反比例函數(shù)綜合題拓展訓(xùn)練（10考點(diǎn)94題）原卷版-2024-2025學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)下冊

反比例函數(shù)綜合題拓展訓(xùn)練（10考點(diǎn)94題）

目錄

考點(diǎn)一、與反比例函數(shù)的定義有關(guān)的綜合問題......................................2

考點(diǎn)二、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合問題........................................14

考點(diǎn)三、一次函數(shù)、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象判斷問題.........................35

考點(diǎn)四、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合問題........................................44

考點(diǎn)五、根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定參數(shù)取值................................61

考點(diǎn)六、反比例函數(shù)與簡單幾何圖形的綜合........................................75

考點(diǎn)七、反比例函數(shù)與四邊形的綜合............................................101

考點(diǎn)八、反比例的比例系數(shù)與圖形面積..........................................125

考點(diǎn)九、反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題................................................142

考點(diǎn)十、反例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題..............................................163

考點(diǎn)一、與反比例函數(shù)的定義有關(guān)的綜合問題

I.下列關(guān)于函數(shù)說法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為()

k

(1)已知反比例函數(shù)y=—的圖像在第一象限，則左的取值范圍是左＞0且X＞。；

X

(2)單曲線不是反比例函數(shù)

(3)只要滿足k=左且自變量％為不為0的常數(shù)的函數(shù)，就是反比例函數(shù)

(4)拋物線的解析式由頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向決定

(5)直線了=1是常值函數(shù)，常值函數(shù)不是函數(shù)

(6)直線無=1不是函數(shù)

A.1B.2C.3D.4

2.定義：若X,y滿足x2=4y+02=4x+t,且為常數(shù))，則稱點(diǎn)為“輪換點(diǎn)”，

⑴若尸(5,〃z)是“輪換點(diǎn)，，，求加的值；

(2)若拋物線y=x2+x+c上存在“輪換點(diǎn)”，求c的取值范圍：

⑶若雙曲線/=&(-3＜xW-l)上存在“輪換點(diǎn)”，請判斷點(diǎn)。(-2,-4)是否在該雙曲線上，并說明理由.

X

3.如果關(guān)于x的一元二次方程+有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍，那么稱這樣

的方程為“三倍根方程例如，方程f_4x+3=0的兩個(gè)根是1和3,則這個(gè)方程就是“三倍根方程”.

(1)下列方程是三倍根方程的是；(填序號即可)

?X2-2X-3=0;@X2-3X=0;③/+8尤+12=0.

(2)如果關(guān)于x的方程X2-8X+C=0是“三倍根方程”，求c的值；

⑶如果點(diǎn)(P，夕)在反比例函數(shù)尸:的圖象上，那么關(guān)于的x方程.2_4x+g=0是“三倍根方程”嗎？請說明

理由.

(4)如果關(guān)于x的一元二次方程以2+瓜+°=0(.彳0)是“3倍根方程”，那么。、b、c應(yīng)滿足的關(guān)系是

.(直接寫出答案)

4.定義：若一個(gè)函數(shù)的圖象上存在橫、縱坐標(biāo)之和為零的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“平衡點(diǎn)”.例如,

點(diǎn)(T1)是函數(shù)y=x+2的圖象的“平衡點(diǎn)”.

(1)在函數(shù)①”二，②了=尤2+%+1,③尸-x-1,④y=f2-3x-4的圖象上，存在“平衡點(diǎn)”的函數(shù)是

X~

;(填序號)

2

9

(2)設(shè)函數(shù)y=-Jx>0)與y=-2x+機(jī)的圖象的“平衡點(diǎn)”分別為點(diǎn)A、B,過點(diǎn)A作/CJ_x軸，垂足為

C.當(dāng)A/BC為等腰三角形時(shí)，求優(yōu)的值；

⑶若將函數(shù)y=-Y+4x的圖象繞V軸上一點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180。，旋轉(zhuǎn)后的圖象上恰有1個(gè)“平衡點(diǎn)”時(shí)，求N的縱

坐標(biāo).

5.我們約定：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點(diǎn)』(為,必)，8(%,%),滿足

玉+必=X2+%=機(jī)，則稱此函數(shù)為關(guān)于加的等和函數(shù)，這兩點(diǎn)叫做關(guān)于根的等和點(diǎn).

(1)下列函數(shù)中，是關(guān)于1的等和函數(shù)的是;

①y=-x+l；②y=:；③y=/+x+2.

(2)若點(diǎn)C(-2/J,。(4,上)在雙曲線>="(左片0)上，且C,。兩點(diǎn)是關(guān)于機(jī)的等和點(diǎn)，求人的值；

X

(3)若函數(shù)y=x2-x-2(x42)的圖像記為％,將其沿直線x=2翻折后的圖像記為%.若%,%兩部分組

成的圖像上恰有兩個(gè)關(guān)于m的等和點(diǎn)，請求出m的取值范圍.

已知工(再,乂)，B(x,y),,%),點(diǎn)/與點(diǎn)不重合.

6.22J2

(1)若點(diǎn)aB,。都在函數(shù)y=2x的圖象上，計(jì)算"1一%的值.

(2)若點(diǎn)/,B,C都在函數(shù)y=2/的圖象上，求證：旦產(chǎn)一%>o.

(3)若點(diǎn)/,B,C都在函數(shù)>=七(x>0,常數(shù)左片0)的圖象上，判斷匕詈與力的大小關(guān)系，并說明理

x2

由.

3

7.定義：平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)尸（a/）,點(diǎn)0（G"）,若。=妨，d=-kb,其中左為常數(shù)，且左二0,

則稱點(diǎn)。是點(diǎn)P的“左級變換點(diǎn)”.

例如，點(diǎn)（-4,6）是點(diǎn)（2,3）的“-2級變換點(diǎn)”

（1）函數(shù)>的圖象上是否存在點(diǎn)（1,T）的“左級變換點(diǎn)”？若存在，求出上的值；若不存在，說明理由；

X

⑵動(dòng)點(diǎn)“已"2）與其"上級變換點(diǎn)”8分別在直線4，4上，在4，4上分別取點(diǎn)（此必），（憂當(dāng)）.若

k<-3,求證：yl-y2>4；

（3）關(guān)于x的二次函數(shù)^=內(nèi)2-力-6〃（尤20）的圖象上恰有兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)的“1級變換點(diǎn)”都在直線

k-x+3上，求〃的取值范圍.

4

8.如圖，邊長為7的正方形O/3C放置在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度

向。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)，到達(dá)端點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

t秒，連P。、BP、BQ.

(1)寫出3點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)填寫下表:

時(shí)間t(單位：秒)123456

OP的長度

。。的長度

尸。的長度

四邊形。尸的面積

①根據(jù)你所填數(shù)據(jù)，請描述線段尸。的長度的變化規(guī)律？并猜測尸。長度的最小值.

②根據(jù)你所填數(shù)據(jù)，請問四邊形。尸8。的面積是否會(huì)發(fā)生變化？并證明你的論斷;

(3)設(shè)點(diǎn)M、N分別是8P、8。的中點(diǎn)，寫出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，是否存在經(jīng)過M,N兩點(diǎn)的反比例函數(shù)？如

果存在，求出/的值；如果不存在，說明理由.

時(shí)間t(單位：秒)123456

0P的長度654321

OQ的長度123456

尸。的長度而V2955V29737

四邊形。尸8。的面積24.524.524.524.524.524.5

考點(diǎn)二、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合問題

9.通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以直觀地得到一些不等關(guān)系或最值，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用.請利用

5

直角坐標(biāo)系構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，判斷不等式X+卜2x+6|-2>工的解集是()

A.x>4或x<3B.xvO或x>4

C.x>3或％<0D.x>0或x<-4

10.反比例函數(shù)y=勺與一次函數(shù)>=G+6的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的有()

X

①人>0；②a尿<0；③MM\=NN］；④若均在反比例函數(shù)上且%>必，貝且

QW0

A.①B.①③C.①②④D.①②③④

6

11.類比一次函數(shù)和反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，某數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)小組嘗試探究“^=「|的函數(shù)圖像與性質(zhì)”，進(jìn)行了

如下活動(dòng).

(1)【小組合作：討論交流】

同學(xué)甲說：“我們可以從表達(dá)式分析，猜想圖像位置."

同學(xué)乙回應(yīng)道：“是的，因?yàn)樽宰兞縓的取值范圍是一，所以圖像與y軸不相交.”

同學(xué)丙補(bǔ)充說：“又因?yàn)楹瘮?shù)值了大于o,所以圖像一定在第一象限.”

(2)【獨(dú)立操作：探究性質(zhì)】

6

在平面直角坐標(biāo)系中，畫出了=g的圖像.

6

結(jié)合圖像，描述函數(shù)圖像與性質(zhì)：

_6

①函數(shù)的圖像是兩條曲線；

②該函數(shù)圖像關(guān)于對稱；

③圖像的增減性是；

④同學(xué)丁說：“將第二象限的曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，與第一象限的曲線重合.”請你判斷同學(xué)丁的說

法是否正確？若錯(cuò)誤，舉出反例；若正確，請說明理由.

(3)【拓展探究：綜合應(yīng)用】

6.

直接寫出不等式國一尤＞5的解集是.

12.如圖1,一次函數(shù)丁=幻+6化*0)的圖象與反比例函數(shù)＞="的W0)的圖象相交于點(diǎn)或2,3),

且一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)。.

⑴求一次函數(shù)的表達(dá)式以及點(diǎn)C的坐標(biāo).

k

(2)利用圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式匕x+b＞”的解集.

(3)如圖2,將直線8繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。，求旋轉(zhuǎn)后所得直線的函數(shù)表達(dá)式.

1k

13.如圖，一次函數(shù)y=-]X+4的圖象與反比例函數(shù)＞尤＞0)的圖象交于4,3兩點(diǎn)，點(diǎn)/的坐標(biāo)為

(6,加)，點(diǎn)尸是第一象限反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)

7

(2)連接。尸、OB,若AOAP的面積為g,求點(diǎn)尸坐標(biāo)：

(3)過點(diǎn)尸作直線尸。平行于交反比例函數(shù)于點(diǎn)Q,是否存在點(diǎn)P使得尸0=2/8?若存在，求出點(diǎn)尸坐標(biāo);

若不存在，說明理由.

14.已知一次函數(shù)必=履+2和反比例函數(shù)為=?相交于點(diǎn)火1,3)和點(diǎn)8.

8

(2)連接ZQBO,在反比例函數(shù)%=?(x>0)的圖象上找一點(diǎn)C,使S/BC=S"B。，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)P&0)為x軸正半軸上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交反比例函數(shù)％=3和一次函數(shù)必=近+2分別

于點(diǎn)￡F,且滿足用=3￡尸，求/的值.

15.對于兩個(gè)不同的函數(shù)，通過加法運(yùn)算可以得到一個(gè)新函數(shù)，我們把這個(gè)新函數(shù)稱為兩個(gè)函數(shù)的“和函

9

數(shù)”.例如：對于函數(shù)必=2x和%=3x-l,則函數(shù)乂，%的“和函數(shù)"%=%+%=2X+（3X-1）=5X-1.

①

（1）已知函數(shù)乂=%和%=：,這兩個(gè)函數(shù)的“和函數(shù)”記為丹.

①寫出力的表達(dá)式，并求出當(dāng)x取何值時(shí)，力的值為g；

②函數(shù)必，%的圖象如圖①所示，則為的大致圖象是

X

①下列關(guān)于“和函數(shù)”乂的性質(zhì)，正確的有;（填寫所有正確的選項(xiàng)）

A.%的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)

B.乂的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

C.在每一個(gè)象限內(nèi)，乂隨x的值增大而減小

D.當(dāng)x>0時(shí)，隨著x的值增大，為的圖像越來越接近乂=》的圖象

②探究函數(shù)y=x-L與一次函數(shù)>=依+3（左為常數(shù)，且左K0）圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)及對應(yīng)的左的取值范圍,

直接寫出結(jié)論.

10

16.綜合與實(shí)踐

如圖1,某興趣小組計(jì)劃開墾一個(gè)面積為8m2的矩形地塊N5CD種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木

欄圍住，木欄總長為am.

AD

BC

【問題提出】

小組同學(xué)提出這樣一個(gè)問題：若。=10,能否圍出矩形地塊？

【問題探究】

小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個(gè)問題：

Q

設(shè)為xm,BC為川.由矩形地塊面積為8m2,得到孫=8,滿足條件的(xj)可看成是反比例函數(shù)y=：

的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)；木欄總長為10m,得到2x+y=10,滿足條件的(x,力可看成一次函數(shù)

y=-2x+10的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的(x,y)就可以看成兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐

標(biāo).

Q

如圖2,反比例函數(shù)v=、(x>0)的圖象與直線4：V=-2x+10的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,8)和,因此，木欄

總長為10m時(shí)，能圍出矩形地塊，分別為：AB=lm,BC=8m；或48=m,BC=

________m.

y\

?A

(1)根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空.

【類比探究】

(2)若。=6,能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數(shù)圖象并說明理由.

11

【問題延伸】

當(dāng)木欄總長為am時(shí)，小穎建立了一次函數(shù)y=-2x+a.發(fā)現(xiàn)直線>=-2x+a可以看成是直線y=-2x通過

O

平移得到的，在平移過程中，當(dāng)過點(diǎn)（2,4）時(shí)，直線了=-2x+a與反比例函數(shù)y=、（x>0）的圖象有唯一交點(diǎn).

（3）請?jiān)趫D2中畫出直線>=-2》+。過點(diǎn)（2,4）時(shí)的圖象，并求出。的值.

【拓展應(yīng)用】

Q

小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問題”可以轉(zhuǎn)化為“y=-2x+a^y=-圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的

X

存在問題

（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和3C的長均不小于1m,請直接寫出。的取值范圍.

17.已知反比例函數(shù)必=?（加>0,x>0）和%=-/（x<0）,過點(diǎn)尸（0,1）作x軸的平行線/與函數(shù)乂，%的

（2）如圖2,一次函數(shù)%=區(qū)-5交/于點(diǎn)D

①若左=5,點(diǎn)8恰好是C、。兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)，求加的值；

2

②過點(diǎn)5作〉軸的平行線與函數(shù)為的圖象相交于點(diǎn)及當(dāng)冽值取不大于］的任意實(shí)數(shù)時(shí)，點(diǎn)5、。間的距

12

離與點(diǎn)B、E間的距離之和d始終是一個(gè)定值.求此時(shí)k的值及定值d.

考點(diǎn)三、一次函數(shù)、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象判斷問題

18.函數(shù)了=辦-。與>（。彳0）在同一直角坐標(biāo)系中的圖像可能是（）

X

k

21.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)—與>=-左（%-2）（左為常數(shù)，左。0）的大致圖象可能是（）

13

5(-1,?),。(1,2)三點(diǎn).則滿足不等式"2+云-1＜：的解為()

B.、<一2或、>一1或x>l

C.-24V-1或0<x<l

D.%<—2或—1<%<0或%>1

24.如圖是拋物線了="2+法+。的圖象，則函數(shù)了=。無+6和了=’在同一坐標(biāo)系中的圖象是()

X

14

X

角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）

26.已知二次函數(shù)＞=〃/+fox+c的部分函數(shù)圖象如圖所示，貝1J一次函數(shù)y="+/一4。。與反比例函數(shù)

15

了=國上冬也在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）

X

27.函數(shù)＞=巴與了=辦2-。色/0）在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）

X

28.某同學(xué)利用數(shù)學(xué)繪圖軟件探究函數(shù)'=人+磯x—c）的圖象,在輸入一組。，乩c的值后得到如圖所示

的函數(shù)圖象（與y軸無交點(diǎn)），根據(jù)你學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),這組Q,b,C的值應(yīng)滿足（）

B.。>0,b=0,c<0

C.a（0，6）0，c>0D.a<0,b<0,c<0

16

29.二次函數(shù)了=a/+6x+c的圖象如圖所示，其對稱軸是直線x，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,相垂直于x軸,

連接C8,則下列說法一定正確的是（）

A.如圖①，四邊形N3C。是矩形

nn

B.在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx,一次函數(shù)夕=辦+匕和反比例函數(shù)＞=—的圖象大致

如圖②所示

C.在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=f（?x+6）+c與反比例函數(shù)y=2的圖象大致如圖③所示

D.在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)尸云-①與反比例函數(shù)y=＜在的圖象大致如圖④所示

考點(diǎn)四、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合問題

4

30.拋物線了=（x-m）2-5與雙曲線廠--有交點(diǎn)（%,%），且滿足14x042,則加的取值范圍是（）

X

B.0?加?省或26《加工2+6

C.0<m<2+V3D.0<m<2-V3^2<m<2+V3

>

x

t4/、

31.如圖所示，若雙曲線/=々》＞。）與拋物線了=-三x（x-4）在第一象限內(nèi)所圍成的區(qū)域（即圖中陰影部分,

x5

不含邊界）內(nèi)的整點(diǎn)（點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)）只有4個(gè)，則左的值可能是（）

17

A.1B.2.5C.3D.4

7

32.方程V_x_2=0的實(shí)數(shù)根就是方程x2-l=-的實(shí)數(shù)根，用“數(shù)形結(jié)合”思想判定方程無3f-2=0的根

x

的情況，正確的是（）

A.方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根B.方程的實(shí)數(shù)根%滿足0<%<1

C.方程的實(shí)數(shù)根%滿足1</<2D.方程的實(shí)數(shù)根%滿足2<x0<3

X2（X<2）

33.若直線了=。與函數(shù)了=4、的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為多，3，與，設(shè)/=再+丫2+9,

—（x>2）

J

則，的取值范圍是.

34.函數(shù)了=!/+，的圖象如圖所示，在下列結(jié)論中：①該函數(shù)自變量x的取值范圍是XHO；②該函數(shù)

2x

311

有最小值5；③方程=3有三個(gè)根;④如果（X”外）和伍,外）是該函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，當(dāng)項(xiàng)。2<0

時(shí)一定有必<%.所有正確結(jié)論的序號是.

18

35.如圖，二次函數(shù)%=-工2+WJX-1的圖象與y軸相交于點(diǎn)A,與反比例函數(shù)為=：(x<o)的圖象相交于點(diǎn)

5(-3,-1).

(1)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;

(2)當(dāng)必隨x的增大而增大且乂>為時(shí)，直接寫出x的取值范圍；

(3)平行于x軸的直線/與函數(shù)必的圖象相交于點(diǎn)C、D(點(diǎn)C在點(diǎn)。的左邊)，與函數(shù)％的圖象相交于點(diǎn)

E.若△4OE與A8CE的面積相等，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

36.如圖，點(diǎn)尸(九1)是拋物線/：y=a(x-l7-2(a>0)和雙曲線y=￡(x>0)的一個(gè)交點(diǎn)，且位于直線x=l

的右側(cè)：拋物線/與x軸交于點(diǎn)2,C,(2在C的左側(cè))與y軸交于點(diǎn)尸.

19

(1)當(dāng)加=2時(shí)，求0和力的值；

(2)若點(diǎn)3在x軸的負(fù)半軸上，試確定人的取值范圍；

(3)a/2C的面積為4,且。8:。。=1:3,求左的值；

(4)直接寫出左的值，使O,尸兩點(diǎn)間的距離為1.

37.我們定義：若點(diǎn)尸在一次函數(shù)V=G+6(a*0)圖象上，點(diǎn)。在反比例函數(shù)y=：(cwO)圖象上，且滿

足點(diǎn)尸與點(diǎn)。關(guān)于v軸對稱，則稱二次函數(shù)y=ax?++c為一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=-的“衍

X

生函數(shù)”，點(diǎn)尸稱為“基點(diǎn)”，點(diǎn)。稱為“靶點(diǎn)

(1)若二次函數(shù)歹=—+3x+4是一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)＞=￡的“衍生函數(shù)"，則Q=,b=

X

,C=.

⑵若一次函數(shù)y=2x+6和反比例函數(shù)y=￡的“衍生函數(shù)”的頂點(diǎn)在x軸上，且“基點(diǎn)”尸的橫坐標(biāo)為2,求“靶

X

點(diǎn)”的坐標(biāo)；

⑶若一次函數(shù)V=ax+3b(a＞b＞0)和反比例函數(shù)y=—的“衍生函數(shù)”經(jīng)過點(diǎn)(3,24).

X

①試說明一次函數(shù)N="+36圖象上存在兩個(gè)不同的“基點(diǎn)”；

②設(shè)一次函數(shù)＞="+36圖象上兩個(gè)不同的“基點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為占、%,求歸-引的取值范圍.

38.如圖，小方站在水平球臺E尸上打高爾夫球，球臺E尸到x軸的距離為6米，與軸相交于點(diǎn)E,彎道

E4：y=&與球臺交于點(diǎn)尸，且即=2米，彎道末端N8垂直x軸于8,且48=0.75米，從點(diǎn)E處打出的高

X

爾夫球沿拋物線1：＞;=-彳2+云+6運(yùn)動(dòng)，落在彎道E4的￡＞處，且。到X軸的距離為3米；

(1)點(diǎn)/的坐標(biāo)為，k=；點(diǎn)D的坐標(biāo)為,b=；

(2)紅色球落在。處后立即彈起，沿另外一條拋物線G運(yùn)動(dòng)，若G的最高點(diǎn)坐標(biāo)為尸(10,5)

①求拋物線G的解析式，并說明小球能否再次落在彎道工4上？

②在x軸上有托盤BC=2,若小球恰好能被托盤接住，則把托盤向上平移的距離為d,求d的取值范圍(托

盤的厚度忽略不計(jì)).

20

39.設(shè)a,b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定滿足不等式砂的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表

示為［a,b］.對于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)加至爛〃時(shí)，有加我們就稱此函數(shù)

閉區(qū)間的，網(wǎng)上的“閉函數(shù)如函數(shù)y=-x+4.當(dāng)x=l時(shí)，y=3；當(dāng)x=3時(shí)，y=l,即當(dāng)1W爛3時(shí)，有

l<y<3,所以說函數(shù)y=-x+4是閉區(qū)間［1,3］上的“閉函數(shù)”

2019

(1)反比例函數(shù)了=——是閉區(qū)間［1,2019］上的“閉函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由.

X

(2)若二次函數(shù)y=/-2x-4是閉區(qū)間［1,2］上的“閉函數(shù)”，求左的值；

(3)若一次函數(shù)y=Ax+b(原0)是閉區(qū)間阿，加上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式(用含機(jī)，〃的代數(shù)式

表示).

40.在函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們經(jīng)歷“畫函數(shù)圖象一利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)一運(yùn)用函數(shù)圖象解決問題”的學(xué)

習(xí)過程.

x2+4x-l(x<1)

下面根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的過程和方法，探究分段函數(shù)了=4/八的相關(guān)性質(zhì)和應(yīng)用.

——5(x>1)

(1)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，畫出了分段函數(shù)圖象的一部分，并補(bǔ)全該分段函數(shù)的圖象如圖所示.

X......-5-4-3-2-101

y......4-1-4-5-4-14

,

7

IIII6

「

「b5

III」

-一-4

1I1I3

「

r「r

1L12

1I11

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111?1

3—-

L」\-1-」一|-_I■一|一」

1I

-

1

n-n-ri

^4T

-.-I-P-I

1▼

」

」

寫出該分段函數(shù)的一條性質(zhì)：;

(2)直線y=k與該分段函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是；

(3)若該分段函數(shù)圖象上有兩點(diǎn)4-3,%)、B(m,y2),且必<%,則〃?的取值范圍是；

(4)當(dāng)xNa時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍為當(dāng)。取某個(gè)范圍內(nèi)的任意值時(shí)，6為定值，直接寫出滿足

條件的a的取值范圍及其對應(yīng)的b值.

21

考點(diǎn)五、根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定參數(shù)取值

41.已知對稱軸為y軸的拋物線y=ax?+bx+3,與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x”x2.若點(diǎn)（xi，x2）在反

比例?函數(shù)y=，的圖象上，該拋物線與X軸圍成封閉區(qū)域（邊界除外）內(nèi)整點(diǎn)（點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)）

X

k

的個(gè)數(shù)為k,則反比例函數(shù)y=—（x>0）的圖象是（）

42.已知點(diǎn)/（。,必），8（。+2,%）,在反比例函數(shù)了=圾上的圖像上，若M-%>0,則“的取值范圍為

（）

A.Q<0B.Q<—2C.—2<q<0D.。<-2或。>0

k

43.如圖，正方形458的頂點(diǎn)C。在函數(shù)>=嚏（左。0）的圖象上，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的

橫坐標(biāo)為4,則上的值為（）

A.5B.6C.7D.8

22

44.已知y是X的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)機(jī)，,當(dāng)根WxW”時(shí)，V的取值范圍是"?V了V勿（/>0）.我們

將加WxW〃稱為這個(gè)函數(shù)的“/級關(guān)聯(lián)范圍”.例如：函數(shù)y=2x,存在機(jī)=1,〃=2,當(dāng)UW2時(shí)，

2<y<4,即:2,所以14x42是函數(shù)y=2x的“2級關(guān)聯(lián)范圍”.下列結(jié)論：

①1VXW3是函數(shù)>=-x+4的“1級關(guān)聯(lián)范圍”；

②0WxW2不是函數(shù)了=/的“2級關(guān)聯(lián)范圍”；

③函數(shù)了=g（左>0）總存在“3級關(guān)聯(lián)范圍''；

④函數(shù)了=-2+2工+1不存在“4級關(guān)聯(lián)范圍”.

其中正確的為（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

45.在直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸（m,n）在反比例函數(shù)>="的圖象上.

X

（1）若m=k,n=k-2,貝！J左=；

（2）若m+n=k,OP=2,且此反比例函數(shù)歹=",滿足：當(dāng)x>0時(shí)，歹隨x的增大而減小，則左=.

x

46.如圖是8個(gè)臺階的示意圖，每個(gè)臺階的高和寬分別是2和3,每個(gè)臺階凸出的角的頂點(diǎn)記作北（m為1?8

k

的整數(shù)）.函數(shù)>二一（x>0）的圖象為曲線乙

（1）若上過點(diǎn)（，貝蛛=:

（2）若曲線￡使得7；?《這些點(diǎn)分布在它的兩側(cè)，每側(cè)各4個(gè)點(diǎn)，則左的整數(shù)值有個(gè).

47.如圖，一次函數(shù)%=%x+6的圖象與反比例函數(shù)%=&（3伍為常數(shù)且匕名片0）的圖象交于

X

8（-4,2）兩點(diǎn)，在反比例函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)P（不與42重合），連接尸/,PB,使得

，=m,如果這樣的尸點(diǎn)恰好有兩個(gè)，則加的取值范圍是.

23

XX

（1）若函數(shù)必的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,1）,求的函數(shù)表達(dá)式.

（2）若函數(shù)%與%的圖象關(guān)于了軸對稱，求為,外的函數(shù)表達(dá)式.

（3）當(dāng)l4xV4,函數(shù)必的最大值為加，函數(shù)%的最小值為優(yōu)-4,求優(yōu)與左的值.

49.如圖，一次函數(shù)了=履+6與反比例函數(shù)y=?x>0）的圖象相交于點(diǎn)/（3,4）、8（6,⑴兩點(diǎn).

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

Ar1

（2）若點(diǎn)C為線段N8上一點(diǎn)，且白=彳，連接/。、CO,求其，定；

nC2

（3）如果一個(gè)矩形的長寬之比為2:1,我們把該矩形稱為“倍邊矩形”.請?zhí)骄浚谄矫鎯?nèi)是否存在尸、。兩點(diǎn)

（點(diǎn)尸在直線上方），使得四邊形/尸8。為倍邊矩形，若存在，請求尸、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

考點(diǎn)六、反比例函數(shù)與簡單幾何圖形的綜合

k

50.在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)V=—（x<0）的圖象與等邊△045相交.

24

(1)如圖1,當(dāng)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過△048的頂點(diǎn)A時(shí)，若OB=6.

①求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

k

②若點(diǎn)M是＞=—(x＜0)上點(diǎn)A左側(cè)的圖象上一點(diǎn)，且滿足4M的面積與△0/3的面積相等，求點(diǎn)M的

x

坐標(biāo).

(2)如圖2,反比例函數(shù)的圖象分別交△0/8的邊CM,N8于C和。兩點(diǎn)，連接CD并延長交x軸于點(diǎn)E,

連接。。，當(dāng)40=。。=4時(shí)，求S.os：S.阿的值.

I左

51.如圖，直線了=7》+2分別與無軸，了軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)C,點(diǎn)尸是反比例函數(shù)y=—(人/0)圖象與直線/C

2x

在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，過點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)B,且48=6.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

9

(2)點(diǎn)。是直線網(wǎng)右側(cè)反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且直線包＞交V軸于點(diǎn)E,點(diǎn)"，N是直線/C

上兩點(diǎn)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)且兒W=4P,求EM+DN的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；

⑶在(2)的條件下，點(diǎn)下為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，若NPEF-NPAB=45°，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)

尸的橫坐標(biāo).

52.已知點(diǎn)/(3,"7+2),川機(jī)+4,2)都在反比例函數(shù)夕=：的圖象上.

25

(2)如圖②，點(diǎn)C為反比例函數(shù)y=&第三象限上一點(diǎn)，

X

①當(dāng)△4BC面積最小時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)5和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)。對稱，點(diǎn)0為雙曲線段上任一動(dòng)點(diǎn)，試探究N/C。與大小關(guān)系，并

說明理由.

53.如圖，函數(shù)y=：(x>0)的圖象過點(diǎn)/(%2)和452〃-31兩點(diǎn).點(diǎn)。是雙曲線上介于點(diǎn)/和點(diǎn)2之間

(1)求反比例函數(shù)解析式及C點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)過C點(diǎn)作CD〃CM,交x軸于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E,第二象限內(nèi)是否存在點(diǎn)R使得AZ)EF是以。E為腰

的等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖1圖2圖3

26

(1)如圖1,當(dāng)反比例函數(shù)y=—的圖象與一次函數(shù)y=x+〃的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求〃的值；

(2)如圖2,當(dāng)直線y=x+〃經(jīng)過點(diǎn)/時(shí)，它與反比例函數(shù)y=二的另一個(gè)交點(diǎn)記為2,在y軸上找一點(diǎn)

x

使的周長最小，求出M的坐標(biāo)及△K43周長的最小值；

(3)如圖3,點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上4點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn)，連接的，把線段⑷3繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)P的

對應(yīng)點(diǎn)。恰好也落在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

55.如圖，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)“(8,8),N(8,0),反比例函數(shù)/=：(無＞0)的圖象與線段MV交于點(diǎn)A,

AN=2.5.

⑴求反比例函數(shù)表達(dá)式.

(2)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出線段"N的垂直平分線.(要求：不寫作法，保留作圖痕跡)

(3)(2)中所作的垂直平分線分別與夕=：卜＞0)、線段近交于點(diǎn)尸、。.連接PN、上4,求證：PA是ZNPQ

的平分線.

4

56.如圖，點(diǎn)尸是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作》軸的垂線/,與反比例函數(shù)＞=——的圖象交于點(diǎn)

x

4

A.把直線/上方的反比例函數(shù)圖象沿著直線/翻折，其它部分保持不變，所形成的新圖象稱為“丁=--的/

x

鏡像

27

4

①點(diǎn)_“歹=--的/鏡像”；(填“在”或“不在”)

x

4

②“尸一的I鏡像'與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)是_；

X

(2)過了軸上的點(diǎn)。作y軸垂線，與“夕=-：的/鏡像咬于點(diǎn)2、C,點(diǎn)5在點(diǎn)C左側(cè).若點(diǎn)。把線段

2C劃分成2:1的兩部分，求OP的長.

4

(3)如果改變翻折方式，將反比例函數(shù)歹=-最(％<0)的圖象沿直線丁=%+5翻折得到一個(gè)封閉圖形(圖中陰

影部分)，若直線>=履+5與此封閉圖形有交點(diǎn)，則左的范圍是

19

問題情境：在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線力8〃歹軸，直線分別與反比例函數(shù)v=*(x>0)的圖象交

OB.

(1)問題解決：如圖①，若點(diǎn)/,8的橫坐標(biāo)為3,試判斷△。/8的形狀，并說明理由.

(2)問題探究：如圖②，將直線N8向右平移若干個(gè)單位后得到直線44,它與兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別為

4，4，連接。4，。4,則在直線N8向右平移到直線44的過程中，AO/B的面積是否發(fā)生變化？若變

化，說明理由；若不變，求出△0/8的面積.

28

(3)問題拓展：如圖③，將直線04向右平移若干個(gè)單位后與反比例函數(shù)了="(無>0)的圖象交于點(diǎn)C,與x

軸交于點(diǎn)尸，與反比例函數(shù)了=-三的圖象交于點(diǎn)。，連接。C,。。，當(dāng)尸恰好是的中點(diǎn)時(shí)，請直接寫

出△OC0的面積.

考點(diǎn)七、反比例函數(shù)與四邊形的綜合

58.如圖，正方形4月的頂點(diǎn)片、R在反比例函數(shù)>=-工(x<0)圖象上，頂點(diǎn)4(辦0)在X軸的負(fù)半