第一課時 求值與證明

高考難點(diǎn)突破系列(二)圓錐曲線中的綜合問題第一課時求值與證明題型一求值問題例1(12分)(2024·廣州模擬)已知點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C為橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上不同的三個點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C為橢圓的頂點(diǎn)時，△ABC恰好是邊長為2的等邊三角形．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，求△ABC的面積．[思路分析](1)分析A，B，C的位置求a，b得橢圓方程．(2)引入A，B，C坐標(biāo)，由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0得坐標(biāo)關(guān)系→斜率不存在時求S△ABC；直線BC斜率存在時寫出底邊和高的表達(dá)式，求S△ABC.[規(guī)范解答]解(1)當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C為橢圓的頂點(diǎn)時，△ABC恰好是邊長為2的等邊三角形，eq\x(①當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C中有兩個點(diǎn)為上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，一個為左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)時，)→eq\a\vs4\al(研究正三角形各頂點(diǎn)的位置，由位置寫出a，b的值)不妨設(shè)點(diǎn)A，點(diǎn)B分別為上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，點(diǎn)C為右頂點(diǎn)，此時，a＝eq\r(3)，b＝1；(2分)①eq\x(②當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C中有一個點(diǎn)為上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，兩個點(diǎn)為左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時，)→eq\a\vs4\al(研究正三角形各頂點(diǎn)的位置，由位置寫出a，b的值)不妨設(shè)點(diǎn)A，點(diǎn)B分別為左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，點(diǎn)C為上頂點(diǎn)，此時，a＝1，b＝eq\r(3)(舍去)．(3分)②eq\x(所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為\f(x2,3)＋y2＝1.)→eq\a\vs4\al(寫出橢圓方程)(4分)③(2)設(shè)A(p，q)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，因為eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以p＋x1＋x2＝0，q＋y1＋y2＝0.→eq\a\vs4\al(設(shè)點(diǎn)，解析向量等式)eq\x(①當(dāng)直線BC的斜率不存在時，)→eq\a\vs4\al(討論直線BC斜率不存在的情形)x1＝x2，y1＝－y2，因為p＋x1＋x2＝0，則A(－2x1，0)．因為點(diǎn)A在橢圓E上，所以xeq\o\al(2,1)＝eq\f(3,4)，則有yeq\o\al(2,1)＝eq\f(3,4)，所以|BC|＝eq\r(3)，點(diǎn)A到直線BC的距離為|3x1|＝eq\f(3\r(3),2)，此時S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(9,4).(5分)④②eq\x(當(dāng)直線BC的斜率存在時，)設(shè)直線BC的方程為y＝kx＋m，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))消去y整理得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，則Δ＝(6km)2－12(1＋3k2)(m2－1)＝12(3k2＋1－m2)>0.由根與系數(shù)關(guān)系得x1＋x2＝eq\f(－6km,1＋3k2)，x1x2＝eq\f(3（m2－1）,1＋3k2)，→eq\a\vs4\al(當(dāng)直線BC斜率存在時，設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，寫出根與系數(shù)的關(guān)系)(6分)⑤所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝eq\f(2m,1＋3k2)，所以p＝－(x1＋x2)＝eq\f(6km,1＋3k2)，q＝－(y1＋y2)＝－eq\f(2m,1＋3k2).(7分)⑥因為點(diǎn)A(p，q)在橢圓E：eq\f(x2,3)＋y2＝1上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6km,1＋3k2)))eq\s\up12(2)＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2m,1＋3k2)))eq\s\up12(2)＝3，eq\x(化簡得4m2＝1＋3k2，)→eq\a\vs4\al(用參數(shù)m，k表示點(diǎn)A坐標(biāo)代入橢圓得m，k的關(guān)系)(8分)⑦所以|BC|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－6km,1＋3k2)))\s\up12(2)－4×\f(3（m2－1）,1＋3k2))＝eq\r(1＋k2)·eq\f(2\r(3)×\r(3k2＋1－m2),1＋3k2)＝eq\r(1＋k2)·eq\f(2\r(3)×\r(4m2－m2),1＋3k2)＝eq\r(1＋k2)·eq\f(6|m|,1＋3k2)＝eq\r(1＋k2)·eq\f(6|m|,4m2)eq\x(＝\f(3\r(1＋k2),2|m|)，)→eq\a\vs4\al(表示底邊長)(9分)⑧點(diǎn)A到直線BC的距離d＝eq\f(|pk－q＋m|,\r(1＋k2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6km,1＋3k2)k＋\f(2m,1＋3k2)＋m)),\r(1＋k2))eq\x(＝\f(|3m|,\r(1＋k2))，)→eq\a\vs4\al(表示高)(10分)⑨所以S△ABC＝eq\f(1,2)·|BC|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(3\r(1＋k2),2|m|)·eq\f(|3m|,\r(1＋k2))＝eq\f(9,4).→eq\a\vs4\al(計算面積)綜上所述，△ABC的面積為eq\f(9,4).(12分)⑩[滿分規(guī)則]?得步驟分由①②③寫出橢圓的方程，①2分，②③各1分；由⑤寫出根與系數(shù)的關(guān)系，得1分；由⑩寫出結(jié)果，得1分．?得關(guān)鍵分由④計算斜率不存在的面積，得1分；由⑥⑦寫出A點(diǎn)坐標(biāo)及m，k的關(guān)系，各得1分．?得計算分由⑧⑨分別計算三角形ABC的底邊長|BC|和高d，⑧得2分，⑨得1分．訓(xùn)練1(2022·新高考Ⅰ卷)已知點(diǎn)A(2，1)在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2－1)＝1(a>1)上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0.(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ＝2eq\r(2)，求△PAQ的面積．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二證明問題例2(2024·長沙調(diào)研)如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T(2，0)，與y軸正半軸相交于M，N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方)，且|MN|＝3.(1)求圓C的方程；(2)過點(diǎn)M任作一條直線與橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1相交于A，B兩點(diǎn)，連接AN，BN，求證：∠ANM＝∠BNM.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升圓錐曲線中的證明問題常見的有：(1)位置關(guān)系方面的：如證明直線與曲線相切，直線間的平行、垂直，直線過定點(diǎn)等．(2)數(shù)量關(guān)系方面的：如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圓錐曲線的定義與性質(zhì)的前提下，一般采用直接法，通過相關(guān)的代數(shù)運(yùn)算證明．訓(xùn)練2(2023·四省聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)過點(diǎn)A(4eq\r(2)，3)，且焦距為10.(1)求雙曲線C的方程；(2)已知點(diǎn)B(4eq\r(2)，－3)，D(2eq\r(2)，0)，E為線段AB上一點(diǎn)，且直線DE交雙曲線C于G，H兩點(diǎn)，求證：eq\f(|GD|,|GE|)＝eq\f(|HD|,|HE|).________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________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