高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)訓(xùn)練之導(dǎo)數(shù)

2025年高考數(shù)學(xué)專項題型點撥訓(xùn)練

導(dǎo)數(shù)

【題型一】公切線求參

【題型二】“過點”切線條數(shù)

【題型三】切線法解題

【題型四】恒成立求參

【題型五】能成立求參

【題型六】零點與隱零點

【題型七】雙變量問題

【題型八】構(gòu)造函數(shù)求參

【題型九】極值點偏移

導(dǎo)數(shù)在新結(jié)構(gòu)試卷中的考察重點偏向于小題，原屬于導(dǎo)數(shù)的壓軸題有所改變，但導(dǎo)數(shù)在高考中的考察

依然屬于重點，題型很多，結(jié)合的內(nèi)容也偏多，比如常出現(xiàn)的比較大小和恒成立問題等都結(jié)合著構(gòu)造函數(shù)

的思想，而如何構(gòu)造就需要學(xué)生對出題人的出題思路再根據(jù)構(gòu)造函數(shù)的思維從而進(jìn)行推理，是不簡單的知

識點。

易錯點：對數(shù)單身狗、指數(shù)找基友

在處理含對數(shù)的等式、不等式時，通常要將對數(shù)型的函數(shù)“獨立分離”出來，這樣再對新函數(shù)求導(dǎo)時，就不含

對數(shù)了，從而避免了多次求導(dǎo).這種讓對數(shù)“孤軍奮戰(zhàn)”的變形過程，俗稱之為“對數(shù)單身狗”.

目標(biāo)希望是這樣的：由/(x)lnx+g(x)>0。Inx+。|>0=>[Inx+丫=一+C|了；

/(x)/(%)x/U)

在處理含指數(shù)的等式、不等式時，通常要將指數(shù)型函數(shù)與其它函數(shù)(乘或除)結(jié)合起來，這樣再對新

函數(shù)求導(dǎo)時，就避免了多次求導(dǎo).俗稱之為“指數(shù)找朋友”或“指數(shù)常下沉”.

乘法："(X)er=0o"'(X)+/(切?/=0of'(x)+f(x)=0；

除法：[gr=oO八"；=0oy(x)-/(x)=0.

例已知當(dāng)時，Ylnx-x+lN根(彳一1)2恒成立，則實數(shù)加的取值范圍是.

變式1：已知函數(shù)/(x)=(x+l)lnx—a(x—l).

⑴當(dāng)。=4時，求曲線y=/(x)在(1J⑴)處的切線方程;

⑵若當(dāng)xe(l,+s)時，/(%)>0,求。的取值范圍.

【題型一】公切線求參

(1)以曲線上的點(尤0,人知))為切點的切線方程的求解步驟:

①求出函數(shù)7U)的導(dǎo)數(shù)f(x)；

②求切線的斜率了(初)；

③寫出切線方程y—fixo)—f(xd)(x—xo),并化簡.

%=/(%)

(2)如果已知點(xl,yl)不在曲線上，則設(shè)出切點(x0,yO),解方程組，"％為_八,、得切點(x。，yo),進(jìn)而

確定切線方程.

I—I

典例精講

【例1】(2024?山西?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=("3)x3+(a-2)d+(a_i)x+a若對任意x°wR,曲線

y=/(x)在點(%,/(%))和處的切線互相平行或重合，則實數(shù)。=()

A.0B.1C.2D.3

【例2】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=(x+a)2+lnx的圖象上存在不同的兩點A,3,使得曲線

y=/(x)在點處的切線都與直線x+2y=。垂直，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.co,l-A/2jB.^1—A/2,0jC.卜8,1+^/^)D.^0,1+V2)

I—1

名校模擬

【變式1](2024.全國.模擬預(yù)測)曲線丫=^在4(%,%)處的切線與曲線〉=1"+/”相切于點3(%,%)，若

11,

為＜%且-----+------=1，則實數(shù)加的值為______.

尤2-占

【變式2](2024?四川瀘州?三模)設(shè)函數(shù)〃x)=ei,g(x)=lnx+b.

⑴求函數(shù)尸(x)=(x-l)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若總存在兩條直線和曲線y="X)與y=8⑺都相切，求b的取值范圍.

【變式3](2024.陜西安康.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=lnx+l,g(x)=ex-l.

⑴求曲線y=/(x)Vy=g(x)的公切線的條數(shù)；

(2)若a>0,Vxw(T,+e),/(x+l)?a2g(x)+/-a+l,求。的取值范圍.

【題型二】“過點”切線條數(shù)

導(dǎo)數(shù)運算及切線的理解應(yīng)注意的問題：

一是利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.

二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，

同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點.

I—I

典例精講

【例1】（2024.山西呂梁二模）若曲線〃x）=lnx在點尸（x0,幾）處的切線過原點0（0,0）,貝生=.

丫<0

【例2】（2024?北京海淀?一模）已知〃x）=；一函數(shù)AM的零點個數(shù)為優(yōu)，過點（。,2）與曲線

lg（x+l）,x>0

丫=/（尤）相切的直線的條數(shù)為〃，則人力的值分別為（）

A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2

I—1

名校模擬

【變式1］（2024.全國.模擬預(yù)測）若曲線/（x）=:+log/（。>0且有兩條過坐標(biāo)原點的切線，貝匹

的取值范圍為（）

【變式2］（2024?全國?模擬預(yù)測）過坐標(biāo)原點作曲線〃x）=e'"2_2x+2）的切線，則切線共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【題型三】切線法解題

涉及到交點或者零點的小題題型，函數(shù)圖像通過求導(dǎo)，大多數(shù)屬于凸凹型函數(shù)，則可以用切線分隔（分界）

思維來求解。切線，多涉及到“過點”型切線，

I—I

典例精講

【例1】(2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=2(wu-lnx)+e.

⑴若/(x)的圖象在點(1J(1))處的切線與直線/:2x+y+l=0垂直，求小的值;

(2)討論了⑴的單調(diào)性與極值.

【例2】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)，(無以，且曲線>=/(尤)在點①"(無))處的切線方程

為y=-2x+b.

⑴求實數(shù)。，6的值；

(2)證明：函數(shù)Ax)有兩個零點.

I—I

名校模擬

【變式1】(2024.四川攀枝花.三模)已知函數(shù)〃元)=hw+2-l(aeR).

⑴當(dāng)a=2時，求函數(shù)在x=l處的切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)〃尤)的導(dǎo)函數(shù)為((無)，若尸&)=廣仇)(菁*馬)，證明：/(x1)+/(x2)+^>l.

【變式2](2024.廣東深圳.二模)已知函數(shù)/(x)=("+1廣，尸⑺是的導(dǎo)函數(shù)，且r(x)-/(x)=2e，.

⑴若曲線y=〃x)在x=0處的切線為、=米+萬，求左，6的值；

⑵在(1)的條件下，證明：f{x)>kx+b.

【題型四】恒成立求參

不等式的恒成立求參數(shù)問題，不等式恒成立問題常見方法：

①分離參數(shù)。上了(力恒成立(aN/(x)1mx即可)或。4f(x)恒成立(心/⑺.即可)；

②數(shù)形結(jié)合(y=/(x)圖像在y=g")上方即可)；

③討論最值”x*之?；颉▁)1rax40恒成立.

涉及到不等式整數(shù)解的問題時，要充分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性考查整數(shù)解相鄰整數(shù)點函數(shù)

值的符號問題，列不等式求解，考查運算能力與分析問題的能力.

在研究函數(shù)時用導(dǎo)數(shù)求極值研究極值時，無法正常求出極值點，可設(shè)出極值點構(gòu)造等式或者方程作分析，

進(jìn)行合適的等量代換或者合適的換元消元消參，考查了分析推理能力，運算能力，綜合應(yīng)用能力，難度很

大.

I—I

典例精講

【例1】(2024?全國?模擬預(yù)測)不等式x(2e3x—〃)Nln(2ex)在(0,+8)上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

【例2】(2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(另=1。8“12'+a］一苫是偶函數(shù)，不等式

〃x-lnx)"(inZ?-。?)恒成立，則匕的最大值為.

【例3】(2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃2=訃2-11K-%.

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若不等式八X)20恒成立，求。的取值范圍.

I—1

名校模擬

【變式1】(2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=e「x,函數(shù)8(尤)=/+,無_2("0).

⑴若直線x與函數(shù)交于點A,直線x=e'T?eR)與函數(shù)g(x)交于點2,且函數(shù)/⑺在點A

處的切線與函數(shù)g(x)在點8處的切線相互平行，求。的取值范圍；

(2)函數(shù)〃(x)=xlnx-?|g(x)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點巧，巧，且%＞々，存在實數(shù)幾＞0使得不等

式3+,＜匕7：恒成立，求實數(shù)2的取值范圍.

【變式2】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)"力=6日(尤＞0),g(x)=l+lnx.

⑴證明：/(x)＞g(x).

⑵若應(yīng)(x)2(1+f)g(x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【題型五】能成立求參

對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的

新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮

法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

?—I

典例精講

【例1】已知函數(shù)/(力=叱.

⑴二次函數(shù)y=o?(a>o),在“①曲線y=/(x),^=加(。>0)有1個交點；②。=!”中選擇一個作為條

件，另一個作為結(jié)論，進(jìn)行證明；

(2)若關(guān)于x的不等式"司+加W皿+g在卜,e?］上能成立，求實數(shù)m的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【例2】已知函數(shù)/'(x)=alnx-x.

(1)若。=3,求曲線y=f{x)在(1,7(1))處的切線方程；

(2)若關(guān)于x的不等式”x)>但在上能成立，求實數(shù)。的取值范圍.

xe

?—1

名校模擬

【變式1］已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)-%+a(l—cos%).

(1)當(dāng)。=0時，求曲線y=/(x)在點仁一1,/\-3處的切線方程；

(2)若存在正實數(shù)r,使得當(dāng)xQvj)時，有財?(天)上。能成立，求。的值.

【變式2】設(shè)函數(shù)/。)=表、

(1)求在點。，/⑴)處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(無)的單調(diào)區(qū)間；

(3)當(dāng)xe［-2,2］時，使得不等式/(無)<24+1能成立的實數(shù)。的取值范圍.

【題型六】零點與隱零點

隱零點問題是指對函數(shù)的零點設(shè)而不求，通過一種整體代換和過渡，再結(jié)合題目條件最終解決問題；

極值點偏移是指函數(shù)在極值點左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對稱性，隱零點與極值點偏移

問題常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題中，這類題往往對思維要求較高，過程較為煩瑣，計算量較大，難度大.

解題思路：

(1)用函數(shù)零點存在定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性，列出零點方程/%)=0,并結(jié)合了(無)的單調(diào)性得到零點的

取值范圍.

(2)以零點為分界點，說明導(dǎo)函數(shù)了(功的正負(fù)，進(jìn)而得到黃龍)的最值表達(dá)式.

(3)將零點方程適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡證明，有時(1)中的零點范圍還可以適當(dāng)縮小.

?—I

典例精講

【例1］已知函數(shù)Hx)=(x—l)ex—ox的圖象在x=Q處的切線方程是x+y+b=O.

⑴求a,b的值；

3

(2)求證：兀￥)有唯一的極值點xo,且?xo)>—2.

2Inx

【例2】已知火%)=^+1—x+1,g(x)=%+2.

⑴求g(x)的極值；

(2)當(dāng)尤>0時,證明：?>g(x).

I—I

名校模擬

］%2

【變式1］已知實數(shù)a滿足。以后十#—2,且函數(shù)y(x)=lnx+2—(a+2)x恰有一個極小值機(jī)和

極大值求機(jī)一M的最大值.

【變式2】已知函數(shù)#x)=x—alnx—l(a?R).

⑴當(dāng)a=l時，求證：X%)>0；

⑵若x=l是火力唯一的零點，求“x)的單調(diào)區(qū)間.

【題型七】雙變量問題

一般地，若/0)=/(尤2)時，涉及到雙變量的不等式的證明，函數(shù)的最值問題可以使用比值換元，令三=心

玉

將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于r的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.

I—I

典例精講

【例1】(2024?廣東佛山?二模)已知〃無)=一:e2*+4e'-ax-5.

⑴當(dāng)“=3時，求〃尤)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)有兩個極值點看,巧，證明：/(^)+/(x2)+^+x2<0.

【例2】（2024?廣東?二模）已知/（x）=+（1-2。）尤-21nx,a>0.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

⑵函數(shù)〃x）的圖象上是否存在兩點4（占,%）,3（%,%）（其中x產(chǎn)馬），使得直線A2與函數(shù)“X）的圖象在

%=七三處的切線平行？若存在，請求出直線A3；若不存在，請說明理由.

【例3】（2024.四川?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=（a+l）e，一:尤2+igeR）.

⑴當(dāng)a=l時，求曲線y=在點（0,〃。））處的切線方程；

⑵設(shè)占,％2（%<%2）是函數(shù)y=/'（x）的兩個零點，求證：x,+x2>2.

I—I

名校模擬

【變式1］（2024?四川德陽?二模）已知函數(shù)r（x）=lnx+x2-2m：MwR,

⑴當(dāng)。>0時，討論〃尤）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)〃尤）有兩個極值點外,%（石<x2）,求2〃占）-/（9）的最小值.

【變式2］（2024.全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃無）="-媽，a>0.

X

⑴若/（X）存在零點，求4的取值范圍；

（2）若X］,X?為“X）的零點，且網(wǎng)<工2，證明：。（占+々）2>2.

【變式3］（2024高三.全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=^―?」+。111,+不〃（尤）=-/+2辦-。2+2。,。為實

ex

數(shù).

⑴討論函數(shù)“X）的極值；

（2）若存在鄭電滿足％1r々，〃士尸/值）,求證:^+x2>/i（x）.

【題型八】構(gòu)造函數(shù)求參

1.構(gòu)造函數(shù)法求解函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，常用以下方法：

（1）利用含導(dǎo)數(shù)方程還原原表達(dá)式需要結(jié)合導(dǎo)數(shù)四則運算特征，如本題中同乘X移項后就得到除法對應(yīng)導(dǎo)

數(shù)公式；

（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性,如遇導(dǎo)數(shù)不能判斷正負(fù)的情況下，往往需要再次求導(dǎo)，通過二階導(dǎo)數(shù)判斷一

階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，再通過一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的增減.

2.幾種導(dǎo)數(shù)的常見構(gòu)造：

對于/'(x)>g'(x),構(gòu)造丸(x)=/(x)-g(x)

若遇到了'(X)>a(ar0),構(gòu)造h(x)=f(x)-ax

對于((尤)+g'(x)>0,構(gòu)造Mx)=/(%)+g(x)

對于F(x)+/(x)>。,構(gòu)造心)=e"(x)

對于尸(x)>/(x)或"'(X)-/(%)>0],構(gòu)造3)=華

ex

對于礦(%)+/(%)>。，構(gòu)造飄%)=獷(%)

對于礦(X)-〃x)>0,構(gòu)造〃(元)=以

X

?—I

典例精講

【例1】(2024?浙江嘉興二模)已知定義在(0,+“)上的函數(shù)/'(%)滿足獷'(x)=(l-x)〃x),M/(l)>0,

貝U()

A./(1]</(1)</(2)

B./(2)</(1)</I

C./出D.〃2)</&<〃1)

【例21(23-24高二下?四川宜賓?階段練習(xí))已知函數(shù)/(元)的定義域為R,對任意xeR,有,

則不等式e"(x+l)>e2/(2x-1)的解集是()

A.{x|x<4}B.1x|x<3jC.{x|x<2}D.x<1}

I—I

名校模擬

【變式1](23-24高二下?廣東東莞?階段練習(xí))已知/(無)為函數(shù)〃尤)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)尤>0時，有

/(^-^■'^^^。恒成立，則下列不等式一定成立的是()

【變式2](23-24高二下.四川眉山?期中)已知函數(shù)〃力的導(dǎo)函數(shù)為((力，對任意的正數(shù)x,都滿足

/(x)<V，(x)<2/(x)-2^,則下列結(jié)論正確的是()

A.B.

C./⑴<”出一2D.〃1)>；〃2)+1

【題型九】極值點偏移

(1)(對稱化構(gòu)造法