甘肅省蘭州市第一中學(xué)2017-2018學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

甘肅省蘭州一中201720181學(xué)期高一年級(jí)期末考試試題數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）1.已知直線，平面滿足，則直線與直線的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交或異面C.異面D.平行或異面【答案】D【解析】∵a∥α，∴a與α沒有公共點(diǎn)，b?α，∴a、b沒有公共點(diǎn)，∴a、b平行或異面。故選：D.2.下列四條直線，傾斜角最大的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】直線方程y=x+1的斜率為1,傾斜角為45°，直線方程y=2x+1的斜率為2,傾斜角為α(60°<α<90°)，直線方程y=?x+1的斜率為?1,傾斜角為135°，直線方程x=1的斜率不存在,傾斜角為90°.所以C中直線的傾斜角最大。本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：直線的傾斜角與斜率的關(guān)系斜率k是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)傾斜角α≠90°時(shí)，k＝tanα.直線都有斜傾角，但并不是每條直線都存在斜率，傾斜角為90°的直線無斜率.3.已知直線與直線平行，則的值為（）A.1B.3C.－1或3D.－1或1【答案】A【解析】因?yàn)閮蓷l直線平行,所以：解得m=1故選A......................4.如圖，三棱柱A1B1C1ABC中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）A.AC⊥平面ABB1A1B.CC1與B1E是異面直線C.A1C1∥B1ED.AE⊥BB1【答案】D【解析】因?yàn)槿庵鵄1B1C1ABC中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中點(diǎn)，所以對(duì)于A,AC與AB夾角為60°,即兩直線不垂直，所以.AC不可能垂直于平面ABB1A1；故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,CC1與B1E都在平面CC1BB1中不平行，故相交；所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C,A1C1,B1E是異面直線；故C錯(cuò)誤；故選：D.5.已知兩個(gè)不重合的平面α，β和兩條不同直線m，n，則下列說法正確的是（）A.若m⊥n，n⊥α，m?β，則α⊥βB.若α∥β，n⊥α，m⊥β，則m∥nC.若m⊥n，n?α，m?β，則α⊥βD.若α∥β，n?α，m∥β，則m∥n【答案】B【解析】試題分析：由題意得，A中，若，則或，又，∴不成立，∴A是錯(cuò)誤的；B．若，則，又，∴成立，∴B正確；C．當(dāng)時(shí)，也滿足若，∴C錯(cuò)誤；D．若，則或?yàn)楫惷嬷本€，∴D錯(cuò)誤，故選B．考點(diǎn)：空間線面平行垂直的判定與性質(zhì)．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了空間線面位置關(guān)系的判定與證明，其中熟記空間線面位置中平行與垂直的判定定理與性質(zhì)定理是解得此類問題的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的空間想象能和推理能力，屬于基礎(chǔ)題，本題的解答中，可利用線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理判定，也可利用舉出反例的方式，判定命題的真假．6.已知直線ax+by+c=0的圖象如圖，則（）A.若c>0，則a>0，b>0B.若c>0，則a<0，b>0C.若c<0，則a>0，b<0D.若c<0，則a>0，b>0【答案】D【解析】由ax+by+c=0，得斜率k=，直線在x，y軸上的截距分別為，.如圖，k<0，即<0，所以ab>0，因?yàn)?gt;0，>0，所以ac<0，bc<0.若c<0，則a>0，b>0；若c>0，則a<0，b<0;故選D.7.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中圓的直徑為4，該幾何體的表面積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由三視圖知幾何體為圓柱挖去一個(gè)圓錐所得的組合體，且圓錐與圓柱的底面直徑都為4，高為2，則圓錐的母線長為，∴該幾何體的表面積S=π×22+2π×2×2+π×2×2=(12+4)π，故選：D.8.斜率為4的直線經(jīng)過點(diǎn)A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)三點(diǎn)，則a，b的值為（）A.a＝，b＝0B.a＝－，b＝－11C.a＝，b＝－11D.a＝－，b＝11【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，則，故選C。9.如圖，正方形的邊長為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（）A.6B.8C.D.【答案】B【解析】由斜二測畫法的規(guī)則知與軸平行的線段其長度不變以及與橫軸平行的性質(zhì)不變，正方形的對(duì)角線在軸上，可求得其長度為，故在平面圖中其在軸上，且其長度變?yōu)樵瓉淼?倍，長度為，其原來的圖形如圖所示，則原圖形的周長是，故選故選B.10.如圖所示，將等腰直角△ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個(gè)二面角B′ADC，此時(shí)∠B′AC=60°，那么這個(gè)二面角大小是（）A.90°B.60°C.45°D.30°【答案】A【解析】設(shè)等腰直角△ABC中AB=AC=a，則BC=a，∴B′D=CD=，∵等腰直角△ABC斜邊BC上的高是AD=，∴B′D⊥AD，CD⊥AD，∴∠B′DC是二面角B′?AD?C的平面角。連結(jié)B′，C，∵∠B′AC=60°，∴B′C=a，∴B′D2+CD2=B′C2，∴∠B′DC=90°.∴二面角B′?AD?C的大小是90°.故選：A.點(diǎn)睛：本題考察了二面角的求法,屬于基礎(chǔ)題,作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.11.若點(diǎn)和都在直線上，又點(diǎn)和點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)P和Q都不在直線上B.點(diǎn)P和Q都在直線上C.點(diǎn)P在直線上且Q不在直線上D.點(diǎn)P不在直線上且Q在直線上【答案】B【解析】由題意得：，易得點(diǎn)滿足由方程組得，兩式相加得，即點(diǎn)在直線上，故選B.12.已知點(diǎn)，直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A.或B.C.D.【答案】A【解析】，所以直線過定點(diǎn)，所以，，直線在到之間，所以或，故選A。二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13.已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為120°的扇形，則這個(gè)圓錐的高為____．【答案】【解析】圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為：，∴圓錐的底面半徑為2π÷2π=1，∴該圓錐的高為：.故答案為：.14.經(jīng)過點(diǎn)，且在軸上的截距等于在軸上的截距的倍的直線的方程是_______．【答案】或【解析】設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)代入上式可得或.考點(diǎn)：直線的方程15.如圖，在長方體中，3cm，2cm，1cm，則三棱錐的體積為______cm3．【答案】1【解析】試題分析：；考點(diǎn)：1.簡單幾何體的體積；16.如圖，在四面體A－BCD中，已知棱AC的長為，其余各棱長都為1，則二面角A－CD－B的平面角的余弦值為________.【答案】【解析】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，由題可知，邊長均為1，則，中，，則，得，所以二面角的平面角即，在中，，則，所以。點(diǎn)睛：本題采用幾何法去找二面角，再進(jìn)行求解。利用二面角的定義：公共邊上任取一點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作公共邊的垂線，兩垂線的夾角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出對(duì)應(yīng)三角形的三邊，利用余弦定理求解（本題中剛好為直角三角形）。三、解答題（本大題共6小題，共70分）17.已知直線l平行于直線3x+4y－7=0，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24，求直線l的方程．【答案】或【解析】試題分析：設(shè)直線l的方程為：3x+4y+m=0，分別令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．利用l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24，可得=24，解得m即可．解：設(shè)直線l的方程為：3x+4y+m=0，分別令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．∵l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24，∴=24，解得m=±24．∴直線l的方程為3x+4y±24=0．18.已知四棱錐P－ABCD的體積為，其三視圖如圖所示，其中正視圖為等腰三角形，側(cè)視圖為直角三角形，俯視圖是直角梯形．(1)求正視圖的面積；(2)求四棱錐P－ABCD的側(cè)面積．【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)四棱錐的體積得PA=，進(jìn)而得正視圖的面積；（2）過A作AE∥CD交BC于E，連接PE，確定四個(gè)側(cè)面積面積S△PAB，S△PAD，S△PCD，S△PBC求和即可.試題解析：(1)如圖所示四棱錐P－ABCD的高為PA，底面積為S＝·CD＝×1＝∴四棱錐P－ABCD的體積V四棱錐P－ABCD＝S·PA＝×·PA＝，∴PA=∴正視圖的面積為S＝×2×＝.(2)如圖所示，過A作AE∥CD交BC于E，連接PE.根據(jù)三視圖可知，E是BC的中點(diǎn)，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1，且BC⊥AE，AB=又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥DC，PD=，∴BC⊥面PAE，∴BC⊥PE，又DC⊥AD，∴DC⊥面PAD，∴DC⊥PD，且PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AE，∴PE2＝PA2+AE2＝3.∴PE＝.∴四棱錐P－ABCD的側(cè)面積為S＝S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PBC＝··+··1+·1·+·2·=.點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.19.如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為2的正方形，分別為線段，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)四棱柱的外接球的表面積為，求異面直線與所成的角的大小.【答案】（1）見解析；（2）【解析】試題分析：（1）連接BD1，由中位線定理證明EF∥D1B，由線面平行的判定定理證明EF∥平面ABC1D1；

（2）由（1）和異面直線所成角的定義，得異面直線EF與BC所成的角是∠D1BC，由題意和球的表面積公式求出外接球的半徑，由勾股定理求出側(cè)棱AA1的長，由直四棱柱的結(jié)構(gòu)特征和線面垂直的定義，判斷出BC⊥CD1，在RT△CC1D1中求出tan∠D1BC，求出∠D1BC可得答案．試題解析：（1）連接，在中，分別為線段的中點(diǎn)，∴為中位線，∴，而面，面，∴平面.（2）由（1）知，故即為異面直線與所成的角.∵四棱柱的外接球的表面積為，∴四棱柱的外接球的半徑，設(shè)，則，解得，在直四棱柱中，∵平面，平面，∴，在中，，∴，∴異面直線與所成的角為.20.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，PA＝PB，且側(cè)面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).(1)求證：PE⊥AD；(2)若CA＝CB，求證：平面PEC⊥平面PAB．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】試題分析：(1)因?yàn)镻A=PB，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，可知PE⊥AB，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE?平面PAB，推斷出PE⊥平面ABCD，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知PE⊥AD．

（2）因?yàn)镃A=CB，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，進(jìn)而可知CE⊥AB，（Ⅱ）可得PE⊥AB，進(jìn)而判斷出AB⊥平面PEC，根據(jù)面面垂直的判定定理推斷出平面PAB⊥平面PEC．試題解析：（1）因?yàn)镻A＝PB，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，所以PE⊥AB，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，平面PAB，所以PE⊥平面ABCD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以PE⊥AD.（2）因?yàn)镃A＝CB，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以CE⊥AB.由（1）可得PE⊥AB，又因?yàn)?，所以AB⊥平面PEC，又因?yàn)槠矫鍼AB，所以平面PAB⊥平面PEC.21.已知△ABC的頂點(diǎn)B（1，3），邊AB上的高CE所在直線的方程為，BC邊上中線AD所在的直線方程為．(1)求直線AB的方程；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：(1)由,知兩條直線的斜率乘積為1,進(jìn)而由點(diǎn)斜式求直線即可;(2)設(shè)，則，代入方程求解即可.試題解析：（1）∵,且直線的斜率為，∴直線的斜率為，∴直線的方程為，即．（2）設(shè)，則，∴，解得，∴．22.如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分別是A1B，B1C1的中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥平面A1BC；(2)求直線BC1和平面A1BC所成的角的大?。敬鸢浮浚?）見解析；（2）【解析】試題分析：（1）易得BC⊥平面ACC1A1，連接AC1，則BC⊥AC1．側(cè)面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AC1⊥平面A1BC，因?yàn)閭?cè)面ABB1A1是正方形，MN是△AB1C1的中位線，所以MN∥AC1，從而MN⊥平面A1BC；

（2）根據(jù)AC1⊥平面A1BC，設(shè)AC1與A1C相交于點(diǎn)D，連接BD，根據(jù)線面所成角的定義可知∠C1BD為直線BC1和平面A1BC所成角，設(shè)AC=BC=CC1=a，求出C1D，BC1，在Rt△BDC1中，求出∠C1BD，即可求出所求．試題解析：(1)證明如圖，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．連接AC1