第一課時(shí) 正弦定理和余弦定理

第8節(jié)正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用考試要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題．【知識梳理】1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理余弦定理正弦定理公式a2＝___________；b2＝___________；c2＝___________eq\f(a,sinA)＝____________＝________＝2R常見變形cosA＝________；cosB＝________；cosC＝________(1)a＝2RsinA，b＝________，c＝________；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝________，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝____________________；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個(gè)數(shù)____________________________________3.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a邊上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)．[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).2．在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.【診斷自測】1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比．()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，則A>B.()(3)在△ABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素．()(4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＝0時(shí)，△ABC為直角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2<0時(shí)，△ABC為鈍角三角形．()2．(必修二P48T2(2)改編)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，則邊c＝________．3．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC＝________．4．在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b是方程x2－3x＋2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且△ABC的面積為eq\f(\r(2),2)，則C的大小是________．第一課時(shí)正弦定理和余弦定理考點(diǎn)一利用正弦定理解三角形例1(1)(2023·全國乙卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若acosB－bcosA＝c，且C＝eq\f(π,5)，則B＝()A.eq\f(π,10) B.eq\f(π,5)C.eq\f(3π,10) D.eq\f(2π,5)(2)(多選)(2024·張家口部分學(xué)校階段測)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是()A．b＝10，A＝45°，C＝60° B．b＝eq\r(15)，c＝4，B＝60°C．a(chǎn)＝eq\r(3)，b＝2，A＝45° D．a(chǎn)＝8，b＝4，A＝80°________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.利用正弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊與角；二是已知兩邊和一邊的對角，求其他邊與角(該三角形具有不唯一性，常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷)．2．已知△ABC的兩邊a，b及角A，解三角形的一般步驟(1)由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得到sinB＝eq\f(bsinA,a).(2)當(dāng)sinB>1時(shí)，無解；當(dāng)sinB＝1，且a<b時(shí)，B＝90°，有唯一解；當(dāng)sinB<1時(shí)，若a≥b，則有唯一解，若a<b，則有兩個(gè)解．訓(xùn)練1(1)(2024·成都診斷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若atanB＝eq\f(20,3)，bsinA＝4，則a的值為()A．6 B．5C．4 D．3(2)(2024·南京調(diào)研)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝2，b＝eq\r(6)，B＝eq\f(π,3)，則A＝()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)考點(diǎn)二利用余弦定理解三角形例2(1)(2024·青島模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，若a＝3，b＝eq\r(13)，B＝60°，則c＝()A．1 B．2C．3 D．4(2)(2024·南昌調(diào)研)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知csinA＝eq\r(3)acosC，c＝2eq\r(3)，ab＝8，則a＋b的值是()A．6 B．8C．4 D．2________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升利用余弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與角；二是已知三邊求各個(gè)角．由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的．訓(xùn)練2(1)在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知cos2A＝cos(B＋C)，且b＝2，c＝6，則a＝()A.eq\r(13) B．2eq\r(13)C.eq\r(7) D．2eq\r(7)(2)(2024·無錫質(zhì)檢)設(shè)a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊．若B＝C≠A，且a(b2＋c2－a2)＝b2c，則A＝________．考點(diǎn)三三角形的面積、周長例3(2023·全國乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.(1)求sin∠ABC；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且∠BAD＝90°，求△ADC的面積．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式．(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．訓(xùn)練3(2022·北京卷)在△ABC中，sin2C＝eq\r(3)sinC.(1)求C；(2)若b＝6，且△ABC的面積為6eq\r(3)，求△ABC的周長．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________射影定理設(shè)△ABC的三邊是a，b，c，它們所對的角分別是A，B，C，則有a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c＝acosB＋bcosA.例在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC為銳角三角形，且滿足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，則下列等式成立的是()A．a(chǎn)＝2b B．b＝2aC．A＝2B D．B＝2A_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________