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高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題考生須知:1.本試題卷共4頁,滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.2.答題前,在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)?姓名?考場號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào).3.所有答案必須寫在答題卷上,寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后,只需上交答題卷.選擇題部分一?單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的,不選?多選?錯(cuò)選均不得分.)1.已知是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是,則()A. B.C. D.2.在下列各組向量中,可以作為基底的是()A. B.C. D.3.已知正三角形的邊長為1,則的值為()A. B.1 C. D.24.在中,,則的面積為()A. B. C. D.5.已知,則在上的投影向量為()A. B. C. D.6.已知平面向量滿足,則的最大值為()A. B. C. D.7.是斜邊上一點(diǎn),若,則的值()A. B. C. D.8.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知,依次是邊的四等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)),記,則()A. B.C. D.二?多項(xiàng)選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的,全部選對(duì)得6分,部分選對(duì)得部分分,不選,錯(cuò)選得0分.)9.已知是虛數(shù)單位,表示的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)滿足,則下列正確的是()A.的虛部為B.C.是純虛數(shù)D.若是方程的一個(gè)根,則10.已知單位向量的夾角為,若平面向量,有序?qū)崝?shù)對(duì)稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系(為坐標(biāo)原點(diǎn))下的“仿射”坐標(biāo),記,則下列命題正確的是()A.已知,則B.已知,則線段的長度為1C.已知,則D.已知,則的最大值為11.已知銳角,角所對(duì)應(yīng)的邊分別為,下列命題正確的是()A.“”是“”的必要不充分條件B.若,則等腰三角形C.若,則取值范圍D.若,則的取值范圍非選擇題部分三?填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分.)12.已知向量,若,則__________.13.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的公式:,其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),是虛數(shù)單位,該公式被稱為歐拉公式.根據(jù)歐拉公式求的最大值為__________.14.已知為單位向量,設(shè)向量,向量夾角為,若,求的取值范圍__________.四?解答題(本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.)15.已知是虛數(shù)單位,表示的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)滿足(1)求的值;(2)在復(fù)平面內(nèi),若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限,求實(shí)數(shù)的取值范圍.16.已知的內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為是外一點(diǎn),若,且.(1)求角的大??;(2)若,求四邊形面積的最大值.17.在中,為線段上的點(diǎn),分別為的中點(diǎn).(1)若,求的值;(2)若,求長度;(3)若,求值.18.杭州最高的建筑是杭州世紀(jì)中心,也被形象地稱為“杭州之門”,作為杭州的新地標(biāo),它不僅是城市的一道亮麗風(fēng)景線,更是杭州發(fā)展的重要見證,也是旅游打卡的勝地.某校高一研究性學(xué)習(xí)小組在老師帶領(lǐng)下去測量“杭州之門”的高度,該小組同學(xué)在該建筑底部的東南方向上選取兩個(gè)測量點(diǎn)與,測得米,在兩處測得該建筑頂部的仰角分別為.(已知)(1)請(qǐng)計(jì)算“杭州之門”的高度(保留整數(shù)部分);(2)為慶祝某重大節(jié)日,在“杭州之門”上到處設(shè)計(jì)特殊的“燈光秀”以烘托節(jié)日氣氛.知米,高直接取(1)的整數(shù)結(jié)果,市民在底部的東南方向的處欣賞“燈光秀”(如圖),請(qǐng)問當(dāng)為多少米時(shí),欣賞“燈光秀”的視角最大?(結(jié)果保留根式)19.如圖,已知是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn).過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn),與線段交于點(diǎn).設(shè),且.(1)若,求的面積;(2)求的最小值;(3)若,設(shè)的周長為.(i)求的值;(ii)設(shè),記,求的值域.
高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題考生須知:1.本試題卷共4頁,滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.2.答題前,在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)?姓名?考場號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào).3.所有答案必須寫在答題卷上,寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后,只需上交答題卷.選擇題部分一?單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的,不選?多選?錯(cuò)選均不得分.)1.已知是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是,則()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)寫出復(fù)數(shù),再應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法化簡求復(fù)數(shù).【詳解】由題設(shè).故選:A2.在下列各組向量中,可以作為基底的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的一組基底為兩個(gè)不共線的非零向量,結(jié)合的坐標(biāo),逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】A.為零向量,不能作為基底,A錯(cuò)誤.B.由得,,故,不能作一組基底,B錯(cuò)誤.C.由得為不共線的非零向量,可以作為基底,C正確.D.由得,,故,不能作為一組基底,D錯(cuò)誤.故選:C.3.已知正三角形的邊長為1,則的值為()A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由向量加減的幾何意義及數(shù)量積的運(yùn)算律求.詳解】由題設(shè).故選:C4.在中,,則的面積為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知及余弦定理得,進(jìn)而有,再應(yīng)用三角形面積公式求面積.【詳解】由題設(shè),且為三角形的最大角,所以,則的面積為.故選:D5.已知,則在上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件,利用投影向量的定義求得答案.【詳解】由,得,,所以在上的投影向量為.故選:A6.已知平面向量滿足,則的最大值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè),根據(jù)條件可得,表示,利用基本不等式可得最大值.【詳解】不妨設(shè),∴,∵,∴,即,∴.∵,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),∴的最大值為.故選:B.7.是斜邊上一點(diǎn),若,則的值()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件,結(jié)合幾何圖形,利用正弦定理及二倍角公式列式求解.【詳解】在中,令,由,則,,,在中,,由正弦定理,,即,整理得,即,因,則有,即的值是.故選:D8.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知,依次是邊的四等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)),記,則()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件得到,,表示,利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可比較大小.【詳解】∵,∴,∵,∴.∵,∴.∵依次是邊的四等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)),∴,,,∴,,,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解決本題的關(guān)鍵是利用表示,結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算,即可比較大小.二?多項(xiàng)選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的,全部選對(duì)得6分,部分選對(duì)得部分分,不選,錯(cuò)選得0分.)9.已知是虛數(shù)單位,表示的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)滿足,則下列正確的是()A.的虛部為B.C.是純虛數(shù)D.若是方程的一個(gè)根,則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)已知有,設(shè)且,進(jìn)而求得,,最后依次判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由題設(shè),令且,所以,即,所以,則,可得,所以,,則,A錯(cuò),B對(duì);,C對(duì);若是方程的一個(gè)根,則,,故,D錯(cuò).故選:BC10.已知單位向量的夾角為,若平面向量,有序?qū)崝?shù)對(duì)稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系(為坐標(biāo)原點(diǎn))下的“仿射”坐標(biāo),記,則下列命題正確的是()A.已知,則B.已知,則線段的長度為1C.已知,則D.已知,則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)“仿射”坐標(biāo)系的定義,依據(jù)各項(xiàng)條件并應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及相關(guān)坐標(biāo)運(yùn)算判斷正誤即可.【詳解】A:由題設(shè),所以,對(duì);B:由題設(shè),則,對(duì);C:由題設(shè),錯(cuò);D:由題設(shè),即,由,且時(shí)取等號(hào),則,故,即時(shí)的最大值為,對(duì).故選:ABD11.已知銳角,角所對(duì)應(yīng)的邊分別為,下列命題正確的是()A.“”是“”的必要不充分條件B.若,則是等腰三角形C.若,則的取值范圍D.若,則的取值范圍【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)充分、必要性定義及誘導(dǎo)公式、銳角三角形性質(zhì)判斷A;由已知及正弦邊角關(guān)系及二倍角正弦公式有,結(jié)合銳角三角形有判斷B;由已知及正余弦定理、三角恒等變換得,進(jìn)而有,且,再由、求范圍,即可判斷C、D.【詳解】由,則,所以,必要性成立,由,又為銳角三角形,必有,充分性成立,所以“”是“”的充要條件,A錯(cuò);由,又,故,則,又,則或,得或(舍),所以為等腰三角形,B對(duì);由,又,則,所以,則,故,所以,即,結(jié)合三角形為銳角三角形,可得,故,由,故,C對(duì);,又,顯然在上單調(diào)遞減,所以,D對(duì).故選:BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:對(duì)于C、D,根據(jù)已知得到,且為關(guān)鍵.非選擇題部分三?填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分.)12.已知向量,若,則__________.【答案】【解析】【分析】由向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算及垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè),且,所以,則.故答案為:13.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的公式:,其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),是虛數(shù)單位,該公式被稱為歐拉公式.根據(jù)歐拉公式求的最大值為__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)新定義有,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求其最大值.【詳解】由題設(shè),當(dāng),即時(shí),的最大值為2.故答案為:214.已知為單位向量,設(shè)向量,向量夾角為,若,求的取值范圍__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知及數(shù)量積的運(yùn)算律求得,,,再應(yīng)用數(shù)量積的夾角公式求的范圍.【詳解】由,所以,故,又,,所以,而,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:根據(jù)已知得到為關(guān)鍵.四?解答題(本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.)15.已知是虛數(shù)單位,表示的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)滿足(1)求的值;(2)在復(fù)平面內(nèi),若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)令且,根據(jù)已知等量關(guān)系得,進(jìn)而求復(fù)數(shù)模;(2)由已知有,結(jié)合其所在象限列不等式組求參數(shù)范圍.【小問1詳解】令且,則,所以,則,可得,所以,則;【小問2詳解】由,故對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限,則,所以,即.16.已知的內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為是外一點(diǎn),若,且.(1)求角的大?。唬?)若,求四邊形面積的最大值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及和角正弦公式得,再由三角形內(nèi)角性質(zhì)及已知,即可確定角大??;(2)由(1)為等邊三角形,令,建立直角坐標(biāo)系并確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo),由及三角形面積公式、輔助角公式、正弦型函數(shù)的性質(zhì)求范圍.【小問1詳解】由題設(shè),即,所以,而,故,又,則,故.【小問2詳解】由(1)易知為等邊三角形,令,建立如下圖的直角坐標(biāo)系,則,,,故,所以,當(dāng)時(shí)取最大值為.17.在中,為線段上的點(diǎn),分別為的中點(diǎn).(1)若,求的值;(2)若,求的長度;(3)若,求的值.【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)令得到,結(jié)合已知即可求參數(shù)值;(2)由已知得,,,結(jié)合已知有,再應(yīng)用余弦定理求邊長;(3)根據(jù)已知有均為等腰三角形,結(jié)合向量數(shù)量積的定義及幾何意義,將條件化為,結(jié)合已知求.【小問1詳解】令,則,而,即;【小問2詳解】由題意,在、中為斜邊上的中點(diǎn),所以,,故,,所以,由,所以,故;【小問3詳解】由(2)易知,則,所以,同理,所以,即,顯然,則.18.杭州最高的建筑是杭州世紀(jì)中心,也被形象地稱為“杭州之門”,作為杭州的新地標(biāo),它不僅是城市的一道亮麗風(fēng)景線,更是杭州發(fā)展的重要見證,也是旅游打卡的勝地.某校高一研究性學(xué)習(xí)小組在老師帶領(lǐng)下去測量“杭州之門”的高度,該小組同學(xué)在該建筑底部的東南方向上選取兩個(gè)測量點(diǎn)與,測得米,在兩處測得該建筑頂部的仰角分別為.(已知)(1)請(qǐng)計(jì)算“杭州之門”的高度(保留整數(shù)部分);(2)為慶祝某重大節(jié)日,在“杭州之門”上到處設(shè)計(jì)特殊的“燈光秀”以烘托節(jié)日氣氛.知米,高直接?。?)的整數(shù)結(jié)果,市民在底部的東南方向的處欣賞“燈光秀”(如圖),請(qǐng)問當(dāng)為多少米時(shí),欣賞“燈光秀”的視角最大?(結(jié)果保留根式)【答案】(1)300米;(2)為米時(shí),欣賞“燈光秀”的視角最大.【解析】【分析】(1)根據(jù)已知有,即可求的高度;(2)由,根據(jù)已知及差角正切公式、基本不等式求的最值,確定取值條件即可得結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè),所以米;【小問2詳解】設(shè)米,則,,由,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),欣賞“燈光秀”的視角最大.19.如圖,已知是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn).過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn),與線段交于點(diǎn).設(shè),且.(1)若,求的面積;(2)求的最小值;(3)若,設(shè)的周長為.(i)求的值;(ii)設(shè),記,求的值域.【答案】(1);(2);(3)(i)3;(ii).【解析】【分析】(1)連接AG并延長交BC于點(diǎn)F,設(shè),則,結(jié)合三點(diǎn)共線可得,,進(jìn)而求得,,即可得出結(jié)果.(2)取的中點(diǎn),利用中點(diǎn)向量及數(shù)量積的定義、運(yùn)算律,結(jié)合二次函數(shù)求出最小值.(3)(i)根據(jù)給定條件,結(jié)合中點(diǎn)向量及共線向量定理的推論求解即得;(ii)求出,由余弦定理求得,結(jié)合(i)的結(jié)論求出,利用的范圍及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得出的值域.【小問1詳解】連接AG并延長,交BC于點(diǎn)F,設(shè),則,由B,F(xiàn),
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