最大值為2.故答案為：214.已知為單位向量，設(shè)向量，向量夾角為，若，求的取值范圍__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知及數(shù)量積的運(yùn)算律求得，，，再應(yīng)用數(shù)量積的夾角公式求的范圍.【詳解】由，所以，故，又，，所以，而，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知得到為關(guān)鍵.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足（1）求的值；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令且，根據(jù)已知等量關(guān)系得，進(jìn)而求復(fù)數(shù)模；（2）由已知有，結(jié)合其所在象限列不等式組求參數(shù)范圍.【小問1詳解】令且，則，所以，則，可得，所以，則；【小問2詳解】由，故對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限，則，所以，即.16.已知的內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為是外一點(diǎn)，若，且.（1）求角的大?。唬?）若，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及和角正弦公式得，再由三角形內(nèi)角性質(zhì)及已知，即可確定角大??；（2）由（1）為等邊三角形，令，建立直角坐標(biāo)系并確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，由及三角形面積公式、輔助角公式、正弦型函數(shù)的性質(zhì)求范圍.【小問1詳解】由題設(shè)，即，所以，而，故，又，則，故.【小問2詳解】由（1）易知為等邊三角形，令，建立如下圖的直角坐標(biāo)系，則，，，故，所以，當(dāng)時(shí)取最大值為.17.在中，為線段上的點(diǎn)，分別為的中點(diǎn).（1）若，求的值；（2）若，求的長度；（3）若，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）令得到，結(jié)合已知即可求參數(shù)值；（2）由已知得，，，結(jié)合已知有，再應(yīng)用余弦定理求邊長；（3）根據(jù)已知有均為等腰三角形，結(jié)合向量數(shù)量積的定義及幾何意義，將條件化為，結(jié)合已知求.【小問1詳解】令，則，而，即；【小問2詳解】由題意，在、中為斜邊上的中點(diǎn)，所以，，故，，所以，由，所以，故；【小問3詳解】由（2）易知，則，所以，同理，所以，即，顯然，則.18.杭州最高的建筑是杭州世紀(jì)中心，也被形象地稱為“杭州之門”，作為杭州的新地標(biāo)，它不僅是城市的一道亮麗風(fēng)景線，更是杭州發(fā)展的重要見證，也是旅游打卡的勝地.某校高一研究性學(xué)習(xí)小組在老師帶領(lǐng)下去測量“杭州之門”的高度，該小組同學(xué)在該建筑底部的東南方向上選取兩個(gè)測量點(diǎn)與，測得米，在兩處測得該建筑頂部的仰角分別為.（已知）（1）請(qǐng)計(jì)算“杭州之門”的高度（保留整數(shù)部分）；（2）為慶祝某重大節(jié)日，在“杭州之門”上到處設(shè)計(jì)特殊的“燈光秀”以烘托節(jié)日氣氛.知米，高直接?。?）的整數(shù)結(jié)果，市民在底部的東南方向的處欣賞“燈光秀”（如圖），請(qǐng)問當(dāng)為多少米時(shí)，欣賞“燈光秀”的視角最大？（結(jié)果保留根式）【答案】（1）300米；（2）為米時(shí)，欣賞“燈光秀”的視角最大.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知有，即可求的高度；（2）由，根據(jù)已知及差角正切公式、基本不等式求的最值，確定取值條件即可得結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)，所以米；【小問2詳解】設(shè)米，則，，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，欣賞“燈光秀”的視角最大.19.如圖，已知是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn).過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn).設(shè)，且.（1）若，求的面積；（2）求的最小值；（3）若，設(shè)的周長為.（i）求的值；（ii）設(shè)，記，求的值域.【答案】（1）；（2）；（3）（i）3；（ii）.【解析】【分析】（1）連接AG并延長交BC于點(diǎn)F，設(shè)，則，結(jié)合三點(diǎn)共線可得，，進(jìn)而求得，，即可得出結(jié)果.（2）取的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)向量及數(shù)量積的定義、運(yùn)算律，結(jié)合二次函數(shù)求出最小值.（3）（i）根據(jù)給定條件，結(jié)合中點(diǎn)向量及共線向量定理的推論求解即得；（ii）求出，由余弦定理求得，結(jié)合（i）的結(jié)論求出，利用的范圍及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得出的值域.【小問1詳解】連接AG并延長，交BC于點(diǎn)F，設(shè)，則，由B，F(xiàn)，