北京市房山區(qū)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

北京市房山區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

一、單選題（共40分）

1.若集合'=｛T，0,2,3｝,則ZU3等于

)

A.{-1,0,1,293}B.{-1,0,2,3)C.{0,1,3}D.{0,3}

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

1

A.y=x+lB.y=-D.

X

x2,x>0,

y=\

-x2,x<0

己知cos(tz+Q)=；,cosacos^=；,貝Utanatan^=()

3.

]_1

A.B.一C.3D.4

43

4.已知等比數(shù)列｛4｝滿足q+%=5,g=2,則｛4｝的公比為（)

-1-1

A.—2或——B.—2或一

22

?131

C2或——D.2或一

,22

5.在V48c中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c.若。=&5,b=V3，c=2,

則角/=（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

6.已知。=log42,b=log104,c=，則下列判斷正確的是（)

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.

a<b<c

7.“x<—1”是+x>0”的

A充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分

也不必要條件

8.在A4BC中,若siYN+si/^vsii?。,則角A是

A.鈍角B.直角C.銳角D.不能確定

9.某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽（如圖），它由腰長(zhǎng)為1,

頂角為a的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成,

該八邊形的面積為

A.2sina-2cosa+2；B.sina-Gcosa+3

C.3sina-A/3COSa+\D.2sina-costz+1

10.在當(dāng)前市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，私營(yíng)個(gè)體商店中的商品，所標(biāo)價(jià)格。與其實(shí)際價(jià)值之間，存在著

相當(dāng)大的差距，對(duì)顧客而言，總是希望通過“討價(jià)還價(jià)”來減少商品所標(biāo)價(jià)格。與其實(shí)際價(jià)值的

差距.設(shè)顧客第〃次的還價(jià)為“，商家第"次的討價(jià)為c“，有一種“對(duì)半討價(jià)還價(jià)”法如下：顧

客第一次的還價(jià)為標(biāo)價(jià)。的一半，即第一次還價(jià)4=5,商家第一次的討價(jià)為4與標(biāo)價(jià)。的

平均值，即Ci=g4;…，顧客第〃次的還價(jià)為上一次商家的討價(jià)與顧客的還價(jià)“T的

c+A

平均值，即斐="一:1；商家第〃次討價(jià)為上一次商家的討價(jià)Ji與顧客這一次的還價(jià)"

（2+b

的平均值，即孰="一、",現(xiàn)有一件衣服標(biāo)價(jià)1200元，若經(jīng)過〃次的“對(duì)半討價(jià)還價(jià)”，bn

與門相差不到2元，則〃的最小值為（）

A4B.5C.6D.7

二、填空題（共25分）

11.函數(shù)片?=立巨的定義域?yàn)?/p>

172-x

7T

12.半徑為6,圓心角等于一的扇形的面積是

3------

JT

13.若將函數(shù)〃x）=sin（x-w）的函數(shù)圖象平移。（°€氏）個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則

M的最小值為.

14.點(diǎn)P從乎，牛出發(fā)，沿單位圓一+/=1逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)工弧長(zhǎng)到達(dá)。點(diǎn)，則點(diǎn)。

、22J3

的坐標(biāo)為.

V

15.已知函數(shù)/(%)==,給出下列結(jié)論：

e

①(1,+8)是/'(X)的單調(diào)遞減區(qū)間；

②當(dāng)左￡(-8,1)時(shí)，直線產(chǎn)k與y=f(x)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)；

e

③函數(shù)y=f(x)的圖象與y=/+l的圖象沒有公共點(diǎn)；

④當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，函數(shù)y=/(%)+—的最小值為2.

/(x)

其中正確結(jié)論的序號(hào)是

三、解答題(共85分)

16.已知數(shù)列｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，的=6,%,4，%成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若b“=-----,設(shè)數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為S“，求S”.

anan+\

17.已知函數(shù)/(x)=V^sin1x-；j+2cosx.

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)求/(x)圖象的對(duì)稱軸方程；

(3)求/(x)在［-兀,0］上的最大值和最小值.

18.設(shè)函數(shù)/(x)=x(x2—3x+a),aGR

(1)當(dāng)a=—9時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,2)上為減函數(shù)，求a的取值范圍；

(3)若函數(shù)在區(qū)間(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)X］,x2,且|/(再)—/(々)|>|/(再)+/(%2)1

求。的取值范圍.

19.在A/BC中，sin=V3sinB>C=y.

6

（1）求/氏4C的大?。?/p>

（2）￡是NC的中點(diǎn).從條件①BE=J7，條件②a+6+c=4+2百，條件③c=06中

選擇一個(gè)作為己知，使A/BC存在且唯一確定，求4/臺(tái)。的面積；

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)個(gè)解答計(jì)分.

20.已知函數(shù)/（x）=（l+與e',其中a>0.

x

（I）求函數(shù)/（X）的零點(diǎn)；

（II）討論歹=/（X）在區(qū)間（—8,0）上的單調(diào)性；

（III）在區(qū)間（-8,-曰上，/（X）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

21.在無窮數(shù)列｛an｝中，aA=\,對(duì)于任意〃eN*,都有4eN,an<an+l.設(shè)〃zeN*,記

使得an<m成立的n的最大值為bm.

（1）設(shè)數(shù)列｛%｝為1,4,7,10,…，寫出4，b2,4，〃的值；

（2）若｛冊(cè)｝為等比數(shù)列，且出=2,求4+&+4+…+%的值.

（3）設(shè)％=q,aA+a2-\ap=A,直接寫出BI+HH的值.（用0表示）

北京市房山區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

一、單選題（共40分）

1.若集合5={T，023},則ZU5等于（）

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,2,3}C.{0,1,3}D,{0,3}

【正確答案】A

【分析】

直接利用集合的并集運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)榧?={0,1,3},5={-1,0,2,3）,

所以ZUB={-l,0,l,2,3},

故選：A

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）

A.>=%+1B.y=—C.y=-x3D.

x

x2,x>0,

y=\

-x2,x<0

【正確答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)逐一做出判斷，從而得出結(jié)論.

【詳解】解：由于函數(shù)y=x+l是非奇非偶函數(shù)，故排除出

由于>=—在（-8,0）U（0,+oo）上不具有單調(diào)性，故排除5；

X

由于>=-％3是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)，故排除C；

A,B,。都不對(duì)，

,2

對(duì)于。，>=一：'X,數(shù)形結(jié)合可知函數(shù)在R遞增且為奇函數(shù)；

[V%>0

故選D

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，熟練掌握常見函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于

基礎(chǔ)題.

3.已知cos(o+/)=：,cosacosQ=g,則tanatan/?=()

11

B.一C.3D.4

A，73

【正確答案】A

【分析】根據(jù)余弦兩角和公式和同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.

【詳解】因?yàn)閏os(a+p)=cosacos尸一sinasin，=—,cosacos/3=—,

所以sinasinQ.

1

-…nsinasinQi?1

所以tanatan。=--------二牛=一.

cosacos/?14

3

故選：A

4.已知等比數(shù)列｛4｝滿足q+%=5,g=2,則｛為｝的公比為（）

-131

A.—2或—B.—2或一

22

-1廿1

C.2或—D.2或一

22

【正確答案】D

【分析】設(shè)出公比，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算列出方程，求出答案

【詳解】設(shè)公比為q,則%+%=+a?q~—2^=5,

qQ

解得q=2或工.

2

故選：D

5.在V48C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c.若。=&5，6=0，c=2,

則角/=（）

A.30°B.60°C.120°D,150°

【正確答案】D

【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.

3+4-13

【詳解】由余弦定理可得cosZ=

2x^3x22

vAe(O,7r),.,.A=一,即150°，

6

故選：D

6.已知。=log42,b=log104,c=(^\,則下列判斷正確的是(

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.

a<b<c

【正確答案】D

【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的函數(shù)性質(zhì)判斷各數(shù)的大小關(guān)系.

-0.2]

>1=log10>Z?=log4>logVio=-=log2=a,

【詳解】CI1010104

故選：D

7.“x<—1”是“一+T〉0”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D,既不充分

也不必要條件

【正確答案】A

【分析】解不等式好+%>0,根據(jù)x<—1與其解集的關(guān)系即可求出.

【詳解】由一+%>0解得：x<—1或x〉0,

當(dāng)》<一1時(shí)，能推出了<-1或x〉0成立，反之，不能由x<-l或x〉0推出x<-l,

故“x<-1”是“必+%>o”的充分不必要條件，故選A.

本題主要考查了二次不等式的解法，充分必要條件的判定，屬于中檔題.

8.在AABC中，若sin2/+sin25<sin2。，則角A是

A.鈍角B.直角C.銳角D.不能確定

【正確答案】C

【分析】首先利用正弦定理角化邊，然后結(jié)合余弦定理確定NN的大小即可.

【詳解】由5譏24+5加23<5山2。結(jié)合正弦定理可得：a2+b2<c2>則/+/一。2<()

272_2

結(jié)合余弦定理有：cosC="—<0,故/C為鈍角，則角/是銳角.

2ab

本題選擇C選項(xiàng).

在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)

邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理.應(yīng)用正、余弦定理

時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用.解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍.

9.某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽(如圖)，它由腰長(zhǎng)為1,

頂角為。的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，

該八邊形的面積為

A2sincr-2costz+2；B.sina-gcosa+3

C.3sina-A/3COSa+\D.2sina-cosa+1

【正確答案】A

【詳解】試題分析：利用余弦定理求出正方形面積E=(F+12—2cosa)=2-2cosa；利

用三角形知識(shí)得出四個(gè)等腰三角形面積S2=4xgxlxlxsina=2sina；故八邊形面積

S=S1+S2=2sina-2cosa+2.故本題正確答案為A.

考點(diǎn)：余弦定理和三角形面積的求解.

【方法點(diǎn)晴】本題是一道關(guān)于三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用的題目，掌握正余弦定理是解題的關(guān)

鍵；首先根據(jù)三角形面積公式S=gxlxlxsina=gsina求出4個(gè)三角形的面積

4s=2sina；接下來利用余弦定理可求出正方形的邊長(zhǎng)的平方(F+『-2cosa),進(jìn)而得到

正方形的面積E=(F+E_2COS可=2-2cosa,最后得到答案.

10.在當(dāng)前市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，私營(yíng)個(gè)體商店中的商品，所標(biāo)價(jià)格。與其實(shí)際價(jià)值之間，存在著

相當(dāng)大的差距，對(duì)顧客而言，總是希望通過“討價(jià)還價(jià)”來減少商品所標(biāo)價(jià)格。與其實(shí)際價(jià)值的

差距.設(shè)顧客第〃次的還價(jià)為〃，商家第〃次的討價(jià)為g,有一種“對(duì)半討價(jià)還價(jià)”法如下：顧

客第一次的還價(jià)為標(biāo)價(jià)。的一半，即第一次還價(jià)仇=],商家第一次的討價(jià)為伍與標(biāo)價(jià)。的

平均值，即9=@乎；…，顧客第〃次的還價(jià)為上一次商家的討價(jià)與顧客的還價(jià)at的

c+h

平均值，即斐="一'商家第〃次討價(jià)為上一次商家的討價(jià)q-與顧客這一次的還價(jià)〃

C+h

的平均值，即%="，現(xiàn)有一件衣服標(biāo)價(jià)1200元，若經(jīng)過〃次的“對(duì)半討價(jià)還價(jià)”，bn

與cn相差不到2元，則〃的最小值為()

A.4B.5C.6D.7

【正確答案】B

【分析】判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，由此列不等式，從而求得”的最小值.

【詳解】依題意可知%>b”,

%+"b

c_b=%+4_%+%==2"T=%-4T

“"-22-2-24

c-b_1a+b71200+600______

則---n--:-n=-又「

fc1bi1=------b[=----------600=300,

cn-\,-bn-\,42乙2乙

所以數(shù)列｛c“-〃｝是以300為首項(xiàng)，公比為:的等比數(shù)列,

所以％—2=300x("=1200x(j,

由ci=1200x2]<2得焉4”卜00,其中〃eN*，

解得〃之5,因此〃的最小值為5.

故選：B.

二、填空題(共25分)

11.函數(shù)/@)=以二1的定義域?yàn)?

【正確答案】口,2)-(2,+8)

【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.

x-1>0

【詳解】依題意，八，解得X21且XH2,

2—XHO

所以/(x)的定義域?yàn)椋?,2)口(2,+8).

故口,2)u(2,+8)

71

12.半徑為6,圓心角等于一的扇形的面積是,

3

【正確答案】6兀

11

【分析】由扇形面積公式S=—>=—。/即0可直接計(jì)算求解.

22

11JT

【詳解】由題得扇形的面積是S=—a/=—x—x6?=6兀.

223

故答案為.6%

13.若將函數(shù)〃x)=sin(x-IT§的函數(shù)圖象平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則

M的最小值為.

TT

【正確答案】一

6

【分析】

分兩種情況討論，先求出。的值，再比較即得解忸|的最小值.

【詳解】若將函數(shù)〃x)=sin(x7-Tf的函數(shù)圖象向左平移°(。€氏)個(gè)單位，得到函數(shù)

y=sin(x+e-g)的圖象，

根據(jù)所得圖象為一個(gè)偶函數(shù)的圖象，故9一彳77=左〃+彳TF，keZ,此時(shí)，(p=k/57jr

326

若將函數(shù)/（X）=Sin（x-。）的函數(shù)圖象向右平移。eR）個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin（x-0-2）

的圖象，

77-777T

根據(jù)所得圖象為一個(gè)偶函數(shù)的圖象，故9+—二左=+—,keZ,止匕時(shí)，（p=k7i—,,

326

綜上可得，|如的最小值為J生T，

6

故工.

6

本題主要考查函數(shù)y=/sin（ox+0）的圖象變換規(guī)律及正弦函數(shù)的奇偶性，意在考查學(xué)生對(duì)這

些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

14.點(diǎn)尸從《，拳出發(fā)，沿單位圓一+/=1逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)工弧長(zhǎng)到達(dá)。點(diǎn)，則點(diǎn)。

I22J3

的坐標(biāo)為.

,十7AMfV2-V6V2+V6

144J

7T

【分析】由題意先求出/POx的正弦值、余弦值，再根據(jù)條件得到NQOX=NPQX+H，再

根據(jù)兩角和的正弦、余弦公式求出的正弦值、余弦值，然后求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【詳解】解：：點(diǎn)彳,:在單位圓/+/=1上,

sinZPOx=——，cosZPOx=——，

22

TT

V點(diǎn)P沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)J弧長(zhǎng)到達(dá)。點(diǎn)，

rejr

.??點(diǎn)尸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了則NQOx=NPOx+§,

sinAQOx=sinfZPOx+—|=sinZPOxcos—+cosZPOxsin—=x—+x

~I3J332222

_V2+V6

------------,

4

cosZQOx=cosfZPOx+—I=cosZPOxcos--sinZPOxsin—=^2LX—......-x—^-

~I3J332222

-_-V--2----V--6-,

4

_y/2-y/~6V2+V6

.,.點(diǎn)Q的坐標(biāo)為-------，—-—,

(44

(A/2-V6V2+V6

(44J

本題主要考查三角函數(shù)的定義以及兩角和的正余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

X

15.已知函數(shù)/(')==,給出下列結(jié)論：

e

①(1,+8)是〃>)的單調(diào)遞減區(qū)間；

②當(dāng)左￡(-叫—)時(shí)，直線產(chǎn)k與y=f(x)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)；

e

③函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象沒有公共點(diǎn)；

④當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，函數(shù)y=/(x)+—^―的最小值為2.

/(x)

其中正確結(jié)論的序號(hào)是

【正確答案】①③

【分析】①先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0,解出即可判斷；②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫出函

數(shù)的圖象，通過圖象讀出即可；③求出一(X)的最大值小于>=X2+1的最小值，從而得到答案;

④利用對(duì)勾函數(shù)即可作出判斷.

1—V

【詳解】解：@f(x)=h，令/G)<0,解得：X>1,

二函數(shù)/(x)在(1,+oo)遞減，故①正確；

②：/(X)在(-00,I)遞增，在(1,+00)遞減，

-V(X)max^f(1)=一，

e

%--00時(shí)，f(%)-—00,x—>+co時(shí)，f(x)—0,

畫出函數(shù)/(X)的圖象，如圖示:

二.當(dāng)左￡(-oo,0)時(shí)，直線y=左與>=/(%)的圖象有1個(gè)不同交點(diǎn)，

當(dāng)4e(0,-)時(shí)，直線y=左與夕=/G)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤;

e

③函數(shù)/(x)<—,而y=x2+lNl,

e

.??函數(shù)y=/(x)的圖象與y=N+l的圖象沒有公共點(diǎn)，故③正確；

(11

④當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，令t=/(x)e0,-,

上單調(diào)遞減,

最小值不等于2,故④錯(cuò)誤.

故答案為①③.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題.

三、解答題(共85分)

16.己知數(shù)列｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，%=6,%,4，%成等比數(shù)列?

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

，2，、

⑵若〃=-----,設(shè)數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為5“，求S”.

anan+\

【正確答案】(1)%=2〃

n

⑵S"

2〃+2

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比中項(xiàng)列出方程組求出首項(xiàng)與公差，即可得解;

(2)利用裂項(xiàng)相消法求和.

【小問1詳解】

因?yàn)?=6,ax,a2,a4成等比數(shù)列，

%=%+2d=64]=2

所以八2/、，解得Lc，

(q+d)=ax+3d)ya=2

所以=2+2(〃-1)=2〃.

【小問2詳解】

,2

因?yàn)閍=--------,

,211

所以a=2?！?2〃—+2J=n2—n—0In「+2,

所以2=4+%+A+…+b“_[+b

n2n2n+2)

所以S“=g1n

2〃+22〃+2

17.己知函數(shù)/(x)=J5sin+2cosx.

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)求/(x)圖象的對(duì)稱軸方程；

(3)求“X)在［f,0］上的最大值和最小值.

【正確答案】(1)2兀

71

(2)x=—+k7i,keZ

(3)f(x),=-V2,/(x)=1.

J\)min"\/max

【分析】(l)利用輔助角公式可將化簡(jiǎn)/(x),從而求得其最小周期;

(2)利用整體代入法求得/(x)圖象的對(duì)稱軸方程，從而得解；

(3)利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合整體法即可得解.

【小問1詳解】

‘走sinx-克coj+2cosr

227

=sinx+cosx=V2s:,inY，

所以/(x)的最小正周期為：T=T27r=2兀；

【小問2詳解】

7T兀7C

令x+—=—+E,左wZ,=—+kn.keZ

424f

所以/(X)圖象的對(duì)稱軸方程為x=：+E#eZ；

【小問3詳解】

37171

因?yàn)樨?0],所以X+

T?4

371i717r

注意到y(tǒng)=sinx在-4匹-Q上單調(diào)遞減，在-'q上單調(diào)遞增,

所以/(x)mm=-亞，/(x)max=L

18.設(shè)函數(shù)/(x)=x(x2—3x+a),aeR

(1)當(dāng)a=—9時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間;

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,2)上為減函數(shù)，求。的取值范圍；

(3)若函數(shù)在區(qū)間(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)百，%,且|/(再)一/(%2)|>|/(再)+/(以,

求。的取值范圍.

【正確答案】(1)(-00,-1),(3,+00).

(2)a<0

9

(3)0<6/<一

4

【分析】(1)把a(bǔ)=-9代入求導(dǎo)，再求出導(dǎo)函數(shù)大于0的不等式解集即可；

(2)由函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)在(1,2)上恒小于等于0即可出a的范圍；

(3)根據(jù)給定條件可得函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)的兩個(gè)極值一正一負(fù)，再列出不等式求解即得.

【小問1詳解】

當(dāng)a=-9時(shí)，f(x)=x(x2-3x-9),則f'(x)=3x2-6x-9=3(x+l)(x一3),由fr(x)>0

解得：或x>3,

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間是(一叫―1),(3,+8).

【小問2詳解】

函數(shù)/(x)=x(x2—3x+a),貝U/'(x)=3x2—6x+a,因函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,2)上為減函數(shù)，

則Vxe(l,2),/'(x)<0成立，

即Vxe(l,2),3x2-6x+a<0^a<-3x2+6x，顯然-3■+6x在。,2)上單調(diào)遞減,即

Vxe(l,2),—3f+6x>0，則a<0，

所以。的取值范圍是a<0.

【小問3詳解】

2

由(2)知，/(X)=3X-6X+?,因函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)為，x2,貝!!

/(X)=0在區(qū)間(0,2)內(nèi)有兩個(gè)不等根為，x2,

，,

7(0)=/(2)=a>0a

即有_，解得0<a<3,且有玉+工2=2,再々=一，

/(1)=-3+a<03

不妨令0<<x2<2,則f\x)=3(x-%1)(%-x2)，當(dāng)0<x<X］或/<x<2時(shí)，>0,

當(dāng)玉<X<々時(shí)，/'(X)<0，

則/(X)在公處取得極大值/(xj,在/取得極小值/(/)，顯然，/(占)〉/(%)，

由|/(再)-f(x2)|>|/(再)+f(x2>兩邊平方得/a)?/區(qū))<o,

x=x

而/(/)?f(2)i(%；-3%+a)-x2(%2-3X?+〃)<0，即(%：-3占+〃)(x；-3x2+a)<0,

2

整理得：（Xi/）?-3再入2（再+%2）+1[（再+'2）2~12xix2]+9xix2-3a（芭+x2）+tz<0,

把項(xiàng)+%=2,玉％=三代入上述不等式并整理得：^a2-a<0,解得

9

綜上得0<4Z<一,

4

9

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是0<a<\

4

含有多個(gè)變量的處理方法是減少變量的個(gè)數(shù)，減少變量方法有：

（1）若這些變量之間有關(guān)系可以用它們之間的關(guān)系消元，如在本題中不等式

（x；-3xj+?）（%2-3X2+a）<0含有三個(gè)變量，可以通過韋達(dá)定理％+x2=2,xtx2=^|■代入的

辦法消去看，x2,只剩下關(guān)系。的不等式.

（2）若這些變量之間沒有關(guān)系可以通過構(gòu)造比值或差值消元，如證明不等式

_土-1a+1

<三等時(shí)可變形為±_<三一后構(gòu)造=五消元，只剩下關(guān)于t的不等式;

?%一：t

In^-lnx22[口土2x2

x2

QXI—QX2?西+e*2QXI-X2_]?西一*2+]

證明不等式-------<--一時(shí)可變形為--------<---后構(gòu)造，=%一/消元，只剩

xx-x22-x22

下關(guān)于看的不等式.

19.在△ZSC中，sin^4=V3sinB，

6

（1）求/A4C的大??；

（2）￡是/。的中點(diǎn).從條件①BE=J7，條件②a+6+c=4+2百，條件③c=06中

選擇一個(gè)作為已知，使A/BC存在且唯一確定，求A/BC的面積；

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)個(gè)解答計(jì)分.

2兀

【正確答案】（1）—

3

（2）答案見解析

【分析】（1）由正弦定理化角為邊可得a=同，結(jié)合余弦定理證明6=c,由此可求2,再

結(jié)合內(nèi)角和公式求A；

（2）對(duì)于①：在ABCE,利用余弦定理求得c=2,進(jìn)而可得面積;

對(duì)于②：根據(jù)（1）中邊的關(guān)系分析可得6=2,進(jìn)而可得面積；

對(duì)于③：根據(jù)（1）中邊的關(guān)系分析判斷；

【小問1詳解】

因?yàn)閟in/=gsinB，由正弦定理可得a=,

jr

又因?yàn)?。二一?/p>

6

由余弦定理可得°2=/+尸一2abcosC=3/+/—2回2義@/，

2

即c=b,則3=C=四，所以/氏4。=?！?+。）=".

63

【小問2詳解】

對(duì)于①：zc邊上的中線長(zhǎng)為3￡=J7，

在ABCE,由余弦定理得6后2=BC?+CE?-2BCCEcosC

即（4『=3/+?—2x?xgx曰，解得6=2，

則6=c=2,a=2V3，

所以4/臺(tái)。的面積為=—ocsin5=—x2V3x2x—=V3；

對(duì)于②：因?yàn)閍+b+c=+b+b=4+，解得6=2,

則6=c=2,a=2G，

所以VABC的面積為SARC=—acsmB=—X2A/3X2X—=6）；

“Be222

對(duì)于③：若c=J5b，這與6=c相矛盾，不合題意；

20.已知函數(shù)/（x）=（l+里）e）其中二＞0.

x

（I）求函數(shù)/（X）的零點(diǎn)；

（II）討論）=/（X）在區(qū)間（-8,0）上的單調(diào)性;

（III）在區(qū)間（-8,-1］上，/（X）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

【正確答案】（1）函數(shù)/（x）的零點(diǎn)為一心

⑵在區(qū)間(―oo,—"'j+%)上/(x)是增函數(shù),在區(qū)間(土亭也,o)上/(x)是減

函數(shù)

(3)見解析.

【詳解】(I)解/(X)=0,得X=所以函數(shù)/(工)的零點(diǎn)為一a

(ID函數(shù)/(x)在區(qū)域(—8,0)上有意義，八外=丁+a"a

X2

令f(x)=0,得M=-a7：+4a6=…丁丁+',

因?yàn)閍