高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：概率與統(tǒng)計(jì)?？夹☆}歸類（15大核心考點(diǎn)）（講義）（解析版）

專題20概率與統(tǒng)計(jì)常考小題歸類

【目錄】

考點(diǎn)一：抽樣方法與隨機(jī)數(shù)表....................................................................7

考點(diǎn)二：統(tǒng)計(jì)圖表及其數(shù)字特征..................................................................7

考點(diǎn)三：傳統(tǒng)線性擬合..........................................................................9

考點(diǎn)四：非線性擬合處理.......................................................................10

考點(diǎn)五：傳統(tǒng)獨(dú)立性檢驗(yàn).......................................................................10

考點(diǎn)六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計(jì).......................................................................12

考點(diǎn)七：正態(tài)分布.............................................................................14

考點(diǎn)八：超幾何分布與二項(xiàng)分布.................................................................14

考點(diǎn)九：隨機(jī)變量的分布列、期望、方差.........................................................15

考點(diǎn)十：古典概型.............................................................................15

考點(diǎn)十一：條件概率與全概率...................................................................16

考點(diǎn)十二：概統(tǒng)結(jié)合問題.......................................................................16

考點(diǎn)十三：傳統(tǒng)規(guī)則的概率問題.................................................................17

考點(diǎn)十四：新賽制概率問題....................................................................17

考點(diǎn)十五：遞推型概率命題....................................................................19

概率與統(tǒng)計(jì)小題是每年高考必考的內(nèi)容.一是求統(tǒng)計(jì)圖表、方差、平均數(shù)；二是求古典概型；三是相

互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.多以選擇、填空題的形式考查，難度容易或中等.

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年上海卷第14題，4分【命題預(yù)測】

2022年甲卷第2題，5分預(yù)測2024年高考，多以小題

統(tǒng)計(jì)圖表、方差、平均數(shù)、中位數(shù)

2021年甲卷第2題，5分形式出現(xiàn)，也有可能會將其滲

2021年I卷第9題，5分透在解答題的表達(dá)之中，相對

2023年乙卷第9題，5分獨(dú)立.具體估計(jì)為：

2023年甲卷第4題，5分(1)以選擇題或填空題形式

古典概型

2022年I卷第5題，5分出現(xiàn)，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)

2022年甲卷第6題，5分算兩大核心素養(yǎng).

相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概2022年乙卷第10題，5分(2)熱點(diǎn)是古典概型.

率乘法公式2021年天津卷第14題，5分

2023年天津卷第7題，5分

回歸方程、正態(tài)分布

2021年II卷第5題，5分

1、加強(qiáng)識圖能力，理解并記準(zhǔn)頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的關(guān)系；折線圖注意上升趨勢

以及波動性；扇形圖數(shù)據(jù)可先用表格列出，再計(jì)算、判斷.

2、在頻率分布直方圖中，注意小矩形的高=禁，小矩形的面積=組距/禁=頻率，所有小矩形的

組距組距

面積之和為1.

3、求回歸方程

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量是否線性相關(guān)，如不是，應(yīng)通過換元構(gòu)造線性相關(guān).

(2)利用公式，求出回歸系數(shù)，.

(3)待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心求系數(shù)0.

4、回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)卜|越趨近于1時，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).

5、比較幾個分類變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法

(1)通過計(jì)算K2的大小判斷：K?越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大.

⑵通過計(jì)算W-巧的大小判斷：門-歷|越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大.

6、獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2x2列聯(lián)表.

n(ad-bc\

(2)根據(jù)公式K2=-—1-------------，計(jì)算K2的觀測值尸.

(a+b\(a+c)(6+d)(c+1)

(3)比較上與臨界值的大小關(guān)系，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷.

7、概率分布與不同知識背景結(jié)合考查對實(shí)際問題的解決能力

(1)與數(shù)列結(jié)合的實(shí)際問題

(2)與函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實(shí)際問題

(3)與分段函數(shù)求最值、解不等式結(jié)合的實(shí)際問題

(4)與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的實(shí)際問題

(5)與其他背景結(jié)合的實(shí)際問題

1.（2023?天津）調(diào)查某種花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)r=0.8245,下列說法

正確的是（）

A.花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性

B.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)

C.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245

2.（2023?乙卷）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個主題準(zhǔn)備作文，則甲、

乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

3.（2023?甲卷）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校

文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

4.（2023?上海）如圖為2017-2021年上海市貨物進(jìn)出口總額的條形統(tǒng)計(jì)圖，則下列對于進(jìn)出口貿(mào)易額描述

A.從2018年開始，2021年的進(jìn)出口總額增長率最大

B.從2018年開始，進(jìn)出口總額逐年增大

C.從2018年開始，進(jìn)口總額逐年增大

D.從2018年開始，2020年的進(jìn)出口總額增長率最小

5.（2022?新高考I）從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

6.（2022?乙卷）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、

丙比賽獲勝的概率分別為乃，p2,P3,且03＞0＞月＞0.記該棋手連勝兩盤的概率為P，貝1（）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)

B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大

D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

7.（2022?甲卷）從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上

的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

1

AR1c22

5353

8.（2022?甲卷）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位

社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問

卷答題的正確率如圖：

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

9.（2021?甲卷）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)

查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

10.（2021?新高考II）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布NQO,/）,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.er越小，該物理量在一次測量中落在（9.9,10.1）內(nèi)的概率越大

B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測量中結(jié)果落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等

11.（多選題）（2021?新高考I）有一組樣本數(shù)據(jù)%,%,…，xn,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)%,當(dāng)，…，

y?,其中y=%+c（i=l,2,n）,c為非零常數(shù)，貝ij（）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

12.（2021?天津）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方

獲勝，否則本次平局.已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為三和三，且每次活動中甲、乙猜對與否

65

互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為；3次活動中，甲至少獲勝

2次的概率為

考點(diǎn)一：抽樣方法與隨機(jī)數(shù)表

[例1]（2024?青海西寧?高三統(tǒng)考期末）用分層抽樣的方法從某社區(qū)的500名男居民和700名女居民中

選

取12人參與社區(qū)服務(wù)滿意度調(diào)研，則女居民比男居民多選?。ǎ?/p>

A.8人B.6人C.4人D.2A

【變式1-1]（2024?全國?高三專題練習(xí)）總體由編號為01,02,…，19,20的20個個體組成，利用下

面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取

兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（）

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.02C.63D.01

【變式1-2]（2024?海南省直轄縣級單位?高三?？茧A段練習(xí)）某飲料廠生產(chǎn)A,8兩種型號的飲料，每小

時可生產(chǎn)兩種飲料共1000瓶，質(zhì)檢人員采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這1000瓶中抽取了60瓶進(jìn)行質(zhì)量檢測，

其中抽到A型號飲料15瓶，則每小時8型號飲料的產(chǎn)量為（）

A.600瓶B.750瓶C.800瓶D.900瓶

考點(diǎn)二：統(tǒng)計(jì)圖表及其數(shù)字特征

題型特訓(xùn)

【例2】（多選題）（2024?江西?高三玉山一中校聯(lián)考階段練習(xí)）江西省2017年到2022年常住人口變化圖

如圖所示，則（）

江西省常住人口（單位:萬）

2017年2018年2019年2020年2021年2022年

A.江西省2017年到2022年這6年的常住人口在2019年取得最大值

B.江西省2017年到2022年這6年的常住人口的極差為148.70萬

C.江西省2017年到2022年這6年的常住人口的中位數(shù)為4527.98萬

D.江西省2017年到2022年這6年的常住人口的第80百分位數(shù)為4647.60萬

【變式2-1］（多選題）（2024?廣東惠州?高三惠州一中?？茧A段練習(xí)）某地環(huán)境部門對轄區(qū)內(nèi)甲、乙、丙、

丁四個地區(qū)的環(huán)境治理情況進(jìn)行檢查督導(dǎo)，若一地區(qū)連續(xù)10天每天的空氣質(zhì)量指數(shù)均不大于100,則認(rèn)為

該地區(qū)的環(huán)境治理達(dá)標(biāo)，否則認(rèn)為該地區(qū)的環(huán)境治理不達(dá)標(biāo).根據(jù)連續(xù)10天檢測所得數(shù)據(jù)的數(shù)字特征推斷,

環(huán)境治理一定達(dá)標(biāo)的地區(qū)是（）

A.甲地區(qū)：平均數(shù)為90,方差為10B.乙地區(qū)：平均數(shù)為60,眾數(shù)為50

C.丙地區(qū)：中位數(shù)為50,極差為70D.丁地區(qū)：極差為20,80%分位數(shù)為80

【變式2-2］（多選題）（2024?廣東珠海?高三珠海市第一中學(xué)?？计谀┠硢挝粸榱私饴毠そ】登闆r，采

用分層隨機(jī)抽樣的方法從5000名職工中抽取了一個容量為100的樣本.其中，男性平均體重為64千克，

方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159,男女人數(shù)之比為5:3,下列說法正確的是（）

A.樣本為該單位的職工B.每一位職工被抽中的可能性為白

C.該單位職工平均體重元=61D.單位職工的方差『=169

【變式2-3］（多選題）（2024?廣東廣州?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）（多選）“搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過搜索引

擎，以搜索關(guān)鍵詞的次數(shù)為基礎(chǔ)所得到的統(tǒng)計(jì)指標(biāo).“搜索指數(shù)”越大，表示網(wǎng)民該關(guān)鍵詞的搜索次數(shù)越多，

對與該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度也越高.如圖是2018年9月到2019年2月這半年中，某個關(guān)鍵詞的搜索

指數(shù)變化的走勢圖.

35000搜索指數(shù)____________________________

30000...............-.......................................................

25000（..............A.......................................................

15000................../

10000-……................................

5000.........................................................Y-"上一一

9月10月11月12月1月2月

2018年2019年

根據(jù)該走勢圖，下列結(jié)論正確的是（）

A.這半年中，網(wǎng)民對與該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度呈周期性變化

B.這半年中，網(wǎng)民對與該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度不斷減弱

C.從網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看，2018年10月份的方差大于11月份的方差

D.從網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值

【變式2-4］（多選題）（2024?河南?模擬預(yù)測）某地教師招聘考試，有3200人參加筆試，滿分為100分，

筆試成績前20%（含20%）的考生有資格參加面試，所有考生的筆試成績和年齡分別如頻率分布直方圖和

扇形統(tǒng)計(jì)圖所示，則（）

A.90后考生比00后考生多150人B.筆試成績的60%分位數(shù)為80

C.參加面試的考生的成績最低為86分D.筆試成績的平均分為76分

考點(diǎn)三：傳統(tǒng)線性擬合

■k題型特訓(xùn)

【例3】某科學(xué)興趣小組的同學(xué)認(rèn)為生物都是由蛋白質(zhì)構(gòu)成的，高溫可以使蛋白質(zhì)變性失活，于是想初步探

究某微生物的成活率與溫度的關(guān)系，微生物數(shù)量y（個）與溫度x（℃）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

溫度x（°C）481018

微生物數(shù)量y（個）30221814

由表中數(shù)據(jù)算得回歸方程為9=-x+4,預(yù)測當(dāng)溫度為27C時，微生物數(shù)量為個.

正好經(jīng)過樣本點(diǎn)（2,15）,則￡%=

1=1

【變式3-2】某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如

下數(shù)據(jù):

單價(jià)（元）456789

銷量（件）908483807568

由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程9=Tx+”，若在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，則它在回歸直線右上方的概率為

考點(diǎn)四：非線性擬合處理

Mk題型特訓(xùn)

【例4】（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?高三統(tǒng)考期末）用模型、擬合一組數(shù)據(jù)組（4》）［=1,2,3,…,7）,

其中為+赴+…+七=14,設(shè)z=lny,得變換后的線性回歸方程為：=x+l，則%為…%=（）

3521

A.eB.eC.35D.21

【變式4-1］（2024?四川宜賓?四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測）下表為某外來生物物種入侵

某河流生態(tài)后的前3個月繁殖數(shù)量》（單位：百只）的數(shù)據(jù)，通過相關(guān)理論進(jìn)行分析，知可用回歸模型

y=e4'（aeR）對y與r的關(guān)系進(jìn)行擬合，則根據(jù)該回歸模型，預(yù)測第7個月該物種的繁殖數(shù)量為（）

第，個月123

繁殖數(shù)量yeL4e2-2e2-4

A.e3百只B.e35百只

C.百只D.e"百只

【變式4-2］（2024?全國?高三專題練習(xí)）蘭溪楊梅從5月15日起開始陸續(xù)上市，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到楊梅

銷售價(jià)格（單位：。元/千克）與上市時間/（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表所示：

時間〃（單位：天）102070

銷售價(jià)格。（單位：元/千克）10050100

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)模型中選取一個描述楊梅銷售價(jià)格。與上市時間/的變化關(guān)系：

。二必+瓦0二^產(chǎn)+初+^0二人兄0二人卜8八利用你選取的函數(shù)模型，在以下四個日期末，楊梅銷售價(jià)格

最低的日期為（）

A.6月5日B.6月15日C.6月25日D.7月5日

考點(diǎn)五：傳統(tǒng)獨(dú)立性檢驗(yàn)

【例5】（2024?全國?高三專題練習(xí)）為了解喜愛足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了若干人進(jìn)行調(diào)查，抽

取女性人數(shù)是男性的2倍，男性喜愛足球的人數(shù)占男性人數(shù)的二，女性喜愛足球的人數(shù)占女性人數(shù)的!，若

63

本次調(diào)查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為喜愛足球與性別有關(guān)”的結(jié)論，則被調(diào)查的男性至

少有（）人

2

2_n(ad-be)

”(a+b)(c+d)(a+c)0+d)

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8415.6357.87910.828

A.11B.12C.13D.14

【變式5-1]（2024?四川達(dá)州?統(tǒng)考一模）四川省將從2022年秋季入學(xué)的高一年級學(xué)生開始實(shí)行高考綜合

改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為首選科目，即物理與歷史二選一.某校為了解學(xué)生的首選意愿，對

部分高一學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，制作出如下兩個等高條形圖，根據(jù)條形圖信息，下列結(jié)論正確的是（）

A.樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)少于選擇歷史意愿的女生人數(shù)

B.樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)

C.樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多

D.樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)

【變式5-2]（2024?浙江溫州?高三蒼南中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在新高考改革中，浙江省新高考實(shí)行的是7

選3的3+3模式，即語數(shù)外三門為必考科目，然后從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)（含信

息技術(shù)和通用技術(shù)）7門課中選考3門.某校高二學(xué)生選課情況如下列聯(lián)表一和列聯(lián)表二（單位:人）

選物理不選物理總計(jì)

男生340110450

女生140210350

總計(jì)480320800

表一

選生物不選生物總計(jì)

男生150300450

女生150200350

總計(jì)300500800

表二

試根據(jù)小概率值。=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析物理和生物選課與性別是否有關(guān)（）

n(ad-bc)2

附:/=n-a+b+c+d.a=P{<%2>j

(。+〃)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.150.100.050.0250.010.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.選物理與性另I有關(guān)，選生物與性別有關(guān)

B.選物理與性別無關(guān)，選生物與性別有關(guān)

C.選物理與性別有關(guān)，選生物與性別無關(guān)

D.選物理與性別無關(guān)，選生物與性別無關(guān)

考點(diǎn)六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計(jì)

■k題型特訓(xùn)

【例6】（多選題）（2024?全國?模擬預(yù)測）教育統(tǒng)計(jì)學(xué)中，為了解某考生的成績在全體考生成績中的位置，

通常將考生的原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù).定義標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)z,=:■-，（i=l,2,L,〃），其中七為原始分?jǐn)?shù)，工為

原始分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，,為原始分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差.已知某校的一次數(shù)學(xué)考試，全體考生的平均成績［=115,標(biāo)準(zhǔn)

差5=10.8,轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)后，記平均成績?yōu)闄C(jī)，標(biāo)準(zhǔn)差為則（）

A.加=115B.m=OC.cr=10.8D.a=l

【變式6-1］（2024?湖北?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）定義空間直角坐標(biāo)系中的任意點(diǎn)P（x,〉,z）的“N數(shù)”為：

在尸點(diǎn)的坐標(biāo)中不同數(shù)字的個數(shù),如：N（LLD=1,N（1,3,1）=2,N（1,2,3）=3,若點(diǎn)P的坐標(biāo)羽丁*e{0,1,2,3},

則所有這些點(diǎn)P的“N數(shù)”的平均值為（）

3725

A.—B.64C.—D.40

1616

【變式6-2］（2023?甘肅蘭州?統(tǒng)考一模）一組數(shù)據(jù)為,々,不，…，毛的平均數(shù)為"現(xiàn)定義這組數(shù)據(jù)的平均

差￡）」當(dāng)一M+同一］+匕一天|+…+其「”下圖是甲、乙兩組數(shù)據(jù)的頻率分布折線圖

n

甲組數(shù)據(jù)頻率分布折線圖乙組數(shù)據(jù)頻率分布折線圖

根據(jù)折線圖，判斷甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均差。,2的大小關(guān)系是（）

無法確定

A.DX<D2B.Dt=D2C.Dt>D2D.

【變式6-3]（2024?江西九江?統(tǒng)考一模）恩格爾系數(shù)（EwgelsCo助7cie”）是食品支出總額占個人消費(fèi)支出總

額的比重.居民可支配收入是居民可用于最終消費(fèi)支出和儲蓄的總和，即居民可用于自由支配的收入.如圖為

我國2013年至2019年全國恩格爾系數(shù)和居民人均可支配收入的折線圖.

201220132014201520162017201820192020

給出三個結(jié)論：

①恩格爾系數(shù)與居民人均可支配收入之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系；

②一個國家的恩格爾系數(shù)越小，說明這個國家越富裕；

③一個家庭收入越少，則家庭收入中用來購買食品的支出所占的比重就越小.

其中正確的是（）

A.①B.②C.①②D.②③

考點(diǎn)七：正態(tài)分布

一題型特訓(xùn)

【例7】已知某社區(qū)居民每周運(yùn)動總時間為隨機(jī)變量X（單位：小時），且X?N（5.5,〃），P（x>6）=0.2.現(xiàn)

從該社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運(yùn)動總時間為5至6小時的概率為（）

A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748

【變式7-1］（2024?重慶?高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）阿鑫上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車.若阿鑫坐

公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯誤的是（）

x的密度/八丫的密度

O\26303438x

A.￥的數(shù)據(jù)較X更集中

B.若有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大

C.若有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大

D.P（X>30）+P（y<30）=1

【變式7-2）（2024?全國?模擬預(yù)測）某早餐店發(fā)現(xiàn)加入網(wǎng)絡(luò)平臺后，每天小籠包的銷售量X?N（1000,2500）

（單位：個），估計(jì)300天內(nèi)小籠包的銷售量約在950到1100個的天數(shù)大約是（）

（若隨機(jī)變量X?，則尸（〃一b4XM〃+b）=0.6827,P（/z-2cr<X<//+2cr）?0.9545,

-3cr<X<//+3cr）?0.9973）

A.236B.246C.270D.275

考點(diǎn)八：超幾何分布與二項(xiàng)分布

一題型特訓(xùn)

【例8】（2023上?上海浦東新?高三統(tǒng)考期末）在100件產(chǎn)品中有90件一等品、10件二等品，從中隨機(jī)抽取

3件產(chǎn)品，則恰好含1件二等品的概率為（結(jié)果精確到0.01）.

【變式8-1］（2023?浙江金華?校聯(lián)考模擬預(yù)測）一次擲兩枚骰子，若兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4或5或6,則稱

這是一次成功試驗(yàn).現(xiàn)進(jìn)行四次試驗(yàn)，則恰出現(xiàn)一次成功試驗(yàn)的概率為.

【變式8-2］（2023上?江蘇常州?高三常州高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)隨機(jī)變量X~8（〃,0）,記

kkk

pk=cnp（i-py-,左=o』,2,在研究”的最大值時，某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)并證明了如下正確結(jié)論：若

（〃+l）P為正整數(shù)，當(dāng)々=（〃+1）P時，P?=PI，此時這兩項(xiàng)概率均為最大值；若5+1）。不為正整數(shù)，則當(dāng)

且僅當(dāng)左?。ā?l）P的整數(shù)部分時，P?取最大值.某同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時記錄點(diǎn)數(shù)1出

現(xiàn)的次數(shù).當(dāng)投擲到第20次時，記錄到此時點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)4次，若繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，則在這100

次投擲試驗(yàn)中，點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大.

考點(diǎn)九：隨機(jī)變量的分布列、期望、方差

題型特訓(xùn)

【例9】（2024.全國?高三專題練習(xí)）某同學(xué)參加學(xué)校數(shù)學(xué)知識競賽，規(guī)定每個同學(xué)答20道題，已知該同學(xué)

每道題答對的概率為0.6,每道題答對與否相互獨(dú)立.若答對一題得3分，答錯一題扣1分，則該同學(xué)總得

分的數(shù)學(xué)期望為，方差為.

【變式9-1］（2024?全國?高三專題練習(xí)）有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中有放回地任取3

件，若X表示取到次品的次數(shù)，貝|P（X=2）=,D（X）=.

【變式9-2］（2023上?全國?高三專題練習(xí)）有一批產(chǎn)品，其中有6件正品和4件次品，從中任取3件，其中

次品的件數(shù)記為X,則次品件數(shù)X的期望為.

考點(diǎn)十：古典概型

題型特訓(xùn)

【例10】（2024?全國?模擬預(yù)測）某藝術(shù)展覽會的工作人員要將A,B,C三幅作品排成一排，則A,B這

兩幅作品排在一起的概率為.

【變式10-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，A氏C三個開關(guān)控制著1,2,3,4號四盞燈，其中開關(guān)A控制

著2,3,4號燈，開關(guān)8控制著1,3,4號燈，開關(guān)C控制著1,2,4號燈.開始時，四盞燈都亮著.現(xiàn)先后按動

A3,C這三個開關(guān)中的兩個不同的開關(guān)，則其中1號燈或2號燈亮的概率為.

【變式10-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉

行.在“一帶一路”歡迎晚宴上，我國拿出特有的美食、美酒款待大家，讓國際貴賓們感受中國飲食文化、茶

文化、酒文化.這次晚宴菜單中有“全家福”“沙蔥牛肉”“北京烤鴨”“什錦鮮蔬”“冰花鍋貼”“蟹黃燒麥”“天鵝

酥”“象形枇杷”.假設(shè)在上菜的過程中服務(wù)員隨機(jī)上這八道菜（每次只上一道菜），貝產(chǎn)沙蔥牛肉”“北京烤鴨”

相鄰的概率為.

考點(diǎn)十一：條件概率與全概率

一題型特訓(xùn)

【例11]（2024?山東濱州?高三統(tǒng)考期末）甲和乙兩個箱子中各裝有10個除顏色外完全相同的球，其中

甲箱中有4個紅球、3個白球和3個黑球，乙箱中有5個紅球、2個白球和3個黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出

一球放入乙箱，分別用A、4和4表示由甲箱取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出

一球，用B表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則P（4|B）=

【變式11-1]（2024?河南?模擬預(yù)測）設(shè)同一隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件A,8滿足尸（A）=（,P（B）=]，

_1

P（A|B）=-,則P（A|8）=.

【變式11-2]某校高三1班第一小組有男生4人，女生2人，為提高中學(xué)生對勞動教育重要性的認(rèn)識，現(xiàn)

需從中抽取2人參加學(xué)校開展的勞動技能學(xué)習(xí)，恰有一名女生參加勞動學(xué)習(xí)的概率則為；在至

少有一名女生參加勞動學(xué)習(xí)的條件下，恰有一名女生參加勞動學(xué)習(xí)的概率.

考點(diǎn)十二：概統(tǒng)結(jié)合問題

【例12]（2024?黑龍江大慶?鐵人中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板.上釘著

若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，小球從上方的通道?/p>

落下后，將與層層小木塊碰撞，最后掉入下方的某一個球槽內(nèi).若小球下落過程中向左、向右落下的機(jī)會

均等，則小球最終落入④號球槽的的概率為（）

—B.—C.—D.—

32643216

【變式12-1]（2024?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測）我國實(shí)行個人所得稅專項(xiàng)附加扣除制度，涉及子女教育、繼續(xù)

教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人等多項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老年、中年、青年員

工分別有90人、270人、180人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取6人調(diào)查專項(xiàng)附加扣

除的情況，再從這6人中任選2人，則選取的2人中恰有一名是中年員工的概率為（）

【變式12-2】（2024?四川綿陽?鹽亭中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知x、丫的對應(yīng)值如下表所示:

X02468

y1m+12m+l3m+311

y與x具有較好的線性相關(guān)關(guān)系，可用回歸直線方程y=L3X+0.6近似刻畫，則在y的取值中任取兩個數(shù)均

不大于9的概率為（）

考點(diǎn)十三：傳統(tǒng)規(guī)則的概率問題

【例13]（2024?浙江寧波?效實(shí)中學(xué)校考模擬預(yù)測）盒中有5個小球，其中3個白球，2個黑球，從中任

取i?=1,2）個球,在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此時盒中黑球的個數(shù)記為X,。=1,2），則（）

A.P（X1=2）>P（X2=2）,E（Xj>E（Xj

B.P（X1=2）＜P（X2=2）,E（X）＞E（XZ）

C.P（X1=2）＞P（X=2）,E（X1）＜E（X2）

D.P（X1=2）＜P（X2=2）,E（X1）＜E（X2）

【變式13-1]（2024?全國?高三專題練習(xí)）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個粽子，

其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個，則三種粽子各

取到1個的概率是

【例14】（2024?廣東清遠(yuǎn)?高二統(tǒng)考期末）盒中有。個紅球，6個黑球，c個白球，今隨機(jī)地從中取出一

個，觀察其顏色后放回，并加上同色球d個，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率是（）

a+b+ca+b+c+d

b+d-b+d

D.---------------

a+b+c-----------------------------------------a+b+c+d

考點(diǎn)十四：新賽制概率問題

題型特訓(xùn)

【例15]（2024?河南信陽?高二統(tǒng)考期末）2022年卡塔爾世界杯決賽中，阿根廷隊(duì)與法國隊(duì)在120分鐘

比賽中3:3戰(zhàn)平，經(jīng)過四輪點(diǎn)球大戰(zhàn)阿根廷隊(duì)以總分7:5戰(zhàn)勝法國隊(duì)，第三次獲得世界杯冠軍.其中門將馬

丁內(nèi)斯撲出法國隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇，撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會等可能地隨機(jī)選

擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個方向來撲點(diǎn)球，而

且門將即使方向判斷正確也有g(shù)的可能性撲不到球.若不考慮其他因素，在點(diǎn)球大戰(zhàn)中，門將在前四次撲

出點(diǎn)球的個數(shù)X的期望為（）

112

A.-B.5C.-D.2

623

【變式15-1】通過核酸檢測可以初步判定被檢測者是否感染新冠病毒，檢測方式分為單檢和混檢.單檢，是

將一個人的采集拭子放入一個采樣管中單獨(dú)檢測；混檢，是將多個人的采集拭子放入一個采樣管中合為一

個樣本進(jìn)行檢測，若檢測結(jié)果呈陽性，再對這多個人重新采集單管拭子，逐一進(jìn)行檢測，以確定當(dāng)中的陽

性樣本.混檢按一個采樣管中放入的采集拭子個數(shù)可具體分為“3合1”混檢，“5合1”混檢，“10合1”混檢等.

調(diào)查研究顯示，在群體總陽性率較低（低于0.1%）時，混檢能較大幅度地提高檢測效力、降低檢測成本.

根據(jù)流行病學(xué)調(diào)查結(jié)果顯示，某城市居民感染新冠病毒的概率為0.0005.若對該城市全體居民進(jìn)行核酸檢測，

記采用“10合1”混檢方式共需檢測X次，采用“5合1”混檢方式共需檢測丫次，已知當(dāng)0＜。＜0.001時，

（1-0晨1-秋據(jù)此計(jì)算磯X）:E（F）的近似值為（）

A.1B.匕C.?D.2

227119

【變式15-2]（2024?遼寧本溪?高二?？计谀┮咔槠陂g，甲、乙、丙三人均來自高風(fēng)險(xiǎn)地區(qū)，需要進(jìn)行

核酸檢測，假設(shè)每個人的檢測結(jié)果是否為陽性相互獨(dú)立，若甲和乙都不是陽性的概率為:，甲和丙都不是陽

性的概率為:，乙和丙都不是陽性的概率為],則甲、乙、丙三人中最多有2人是陽性的概率為（）

A.—B.-C.4D.-

24424

【變式15-3]（2023下?江蘇常州?高二江蘇省漂陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字“0”和“1”

組成的序列.現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號”次，每次發(fā)射信號“0”和“1”是等可能的?記發(fā)射信號“1”的次數(shù)為X.

①當(dāng)〃=6時，尸（XV2）=；

②已知切比雪夫不等式:對于任一隨機(jī)變量乙若其數(shù)學(xué)期望后代）和方差D（Y）均存在,則對任意正實(shí)數(shù)a,

有尸（卜--根據(jù)該不等式可以對事件中-E（Y）|＜a”的概率作出下限估計(jì)為了至少有

98%的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在0.4與0.6之間，估計(jì)信號發(fā)射次數(shù)"的最小值為.

考點(diǎn)十五：遞推型概率命題

■■題型特訓(xùn)

【例16］（2023.廣東佛山.統(tǒng)考二模）有〃個編號分別為1,2,w的盒子，第1個盒子中有2個白球1

個黑球，其余盒子中均為1個白球1個黑球，現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒

子中任取一球放入第3個盒子，以此類推，則從第2個盒子中取到白球的概率是,從第〃個盒子中取

到白球的概率是.

【變式16-1］（2023?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測）盒子里裝有5個小球，其中2個紅球，3個黑球，從盒子中隨機(jī)

取出1個小球，若取出的是紅球，則直接丟棄，若取出的是黑球，則放入盒中，則：

（1）取了3次后，取出紅球的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為；

（2）取了“5=2,3,4,…）次后，所有紅球剛好全部取出的概率為.

【變式16-2］（2024上.甘肅.高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某學(xué)校有A、3兩個餐廳，已知同學(xué)甲每天中午都會在這

兩個餐廳中選擇一個就餐，如果甲當(dāng)天選擇了某個餐廳，他第二天會有60%的可能性換另一個餐廳就餐，

假如第1天甲選擇了A餐廳，則第幾天選擇A餐廳的概率與為.

專題20概率與統(tǒng)計(jì)?？夹☆}歸類

【目錄】

....................................................................................................................................................29

考點(diǎn)一：抽樣方法與隨機(jī)數(shù)表...................................................................29

考點(diǎn)二：統(tǒng)計(jì)圖表及其數(shù)字特征.................................................................30

考點(diǎn)三：傳統(tǒng)線性擬合.........................................................................33

考點(diǎn)四：非線性擬合處理.......................................................................34

考點(diǎn)五：傳統(tǒng)獨(dú)立性檢驗(yàn).......................................................................36

考點(diǎn)六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計(jì).......................................................................39

考點(diǎn)七：正態(tài)分布............................................................................41

考點(diǎn)八：超幾何分布與二項(xiàng)分布.................................................................42

考點(diǎn)九：隨機(jī)變量的分布列、期望、方差........................................................44

考點(diǎn)十：古典概型............................................................................44

考點(diǎn)十一：條件概率與全概率...................................................................46

考點(diǎn)十二：概統(tǒng)結(jié)合問題......................................................................47

考點(diǎn)十三：傳統(tǒng)規(guī)則的概率問題.................................................................49

考點(diǎn)十四：新賽制概率問題....................................................................50

考點(diǎn)十五：遞推型概率命題....................................................................52

概率與統(tǒng)計(jì)小題是每年高考必考的內(nèi)容.一是求統(tǒng)計(jì)圖表、方差、平均數(shù)；二是求古典概型；三是相

互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.多以選擇、填空題的形式考查，難度容易或中等.

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年上海卷第14題，4分【命題預(yù)測】

2022年甲卷第2題，5分預(yù)測2024年高考，多以小題

統(tǒng)計(jì)圖表、方差、平均數(shù)、中位數(shù)

2021年甲卷第2題，5分形式出現(xiàn)，也有可能會將其滲

2021年I卷第9題，5分透在解答題的表達(dá)之中，相對

2023年乙卷第9題，5分獨(dú)立.具體估計(jì)為：

古典概型2023年甲卷第4題，5分(1)以選擇題或填空題形式

2022年I卷第5題