第二章 圓錐曲線 單元測試（含解析）-2024-2025學(xué)年高二年級上冊數(shù)學(xué)北師大版選擇性必修第一冊

第二章圓錐曲線單元測試A.^尸。每周長的最小值為18

學(xué)校:姓名：班級：考號：

B.四邊形尸耳。鳥可能為矩形

C.若直線以斜率的取值范圍是則直線尸8斜率的取值范圍是卜*-1]

一、單選題

1.已知尸（%,y）是橢圓高+1=1上的點，則％+y的值可能是（）

D.朋?麗的最小值為-1

A.13B.14C.15D.168.法國著名數(shù)學(xué)家蒙日首先發(fā)現(xiàn)橢圓兩條互相垂直的切線的交點軌跡是以橢圓的中心為圓心的圓，后來這

2.在平面直角坐標(biāo)系》2y中，已知雙曲線4-《=1（。>0,人>0）左、右頂點為A,B,若該雙曲線上存在點個圓被稱為蒙日圓.已知橢圓。:]+丁=1,其蒙日圓為圓M,過直線/：%-丁-4=0上一點P作圓M的兩

ab

P,使得的斜率之和為1,則該雙曲線離心率的范圍為（）條切線，切點分別為A,B,則下列選項正確的是（）

A.圓M的方程為％?+y2=3B,四邊形面積的最小值為4

C.西?廂的最小值為8拒—12D.當(dāng)點尸為（1,一3）時，直線的方程為％-3丁一4=。

3.已知橢圓C：W+g=l（a>b>0）的左頂點為A,上頂點為3,右焦點為凡所的中點為M,

ab

AMBF=O,則橢圓C的離心率為（）三、填空題

A.5B.iC.?D,i

9.若拋物線丁2=g的準(zhǔn)線與直線％=1間的距離為3,則拋物線的方程為__.

4422

4.已知橢圓，■+丁=1（。>1）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn),P（l,m）為橢圓上一點，若已知過點P且與橢圓

210.已知拋物線C：/=y，點尸和吊△CPD為此拋物線的兩個內(nèi)接三角形（即三角形的三個頂

相切的切線方程為/：4+〃"=1,所垂直于直線/且與x軸交于點M,若“為。A的中點，則該橢圓的離點均在拋物線上），且均以點P為直角頂點，則直線45與直線CD的交點坐標(biāo)為_____.

a

11.設(shè)曲線C上的動點尸與定點尸（1。）的距離和點P到定直線/:%=4的距離的比為;?傾斜角為60。的直線機(jī)

心率為（）

A.-B.變C.—D.立

\AF\

3322經(jīng)過點尸與曲線C交于AB兩點（點A位于X軸上方），則/=____.

5.已知|￡段=10,點尸滿足|尸閭-|尸耳|=6,動點M,N滿足I政V|=2,麗=圓，則府.兩的最小值

12.已知橢圓C：5+《=l（a>b>0）的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,M是。上的動點，耳鳥的面積的最

是（）

大值為3,則C的長軸長的最小值為.

A.3B.—C.4D.—

33

6.已知雙曲線C：1―￡=1（。>0力>0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過片的直線與圓％2+丁="相切于

四、解答題

13.已知橢圓E，+g=l（a>"0）的離心率為手，且過點〃（3,1）.若斜率為6的直線4與橢圓石相切

點。與雙曲線的右支交于點P,若線段PQ的垂直平分線恰好過右焦點歹2,則雙曲線C的離心率為（）

A.姮B.叵C.好D.2\PT?

232于點T,過直線4上異于點T的一點F,作斜率為網(wǎng)的直線4與橢圓E交于A3兩點，定義二F焉為點尸

I叫回

處的切割比，記為4.

二、多選題

7.過橢圓.+}=1的中心任作一直線交橢圓于P,。兩點，K，尸2是橢圓的左、右焦點，A,8是橢圓的⑴求E的方程；

2516

左、右頂點，則下列說法正確的是（）（2）證明：（與點尸的坐標(biāo)無關(guān);

2025年

(3)若4=],且，2〃。7(。為坐標(biāo)原點)，則當(dāng)右<。時，求直線4的方程.

14.已知直線4，X軸，垂足為九軸負(fù)半軸上的點E,點E關(guān)于坐標(biāo)原點。的對稱點為尸，且|母1=4,直線

A±4,垂足為A,線段AF的垂直平分線與直線乙交于點3.記點B的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程.

⑵已知點尸(2,4),不過點P的直線/與曲線。交于M,N兩點，以線段MN為直徑的圓恒過點尸，試問直線/

是否過定點？若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

15.已知雙曲線C：5—￡=l(a>0,10)的右頂點為為，雙曲線C的左、右焦點分別為片、片，且用閭=4,

雙曲線C的一條漸近線方程為y=?.

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知過點?(1,4)的直線與雙曲線。右支交于43兩點，點。在線段上，若存在實數(shù)44>0且丸。1),

UUUUUUUUULU

WAP=-APB,AQ=AQB,證明：直線4Q的斜率為定值.

16.已知橢圓C:1+￥=l(a>b>0)的左、右兩個焦點分別是句，F(xiàn)2,焦距為2,點M在橢圓上且滿足

ab

MF2.\-FIF2,\MFI\=3\MF2\.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點。為坐標(biāo)原點，直線/與橢圓C交于A,B兩點,且。4LOB,證明:必+不’?為定值,并求出該定

值.

2025年

%=12cos8,y=5sin8,得至!J

a2-4b2

b2x2-a2-T-x2=a2b2=>x2a2

%+y=13sin(e+。)，求得%+y的取值范2

o,a7

圍，即可求解.

,則要使方程有根，需使

22

【詳解】由橢圓二+乙=1,可設(shè)1

2/\C

14425a>4b2=4卜2—=__

x=12cosy=5sin,其中0G[0,2TT],

則％+y=12cose+5sin6=13sin（6+0）,其故選：D

.12

中tan0=不，3.C

【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出A、B、F

因為-IWsin（夕+0）41,所以

點的坐標(biāo)，則M坐標(biāo)可求，然后結(jié)合數(shù)量

—13<x+y<13,

積公式得到“，瓦c的等量關(guān)系式，結(jié)合

即x+y的取值范圍為[-13,13],結(jié)合選

b2=a2-c2可得離心率的值.

項，可得A符合題意.

【詳解】根據(jù)橢圓方程，可得4（-。,0）,

故選：A.

B（O,b）,F（c,O）,C，

2.D

2A2

【分析】由題可得〉=冬彳與雙曲線有公利用赤?而=0,整理得

a~

共點，據(jù)此可得答案.+2ac—/=0,

【詳解】易知A（-a,0）,即/,0）,設(shè)把b1=a2-c29代入得(〃-c)2=3c2.

尸(x,y)(ywO),則上+上=1,所以

x+ax—a又所以a-c=&,

2xy=x2-a2,a=(百+l)c,

227

又號r—=v=1,所以J.4嘖J,即A/3-1

離心率e，c

a西+l)c2

2孫=My2(yw0),所以>=與_龍，即直

ba故選：C.

2025年

4.C為以耳（—G。）,耳（c,0）（c>0）為焦點的雙曲

【分析】根據(jù)PM求出直線RW的方

線的左支，

程，令y=o,得M點的橫坐標(biāo)，再根據(jù)M

設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

為。尸2的中點，求出。=1，a=垃,再根22

據(jù)離心率公式可求出結(jié)果.

貝！］2c=10,2a=6,

【詳解】因為尸（LM在橢圓

c=5,a=3,Z?=4,

丫21

—+/=1（61>1）±,所以二+>=1,

aa???點尸的軌跡方程是

若根=0,貝!Ja=±l,不符合題意，所以

?:麗=甲,

由切線/的方程力沖=1得切線斜率

耳為M、N的中點,

k=_—

erm-------??/??\/——??\?2—>2?21

PM.PN=(PF[+F]M)(PK+KN)=PF】-FXM=PF、--M

由/，PM得尸M的斜率kpM=a2m,

所以直線9的方程為y=片根,

■：^PFl\>c-a=2,

令》=。，得一根="根（%一1）,因為機(jī)。0,

:.PMPN>3,

所以％=1--,.??可乙兩的最小值為3,當(dāng)點尸在雙曲線

a

的左頂點時取等號.

因為M為。工的中點，且鳥（c,0）,

故選:A.

所以1-3=三，又〃=02+1,聯(lián)立可得

a26.A

c=lfa=^2，【分析】根據(jù)題意畫出草圖，由題意。為

所以該橢圓的離心率e=R2.月入的中點可得

2

\FQ\=\MQ\,\MF\=2\OQ\,求出

故選：C.12

5.A

\FtQ\=b,即可得到|MP|,|P￡I,根據(jù)雙

【分析】根據(jù)題意先求出點尸的軌跡方

曲線定義推得「瑞長度，在直角三角形

程，再根據(jù)麗?麗=阿-1知求

中用勾股定理即可找到a力之間

兩.兩的最小值即求百I的最小值.

的關(guān)系，即可求得離心率.

【詳解】解：由題意知不妨設(shè)點尸的軌跡

2025年

22

【詳解】設(shè)3-夫=1(〃>0,。>0)的焦距|MEF+|MP|2=|PB/，即

cib

為2c,則耳(-c,0),n(c,0)4a2+^2=(3Z?-2A)2,

由題意過目的直線與圓Y+>2=/相切于化簡得助2=12她.：=±,

a2

點Q連接。。，則取3,故雙曲線的離心率為

連接尸罵,設(shè)M為PQ的中點，則

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：要求雙曲線的離心

率，即要求出之間的關(guān)系，因而解答

本題時，根據(jù)題意推出相關(guān)線段的長，特

別是1尸引,|尸耳，繼而在RMBMP中應(yīng)用

勾股定理即是關(guān)鍵所在.

7.AC

【分析】A由橢圓對稱性及定義有APQ區(qū)

周長為|PQ|+1。，根據(jù)橢圓性質(zhì)即可判

點,即I煌2HM2LIM居l=2|OQ|,

斷；B根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合橢圓方程與已

在RtVOQ耳中,\OFl\=c,\OQ\=a,故

知判斷正誤；C、D設(shè)尸(七,%),利用斜率

I片Q1=Vc2-a2=b，

兩點式可得kPA-kPB=-1|,進(jìn)而判斷C正

貝由于M為PQ的中點，所以

\MP\=b,誤，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列關(guān)于七

即|尸耳1=36,的表達(dá)式，結(jié)合橢圓有界性求最值.

22

【詳解】：根據(jù)橢圓的對稱性，

在雙曲線中，P在右支上，有A

ab

|段+|「閭+|0段=|尸&+|尸詞+|「制=|尸°|+10

\PFi\-\PF2\=2a,

,當(dāng)尸。為橢圓的短軸時，|尸0有最小值

所以|尸乙1=36-2”，又

8,所以4尸。工周長的最小值為18,正確；

\MF2\=2\OQ\=2a,

B：若四邊形尸片。居為矩形，則點P,。必

所以在中，

在以月B為直徑的圓上，但此圓與橢圓

2025年

22

工+匕=1無交點，錯誤;直線/"-k4=0的距離

2516

d=-j==2y/2,所以|PA|的最小值為

C：設(shè)尸(如％),則

z=2,故B正確；

,161』'

k,k二%%%一I25兀16之

PAPB

~x0+5x0-5^x1-25~x1-25~沒NAPM=0,則sinO=軻，故

~2

,因為直線外斜率的范圍是,所以8

-」cos20=l-2sin20=1--------z-

「821\PM\'

直線尸5斜率的范圍是-y一二，正確；??

所以

D：設(shè)尸伉,%),則

___PA-PB=IPAI-IFBIcos20=IPAI2-cos20=(\PM?-4)(1——二)=|尸

西.而=(_3_%,_%).(5_/,_%)=君_2/-15+獷.................

=片-2%-15+16|1-四

25又

9(25丫16日J(rèn)一八足|PM|2+^^v-12>2732-12=8^-12

=25C°-Vj一§,因為-5，**5，所111PMl2'

以當(dāng)x()=m時，最小值為--g,當(dāng)且僅當(dāng)=4夜取等號，

錯誤.而|R圖的最小值2近，故|PM『的最小值

故選：AC.

8,故等號取不到，故C不正確；

8.BD

當(dāng)點尸為(1,一3)時，點p,A,M,8四

【分析】利用橢圓的性質(zhì)，找特殊位置容

點共以9為直徑圓上，

易求得圓加的方程，結(jié)合直線與圓的位置

所以這個圓的方程為

關(guān)系，可以推出.

(x-l)x+(y+3)y=0,與圓M方程聯(lián)立，

【詳解】當(dāng)切線的切點分別為橢圓上頂點

可得直AB的方程為x-3y-4=0,故D正

和右頂點時，可以得到兩切線的交點為

確.

(A/3,1),所以蒙日圓M的方程為

故選：BD.

/+/=4,故A不正確；

【點睛】易錯點睛：C選項中等號取不

四邊形面積為：

到，容易出錯，同時考查推理運算能力.

2S^=\P^-\AM\=2\P^,只需求出|PA|

PAM9./=-16尤或/=8x

的最小值，而|尸閭的最小值為點到

/(0,0)【分析】先求出拋物線的準(zhǔn)線，再根據(jù)距

2025年

離列方程求解即可.48和C。的交點坐標(biāo)為（-1,2）.

【詳解】拋物線/=，"的準(zhǔn)線為

故答案為：（-1,2）.

m

X-'

m

貝1J_]T=3,解得〃z=T6或MI=8,

故拋物線的方程為丁=-16尤或y2=8x.

故答案為：＞2=_16工或丁=81

10.（-1,2）

【分析】設(shè)A國引,5（孫考）,求出直線3

11.-/0.6

A3的方程，又兩_L而得

【分析】根據(jù)兩點距離公式以及點到直線

xx+x+x+2=0,與直線的方程作

l212A8距離公式，建立并整理可得軌跡方程，根

比較可得直線A8過定點，同理直線。過據(jù)傾斜角與已知點，寫出直線方程，聯(lián)立

相同定點可得答案.方程，求得交點A,8的坐標(biāo)，結(jié)合圖象，

【詳解】設(shè)4（和引,網(wǎng)々芯）,則可得答案.

幾:yT=&+/）（x_%）,

即如：y=（芯+吃）了一不吃,

又

PA_LPB,麗=（不—l,無；—1）,而=（%—1，考-1）

設(shè)P(x,y),則="(x-iy+y',點P到

則有直線/的距離d=|x—4],

&-1）（X?—1）+（町一1）（尤;一1）=o,1+（菁+1）（&可^^嚀*多-R?=O

武丁號化簡得；）1,

則對于如：而言，當(dāng)％=

直線m的斜率k=tan600=百，由

—1時，y=2,即直線4B過定點

F（l,0）,則直線，"的方程為了=屈-君.

同理，/⑺也過定點（T2）,則可知直線

2025年

設(shè)4（占,%）,3（芻,%），并求|P7f,設(shè)直線4的方程為

y=yj3x-y/3y-n=k2（x-m）,聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)

22

'xy,消去y可得5--8%=0,

[43定理，求出|啊.|尸瓦利用

Q

解得石

=-,x2=0,（n-左間2=126+4化簡,1.?,可得結(jié)

V7|PA|.|PB|

X=x[-\/3=，%=x0—=—V3

果；

（3）由（2）可知切點7（%,%）,得

3反

A尸=m=5,3=3,

BFy25/35kOT=~=~，結(jié)合已知進(jìn)而可得直線

x31cl

30

故答案為:—.

OT的方程，聯(lián)立橢圓方程求T點坐標(biāo)，從

12.2底

而求出直線《的方程.

【分析】由橢圓得性質(zhì)與基本不等式求解

【詳解】（1）設(shè)橢圓E的半焦距為/由題

【詳解】由題意知工x2c-b=3,所以

意知，￡=半，所以匕貴=1,解得

2

a3a3

bc=3,

a2=3b2.

故C的長軸長

又橢圓E過點M（3,l）,所以2+2=1,結(jié)

2a=2-Jb2+c2>2yf2bc=246■

合Y=3那,解得/=124=4,

故答案為：2指

所以E的方程為《+上=1.

124

（2）設(shè)點尸（北小，直線4的方程為

（2）證明見解析

y-n=k^x-m）,

⑶y=x-4或y=x+4.{

【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率得/=3〃，卜-—1

由124,消去兀得

又M（3,l）在橢圓上得_+今=1,聯(lián)立可得

y-n=ki^x-rri）

結(jié)果；

（1+3左;+6勺（〃一左加）1+3（〃一Km）?-12=0

（2）設(shè)點尸（〃,,“），直線乙的方程為

y-n=k（x-m）,聯(lián)立橢圓方程，由直線

lA=[6%i—4（1+3好）13（〃一七i機(jī)『—121=12[12左：

4與橢圓￡相切，得（〃一勺m）2=12左；+4,

2025年

由直線4與橢圓E相切，得

+m2-12

(n—k{mf=12左；+4.

易知，點P（〃w）在橢圓E外，所以

/、3k,（n—k,m）

設(shè)切點7（、,%）,則%=一一：?。?

111”2

—+—>1,所以31+加2-12>0,

124

77n-k,m

為=Kxo+n-km=-I記,

{以卜陷=造（3層

+/n2-12).

所以

3勺（〃-3）/（1+底（小我加產(chǎn)即『=12^+4,得

八女；」（1+3琲+片加2_2俄耽=嘲+4,

即2mnki—n2+4=k；(m?一12).

設(shè)直線乙的方程為網(wǎng)（》-聞，聯(lián)立

因為3蓼-(3/+小一⑵

F+Ji1+3片V>

由J124,

y-n=k2^x—m）(m+3叫曠_0+3片)0〃2+,rr-12)

-1+3G；

消去y,得

in"+9k［n~+6mllik1—3n~—nr+12—3勺~(3〃~+m~-12)

(1+3后)/+6^2(n—knm)x+3(^n—-12=0

1+3片

9kjn~+3(2m〃k1-+4)—3k1(3,廣+“展—12)

設(shè)4（%,月）,8（久2，丫2），則―1+3)1;

6k^n-km)

229k"+3好［rrr-12)-3k：(3n2+/n2-12)

―1+36

3("-左2〃?)--12

3k；(3"+〃/-12)-3k；(3n2+zn2-12)

「=-Rf-'

-1+36

所以

=0.

|PA|-|PB\—\Jl+kl|尤］—機(jī)卜Jl+公|x—?n|

2所以(租+3哂)、3/

+nr-n,

*以阿=醇（3/

3(九—晨機(jī)126k(n—kjin)+m2-12).

=(1+?0

1+3片m1+3%―+

2025年

|PT「_（1+引（1+3硝【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線

所以(=

因一。+引（硝'-

1PAH31+相交問題，往往需聯(lián)立直線與圓錐曲線方

點尸的坐標(biāo)無關(guān).程，消元并結(jié)合韋達(dá)定理，運用弦長公

式、點到直線距離公式、斜率公式、向量

數(shù)量積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，結(jié)合已知條件

得出結(jié)果.

14.(l)y2=8.r

(2)定點為(10,T),理由見解析

3k,（n—k.m）

⑶由⑵得【分析】(1)根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，結(jié)合

拋物線定義可解；

n-k,m,y1

所以%n(2)設(shè)直線/:x=my+〃，聯(lián)立拋物線方

程消去x,由府.西=0結(jié)合韋達(dá)定理可

因為4〃。7,所以&=-3①,

得相，”的關(guān)系，代入直線方程即可判斷.

3（1+引。+34）3【詳解】(1)由題意可得|/q=忸耳，即點

又所以

（1+3的（1+片1

8到點歹的距離等于點B到直線人的距離.

%=1區(qū)=—1

由①②解得，,1或＜,1（舍去）.

Kr.=------化0——因為|EF|=4,所以《的方程為x=-2,

323

所以直線07的方程為＞=X,由尸(2,0),

尤2/1則點3的軌跡C是以歹為焦點，直線

——+—=1

12:,解得x=3,x=-3,

I或

y=l,丸”=-2為準(zhǔn)線的拋物線，

故點B的軌跡C的方程為/=8%.

故切點T的坐標(biāo)為(3,-1)或(-3,1).

所以直線4的方程為y=x-4或y=x+4.

(2)由題意可知直線/的斜率不為0,則

2025年

設(shè)直線/：x=my+〃，當(dāng)〃=4/篦+10時，

A=64/+32〃=64[（租+1）?+4]>0,且直

N（w，%）.

I:x=my+4m+10,即

\x=my+n,.

聯(lián)立｛2o整理得y-8加>-8〃=°，

[y=8x,x-10=m（y+4）,過定點（10,-4）,滿足題

A.

從而%+%=8根，%%=-8?.忌、,

直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如

（%%）2才+回

+X%一4（%+%）+20=0

644下:

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為

即（”），（%，%）；

（必％）2（乂+%）2-2yly2,

_4（%+%）+20乳聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)

------------------------yy?

64412

于了（或、）的一元二次方程，必要時計

f

算A;

所以〃2一16機(jī)2—12〃-326+20=0,即

（3）列出韋達(dá)定理；

—12〃+36=16m2+32m+16,BP

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為

（〃-6尸=16（加+1>,所以

占+%、Xi%（或％+%、％%）的形式；

^-6=±4（m+l）,即n=4m+10^