反比例函數(shù)中的等腰三角形（解析版）

專題04反比例函數(shù)中的等腰三角形

4

1.如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)》=—圖像上的一動點(diǎn)，連接力。并延長交圖像的另一支于點(diǎn)5.在點(diǎn)A

的運(yùn)動過程中，若存在點(diǎn)。（加，耳，使得AC=BC,則加，〃滿足（）

【答案】B

【分析】連接。C,過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)過點(diǎn)。作。尸，歹軸于點(diǎn)尸，根據(jù)等腰直角三角形

的性質(zhì)得出通過角的計算找出=,結(jié)合〃乙4￡。=90。，/。尸。=90?！傻?/p>

tH\AOE=\COF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得出4-加,〃），進(jìn)而得至I」-加〃=4,進(jìn)一步得到加〃=-4.

【詳解】解：連接0C,過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作天軸于點(diǎn)方，如圖所示：

4

,?,由直線AB與反比例函數(shù)V=-的對稱性可知A、5點(diǎn)關(guān)于。點(diǎn)對稱,

x

AO=BO,

又Q/CJ_3C,AC=BC,

COLAB,CO=-AB=OA,

2

??ZAOE+ZAOF=90°fZAOF+ZCOF=90°f

NAOE=ZCOF,

又???ZAEO=90。,/CFO=90。，

..AAOE=ACOF(AAS),

第1頁共34頁

:.OE=OF,AE=CF,

???點(diǎn)C（W）,

/.CF=-m,OF=n,

二.AE=-m,OE=n,

4

,?,點(diǎn)A是反比例函數(shù)>=一圖像上，

X

：.-mn=4,ipmn=-4,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)

以及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)A的坐標(biāo).

2.已知，在平面直角坐標(biāo)系中，/的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)8是。/中點(diǎn)，點(diǎn)C(2,〃)在y=￡i(x>0)的

圖像上，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)沿著>=逋(》>0)的圖像向右運(yùn)動，在形狀的變化過程中，依次

A.直角三角形玲等邊三角形玲等腰三角形玲直角三角形

B.直角三角形玲直用三角形好等腰三角形)等腰三角形

C.直角三角形玲等邊三角形玲直角三角形好等腰三角形

D.等腰三角形玲等邊三角形玲直角三角形玲等腰三角形

【答案】C

【分析】畫出圖形，然后把。依次從點(diǎn)C出發(fā)向右運(yùn)動，即可得到△外形狀的變化，從而得解.

【詳解】解：由題意可知2(2,0)、C(2,述)，

2

在C點(diǎn)時，BDLx^,△48D為直角三角形，

當(dāng)。點(diǎn)運(yùn)動到(3,空)即(3,百)時，可以得到：

3

80=J(3-2y+(6『=2,ND==2,即BD=AD=AB=2,

：.此時AABD為等邊三角形,

第2頁共34頁

當(dāng)。點(diǎn)運(yùn)動到(4,述)時，可以得到軸，即為直角三角形，

4

綜上所述，只有C符合題意，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形、等邊三角形、

等腰三角形的意義是解題關(guān)鍵.

3.如圖，^OAlBl,AAXA2B2,△4/383，……是分別以4，4，4，……為直角項點(diǎn)，一條直角邊在

X軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點(diǎn)。1(匹,弘)，C2(x2,y2),C3(x3,y3),.…,均在反比

A.2^/2021B.272022C.472021D.442022

【答案】B

【分析】根據(jù)點(diǎn)。的坐標(biāo)，確定經(jīng)，可求反比例函數(shù)關(guān)系式，由點(diǎn)。是等腰直角三角形的斜邊中

點(diǎn)，可以得到04/的長，然后再設(shè)未知數(shù)，表示點(diǎn)Cz的坐標(biāo)，確定”，代入反比例函數(shù)的關(guān)系式,

建立方程解出未知數(shù)，表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，確定”，??????然后再求和.

【詳解】解：如圖，過C/、C2、C3......分別作X軸的垂線，垂足分別為。八。2、D3......

則NO2G=NOD2c2=NOD3c3=90°

???△044是等腰直角三角形

???乙iQB[=45°

???NOCQi=45°

OD、=CQ],

其斜邊的中點(diǎn)G(X],乂)在反比例函數(shù)y=[(x>0)中

，G(2,2),即必=2,

OD[=D[A]-2,

第3頁共34頁

OAX=20D[=4,

設(shè)a,則CD=a

AXD2=22

4

此時將。2(4+w。)代入V=—得

x

a(4+a)=4,

角犁得“=28一2,即％=2a-2,

同理%=2石-2在

”=2“-2技

??%+%+...........+%022

=2+272-2+273-272+....2/2022-2/2021

=2J2022

【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)

等知識，通過計算有一定的規(guī)律，推斷出一般性的結(jié)論，得出答案.

4.如圖，AO/C和都是等腰直角三角形，NACO=NADB=90°,反比例函數(shù)＞=9在第一象

X

限的圖象經(jīng)過點(diǎn)5,貝lUCMC與的面積之差黑比-S的。為（）

A.9B.12C.6D.3

【答案】D

第4頁共34頁

【分析】已知反比例函數(shù)的解析式為,根據(jù)系數(shù)k的代數(shù)意義，設(shè)函數(shù)圖象上點(diǎn)B的坐標(biāo)為(如

X

@)再結(jié)合已知條件求解即可；

m

【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)C(m0),

:點(diǎn)8在反比例函數(shù)y=9的圖象上，

二設(shè)點(diǎn)5(冽，—).

???AOAC和都是等腰直角三角形，

???點(diǎn)/的坐標(biāo)為偽，力，點(diǎn)。的坐標(biāo)為仇，—),AD=BD,

m

.6

..n---=m-n,

m

化簡整理得m2-2mn=-6.

SAOAC-SABAD=yn2-y(m-n)2=-ym2+mn=-y(m2-2mn),

：.SAOAC-SABAD=3.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，三角形面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵在于能夠熟練掌握反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

1Q2

5.如圖，點(diǎn)A為函數(shù)y=1(x>0)圖象上一?點(diǎn)，連結(jié)04,交函數(shù)y=((x>0)的圖象于點(diǎn)B,點(diǎn)C

是x軸上一點(diǎn)，S.AO=AC,則三角形43C的面積為()

第5頁共34頁

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可以分別設(shè)出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)0、A、B在同一條直線上可以得到A、

B的坐標(biāo)之間的關(guān)系，由A0=AC可知點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的2倍，從而可以得到4ABC的

面積.

1O,

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,二)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(b,：),

ab

,點(diǎn)C是X軸上一點(diǎn)，且A0=AC,

二點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2a,0),

1Q

設(shè)過點(diǎn)O(0,0),A(a,—)的直線的解析式為：y=kx,

a

?史.

??—3K),

a

1Q

解得，|<=墳，

)1Q

又?點(diǎn)B(b,-)在y二上，

ba1

***7=解得，?=3或：=一3(舍去)，

babb

?18r2

.2?！?a?—

.?SAABC=SAAOC-SAOBC=ab=18-6=12.

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象、三角形的面積、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意,

找出所求問題需要的條件.

第口卷(非選擇題)

請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明

二、填空題

6.如圖,AOAJBI,AA1A2B2,△4皿心..是分別以4,也,出...為直角頂點(diǎn),一條直角邊在x軸正

半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點(diǎn)。，C2,a...均在反比例函數(shù)(x>o)的圖象上，則

點(diǎn)也如的坐標(biāo)為.

第6頁共34頁

【答案】(272021,0)

【分析】先設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x」)，然后由點(diǎn)G是。片的中點(diǎn)得到點(diǎn)耳的坐標(biāo)為(2x,2),進(jìn)而得到

XX

22

4的坐標(biāo)為(2x,0),即可得到O4=2X,44=4,然后由△04耳是等腰直角三角形得到2x=4,

XX

解方程得到X的值，即可得到點(diǎn)4的坐標(biāo)；然后設(shè)點(diǎn)C，的坐標(biāo)為(a,-)，進(jìn)而得到點(diǎn)B,和4的坐標(biāo),

a

從而由等腰直角三角形的性質(zhì)得到44=4修，求得。的值即可得到4的坐標(biāo)，用同樣的方法求得

點(diǎn)4坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)4、點(diǎn)4、4的坐標(biāo)猜測規(guī)律，得到點(diǎn)4以的坐標(biāo).

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x2)，

X

?.?點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

???點(diǎn)生的坐標(biāo)為(2X,2),

X

???4的坐標(biāo)為(2羽0),

2

/.OA=2x,AB=—,

XXXx

???△。4片是等腰直角三角形，

2

\OA=AB,即2x=—,

}XXX

解得：x=l或％=—1(舍)，

???點(diǎn)4的坐標(biāo)為(2,0)；

設(shè)點(diǎn)C,的坐標(biāo)為(a-)，

a

???點(diǎn)是4名的中點(diǎn),

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2a-2,-),點(diǎn)4的坐標(biāo)為(2a-2,0),

2a

442=2a—4,A，232——,

第7頁共34頁

△4^4是等腰直角三角形，

2

/.442="2'2'即2。—4——,

a

解得：a=l+C,或a=l-也（舍），

???點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2夜，0）,

設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（見,），

m

???點(diǎn)C3是4員的中點(diǎn),

???點(diǎn)名的坐標(biāo)為（2加-2后，2）,點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2冽-2亞，0）,

m

44=2m-4V2,A3B3=—,

m

???△出名4是等腰直角三角形，

n

4/3=4B3，即2m-46=一,

m

解得：m=V2+A/3sKm=V2-A/3（舍），

???點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2百，0）,…，點(diǎn)4o2i的坐標(biāo)為（2如五，0）,

故答案為：（272021,0）.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解

法，解題的關(guān)鍵是設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)得到點(diǎn)A和點(diǎn)8的坐標(biāo).

k

7.如圖，4是雙曲線＞=-（左＞0戶＞0）上一點(diǎn)，5是x軸正半軸上一點(diǎn)，以為直角邊向右構(gòu)造等

x

腰直角三角形/8C,ZBAC^90°,過點(diǎn)N作ND，/軸于點(diǎn)。，以為斜邊向上構(gòu)造等腰直角三

角形4DE,若點(diǎn)C,點(diǎn)E恰好都落在該雙曲線上，A48c與的面積之和為28,則左=.

【答案】36

【分析】分別過點(diǎn)E作E尸，x軸于點(diǎn)R交/。于點(diǎn)M,BGLAD,CHLAD,垂足分別為G、H,

第8頁共34頁

由題意易得△ABG/4CAH,進(jìn)而可得及0=MF,BG=AH,則設(shè)E(a,2a),/(2a,a),

則點(diǎn),然后根據(jù)A/BC與A/ZM的面積之和為28可構(gòu)建方程進(jìn)行求解.

【詳解】解：分別過點(diǎn)￡作軸于點(diǎn)凡交/。于點(diǎn)M,BGL4D,CHLAD,垂足分別為G、

H,如圖所示：

,/AADE是等腰直角三角形，

；.EM=DM=AM,

.??根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知點(diǎn)/、E的橫坐標(biāo)之比為2:1,則它們的縱坐標(biāo)之比為1:2,

?*.EF=2MF,即反攸=MF,

^ABC是等腰直角三角形,

：.AB=AC,ZBAC=90°,

：.ZGAB+NHAC=AGAB+NGBA=90°,

AHAC=ZGBA,

'：NBGA=ZAHC=90°,

:.4ABG沿ACAH（44S）,

：.BG=AH,

設(shè)E（q,2a）,4（2a,a）,

k=2a2,BG=AH=a,

：.DH=3a,

??點(diǎn),

CH=-a,

3

AC2=AH2+CH2=y?2,

第9頁共34頁

2

SADF=~AD-EM=aS=L/c2_§2,

△ADE27△ABC29

AABC與"DE的面積之和為28,

a2-----〃2—28,

9

???“2=18,

k=36；

故答案為36.

【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合，熟練掌握反比例函數(shù)與等腰直角三角形的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在方格紙中(小正方形的邊長為1),反比例函數(shù)y=&的圖象與直線的交點(diǎn)A、B在

X

圖中的格點(diǎn)上，點(diǎn)。是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且與點(diǎn)A、5組成以45為底的等腰△,則點(diǎn)。的

44

【分析】先求得反比例函數(shù)的解析式為^=—,設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(％,-),根據(jù)AC二BC得出方程，求

出X即可.

【詳解】由圖象可知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,-4),

代入》二七得：k=xy=4,

x

所以這個反比例函數(shù)的解析式是丁=之4，

x

4

設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(％,-),

x

VA(-1,-4),B(-4,-1),AC=BC,

即+14一3]二(-4-xj+1一1一?,

解得：x=±2,

第10頁共34頁

4

當(dāng)x=2時，y=—=2,

4

當(dāng)x=-2時，y=-=-2,

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2)或(-2,-2).

故答案為：(2,2)或(-2,-2).

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)圖象上

點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識點(diǎn)，能求出反比例函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵.

k

9.如圖，在A48O中，NA4O=90。，AO=AB,且點(diǎn)4(2,4)在雙曲線y=—(x>0)上，03交雙曲線

X

【分析】根據(jù)等腰直角三角形求得B得坐標(biāo)，聯(lián)立方程即可求得C得坐標(biāo).

【詳解】解：將A點(diǎn)代入得4=：,

k=8,

O

二?雙曲線y=—(x>0),

x

設(shè)點(diǎn)B(m,n)m>0

???△ABO為等腰直角三角形貝UAO=BO=T^OB

2

(〃-4/+(m-2)2=4+16

且m>0,

m2+n2=2(4+16)

m=6

解得

n=2

即B(6,2),

?,?直線OB得解析式為y=；x,

,1

尸.工

聯(lián)立方程:，且x>0

o

y=-

IX

第11頁共34頁

X=2y[6

解得2V6，

y=---

13

，c點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2次，巫）

3

故答案為：（2面，—）.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)

鍵.

三、解答題

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，一次函數(shù)y=x+l的圖象與反比例函數(shù)卜=幺（七0）的圖象交

X

于4,8兩點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)3的坐標(biāo)為（-2,〃），點(diǎn)/的坐標(biāo)為（加，2）.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）求A4O2的面積；

⑶在x軸上是否存在一點(diǎn)尸，使A4O尸是等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由.

【答案】⑴反比例函數(shù)的解析式為y=4；

x

3

（2）SAAOB=~；

⑶點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（10）或（2,0）或（石，0）或（-V5-0）.

【分析】（1）將點(diǎn)2坐標(biāo)代入直線y=x+1中，求出點(diǎn)8的坐標(biāo)，再將點(diǎn)8的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解

析式中，求解即可求出答案；

第12頁共34頁

(2)先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，即可求出答案；

(3)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)，再用等腰三角形的兩腰相等，分三種情況，建立方程求解，即可求出答案.

(1)

解：:點(diǎn)B(-2,〃)在直線y=x+l上，

：.B(-2,-1),

?:點(diǎn)B(-2,-1)在反比例函數(shù)產(chǎn)上的圖象上,

X

:?k=-2x(-1)=2,

2

???反比例函數(shù)的解析式為方—；

x

(2)

解：?直線產(chǎn)x+1①與1軸交于點(diǎn)C,

：.C(-1,0),

：.OC=1,

7

由反比例函數(shù)的解析式為y=二②,

X

x——2

聯(lián)立①②解得,

夕=-i

：.A(1,2),

113

SAAOB^S/^4OC+SABOC=-OC(yA-yB)=-xlx(2+1)=5；

(3)

解：設(shè)P(.m,0),

'：A(1,2),

OP-1m\,AP=+2?,OA-4S，

?.?△/o尸是等腰三角形，

①當(dāng)OP=AP時，|m|=J(〃I)2+22，

.5

..m=—,

2

二.尸(一，0)；

2

②當(dāng)OP=OA時，\m\=y/5，

m=±y/5，

第13頁共34頁

:.p(5o)或(-Vs,o)；

③當(dāng)。/=”時，y/5=^m-l)2+22,

/.m=0或m=2,

：.P(2,0)；

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(g,0)或(2,0)或(石，0)或(-V5,0).

【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，等腰三角形的性

質(zhì)，用分類討論和方程思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知N/C8=90。，N(0,2),C(6,2).。為等腰直

角三角形48c的邊8C上一點(diǎn)，且S443c=3SHOC.反比例函數(shù)y尸"(上0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)。.

X

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)若所在直線解析式為％=辦+”。彳0),當(dāng)%>力時，求x的取值范圍.

【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為y尸三；

x

(2)當(dāng)%>%時，0<x<4或x<-6.

【分析】(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及5/80=35/。。，求得。C=2,得到。(6,4),利用

待定系數(shù)法即可求解；

(2)利用待定系數(shù)法求得直線42的解析式,解方程》+2=上24，求得直線”=x+2與反比例函數(shù)y尸2三4

xx

的圖象的兩個交點(diǎn)，再利用數(shù)形結(jié)合思想即可求解.

(1)

解：\'A(0,2),C(6,2),

：.AC=6,

第14頁共34頁

???AABC是等腰直角三角形，

：.AC=BC=6,

9：SAABC=3SAADC,

.\BC=3DC,

：.DC=2,

AD(6,4),

k

??,反比例函數(shù)歹尸一(心0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)Q,

x

.*.^=6x4=24,

.??反比例函數(shù)的解析式為y尸2三4；

X

(2)

VC(6,2),BC=6,

8),

6a+b=S

把點(diǎn)5、4的坐標(biāo)分別代入歹2="+6中，得

b=2

a=l

解得:

b=2

：.直線AB的解析式為%=x+2,

24

解方程x+2二一，

x

整理得：X2+2X-24=0,

解得：x=4或x=-6,

24

???直線”二%+2與反比例函數(shù)”二一的圖象的交點(diǎn)為(4,6)和(-6,?4),

X

：.當(dāng)外>>2時，0<x<4或x<-6.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何的綜合，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，等腰直角三角形的

性質(zhì)等，求得點(diǎn)。的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，等腰的直角頂點(diǎn)。與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，反比例函數(shù)y=—卜<0)的

X

圖象經(jīng)過點(diǎn)A,反比例函數(shù)y=>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B.

第15頁共34頁

⑴試猜想相與〃的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）若〃=2,求當(dāng)點(diǎn)B的縱坐標(biāo)分別為1和2時，等腰用的面積;

⑶請直接寫出當(dāng)〃=2時，等腰MANB。的面積的最小值________.

【答案】（1）m=-〃，理由見解析

,55

（叩I

（3）2

【分析】（1）分別過點(diǎn)A,B向X軸作垂線，垂足為c,D.由已知可證得及A/CO絲MAODB.有

AC=OD,OC=BD.由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，|利=|“。岡0。，同=|OD|x忸必.從而有同=同.由

點(diǎn)A位于第二象限，點(diǎn)3位于第一象限，可得其關(guān)系.

（2）當(dāng)〃=2,點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為1時，得點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為2.點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為2時，得點(diǎn)8的橫坐標(biāo)

為L勾股定理可得。3=石.從而求得等腰MA/BO的面積；

（3）過點(diǎn)B作員軸，軸，垂足分別是M,N.有四邊形（WBN是矩形，且面積為定

值2.當(dāng)四邊形為正方形時，的值最小，且最小值為2.由此可求得MA/8O的面積的

最小值.

⑴

解：m=-n,理由如下：

如圖，分別過點(diǎn)A,5向％軸作垂線，垂足為C,D.

ZAOB=ZACO=ZBDO=90°,

???ZCAO=ZBOD.

在RMACO與RtLBDO中,ZACO=/BDO,

/CAO=/BOD,AO=BO,

RMACO2RMODB.

：.AC=OD,OC=BD.

第16頁共34頁

由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知,H=|^C|x|OC|,\n\^\OD\x\BD\

\m\-\n\.

又?..點(diǎn)A位于第二象限，點(diǎn)8位于第一象限,

m<0,n>0.

解：當(dāng)"=2,點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為1時，得點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為2.

如圖，在心△BDO中，由勾股定理可得08=石.

._75x75_5

??、AABO=2=~2?

當(dāng)〃=2,點(diǎn)3的縱坐標(biāo)為2時，得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1.

在R/XADO中，由勾股定理可得08=石.

,?V5xV?5

?'S.ABO=-；-=?

⑶

解：過點(diǎn)3作軸，軸，垂足分別是M,N.

則四邊形是矩形，且面積為定值2.

所以O(shè)M-8M=2,

第17頁共34頁

又OB=yjOM-+BM2=yJ(OM-BM『+2OM-BM，

所以當(dāng)0M=BA/時，OB取得最小值OB=N20M-BM=2，

則當(dāng)四邊形OMBN為正方形時，03的值最小，且最小值為2.

/.Rt^ABO的面積的最小值為工xO5x。/=』x2x2=2.

22

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)和幾何意義，關(guān)鍵在于利用反比例函數(shù)的性質(zhì)和幾何意義求得

三角形的邊長以及其面積與反比例函數(shù)的k的關(guān)系.

4

13.如圖，一次函數(shù)>=-工+5與反比例函數(shù)y=1(xwO)的圖象交于點(diǎn)4、B.

(1)求點(diǎn)4、B的坐標(biāo)；

4

⑵觀察圖象寫出不等式r+5〉一的解集；

X

4

⑶若位于第三象限的點(diǎn)M在反比例函數(shù)V=、(xwO)的圖象上，且是以45為底的等腰三角

形，請直接寫出點(diǎn)〃的坐標(biāo)和△跖13的面積；

【答案】⑴4(1,4),B(4,1)；

(2)1<%<4；

(3)13.5

【分析】(1)解函數(shù)解析式組成的方程組即可；

4

(2)不等式f+5>—即一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，根據(jù)圖象可得解集;

x

第18頁共34頁

(3)由N、8的坐標(biāo)得到N5中點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2.5,2.5),得至!!直線OC_L/B,且直線OC的解析

式為y=x,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，過點(diǎn)〃作y軸，交直線于點(diǎn)尸，利用的面積

=SAAMF-SABMF求出面積.

(1)

4

解：???一次函數(shù)P=r+5與反比例函數(shù)歹=[(片0)的圖象交于點(diǎn)/、B,

y=-x+5

???解方程組4，

y=-

IX

X]—1x2=4

解得

4=1

7i=y2

：.A(1,4),B(4,1)；

(2)

4

由圖象得，當(dāng)1<x<4時，—X+5>—；

x

(3)

'：A(1,4),B(4,1),

的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2.5,2.5),

?.?直線48交x軸、y軸于點(diǎn)E、D,

.?.點(diǎn)E(5,0),點(diǎn)。(0,5),

：.OE=OD,

：.直線0C_L/8,且直線OC的解析式為y=x,

4

當(dāng)》=一時，解得x=2(舍去)或x=-2,

X

??盧2

：.M(-2,-2),

第19頁共34頁

過點(diǎn)M作MFLy軸，交直線AB于點(diǎn)F,

-x+5=-2,得x=7,

點(diǎn)尸(7,-2),

/.LMAB的面積

=—x9x6--x9x3

22

=13.5.

【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，求函數(shù)解析式，利用圖象得到不等式的解集,

等腰三角形的性質(zhì)，求圖形的面積，正確掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的知識是解題的關(guān)鍵.

14.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)以=履+6(即0)與反比例函數(shù)竺=一(m^O)的圖

尤

4

象交于N、8兩點(diǎn)，過點(diǎn)/作/D_Lx軸于。，/。=5,tan/40D=§,且點(diǎn)8的坐標(biāo)為(〃，-2).

⑴求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

(2)請直接寫出〃>為時，x的取值范圍；

⑶在x軸上是否存在一點(diǎn)E,使△/OE是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的￡點(diǎn)坐標(biāo);

若不存在，請說明理由.

【答案】(1)H=上，fx+2

X3

(2)x<-3或0<x<6

25

(3)(-6,0),(-5,0),(5,0)或(--0)

6

【分析】(1)先解直角三角形求出。。=3,40=4,得到點(diǎn)/的坐標(biāo)為(-3,4),求出反比例函數(shù)解

析式，從而求出2點(diǎn)坐標(biāo)，即可利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；

(2)觀察圖象可知時，即為一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，由此求解即可；

(3)分三種情況當(dāng)時，當(dāng)CM=OE時，當(dāng)/￡=。￡時，三種情況討論求解即可.

⑴

第20頁共34頁

4

解：U：ADLOD,tanZAOD=-,

3

Ar)44

—=—,即4D=—QD,

OD33

,AO2=AD2+OD2=—OD2=25,

9

.OD=3,

AD=4f

；?點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-3,4）,

4——,即左=—12,

-3

???反比例函數(shù)的解析式為竺=1-2上，

???5的坐標(biāo)為（力-2）,且5在反比例函數(shù)圖像上,

：.n=6,即點(diǎn)5的坐標(biāo)為（6,-2）,

.j-3k+b=4

[6k+b=-2f

一二

??,3,

b=2

；?一次函數(shù)的解析式為”=-jx+2；

⑵

解：觀察函數(shù)圖象，可知；當(dāng)x<-3或0<x<6時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方,

.?.當(dāng)以>丁2時，x<-3或0<x<6.

⑶

解：如圖3-1所示，當(dāng)時，

"CADLOE,

：.OE=2OD=6,

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-6,0)；

圖3-1

第21頁共34頁

如圖3-2所示，當(dāng)CM=OE=5時，則￡點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)或(-5,0)；

圖3-2

如圖3-3所示，當(dāng)￡/=￡。時，設(shè)點(diǎn)￡坐標(biāo)為(加，0),

AE2=(m+3)2+42=m2,

25

解得m=--—,

6

25

???點(diǎn)￡1的坐標(biāo)為(--0)；

6

25

綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-6,0),(-5,0),(5,0)或(——，0).

6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，反比例函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰

三角形的性質(zhì)與定義，兩點(diǎn)距離公式等等，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線N3與x軸交于點(diǎn)2,與y軸交于點(diǎn)。(0,2),且與反比例

函數(shù)V=9在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)A,作ND，x軸于點(diǎn)。,。。=2.

X

第22頁共34頁

y

/0|DX

(1)求直線45的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)尸是〉軸上的點(diǎn)，若△/CP的面積等于4,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶設(shè)E點(diǎn)是x軸上的點(diǎn)，且AEBC為等腰三角形，直接寫出點(diǎn)￡的坐標(biāo).

【答案】(l)y=gx+2

⑵尸(0,6)或尸(0,-2)

(3)(275-4,0)或(-2V5-4,0)或(4,0)或(-1.5,0).

【分析】(1)由軸，。。=2,即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得此一次

函數(shù)的解析式；

(2)由點(diǎn)尸是y軸上的點(diǎn)，若A4CP的面積等于4,可求得CP的長，繼而求得點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)先求出8坐標(biāo)，由勾股定理求出8C值，分三種情況：①當(dāng)&￡=BC時，②當(dāng)CB=CE時,

③當(dāng)班=EC時，分別討論即可.

(1)

解：軸，OD=2,

...點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為2,

將x=2代入得y=3,

x

.,.A(2,3),

設(shè)直線N5的函數(shù)解析式為夕=區(qū)+6("0)

fb=2

將點(diǎn)C(0,2)、A(2,3)代入y=fcc+6得、

\2k+b=3

b=2

k=—

[2

直線N3的函數(shù)解析式為y=；x+2；

(2)

第23頁共34頁

解：：點(diǎn)尸是y軸上的點(diǎn)，A4C尸的面積等于4,A(2,3),

S.UCP=yCPx|xJ1CPx2=4,

:.CP=A,

VC(0,2),點(diǎn)尸是y軸上的點(diǎn)，

：.P(0,6)或P(0,-2)；

(3)

解：直線N5的函數(shù)解析式為y=gx+2,

令產(chǎn)0,得x=-4,

：.B(-4,0),

VC(0,2),

.".05=4,OC=2,

：.BC=V42+22=25/5>

①當(dāng)3￡=2C=2右時，Ei(275-4,0),或E?(-275-4,0)；

②當(dāng)CB=CE時，OB=OE3,則￡3(4,0)；

③當(dāng)班=EC時，點(diǎn)E在線段8c的垂直平分線上，設(shè)點(diǎn)以(加，0),連接C&,

則(m+4)2=22+m2,解得ZM=-1.5,

故。(-1.5,0)；

綜上：E的坐標(biāo)為(2店40)或(-2際-4,0)或(4,0)或(-1.5,0).

【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及反比例函數(shù)

與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

16.如圖所示，ACMB的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)＞=￡(左＞0)的圖象上，直線交V軸于點(diǎn)C,且點(diǎn)

第24頁共34頁

C的縱坐標(biāo)為5,過點(diǎn)A、B分別作〉軸的垂線/E、BF,垂足分別為點(diǎn)E、F,且/E=1,

0E:EC=2:3.

(1)求上的值；

(2)若AO48為等腰直角三角形，NAOB=90。.求證：^OAE=^BOF；

(3)把歸-引+|必-印稱為“(匹,弘)，N?,%)兩點(diǎn)間的“力距離"，記為d(MN)在(2)條件

下，求d(4C)+d(4B)的值.

【答案】(1)2；(2)見解析；(3)8.

【分析】(1)先根據(jù)OE：EC=2:3、OC=5求出0E的長度，確定E的坐標(biāo)，再結(jié)合V軸、AE=\

確定/的坐標(biāo)，最后代入反比例函數(shù)解析式即可求得匕

(2)由△0/8為等腰直角三角形，可得。4=02、ZAOB=90°,再根據(jù)同角的余角相等可證

ZAOE=ZFBO,然后根據(jù)44s證明AO/EMABO尸即可；

(3)由"Z/距離"的定義可知dN)為MV兩點(diǎn)的水平距離與垂直距離之和，由“AE*BOF

可得8尸=?！?2、OF=AE=l,即可確定2點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合C點(diǎn)坐標(biāo)解答即可.

【詳解】解：(1)；OE：EC=2:3,OC=5,

2

OE=-OC=2,即：E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2).

又?.?4￡1_Ly軸，AE=l,

：./(1,2),

...左=1x2=2.

(2)在為等腰直角三角形中，AO=OB,ZAOB=90°,

：.ZAOE+ZFOB=90°,

又二BFly^,

第25頁共34頁

ZFBO+ZFOB=90°,

：.ZAOE=ZFBO,

在△O4E■和ABOF中，

ZEO=NOFB=9（T

，/AOE=NFBO,

AO=BO

：.△CUE三ABOF（AAS）.

（3）解：點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,2）,

"AEmBOF,

:.BF=OE=2,OF=AE=1,

又?；C（0,5）,

6?（4C）+6?（AS）=|l-0|+|2-5|+|l-2|+|2+l|=8,

d（4C）+"（45）=8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定與

性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)等知識，掌握三角形全等的性質(zhì)和判定以及數(shù)形結(jié)合的思想是解本題的

關(guān)鍵.

17.設(shè)/（a,n）為雙曲線y=—（k>0,x>0）上一點(diǎn)，過點(diǎn)/作48_Lx軸于2點(diǎn)，48的垂直平分

X

線交〉軸于點(diǎn)C,交雙曲線于點(diǎn)P定義：P為4點(diǎn)的中垂點(diǎn)；特別的，當(dāng)△ABP為等腰直角三角

形時，又稱P為N點(diǎn)的完美中垂點(diǎn).

（1）若后=8,且/點(diǎn)存在完美中垂點(diǎn)，則N的坐標(biāo)是

（2）四邊形ACBP一定為.（填字母）

A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形

（3）若的面積為6時，則k=_.

（4）設(shè)P為N的中垂點(diǎn)，。又為P的中垂點(diǎn)，且△/P。是等腰三角形，試求左關(guān)于。的函數(shù)表達(dá)

式.

第26頁共34頁

【分析】（1）利用等腰直角三角形和垂直平分線的性質(zhì)求解即可；

（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出/尸=8P=3C=NC,從而可判斷四邊形的形狀；

（3）用含有左的式子表示出P的面積，進(jìn)而建立方程即可求解；

（4）根據(jù)4P,。的坐標(biāo)，表示出4爐,/02,尸02,然后利用等腰三角形的定義分三種情況:

①/尸2=尸切；②/產(chǎn)=/°2；③AQ2=PQ"分別進(jìn)行討論即可.

【詳解】解：（1）：4=8,

8

2=-?

X

Q

A（a,n）為雙曲線y=—（x〉0）上一點(diǎn)，

an=S,

8

ci——,

n

'：A點(diǎn)存在完美中垂點(diǎn)，

???72P為等腰直角三角形,

ZBAP=NABP=45°.

第27頁共34頁

TCP垂直平分

/.NDAP=ZAPD=45°,

/.AD=PD.

???」(〃,〃),尸為4點(diǎn)的完美中垂點(diǎn),

〃168

n—=--------

2nn

n=4,〃=-4,

經(jīng)檢驗：它們都是原方程的根，但〃=-4不符合題意，舍去,

4(2,4)；

(2)Ye尸垂直平分48,

/.AP=BP,AC=BC.

,/A^a,n),P

:.CD=-,PD=-

nn

:.CD=PD.

ABLCP,

CB=BP,

AP=BP=BC=AC,

???四邊形4c5尸一定為菱形;

2k11.1(2kk\(,

----n—7k—k—-----------n—=o,

n222(〃nJ\2)

-k=6

4

=8；

(4)I?尸為/的中垂點(diǎn)，。又為尸的中垂點(diǎn),

J,

AP2=

nn)2J”4

第28頁共34頁

???△/尸0是等腰三角形，

①/尸2=尸02

?k=4a2;

②/產(chǎn)=/°2,無解;

③AQ2=PQ2,無解；

綜上所述，k=^a2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與等腰三角形的定義，垂直平分線的性質(zhì)，分情況討論是關(guān)鍵.

18.點(diǎn)8的坐標(biāo)為（2,4）,軸于點(diǎn)A,連接,將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△D4E.

【答案】（1）F的坐標(biāo)為3+底；（2）滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,0）或（5,0）或（275,0）

\7

或卜2石,0）.

2

【分析】（1）先求出點(diǎn)C（1,2）,進(jìn)而求出反比例函數(shù)解析式為y二一，再由旋轉(zhuǎn)求出AD=OA=2,

x

AE=AB=4繼而求出OE=6,再判斷出△FMEs/\DAE,得出點(diǎn)F（6-2a,a）,即可得出結(jié)論；

（2）分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)，建立方程求解即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）:點(diǎn)C是OB的中點(diǎn)，B（2,4）,

AC（1,2）,

設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=-,

X

第29頁共34頁

.*?k=lx2=2,

2

，反比例函數(shù)解析式為y=—,

X

VBA±x軸于點(diǎn)A,

0A=2,AB=4,

由旋轉(zhuǎn)知，AADE四△AOB,

AZDAE=ZOAB=90°,AD=OA=2,AE=AB=4,

AOE=OA+AE=6,

.,.△FME^ADAE,

AFM：AD=EM：AE,

設(shè)FM=a(a>2),

.aEM

??一二,

24

AEM=2a,

AOM=OE-EM=6-2a,

???F(6-2a,a),

2

??,點(diǎn)F在反比例函數(shù)y二一圖象上，

x

Aa(6-2a)=2,

...a=3+〃(舍)或a=3一0,

22

Z.F(3+右，上正)；

2

(2)設(shè)點(diǎn)P(m,0),

VO(0,0),B(2,4