滬教版七年級數(shù)學(xué)暑假課：冪的運算（二）（解析版）

第05講塞的運算（二）

----------------------

學(xué)習(xí)目標(biāo)

—―

|—同底數(shù)幕的乘法

鬲的運算（二）-—［幕的乘方］

—積的乘方

［豳基礎(chǔ)知識f

---------------------II1IIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

1、幕的運算概念：求〃個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做幕，在中，

。叫做底數(shù)，〃叫做指數(shù).

含義：“"中，a為底數(shù)，〃為指數(shù)，即表示。的個數(shù)，a"表示有〃個。連續(xù)相乘.

特別注意負(fù)數(shù)及分?jǐn)?shù)的乘方，應(yīng)把底數(shù)加上括號.

2、“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用：

口訣“奇負(fù)偶正”在多處知識點中均提到過，它具體的應(yīng)用有如下幾點：

⑴多重負(fù)號的化簡，這里奇偶指的是，，—，，號的個數(shù)，例如：一［一（一3）］=-3；-［+（-3）］=3.

（2）有理數(shù)乘法，當(dāng)多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中

積的符號.

（3）有理數(shù)乘方，這里奇、偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則嘉為負(fù)；指

數(shù)為偶數(shù)，則嘉為正.

3、特別地：當(dāng)〃為奇數(shù)時，（-°）"=-屋；而當(dāng)力為偶數(shù)時，（-.）"=/.

負(fù)數(shù)的奇次賽是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次暴是正數(shù).

正數(shù)的任何次累都是正數(shù)，1的任何次幕都是1,任何不為0的數(shù)的0次幕都是“1”.

4、運算法則：

（1）同底數(shù)塞相乘.

同底數(shù)的塞相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

用式子表示為：am-a"=a'n+n（私”都是正整數(shù)）.

（2）幕的乘方.

募的乘方的運算性質(zhì)：幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

用式子表示為：〃=4加都是正整數(shù)）.

（3）積的乘方.

積的乘方的運算性質(zhì)：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的累相乘.

用式子表示為：（"）"=.?"（〃是正整數(shù)）.

（4）同底數(shù)塞相除.

同底數(shù)塞相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

用式子表示為：ama"=d"n（awO,m,，都是正整數(shù)）.

（5）規(guī)定“°=1（。力0）；a~p=-y-（a/O,p是正整數(shù)）.

考點剖析

llllllllllllllllllillllllilllllllllllllll

1.化簡（一耳，一（一切2,結(jié)果是（）

A.-x6B.x6C.x5D.-?

【答案】D

【解析】（-"31_（一力了="./=一高

【總結(jié)】本題主要考查同底數(shù)塞的運算，運算中注意式子符號.

2.下列各式計算過程正確的是（）

A.x3+x3=x3+3=x6B.x3-%3=2x3

C.x-x3-x5=x0+3+5=x8D.尤2=-無s

【答案】D

【解析】A的正確結(jié)果是2式，B的正確結(jié)果是f,C的正確結(jié)果是不//=9+3+5=/.

【總結(jié)】本題主要考查幕的運算的基本法則，熟練掌握相關(guān)法則.

3.下列計算：①W『=/；②）2=/；③（X2）5=那；④x5.y2=（移）7;⑤=（孫「.

⑥小5=（孫）5;其中錯誤的有（）

A.2個B.3個C.4個D5個

【答案】C

【解析】①②③本題主要考查幕的乘方運算，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，①②錯誤；④⑤⑥主要

考查積的乘方運算，底數(shù)相乘，指數(shù)不變，④⑤錯誤.

【總結(jié)】本題主要考查塞的運算法則，計算時需要注意法則的準(zhǔn)確運用.

4.計算：(-2)2003+(-2)2004=

【答案】22叫

【解析】原式=22004-220°3=2X22003-22003=(2-1)X22003=22003.

【總結(jié)】本題主要考查同底數(shù)基運算法則的逆用，am+n=am-an.

5.計算：+?(〃-2根『=.

【答案】4(加一］1.

［解析］原式=［根—gw］.=4(m.

【總結(jié)】本題主要考查同底數(shù)幕相乘的運算法則，但是要注意先要將底數(shù)化為相同.

53

6.^x+-y--=O,則4132>=.

22

【答案】8

【解析】由尤+|>—"|=0，得2苫+5?=3,故4，.32,=(22)%-(25)"=22x-25y=22"+5y=23=8.

【總結(jié)】本題一方面考查同底數(shù)基的運算法則，另一方面考查整體代入思想的運用.

7.設(shè)4=35°,。=44。，C=53。，比較。，b,。的大小，用〈號連接：.

【答案】c<a<b.

【解析】因為a=35。=05『=243'Z,=440=(44)'°=25610,c=530=(53)1(，=12510,

所以c<a<b.

【總結(jié)】本題主要考查如何運用塞的乘方將三個數(shù)字化作指數(shù)相同的事的運算.

8.計算：

(1)gx(-3)x(-3)x(-3)x(-3)x(-3)；(2)(一〃),(一十?(一十?(一。『?(一〃丫;

(3)伍+3(。+6)(?！?……(心,(4)-6x6x(-6)x6x(-6),

〃個a+b

【答案】(1)-1x35；(2)-a15；(3)(a+b)"；(4)-65.

【解析】(1)原式=gx(-3)5=-gx35；(2)原式=(_°『=_/；

(3)原式=(a+。)"；(4)原式=-6，.

【總結(jié)】本題主要考查乘方的概念.

9.如果(462C3廣2比"."5.".1_/)2氏］的次數(shù)大：1,那么發(fā)的值是多少？

【答案】k=\.

【解析】因為第一個單項式次數(shù)為（3+2+3）優(yōu)+2）=8左+16,第二個單項式次數(shù)為

4+5+8+（2x2+l+l）k=6左+17,依題意有（81+16）-（61+17）=1,解得：k=l.

【總結(jié)】本題一方面考查單項式的次數(shù)的概念，另一方面考查同底數(shù)幕相乘的運算法則.

10.比較255,344,533,622這4個數(shù)的大小關(guān)系.

【答案】533>344>622>255.

41133311122*12n

【解析】因為255=05）"=32”,344=（3）"=81,5=（5）'=125,6=（6）"=36,

又125>81>36>32,所以125“>81”>36”>32”，即53?>3\>6〃>2刀.

【總結(jié)】本題主要是利用幕的乘方運算法則，將這些事化作指數(shù)相同，比較底數(shù)大小即可.

［域真即演練

----------------------llllllllllllltlllllllllllllllllllllllllil------------------------

1.（2022秋?上海華育?七年級專題練習(xí)）下列計算正確的是（）

A.a2+a-aiB.a2?a,—a6C.（a'）=a5D.（2a）~=2/

【答案】B

【分析】A.根據(jù)同類項的定義，可知/與。不是同類項，即可進(jìn)行判斷；B.根據(jù)同底數(shù)

事相乘底數(shù)不變，指數(shù)相加，可進(jìn)行判斷；C.根據(jù)惠的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘，可進(jìn)

行判斷；D.積中的每一個乘數(shù)分別乘方，再把所得的幕相乘，可進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A./與“不是同類項，不能合并，故錯誤；

B.故正確；

C.,3）2=/,故錯誤；

D.（2a）2=4a2,故錯誤；

故選：B.

【點睛】本題主要考查的是整式乘除運算中的累的運算，需熟練掌握同底數(shù)暴乘法運算，暴

的乘方運算公式，是否為同類項也是本題的考查點.

2.（2022秋?上海靜安.七年級?？茧A段練習(xí)）下列各式正確的是（）

A.X2+X2=X4；B.X?.尤3=彳6；

C.（一x）2.（-x）4=f6；D.（-%）3-（-x）4=-%7.

【答案】D

【分析】根據(jù)合并同類項、同底數(shù)幕的乘法、暴的乘方與積的乘方法則逐一計算可得.

【詳解】解：A、/+/=2一片/，該選項不符合題意；

B、該選項不符合題意；

C、(-x)2-(-x)4=x2-x4=x6-X6,該選項不符合題意；

D、(-x)3-(-%)4=-x3-x4=-x1,該選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了同底數(shù)幕的乘法，合并同類項，幕的乘方與積的乘方，掌握(腔丫=優(yōu)'"，

(時=4%'是解題的關(guān)鍵.

3.(2022秋?上海.七年級上海市西延安中學(xué)?？计谥?下列計算結(jié)果正確的是()

A.(0)=/；B.x3-%2=%3x2=x6；

C.[(-a)5]3=-a15；D.(xm)3=x3+m.

【答案】C

【分析】根據(jù)幕的乘方，同底數(shù)幕的乘法法則分別判斷.

【詳解】解：A,(a3)2=a6,故錯誤，不合題意；

B、*3.尤2=1+2=*5,故錯誤，不合題意；

C.l(-a)5]3=-?15,故正確，符合題意；

D、(xm)3=x3m,故錯誤，不合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了累的乘方，同底數(shù)基的乘法，解題的關(guān)鍵是靈活運用運算法則.

4.(2022秋?上海楊浦?七年級統(tǒng)考期中)計算：(-5元2yz2『=.

【答案】-125X6/Z6

【分析】結(jié)合積的乘方的運算法則計算，即可求解.

【詳解】解：原式=-125x2x3y3z2x3=_125x6y3z6,

故答案為："25fy3z6.

【點睛】本題主要考查積的乘方，屬于基礎(chǔ)運算法則的考查，難度不大.解題的關(guān)鍵是掌握

積的乘方的運算法則.

5.(2022秋?上海靜安?七年級上海市市西中學(xué)校考期中)用(x-y)的哥的形式表示：

(x-y)5(y-x)4=?

【答案】(x-y)9/(-y+x)9

【分析】運用負(fù)數(shù)的偶次幕的特性，將原式化成(x-y)5(x-y)4,再利用同底數(shù)賽的乘法運

算即可完成.

【詳解】(x-y)5(y-x)4=(x-y)5(x-y)4=(x-y)9,

故答案為(x-y)9.

【點睛】本題主要考查事的逆運算的運用，熟練掌握偶次塞的特性以及同底數(shù)幕的乘法運算

是解題關(guān)鍵.

6.（2022秋?上海奉賢.七年級校聯(lián)考期末）計算：22X24=（結(jié)果用累的形式表示）.

【答案】26

【分析】根據(jù)同底數(shù)塞的乘法法則計算即可.

【詳解】解:22X24=26.

故答案為：26.

【點睛】本題主要考查了同底數(shù)幕的乘法，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?上海長寧.七年級上海市婁山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若3,=4,3，=3,則33中=

【答案】192

【分析】根據(jù)同底數(shù)塞的乘法與乘方的逆運算求解即可.

【詳解】解:33%=（3?.3"

：3'=4,3>=3,,

原式=/x3=192，

故答案為：192.

【點睛】本題考查了同底數(shù)塞的乘法、同底數(shù)幕的乘方的逆用；熟練掌握其運算法則是解題

的關(guān)鍵.

8.（2022秋?上海靜安.七年級上海市市西初級中學(xué)校考期中）己知3"=a,3"=6,則用

含。、匕的代數(shù)式表示32加3"=.

【答案】"戶///

【分析】將32國"進(jìn)行變形，變成為含有3"，和3"的形式，即可求解.

【詳解】解：,；3"'=a,T=b,

：.32,B+3"=（3m）2-（3,,）3=a2^3,

故答案為：a2b3.

【點睛】本題考查了同底數(shù)幕的乘法運算法則逆用，關(guān)鍵在于將3223"變形成為含有3根和3"

的形式.

9.（2022秋.上海黃浦.七年級統(tǒng)考期中）計算：（-1）40X（41）40X0.12512=.

【答案】16

【分析】將帶分?jǐn)?shù)和小數(shù)化成假分?jǐn)?shù)，按照同底數(shù)塞的乘法法則進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：（q）4°x（*）4°x0.125“

1

=240X

=2-

=24

=16.

故答案為：16.

【點睛】本題考查有理數(shù)的乘法、積的乘方的逆運算，解題的關(guān)鍵是能夠正確計算同底數(shù)累

的乘法.

/0\2022

10.（2022秋?上海松江?七年級?？计谥校┯嬎悖?-（-2.5）2021=.

【答案】一?-04

【分析】根據(jù)逆用同底數(shù)募的乘法，積的乘方進(jìn)行計算即可求解.

2

故答案為：-1.

【點睛】本題考查了同底數(shù)幕的乘法，積的乘方，掌握同底數(shù)幕的乘法，積的乘方的運算法

則是解題的關(guān)鍵.

11.（2022秋?上海?七年級?？茧A段練習(xí)）計算.

【答案】J/

4

【分析】根據(jù)整式的乘方運算法則即可求解.

【詳解】解：

故答案為：--X2.*4

4

【點睛】本題目考查整式的乘方運算法則，熟練掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵.

12.（2022秋?上海?七年級上海市西延安中學(xué)?？计谥校┖啽惴椒ㄓ嬎悖?/p>

（1）31X202.3+87%X2023-21X20.23；

(2)(一1.5嚴(yán)4x(1嚴(yán)3

【答案】(1)2023

⑵1.5

【分析】(1)先變形，再利用乘法分配律合并計算；

(2)先逆用同底數(shù)幕的乘法變形，再逆用積的乘方二次變形，再計算即可.

2

【詳解】(1)解：3-x202.3+87%x2023-21x20.23

17

=—xl0x20.23+87x20.23-21x20.23

5

=34x20.23+87x20.23-21x20.23

=(34+87-21)x20.23

=100x20.23

=2023；

/、2023

⑵(-1.5)2024X|||

=(-1)2023X(-1.5)

=1.5

【點睛】本題考查了乘法分配律,積的乘方和同底數(shù)塞的乘法，解題的關(guān)鍵是靈活運用公式.

13.(2022秋?上海?七年級專題練習(xí))(-%)2■%3■(-2j)3+(2xy)2-(-x)3-y

【答案】-12卒案

【分析】根據(jù)積的乘方和同底數(shù)基的乘法法則求解即可.

【詳解】原式=-81.工3.,3-4/9,天3.丫

=-8x5y3-4x5y3

=-1203

【點睛】本題考查了幕的乘方和同底數(shù)幕的乘法，解答本題的關(guān)鍵是掌握塞的乘方和同底數(shù)

塞的乘法法則.

14.(2022秋?上海.七年級專題練習(xí))計算：(-a)3.(o2)3?<7+(-<73)2?a4.

【答案】0

【分析】根據(jù)幕的運算法則即可求得結(jié)果.

【詳解】解：原式=（-43,6.4+46/1

=一/+屋

=0.

【點睛】本題主要考查的是整式乘除運算中的幕的運算，需熟練掌握同底數(shù)幕乘法運算，幕

的乘方運算公式，易錯點在于符號確定.

15.（2022秋?上海長寧?七年級上海市婁山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計算：

-34%3c.2°365c2+2。768c3.

4

【答案】

【分析】根據(jù)整式的混合運算法則求解即可.

【詳解】-3。％3c.2a365c2+24768c3

4

=--flW+2aW

2

=-flW

2

【點睛】此題考查了整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式的混合運算法則.

16.（2022秋?上海嘉定?七年級?？计谥校┮阎?2.22"，23-"=64,求”的值.

【答案】2

【分析】直接利用同底數(shù)嘉的乘法運算法則計算得出答案.

【詳解】解：22'22'-'-23-=64,

,2222〃-123-〃—

2+2rl—1+3—〃=6,

/.n=2.

【點睛】此題主要考查了同底數(shù)塞的乘法運算，正確得出〃的值是解題關(guān)鍵.

17.（2022秋?上海?七年級上海市民辦新復(fù)興初級中學(xué)?？计谥校┮阎海?6°3『=5,

求亡的值；

【答案】25

【分析】原式利用幕的乘方和積的乘方法則可得出d=5,再根據(jù)幕的乘方的逆用即可求出

結(jié)果.

【詳解】解：：（16a3）2d

2

=叱

=16?"6.*

=a6，

a6=5>

：."2=（46）2=52=25.

【點睛】本題考查察的乘方和其逆用，積的乘方，有理數(shù)的乘方運算.掌握各運算法則是解

題關(guān)鍵.

18.（2022秋?上海?七年級專題練習(xí)）計算：（4+⑴丫+卜寸+卜/丫

【答案】2/

【分析】根據(jù)幕的運算法則，先算幕的乘方，再合并同類項.

2

【詳解】解：，）3+（Vy+（-Xr+（-尤3）2

=x6+x6-x6+x6

=2?

【點睛】本題主要考查了事的乘方.掌握嘉的乘方運算法則（底數(shù)不變，指數(shù)相乘）是關(guān)鍵.

19.（2022秋?七年級單元測試）愛動腦筋的小明在學(xué)習(xí)《幕的運算》時發(fā)現(xiàn):若4（“>0,

且"1,加、〃都是正整數(shù)），則機(jī)="，例如：若5"'=5",則租=4.小明將這個發(fā)現(xiàn)

與老師分享，并得到老師確認(rèn)是正確的，請您和小明一起用這個正確的發(fā)現(xiàn)解決下面的

問題：

⑴如果"4*x32*36,求x的值；

⑵如果3"'+3"i=108,求x的值.

【答案】⑴x=5

（2）x=2

【分析】（1）利用幕的乘方的法則及同底數(shù)累的乘法的法則對式子進(jìn)行整理，從而可求解；

（2）利用同底數(shù)易的乘法的法則及幕的乘方的法則對式子進(jìn)行整理，即可求解.

【詳解】（1）因為2X4XX32X=236,

所以2x22%x25x=236,

BP21+7x=236,

所以l+7x=36,

解得：x=5；

（2）因為3X+2+3X+'=108,

所以3x3”+3x+/=4x27,4x3x+;=4x33,

+13

即3x=3f

所以x+l=3,

解得：x=l.

【點睛】本題主要考查哥的乘方，同底數(shù)暴的乘法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握

與運用.

|］營過關(guān)檢測門|

----------------------llllllllllllllllfllllllllllllllltllilllll------------------------

1.下列算式中，正確的是（）

A.a4+a2=a6B.—a3-a5=-a1,C.（-/）=-a"D.（3a。）=9o6

【答案】B

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的乘法，同底數(shù)幕的乘方，積和乘方運算法則以及合并同類項的法則,

分別進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A./與/不是同類項，不能合并，故此選項不合題意；

B.—/.15__々8,正確，故此選項符合題意；

C.（-a2）6=a12,故此選項不合題意；

D.（3a2）3=27a6,故此選項不合題意;

故選：B.

【點睛】本題主要考查了累的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵.

2.計算：?二的結(jié)果是（）

A./B.a6C.-a8D.-a6

【答案】B

【分析】先計算（-。）2=/,然后根據(jù)同底數(shù)暴的乘法進(jìn)行計算即可求解.

24246

【詳解】解：（-?）-?=axa=fl.

故選：B.

【點睛】本題考查了同底數(shù)哥的乘法，掌握同底數(shù)累的乘法法則是解題的關(guān)鍵.

3.已知：2'"="，2"=b,則.

【答案】a6b9/b9a6

【分析】根據(jù)同底數(shù)募的乘法以及暴的乘方的逆運算計算即可得出答案.

【詳解】：2m=°,T=b,

g27n+3n

=82mx83n

=（23fx（23f

=26,"x29n

=a%'

故答案為：a6b9.

【點睛】本題考查的是指的運算公式，需要熟練掌握四個嘉的運算公式及其逆運算.

4.已知x=2"+3,y=4"+5,用含字母x的代數(shù)式表示V,貝4'=

【答案】（x-3y+5/5+（x-3）2

【分析】先根據(jù)題意求出尤-3=2%接著變形40=（22丫=（2"『=（彳一3）2,將X-3=2"整體

代入即可得到答案.

【詳解】解：,；尤=2”+3,

工一3=2",

4H=（22）"=（2"）2,

4H=（2"）2=（.r-3）2,

故答案為：（x—3y+5.

【點睛】本題主要考查了塞的乘方的逆運算，熟知嘉的乘方的逆運算是解題的關(guān)鍵.

5.如果那么我們規(guī)定：P（a,b）=c,例如，因為23=8,34=81那么我們就說

/（2,8）=3,廠