二次函數(shù)知識歸納與題型突破（16類題型清單）解析版-2024-2025學年蘇科版九年級數(shù)學下冊

二次函數(shù)知識歸納與題型突破（16類題型）

01思維導圖

二次函數(shù)的概念

開口方向、對稱軸、頂點、增減性

二次函數(shù)的圖象

圖象與系數(shù)的關系

二次函數(shù)的解析式

二次函數(shù)

二次函數(shù)的圖象與幾何變換

與X軸交點

二次函數(shù)與一元二次方程

與y軸交點

二次函數(shù)與實際問題

02知識速記

一、二次函數(shù)的概念

1.形如y+bx+c（其中。，“C是常數(shù)，。片0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，稱。為二次項系數(shù)，b為一

次項系數(shù)，。為常數(shù)項.

注意：二次項系數(shù)而b,C可以為零.二次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實數(shù).

2.二次函數(shù)尸辦2+6x+c的結構特征：

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量x的二次式，尤的最高次數(shù)是2.

⑵a,6,c是常數(shù)，。是二次項系數(shù)，6是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.

二、二次函數(shù)的圖象

1.二次函數(shù)y（awO）的圖象是一條拋物線，它關于歹軸對稱，頂點是坐標原點.當a〉0時,拋物

線開口向上，頂點是拋物線的量低點；當。＜0時，拋物線開口向下,頂點是拋物線的最高點.

2.二次函數(shù)y=a（x-機1（awO）的圖象的頂點坐標是（加，0）,對稱軸是直線x=4.圖象的開口

方向：當?！?時，開口向上；當。＜0時，拋物線開口向下.

3.二次函數(shù)y=a（x-機y+左（。/0）的圖象的頂點坐標是（m,k）,對稱軸是直線x=加.圖象的開

口方向：當。〉0時，開口向上；當。＜0時，拋物線開口向下.

4.二次函數(shù)y+―+。（。00）的圖象是一條拋物線,它de對稱軸是直線x=-2,頂點坐標

2a

'b4ac-b2'

是——一,--------當?！?時，拋物線開口向上,頂點是拋物線上的最低點;當。＜0時，拋物線開

[2a4aJ

口向下,頂點是拋物線上的最高點.

三、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系

二次函數(shù)y+8+。（awo）的系數(shù)與圖象的關系

（1）。的符號由拋物線y=ax?+bx+c的開口方向決定：開口向上=?！?,開口向上=?！?；

（2）6的符號由拋物線＞=辦2+反+。的對稱軸的位置及。的符號共同決定：對稱軸在y軸左側）

同號，對稱軸在y軸右側0a,6異號；

（3）c的符號由拋物線y=a/+云+。與y軸的交點的位置決定：與y軸正半軸相交=c〉0,與y軸

正半軸相交=c＜0

四、二次函數(shù)的圖象與幾何變換

I.二次函數(shù)的平移

（1）平移步驟：

①將拋物線解析式轉化成頂點式y(tǒng)=a（x-〃y+左，確定其頂點坐標（〃，左）；

②保持拋物線y=ax?的形狀不變，將其頂點平移到僅，外處，具體平移方法如下:

y"可Ayaix-h^^k

向上(A>0)［或下(ZvO)】平移因個單位

(2)平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎上“分值正右移，負左移；左值正上移，負下移”.概括成八個字“左加右減，上加下

減”.

2.二次函數(shù)圖象的對稱

(1)關于x軸對稱

y=ax2+云+°關于》軸對稱后，得到的解析式是y=-bx-c；

y=a(^x-h)2+k關于x軸對稱后，得至U的解析式是y=-a(x-/z『-k；

(2)關于》軸對稱

y=ax1+加+(?關于)，軸對稱后，得到的解析式是了二??-bx+c；

y=a(^x-h)2+k關于y軸對稱后，得到的解析式是y=。(％+/7丫+k；

(3)關于原點對稱

y=ax2+6x+c關于原點對稱后，得到的解析式是y=-"?+bx-c；

y=a(x-h)2+k關于原點對稱后，得到的解析式是y=-a(x+/z)2-左；

4.關于頂點對稱

川

y=ax2+6x+c關于頂點對稱后，得到的解析式是y=-ax?-bx+c---；

2a

y=。5-療+k關于頂點對稱后，得到的解析式是y=-a(x-〃y+k.

根據(jù)對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此時永遠不變.求拋物

線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物

線(或表達式已知的拋物線)的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后

再寫出其對稱拋物線的表達式.

五、二次函數(shù)的解析式

1.二次函數(shù)解析式的表示方法

(1)一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),awO)；

(2)頂點式：y=a(x-h)2+k(a,h,左為常數(shù)，awO)；

(3)兩根式：y=a(x-X1)(x-x2)(awO,xi,尤?是拋物線與工軸兩交點的橫坐標).

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只

有拋物線與x軸有交點，即4就20時，拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函數(shù)解析式的

這三種形式可以互化.

2.二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便.

一般來說，有如下幾種情況：

(1)已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；

(2)已知拋物線頂點或對稱軸或最大(小)值，一般選用頂點式；

(3)已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；

(4)已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式.

六、二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、頂點

22

函數(shù)y=ax+bx+c(Q〉0)y=ax+bx+c(a<0)

圖象的開口方向向上向工

直線x=_2直線x=_2

對稱軸2a2a

(b4ac-](b4QC-]

頂點坐標

[2Q，4。J[2/4QJ

七、二次函數(shù)的增減性

函數(shù)y=ax2+bx+c(a〉0)y=ax2+bx+c(a<0)

當X〈一二時，y隨X的增大而減小;當x<-2時，y隨x的增大而增大;

2a2a

增減性

當》>一2時，y隨x的增大而增大；當X>-2時，y隨x的增大而減小；

2a2a

二次函數(shù)的最值

函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)y-ax2+bx+c(a<0)

當戶一2時，y有最小值超二6，當X=-2時，y有最大值超上，

最值2a4a2a4。

無最大值；無最小值.

八、二次函數(shù)與一元二次方程

二次函數(shù)y=a/+&v+c（a,b,c是常數(shù)，aNO）

1.拋物線與x軸的交點的橫坐標是一元二次方程ax2+bx+c=O的解.

2.若已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值為S,求自變量X的值，就是解一元二次方程a^+bx+cf.

九、二次函數(shù)與x軸交點情況

對于二次函數(shù)y=a/+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）△=%?-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：

①△=62-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點；

②△=廬-44=0時，拋物線與x軸有1個交點；

③△=/?-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.

03題型歸納

題型一二次函數(shù)的識別

例題：（23-24九年級下?江蘇連云港?階段練習）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有（）

①產=3-&2；②尸丁;③了=x（3-5x）；④了=（1+2x）（1-2x）+4/

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，解題的關鍵是熟練的掌握二次函數(shù)的定義.把關系式整理成一般形式,

根據(jù)二次函數(shù)的定義判定即可解答.

【詳解】①y=3-氐2,是二次函數(shù)；

@y=4>分母中含有字母，不是二次函數(shù)；

X

③y=x（3-5x）=-5/+3x,是二次函數(shù)；

④y=（l+2x）（l-2x）+4/=1-4/+4/=1,不是二次函數(shù).

則二次函數(shù)共2個，

故選：B

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1.(2024九年級上?全國?專題練習)下列y關于x的函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是()

A.了=(°+2*+1B.y=-^+lC.^=(x+2)(x+l)-x2D.y=2f+3x

【答案】D

【分析】本題考查二次函數(shù)的識別，根據(jù)二次函數(shù)的一般形式：形如y="2+6x+c(a,b,c為常數(shù)且

。中0),逐一判斷即可解答.

【詳解】解：A,v=(a+2)x2+l(a^-2),是二次函數(shù)，故/不符合題意；

B、y=3+l,不是二次函數(shù)，故8不符合題意；

X

c、y=(x+2)(x+l)-x2=3x+2,是一次函數(shù)，故C不符合題意；

D、y^2x2+3x,是二次函數(shù)，故。符合題意；

故選：D.

2.(2024九年級下?江蘇?專題練習)下列函數(shù)關系式中，二次函數(shù)的個數(shù)有()

⑴(2)尸一一；(3)S=3-2〃；(4)>=/+2/-1；(5)y=3x(2-x)+3x2；(6)

x-x

y=mx1+8.

N.1個8.2個C.3個D4個

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如>=。必+云+°(見"c為常數(shù)，。*0)的函數(shù)叫做二次函

數(shù).判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關系式是整式的前提下，如果把關系式化簡整理(去括號、合并同

類項)后，能寫成》="2+6x+c(a,6,c為常數(shù)，a，0)的形式，那么這個函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是.

【詳解】解：(1)y=3(x-l)2+l是二次函數(shù)，故符合題意；

(2)y=^~,不是二次函數(shù)，故不符合題意；

X-X

(3)S=3-2/是二次函數(shù)，故符合題意；

(4)>=》4+2，-1不是二次函數(shù)，故不符合題意；

(5)了=3武2-句+3/=6工不是二次函數(shù)，故不符合題意；

(6)y=mx2+8,不確定加是否為0,不一定是二次函數(shù)，故不符合題意;

綜上所述，二次函數(shù)有2個.

故選：B.

3.(23-24九年級上?山東青島?階段練習)下列各式：(1)y=22-3x；(2))=3-2x+5/；(3)

y=士+2x-3；(4)y=ax2+bx+c；(5)y=(2x-3)(3x-2)-6￡；(6)

X

y-[m1+l)x2+3x-4；(7)y=m2x2+4x-3.是二次函數(shù)的有()

1個2.2個C.3個D4個

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如y=a/+6x+c(a,b,c為常數(shù)，awO)的函數(shù)叫做

二次函數(shù).根據(jù)二次函數(shù)的定義逐項分析即可.

【詳解】解：(1)>=22-3x是一次函數(shù)，故不符合題意；

(2)y=3-2*+5必是二次函數(shù)，故符合題意；

(3)y=[+2x-3的分母含自變量，不是二次函數(shù)，故不符合題意；

X

(4)當。=0時，了=辦2+加+<:不是二次函數(shù)，故不符合題意；

(5)y=(2x—3)(3x-2)—6/=-13x+6是一次函數(shù)，故不符合題意；

(6)少=(必2+1)必+3x-4是二次函數(shù)，故符合題意；

(7)當機=0時，了=布/+4x-3不是二次函數(shù)，故不符合題意.

故選民

4.(2024九年級上?全國?專題練習)在函數(shù)①y=ox?+6x+c,=(x-l)2-x2,③>=5--■號，(4)

丁=-/+2中，y關于x的二次函數(shù)是—.(填寫序號)

【答案】④

【分析】本題考查二次函數(shù)的定義，能夠根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷函數(shù)是否屬于二次函數(shù)是解決本題的關

鍵.根據(jù)形如'="2+法+?。工0)是二次函數(shù)，可得答案.

【詳解】解:①a=0時y=辦？+6x+c是一次函數(shù)，

(2)=(x-1)2-x2=x2-2x+1-x2=-2x+l是一次函數(shù)；

③y=5,一身不是整式，不是二次函數(shù)；

X

④了=-2+2是二次函數(shù)，

故答案為：（4）.

題型二利用二次函數(shù)的定義求參數(shù)

例題：（23-24八年級下?云南?期末）若函數(shù)尸（用-2*"+苫-1是關于苫的二次函數(shù).則常數(shù)加的值是.

【答案】T

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的定義，列出關于加的方程和不等式，是解題的關鍵.

根據(jù)二次函數(shù)的定義即可得出關于加的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出結論.

【詳解】解：,??y=（俏-2及謂-?，+丫-1是關于光的二次函數(shù)，

J加-2w0

[m2-m=2?

解得：m=-l.

故答案為：-1

鞏固訓練

1.（23-24九年級上?廣東廣州?階段練習）己知函數(shù)了=（機+1）X"/M+2X,當加=時，它是二次函數(shù).

【答案】1

【分析】根據(jù)形如'="2+法+°（。*（））的函數(shù)是二次函數(shù)，以此計算即可.

本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次項系數(shù)不為零，最高次項的次數(shù)是2是解題的關鍵.

【詳解】解：+1）/M+2X是關于x的二次函數(shù),

+1=2,一目.加+1W0,

解得加=1或〃7=-1,且加片-1,

；.m=1.

故答案為：1.

2.（23-24九年級上?四川涼山?階段練習）若了=（機-2）尤阿+2x+3是關于x的二次函數(shù)，則掰的值是.

【答案】-2

【分析】本題考查二次函數(shù)定義，根據(jù)二次函數(shù)定義，得到旭-2*0,|同=2,即可得到答案，熟記二次函

數(shù)定義是解決問題的關鍵.

【詳解】解：2）/"+2x+3是關于x的二次函數(shù)，

...機一2片0,|同=2,即機*2,加=±2,

m=—2,

故答案為：—2.

3.（23-24九年級上?四川綿陽?期末）已知函數(shù)y=（療-3加）--小的圖象是拋物線，則機=.

【答案】-1

【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，利用了二次函數(shù)的定義：形如y=a/+6x+c（aw0）是二次函數(shù)，注

意二次項的系數(shù)不等于零是解題關鍵.根據(jù)二次函數(shù)最高次數(shù)是二次，二次項的系數(shù)不等于零，可得答案.

—2/7?—1—2

【詳解】解：根據(jù)題意得：2,-

m-3mn

解得：m=—l,

故答案為：-1.

4.（23-24九年級上?全國?單元測試）若函數(shù)＞=（左-1）/-3e+2》-1是二次函數(shù).

（1）求上的值.

（2）當x=0.5時，求了的值.

【答案】（1）左=2；

⑵尸卜

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義解答即可求解；

（2）把x=0.5代入（1）中所得的函數(shù)解析式計算即可求解；

本題考查了二次函數(shù)的定義，求函數(shù)值，掌握二次函數(shù)的定義是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：由題意得，〃-3左+4=2,且左-1H0,

解得左=2；

（2）解：把左=2代入y=（4-l）x"3+4+2x-i得，y=x2+2x—l,

.??當尤=0.5時，y=0.52+2x0.5-l=-.

題型三二次函數(shù)中各項的系數(shù)

例題：（23-24九年級下?全國?課后作業(yè)）若二次函數(shù)了=-f_i的二次項系數(shù)為0,一次項系數(shù)為6,常數(shù)項

為c,貝!Ia=,b=,c=.

【答案】-10-1

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)有關概念.熟練掌握二次函數(shù)各項系數(shù)的概念，是解決問題的關鍵.

根據(jù)二次函數(shù)各項的系數(shù)填空.

【詳解】、?二次函數(shù)為

???二次項系數(shù)為T,一次項系數(shù)為0,常數(shù)項為-1,

???a——l,b—0,c——l.

故答案為：-1,0,-1.

鞏固訓練

1.（23-24九年級上?安徽蕪湖?階段練習）關于函數(shù)丁=（10-切（尤+1）,下列說法中正確的是（）

A.二次項系數(shù)是18.一次項系數(shù)是9C.常數(shù)項是-10D.了是關于x的一次函數(shù)

【答案】B

【分析】本題考查二次函數(shù)的定義，理解二次函數(shù)的解析式是解題的關鍵.

【詳解】解：y=（10-x）（x+l）=-x2+9x+10,

該函數(shù)是二次函數(shù)，其二次項系數(shù)是-1,一次項系數(shù)是9,常數(shù)項是10,

則N、C、。說法錯誤，8說法正確，

故選:B.

2.（23-24九年級上?四川南充?階段練習）二次函數(shù)了=/-3》+5的二次項是一，一次項系數(shù)是,

常數(shù)項是.

【答案】x2-35

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可。

【詳解】解：二次函數(shù)-3x+5的二次項是無2,一次項系數(shù)是-3,常數(shù)項是5,

故答案為：①x?,②-3,③5,

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，要熟練掌握，一般地，形如了="2+8+以。、b、c是常數(shù)，?*0）

的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其中x、V是變量，a、b、c是常量，。是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常

數(shù)項.

3.(23?24九年級上?浙江紹興?階段練習)已知二次函數(shù)歹=1-5X+3-,則二次項系數(shù)。=_,一次項系數(shù)

b-__.

【答案】3-5

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可求解.

【詳解】解：二次函數(shù))=1-5x+3,的二次項系數(shù)0=3,一次項系數(shù)6=-5,

故答案為：3；-5.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

題型四把y=a^+bx+c化成頂點式

例題：(23-24九年級上?浙江溫州?期末)將二次函數(shù)的解析式丁=苫2-6X化成y=。(》+機)2+4的形式為.

【答案】y=(x-3)2-9

【分析】本題考查了將二次函數(shù)解析式化為頂點式，直接利用配方法將原式變形進而得出答案，正確配方

是解此題的關鍵.

【詳解】解：j=x2-6x=x2-6x+9-9=(x-3)*-9,

將二次函數(shù)的解析式了=尤2-6x化成y=a(x+m)2+左的形式為y=(x-3]-9,

故答案為：J^=(X-3)2-9.

鞏固訓練

1.(23-24九年級上?黑龍江綏化?期末)將二次函數(shù)y=2?—12x+3轉化為y=a(x-為＞+左的形式

為.

【答案】J=2(X-3)2-15

【分析】本題考查二次函數(shù)的一般式化為頂點式，解題的關鍵是掌握配方法.根據(jù)題意利用配方法加上一

次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉化為頂點式即可.

【詳解】解：y=2x2-12x+3

=2(X2-6X+9)+3-18

=2(X-3『-15,

故答案為：y=2(x-3)2-15

2.（23-24九年級上?湖北孝感?階段練習）用配方法把二次函數(shù)y=-2x2-4x+l寫成了=。（》-人）2+4的形式

為.

【答案】y=-2（x+l『+3

【分析】本題考查了將二次函數(shù)表達式化為頂點式，先將二次項系數(shù)提取因式，再根據(jù)完全平方公式進行

配方，即可解答.

【詳解】解：J^=-2X2-4X+1=-2（X2+2X）+1=-2（X+1）2+3,

故答案為：^=-2（X+1）2+3.

3.（23-24九年級上?北京東城?期末）用配方法將二次函數(shù)y=；--2x-4化為＞=a（xi）2+左的形式

為.

19

【答案】y=-（x-2）-6

【分析】本題考查了一般式化頂點式，熟練掌握配方法是解答本題的關鍵.根據(jù)配方法求解即可.

【詳解】解：y=^x2-2x-4

=1（x2-4x）-4

=1（X2-4X+4-4）-4

19

=-（^-2）--2-4

=*-2）2-6.

故答案為：J=1（X-2）2-6.

題型五已知二次函數(shù)上一點，求字母或代數(shù)式的值

例題：（2023?四川南充?一模）點尸（。⑼在函數(shù)昨4/-3的圖象上，則代數(shù)式（20+3乂2。-3）的值等于.

【答案】3

【分析】利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出4/=12,將其代入（2a+3）（2a-3）=4/_9中即可求出

結論.

【詳解】解：?.?點尸（見9）在函數(shù)y=4/_3的圖象上,

.-.9=4a2-3,

4/=12,

則代數(shù)式（2。+3）（2叱3）=4力-9=12-9=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，牢記直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式是解題

的關鍵.

鞏固訓練

1.拋物線y="2+6x-3過點（2,4）,則代數(shù)式8a+46的值為（）

A.14B.2C.-2D.-14

【答案】A

【分析】將點（2,4）的坐標代入拋物線》="2+加-3關系式，再整體擴大2倍，即可求出代數(shù)式的值.

【詳解】解：將點（2,4）代入拋物線y=ox2+6x-3得

4。+26-3=4,

整理得8a+46=14.

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟悉整體思想是解題的關鍵.

2.若拋物線了=-/+/+。經過點（―2,3）,貝|2-46-7的值是（）

A.6B.7C.8D.20

【答案】B

【分析】先把點（—2,3）代入解析式，得至Uc-26=7,然后化簡2c-46-7=2（c-4b）-7,整體代入即可得到答

案.

【詳解】解：把點（一2,3）代入＞=-，+云+。，

得：c-2b=l,

2c-4/）-7=2（c-2b）-7

=2x7-7=7；

故選擇：B.

【點睛】本題考查了一元二次方程，解題的關鍵是靈活運用整體代入法解題.

3.二次函數(shù)了=亦2+樂-3（。彳0）的圖象經過點（2,-2）,則代數(shù)式2a+b的值為—.

【答案】7

【分析】把（2,-2）代入函數(shù)解析式，即可求解.

【詳解】解：把（2,-2）代入函數(shù)解析式，得

4Q+2b—3——2,

C71

:.2a+b=—,

2

故答案為：y.

【點睛】本題考查了坐標與圖形，代數(shù)式求值問題，熟練掌握和運用坐標與圖形的關系是解決本題的關鍵.

題型六二次函數(shù)yjd+Zix+c的圖象和性質

例題：（2024?四川綿陽?模擬預測）關于二次函數(shù)y=/-2x+3的性質說法正確的是（）

A.對稱軸為x=2B.函數(shù)最小值為2

C.當x>0時，>隨x的增大而增大D.當x<2時，y隨x的增大而減小

【答案】B

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質，根據(jù)二次函數(shù)的性質，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：-y=犬-2x+3=+2,

.??對稱軸為直線x=l,函數(shù)的最小值為2；故/選項錯誤，8選項正確；

.,.當x>l時，y隨x的增大而增大，當x<l時，y隨x的增大而減小；故C,。選項錯誤；

故選人

鞏固訓練

1.（23-24九年級上?浙江紹興?期中）對拋物線>=-/+以一3而言，下列結論正確的是（）

A.開口向上B.與了軸的交點坐標是（0,3）

C.與兩坐標軸有兩個交點D.當x=2時，有最大值1

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，將二次函數(shù)解析式化為頂點式求解，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)圖

象與系數(shù)的關系.

【詳解】解：A、?.?拋物線y=-x2+4x-3中，-1<0,

???拋物線開口向下，故此選項錯誤，不符合題意;

B、當x=0時，y=-x2+4x—3=—3,

???拋物線與y軸交點坐標為(o,-3),故此選項錯誤，不符合題意；

C,■,-A=42-4X(-1)X(-3)=4>0,

...拋物線與x軸有2個交點，

又???拋物線與V軸交點坐標為(0,-3),

???與兩坐標軸有三個交點，故此選項錯誤，不符合題意；

D、y-—x2+4x-3=-(x-2)~+1,

???對稱軸為直線x=2,頂點坐標為(2,1),

.?.當x=2時，y=l為函數(shù)最大值，故此選項正確，符合題意；

故選：D.

2.(2024?河南周口?模擬預測)如圖，拋物線>=如2+云+。交x軸于Q0),(3,0),則下列判斷錯誤的是

A.拋物線的對稱軸是直線x=2

B.當x>2時，y隨X的增大而減小

C.一元二次方程G2+6X+C=0的兩個根分別是1和3

D.當”0時，x<l

【答案】D

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，從圖象中有效的獲取信息，利用對稱性，增減性和二次函數(shù)與

一元二次方程的關系，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：,??拋物線y=a/+bx+c交x軸于(1,0),(3,0),

???拋物線的對稱軸是直線x=g2=2,故N選項正確；

一元二次方程亦2+方無+c=o的兩個根分別是1和3,故C選項正確；

由圖象可知：當x>2時，了隨x的增大而減小，故3選項正確;

當y<0時，x<l或x>3,故。選項錯誤；

故選D

3.（2024九年級上?全國?專題練習）已知一個二次函數(shù)>=0^+云+。的自變量x與函數(shù)y的幾組對應值如

下表：

X-4-2035

y-24-80-3-15

則下列關于這個二次函數(shù)的結論正確的是（）

A.圖象的開口向上

B.當x>0時，y的值隨x值的增大而減小

C.圖象經過第二、三、四象限

D.圖象的對稱軸是直線無=1

【答案】D

【分析】此題主要考查二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的

圖象與性質.

根據(jù)表格中所給數(shù)據(jù)，可求出拋物線的解析式，再對所給選項依次進行判斷即可解決問題.

【詳解】解：由題知，

4。—2b+c=—8

<c=0

9a+3b+c=-3

ci=-1

解得b=2,

c=0

所以二次函數(shù)的解析式為歹=-x2+2x.

因為

所以拋物線的開口向下.故/選項不符合題意.

因為歹=-x2+2x=-（x-I）2+1,

所以當X>1時，丁隨X的增大而減小.故5選項不符合題意.

令夕=°得，-x2+2x=0,

解得再=0,X2=2,

所以拋物線與x軸的交點坐標為(0,0)和(2,0).

又因為拋物線的頂點坐標為(U),

所以拋物線經過第一、三、四象限.故C選項不符合題意.

因為二次函數(shù)解析式為了=-。-1)2+1,

所以拋物線的對稱軸為直線x=l.故。選項符合題意.

故選：D.

4.(2024?河北?模擬預測)若二次函數(shù)y=ax2-2ox+a-3(a是不為0的常數(shù))的圖象與x軸交于/,8兩

點.下列結論：

①a>0；

②當x>-l時，y隨x的增大而增大；

③無論。取任何不為0的數(shù)，該函數(shù)的圖象必經過定點。,-3)；

④若線段N3上有且只有5個橫坐標為整數(shù)的點，則。的取值范圍是:其中正確的結論是()

A.①②B.②④C.①③D.③④

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)的基本性質，根與系數(shù)的基本關系.根據(jù)A>0求出。的范圍即可判斷①；求

出對稱軸即可判斷②；把函數(shù)表達式整理成為y=a(x-l)2-3,即可判斷③，根據(jù)44工2-占<65>玉)，

利用根與系數(shù)的關系即可求出的。的范圍，從而可以判斷④.

【詳解】解：???二次函數(shù)y=a--2辦+。-3(a是不為0的常數(shù))的圖象與x軸交于4,2兩點，

A=(-2a)2—4ax(Q-3)〉0,

整理得：12〃>0,

:.a>0,故①正確；

b-2a1

x=----=-----=I,

2a2a

???函數(shù)圖象關于x=l對稱，

,/a>0,開口向上，

???當x〉l時，歹隨X的增大而增大；故②錯誤；

,/y-a(x2-2x+l)-3,

y=Q(X-1)2-3

當X=1時，y=-3,則恒過定點(1,-3),故③正確；

若線段上有且只有5個橫坐標為整數(shù)的點，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸是x=l,

則4W%-再<6(X2>王)，

2

,/x2-x1=y](x2+XJ-4X2XJ=^4-4x———-,

即：4<J4-4x-^<6,

Va

i3

解得：~<a<^,故④錯誤，

故選：C.

題型七畫二次函數(shù)y=a/+bx+c的圖象

例題：(23-24九年級下?廣東深圳?階段練習)己知二次函數(shù)>=--+4工+5,完成下列各題:

(1)將函數(shù)關系式用配方法化為y=a(x+〃>+左的形式，并寫出它的頂點坐標、對稱軸.

(2)求出它的圖象與x軸的交點坐標.

(3)在直角坐標系中，畫出它的圖象.

(4)當為x何值時，函數(shù)y隨著x的增大而增大？

(5)根據(jù)圖象說明：當x為何值時，J^>0.

【答案】⑴尸-口-2『+9,頂點坐標為(2,9),對稱軸為直線x=2

(2)圖象與x軸的交點坐標為(-L0),(5,0)

(3)見解析

(4)x<2時，歹隨著x的增大而增大

(5)—1<%<5時，歹>0

【分析】本題考查了二次函數(shù)的三種形式，二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象與X軸的交點問題，以及二次

函數(shù)圖象與不等式，熟練掌握配方法的操作，整理成頂點式形式，求出頂點坐標和對稱軸更加簡便.

(1)利用配方法整理成頂點式，然后寫出頂點坐標和對稱軸即可；

(2)令y=o解關于X的一元二次方程，即可得到與X軸的交點坐標；

(3)利用五點法作出函數(shù)圖象即可；

(4)根據(jù)函數(shù)圖象利用二次函數(shù)的增減性解答；

(5)寫出拋物線在x軸上方部分的x的取值范圍即可.

【詳解】(1)解：y=-x2+4x+5

=-(X2-4X+4-4)+5

=一(丁-4x+4)+9

=-(X-2)2+9,

???頂點坐標為(2,9),對稱軸為直線x=2；

(2)解：當y=*+4x+5=0時，解得x=-l或x=5,

??二次函數(shù)與x軸的交點坐標為(TO),(5,0)；

(3)解：函數(shù)圖象如圖所示；

(4)解：由函數(shù)圖象可知，x<2時，y隨著x的增大而增大;

(5)解：由函數(shù)圖象可知，當T<x<5時，y>0.

鞏固訓練

1.(23-24九年級上?福建廈門?期中)已知二次函數(shù)了=/-2x-3.

九

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-IO~~t23455

(1)求它的圖象的頂點坐標和對稱軸；

(2)畫出它的圖象.并結合圖象，當X>0時，則歹的取值范圍是.

【答案】(1)圖象的頂點坐標為(1,-4),對稱軸為直線x=l

(2)圖象見解析，J>-4

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，數(shù)形結合是解題的關鍵.

(1)解析式化成頂點式，即可得到結論；

(2)畫函數(shù)圖象，應該明確拋物線的頂點坐標，對稱軸，與x軸，y軸的交點，再根據(jù)圖象求當x>0時,

y的取值范圍.

【詳解】(1)解：y=--2x-3=(x-l>-4,

二二次函數(shù)片V-2x-3的圖象的(1,-4),對稱軸為直線x=l；

故答案為：--4.

2.(23-24九年級下?四川達州?階段練習)已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標了的對應值

如表所示：

X-3-2-101

y0-3-4-30

A

X

(1)這個二次函數(shù)的解析式是；

(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象;

⑶當-3＜xW3時，y的取值范圍為.

【答案】(l)y=，+2x-3

(2)見解析

(3)-4<x<12

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質：

(1)設這個二次函數(shù)的解析式是＞=。/+云+/然后利用待定系數(shù)法解答即可；

(2)根據(jù)表格在網(wǎng)格中描出點的坐標，然后用圓滑的曲線連接即可；

(3)根據(jù)當x=-l時，y取得最小值，最小值為-4,當x=-3時，y=0,當x=3時，＞=12,即可寫出y

的取值范圍.

【詳解】(1)解：設這個二次函數(shù)的解析式是y="2+6x+c,

把點(TO),(-2,-3),(0,-3)代入得:

9a-3b+c=0a=1

<4。—2b+c=-3,解得：<b=2,

c=-3c二-3

???這個二次函數(shù)的解析式是y=爐+2X-3；

(2)解：如圖，畫出這個二次函數(shù)的圖象如下:

(3)解：根據(jù)題意得：y=x2+2x-3=(%+1)--4,

二當x=-l時，y取得最小值，最小值為-4,

當x=-3時，y=0,當x=3時，J=12,

.?.當-3<xW3時，y的取值范圍為-4Vx<12.

故答案為：-4<x<12

3.(23-24九年級上?安徽安慶?階段練習)如圖，函數(shù)丁=-/+法+。的圖象經過點/,B,C.

(1)求b,c的值；

(2)畫出這個函數(shù)的圖象；

(3)結合函數(shù)圖象，當0WxV3時，y的取值范圍為

【答案】⑴b=2,c=3

(2)見解析

(3)0<y<4

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象，可以寫出/、8、C的坐標，從而可以求得6、c的值;

(2)根據(jù)(1)中b、c的值可以寫出函數(shù)解析式，從而可以畫出函數(shù)圖象；

(3)根據(jù)函數(shù)圖象，可以寫出當04尤<3時，y的取值范圍.

本題考查二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的思想解答是解答本題的關鍵.

【詳解】（1）解：由圖象可得，

點A的坐標為（TO），點B的坐標為（0,3），點C的坐標為（1,4）,

-\-b+c=0

則<。=3,

-l+6+c=4

b=2

解得

。二3

即反。的值分別是2,3；

(2)由(1)知，b=2,c=3,

y——%2+2x+3=—(%—I)2+4,

???該函數(shù)的頂點坐標為（L4）,對稱軸為直線x=l,圖象開口向下,

由對稱性可知，圖象過（2,3）,（3,0）點,

所畫的函數(shù)圖象如圖所示;

當0Wx43時，y的取值范圍為04y44,

故答案為：04V4.

題型八利用二次函數(shù)的性質比較大小

例題：（24-25九年級上?廣西南寧?階段練習）已知/（-1,乂）、8（3,%）、。（4,%）是拋物線y=x2-4x+l上

的三點，則乂、%、%的大小關系是.（用“>”符號連接）

【答案】

【知識點】y=ax2+bx+c的圖象與性質

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，求出拋物線的對稱軸為直線x=2,然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性和對

稱性解答即可.

【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線X=-F±=2,

2x1

/（T%）關于對稱軸的對稱點為（5,乂）

<Q=1>0,

??.x>2時，y隨x的增大而增大，

???2<3<4<5,

.

故答案為：

鞏固訓練

1.（24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習）已知點（T,%），（-3.5,%）,（0.5,%）在函數(shù)了=3/+6x+12的圖

象上，則必，%,%的大小關系為（用號連接）

【答案】必<%<%

【知識點】y=ax2+6x+c的圖象與性質

【分析】本題考查比較二次函數(shù)的函數(shù)值的大小關系，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質，當時，函數(shù)圖象

上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，進行判斷即可.

【詳解】解：=3—+6x+12,

???拋物線的開口向上，對稱軸為直線x=-工=-1,

2x3

.??函數(shù)圖象上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，

-.?|-1-（-1）|<|0.5-（-1）|<|-3.5-（-1）|,

???必<%<%；

故答案為：

2.（24-25九年級上?重慶巴南?階段練習）已知8（2,%）,C（4,%）三點在二次函數(shù)了=f一人+1

圖象上，則將必，%,為按照從小到大的順序排列為.

【答案】％<%<必

【知識點】》=。爐+及+。的圖象與性質

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出必，力，%

的值，比較后即可得出結論.

【詳解】解:點8（2,%）,C（4,%）三點在二次函數(shù)了=d-4x+l的圖象上，

22

=（-l）-4x（-l）+l=6；%=2?-4x2+l=-3；y3=4-4x4+1=1,

%<%<%，

故答案為：%<為<必.

3.（24-25九年級上?山東濱州?階段練習）已知拋物線>=。（》-2）2+4（a>0,。，左為常數(shù)），/（-3,%），

8（3,%）,C（4,%）是拋物線上三點，則%由小到大依次排列為.

【答案】外<%<必

【知識點】y=a（x-A）2+上的圖象和性質

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，理解二次函數(shù)圖像的增減性和對稱性，求出對稱軸是

解題的關鍵.求出該拋物線的對稱軸為直線x=2,然后根據(jù)二次函數(shù)圖像的增減性和對稱性解答即可.

【詳解】解：y=a^x-2^+k,a>0,

???拋物線的開口向上，對稱軸為直線x=2,

.?.當x>2,了隨x的增大而增大，

?；/（T%）關于直線x=2的對稱點是（7,乂），且3<4<7,

故答案為：％<%<%.

題型九已知二次函數(shù)上對稱的兩點求對稱軸

例題：（23-24九年級上?湖南湘西?期末）某二次函數(shù)的圖象過點（0,-8）,（-3,7）利（5,7）,則此二次函數(shù)的圖

象的對稱軸為.

【答案】直線x=l

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，解題的關鍵是

明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答.根據(jù)二次函數(shù)的圖象過點(-3,7)利(5,7),可以求得該函數(shù)的對稱軸,

本題得以解決.

【詳解】解：???二次函數(shù)的圖象過點(T7)利(5,7),

???二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x=苫^=1,

故答案為直線x=l.

故答案為：直線x=l.

鞏固訓練

1.(23-24九年級上?江蘇宿遷?階段練習)若二次函數(shù)了="2+法+。的圖象經過3(3,0)兩點，則這

個函數(shù)圖象的對稱軸為.

【答案】直線x=2

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，掌握二次函數(shù)與x軸的兩交點坐標關于對稱軸對稱是解題關

鍵.由拋物線的對稱性得到點4與點3是拋物線上的對稱點，即可求出對稱軸.

【詳解】解：???/(1,0)、8(3,0)兩點為二次函數(shù)與x軸的兩交點坐標，

???點/與點3是拋物線上的對稱點，

又/(1,0)、8(3,0)關于直線x=2對稱，

對稱軸為直線x=2,

故答案為：直線x=2.

2.(23-24九年級上?山西臨汾?期末)已知二次函數(shù)＞=如2+云+。的的部分對應值如下表：

X12345

y-3-5-5-31

則該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線.

【答案】x=2.5

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，主要利用了二次函數(shù)的對稱性，由于x=2,x=3時的函數(shù)值相等，根

據(jù)二次函數(shù)的對稱性列式計算即可得解.

【詳解】??,二次函數(shù)＞=。，+加:+＜?在x=2,x=3時，函數(shù)值均為-5.

???對稱軸為直線：、=2亨+3=；5

即:x=2.5

故答案為：x=2.5.

3.（2024?內蒙古烏蘭察布?二模）如圖，拋物線了=a/+6x+c與x軸相交于點A、8（加+2,0）與V軸相交于

點C,點。在該拋物線上，點。的坐標為（加工），則點A的橫坐標是.

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，由題意得出C（0,c）,從而得出拋物線的對稱軸為直線x=￡,設點A

的坐標為（x,0）,根據(jù)對稱性得出x+；+2