二次函數(shù)與面積最值定值問(wèn)題（原卷版）

專題5二次函數(shù)與面積最值定值問(wèn)題

考法綜述，

面積是平面幾何中一個(gè)重要的概念，關(guān)聯(lián)著平面圖形中的重要元素邊與角，由動(dòng)點(diǎn)而生成的面積問(wèn)題,

是拋物線與直線形結(jié)合的覺(jué)形式，常見(jiàn)的面積問(wèn)題有規(guī)則的圖形的面積（如直角三角形、平行四邊形、菱

形、矩形的面積計(jì)算問(wèn)題）以及不規(guī)則的圖形的面積計(jì)算，解決不規(guī)則的圖形的面積問(wèn)題是中考?jí)狠S題常

考的題型，此類問(wèn)題計(jì)算量較大。有時(shí)也要根據(jù)題目的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題產(chǎn)生解的不確定性或多樣性。解決這類問(wèn)

題常用到以下與面積相關(guān)的知識(shí)：圖形的割補(bǔ)、等積變形、等比轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)方法.面積的存在性問(wèn)題常見(jiàn)的

題型和解題策略有兩類：一是先根據(jù)幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗(yàn)方程的根.二是先假設(shè)關(guān)

系存在，再列方程，后根據(jù)方程的解驗(yàn)證假設(shè)是否正確.

方法揭秘.

解決動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題，常用到的知識(shí)和方法，如下：

如圖1,如果三角形的某一條邊與坐標(biāo)軸平行，計(jì)算這樣“規(guī)則”的三角形的面積，直接用面積公式.

如圖2,圖3,三角形的三條邊沒(méi)有與坐標(biāo)軸平行的，計(jì)算這樣“不規(guī)則”的三角形的面積，用“割”或“補(bǔ)”

的方法.

計(jì)算面積長(zhǎng)用到的策略還有：

如圖4,同底等高三角形的面積相等.平行線間的距離處處相等.

如圖5,同底三角形的面積比等于高的比.

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典例剖析“

[例1]（2022?青海）如圖I,拋物線〉=/+笈+。與x軸交于/（-1,0）,B（3,0）兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)C.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)E是拋物線的對(duì)稱軸與直線的交點(diǎn)，點(diǎn)廠是拋物線的頂點(diǎn)，求跖的長(zhǎng)；

（3）設(shè)點(diǎn)尸是（1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在滿足S△序B=6的點(diǎn)尸？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（請(qǐng)?jiān)趫D2中探討）

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【例2】(2022?隨州)如圖1,平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+6x+c(。＜0)與x軸分別交于點(diǎn)力

和點(diǎn)8(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=-l,且CM=OC,尸為拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接NC,當(dāng)點(diǎn)P在直線NC上方時(shí)，求四邊形乃8C面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的

坐標(biāo)；

(3)設(shè)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P,M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N,使四邊形尸MCN為

矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【例3】（2022?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。中，直線y=fcc-3（件0）與拋物線y=-爐相交于

3兩點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)3的左側(cè)），點(diǎn)3關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為〃.

（1）當(dāng)左=2時(shí)，求/,2兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）連接CM,OB,AB',BB',若的面積與△CM8的面積相等，求后的值；

（3）試探究直線/夕是否經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn).若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖

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【例4】（2022?岳陽(yáng)）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線為：y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)/（-3,0）和點(diǎn)

B（1,0）.

<1）求拋物線人的解析式；

（2）如圖2,作拋物線尸2,使它與拋物線為關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，請(qǐng)直接寫出拋物線尸2的解析式；

（3）如圖3,將（2）中拋物線尸2向上平移2個(gè)單位，得到拋物線尸3,拋物線為與拋物線/3相交于C,

。兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）.

①求點(diǎn)C和點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)N分別為拋物線為和拋物線尸3上C，。之間的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)、M,N與點(diǎn)C,。不重合），試求四

邊形CMW面積的最大值.

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滿分訓(xùn)練

1.（2022?金壇區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)夕=示2+笈-2的圖象與x軸交于點(diǎn)/

（3,0）,8（點(diǎn)3在點(diǎn)N左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。與點(diǎn)。關(guān)于x軸對(duì)稱，作直線/￡>.

（1）填空：b=；

（2）將△NOC平移到△EFG（點(diǎn)E,F,G依次與/,O,。對(duì)應(yīng)），若點(diǎn)E落在拋物線上且點(diǎn)G落在直

線40上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)P是第四象限拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線，垂足為X,交4c于點(diǎn)T.若NCPT+N

D4C=180°,求與△CPT的面積之比.

2.（2022?羅城縣模擬）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)/（2,6）,B（-4,0）,其中E、FCm,n）

為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若。（x,了）是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)-4<x<2且SUBC最大時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）若即〃x軸，點(diǎn)/到￡下的距離大于8個(gè)單位長(zhǎng)度，求機(jī)的取值范圍.

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3.（2022?老河口市模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-爐+2加x的頂點(diǎn)為4直線/：y=x-1與x軸

交于點(diǎn)B.

（1）如圖，已知點(diǎn)/的坐標(biāo)為（2,4）,拋物線與直線/在第一象限交于點(diǎn)C.

①求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②點(diǎn)M為線段8c上不與8,C重合的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)D,交拋物線于點(diǎn)E,

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)當(dāng)時(shí)，求才的取值范圍；

（2）過(guò)點(diǎn)/作/P_L/于點(diǎn)尸，作N?！?交拋物線于點(diǎn)0,連接尸。，設(shè)△/尸。的面積為S.直接寫出①

S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；②S的最小值及S取最小值時(shí)m的值.

4.（2022?新吳區(qū)二模）如圖,

的圖象交y軸于對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)〃.

（1）求拋物線的表達(dá)式;

（2）已知尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)加r關(guān)于4P的對(duì)稱點(diǎn)為N.

①若點(diǎn)N恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)N的坐標(biāo);

②請(qǐng)直接寫出△M7N面積的最大值.

備用圖

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5.(2022?開(kāi)福區(qū)校級(jí)二模)如圖，拋物線y=(x+1)(x-a)(其中。＞1)與x軸交于/、2兩點(diǎn)，交＞軸

于點(diǎn)C

(1)直接寫出/OC4的度數(shù)和線段的長(zhǎng)(用。表示)；

(2)如圖①，若°=2,點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，DB=DC,求△BCD與△NC。的周長(zhǎng)之比；

(3)如圖②，若。=3,動(dòng)點(diǎn)P在線段CU上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別與/C交于點(diǎn)與拋物線交

于點(diǎn)N.試問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)。，使得△PQN與的面積相等，且線段NQ的長(zhǎng)度最??？如

果存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由.

圖①圖②

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6.（2022?官渡區(qū)二模）拋物線丫=3*2+6*+1:交》軸于/、3兩點(diǎn)，交了軸正半軸于點(diǎn)0，對(duì)稱軸為直線x=《.

（2）若點(diǎn)P為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在（1）的條件下，求四邊形/8CP面積最大時(shí)，點(diǎn)尸坐標(biāo)和

四邊形A8CP的最大面積；

（3）如圖2,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作腦V〃CD別交拋物線于點(diǎn)M,N,當(dāng)MN=3CD時(shí)，求c

的值.

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7.(2022?徐州二模)如圖，四邊形N2C。中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸從/點(diǎn)出發(fā)，沿邊N2運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3,

動(dòng)點(diǎn)。同時(shí)由/點(diǎn)出發(fā)，沿折線C8運(yùn)動(dòng)點(diǎn)8停止，在移動(dòng)過(guò)程中始終保持尸已知

點(diǎn)尸的移動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)尸的移動(dòng)時(shí)間為x秒，△4P。的面積為y,已知〉與x之間

函數(shù)關(guān)系如圖②，其中九W為線段，曲線NK為拋物線的一部分，根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題:

⑴圖①N8=,BC=；

(2)分別求線段曲線腿所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

(3)當(dāng)x為何值，△4PQ的面積為6?

圖①圖②

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8.(2022?在平區(qū)一模)如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+1*x+c的圖象交x軸于點(diǎn)8(-8,0),C(2,0),交

y軸點(diǎn)/.

(1)求二次函數(shù)y=ax2玲x+c的表達(dá)式；

(2)連接/C,AB,若點(diǎn)P在線段3C上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)3,C重合)，過(guò)點(diǎn)尸作PD〃/C,交48于點(diǎn)

試猜想的面積有最大值還是最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)連接。D在(2)的條件下，求出5L的值.

BC

9.(2022?碑林區(qū)校級(jí)模擬)拋物線%:y=a(x+9)2-空與工軸交于/(-5,0)和點(diǎn)反

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(1)求拋物線%的函數(shù)表達(dá)式；

(2)將拋物線M關(guān)于點(diǎn)M(-1,0)對(duì)稱后得到拋物線用2,點(diǎn)4、3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B',拋物線

初與y軸交于點(diǎn)C,在拋物線叼上是否存在一點(diǎn)P,使得S△序，#=S△即c，若存在，求出尸點(diǎn)坐標(biāo)，

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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10.(2021秋?欽北區(qū)期末)如圖，拋物線尸辦2+區(qū)+6與直線y=x+2相交于/(-1,B(4,6)兩點(diǎn)，

點(diǎn)尸是線段N3上的動(dòng)點(diǎn)(不與/、8兩點(diǎn)重合)，過(guò)點(diǎn)尸作尸C，x軸于點(diǎn)D,交拋物線于點(diǎn)C,點(diǎn)￡是

直線43與x軸的交點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求△8CE的面積；

(3)是否存在點(diǎn)尸，使得△BCE的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.(2022?保定一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)。出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的

速度運(yùn)動(dòng)f秒(f>0),拋物線y=x2+6x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)。和點(diǎn)尸，已知矩形/BCD的三個(gè)頂點(diǎn)為/(1,0),B

<1,-5),D(4,0).

(1)求c,b(含/的代數(shù)式表示)；

(2)當(dāng)4<t<5時(shí)，設(shè)拋物線分別與線段48,CD交于點(diǎn)、M,N.

①在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，你認(rèn)為的大小是否會(huì)變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出

的值；

②求的面積S與/的函數(shù)關(guān)系式.并求才為何值時(shí)，△AffW的面積為冬.

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12.（2022?黃石模擬）如圖，已知拋物線y=ax26x+3x軸交于/（2,0）,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0,

-4）,直線1：y=-]x-4與x軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)P是拋物線丫=@*2+|^+0上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作

軸，垂足為E,交直線/于點(diǎn)?

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)尸是拋物線上位于第三象限的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)是小，四邊形PCO3的面積是S.①求S

關(guān)于%的函數(shù)解析式及S的最大值；②點(diǎn)。是直線尸￡上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S取最大值時(shí)，求△QOC周長(zhǎng)的

最小值及FQ的長(zhǎng).

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13.（2022?哈爾濱模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2-2ax+3與x軸的負(fù)

半軸交于點(diǎn)與x的正半軸交于點(diǎn)8,與y軸正半軸交于點(diǎn)C,OB=2OA.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)。是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AD交y軸于點(diǎn)E,過(guò)C作CFLy軸交拋物線于點(diǎn)尸，連接

DF,設(shè)四邊形。ECF的面積為S,點(diǎn)。的橫坐標(biāo)的求S與［的函數(shù)解析式；

（3）在（2）的條件下，過(guò)尸作萬(wàn)“〃/軸交4D于點(diǎn)連接CD交FAf于點(diǎn)G,點(diǎn)N是CE上一點(diǎn)，

連接ACV、EG,當(dāng)N3/￡>+2/4W=90°,MN：EG=2A/13：5,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

第14頁(yè)共21頁(yè)

14.(2022?利川市模擬)如圖，等腰直角三角形042的直角頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)，直角邊04,。2分別在y

軸和x軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4),且NC平行于x軸.

(1)求直線的解析式；

(2)求過(guò)8,C兩點(diǎn)的拋物線y=-f+bx+c的解析式；

(3)拋物線y=-/+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為試判定0C與3。的大小關(guān)系；

(4)若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e與△4BC的面積相等時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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15.(2021?襄陽(yáng))如圖，直線y=/x+l與x,y軸分別交于點(diǎn)8,A,頂點(diǎn)為P的拋物線了=G2-2ax+c過(guò)

點(diǎn)4.

(1)求出點(diǎn)4,5的坐標(biāo)及。的值；

(2)若函數(shù)_2QX+C在3WxW4時(shí)有最大值為Q+2,求〃的值；

(3)連接4尸，過(guò)點(diǎn)/作4尸的垂線交工軸于點(diǎn)設(shè)△BMP的面積為S.

①直接寫出S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式及a的取值范圍；

第16頁(yè)共21頁(yè)

16.(2021?遼寧)如圖，拋物線y=-率2+8+。與x軸交于點(diǎn)/和點(diǎn)。(-1,0),與了軸交于點(diǎn)8(0,3),

連接N3,3C,點(diǎn)尸是拋物線第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)、E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,作于點(diǎn)尸，使PF=LO4以PE,P尸為鄰邊作矩形PEG?當(dāng)矩形PEGF的面

2

積是△BOC面積的3倍時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。在直線產(chǎn)口上，若以點(diǎn)。、/、3為頂點(diǎn)的三角形是

銳角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)0縱坐標(biāo)〃的取值范圍.

第17頁(yè)共21頁(yè)

17.(2021?賀州)如圖，拋物線y=x2+6x+c與x軸交于/、3兩點(diǎn)，且/(-1,0),對(duì)稱軸為直線x=2.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)直線/過(guò)點(diǎn)/且在第一象限與拋物線交于點(diǎn)C.當(dāng)/CAB=45°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)點(diǎn)。在拋物線上與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，令尸CXP，yP\當(dāng)IWxpWa,

1W.W5時(shí)，求△PCD面積的最大值(可含a表示).

第18頁(yè)共21頁(yè)

18.(2021?常德)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行四邊形/2CO的邊與y軸交于E點(diǎn)，廠是4D

的中點(diǎn)，B、C、。的坐標(biāo)分別為(-2,0),(8,0),(13,10).

(1)求過(guò)3、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2)試判斷拋物線的頂點(diǎn)是否在直線所上；

(3)設(shè)過(guò)廠與N3平行的直線交y軸于0,M是線段之間的動(dòng)點(diǎn)，射線"核與拋物線交于另一點(diǎn)P,

當(dāng)△尸3。的面積最大時(shí)，求尸的坐標(biāo).

19.(2021?福建)已知拋物線＞=°/+云+。與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

(1)若拋物線過(guò)點(diǎn)尸(0,1),求a+6的最小值；

(2)已知點(diǎn)P(-2,1),尸2(2,-1),P3(2,1)中恰有兩點(diǎn)在拋物線上.

①求拋物線的解析式；

②設(shè)直線/：?=履+1與拋物線交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)/在直線y=-1上，且NM4N=90°,過(guò)點(diǎn)/且與

x軸垂直的直線分別交拋物線和/于點(diǎn)8,C.求證：△M4B與的面積相等.

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20.(2021?柳州)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線：y=tzx2+6x+c交x軸于/(-1,0),B(3,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-日).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)。為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接