高考數(shù)學(xué)人教A版理科第一輪復(fù)習(xí)課件第七章不等式推理與證明74

7.4

直接證明與間接證明-2-知識(shí)梳理雙基自測(cè)211.直接證明

成立

充分

-3-知識(shí)梳理雙基自測(cè)21-4-知識(shí)梳理雙基自測(cè)212.間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間接證明方法.(1)反證法的定義:假設(shè)原命題

(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出

,因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明

的證明方法.

(2)用反證法證明的一般步驟:①反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立;②歸謬——根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推出矛盾為止;③結(jié)論——斷言假設(shè)不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立.不成立

矛盾

原命題成立

2-5-知識(shí)梳理雙基自測(cè)34151.下列結(jié)論正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)綜合法的思維過程是由因?qū)Ч?逐步尋找已知的必要條件.(

)(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.(

)(3)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定,推出矛盾.(

)(4)用反證法證明時(shí),推出的矛盾不能與假設(shè)矛盾.(

)(5)常常用分析法尋找解題的思路與方法,用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.(

)答案答案關(guān)閉(1)√

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

(6)√-6-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234152.命題“對(duì)于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的證明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”過程應(yīng)用了(

)A.分析法B.綜合法C.綜合法、分析法綜合使用D.間接證明法答案解析解析關(guān)閉因?yàn)樽C明過程是“從左往右”,即由條件?結(jié)論.故選B.答案解析關(guān)閉B-7-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234153.已知a=lg2+lg5,b=ex(x<0),則a與b的大小關(guān)系為(

)A.a>b B.a<b C.a=b D.a≤b答案解析解析關(guān)閉當(dāng)x<0時(shí),0<ex<1,即0<b<1.又a=lg2+lg5=1.故a>b.答案解析關(guān)閉A-8-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234154.用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是(

)A.方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根B.方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根答案解析解析關(guān)閉因?yàn)椤胺匠蘹3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”等價(jià)于“方程x3+ax+b=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)大于或等于1”,所以要做的假設(shè)是“方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根”.答案解析關(guān)閉A-9-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234155.(教材習(xí)題改編P15T(2))用反證法證明“100個(gè)球放在90個(gè)盒子里,至少有一個(gè)盒子里不少于兩個(gè)球”應(yīng)假設(shè)

.

答案解析解析關(guān)閉因?yàn)椤爸辽儆幸粋€(gè)盒子里不少于”的反面是“所有盒子里都少于”,所以應(yīng)填“每個(gè)盒子里都少于兩球”.答案解析關(guān)閉每個(gè)盒子里都少于兩球-10-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向一

數(shù)列中的證明例1設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知3an-2Sn=2.(1)證明{an}是等比數(shù)列并求出通項(xiàng)公式an;思考哪些問題的證明適合用綜合法?-11-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明:(1)因?yàn)?an-2Sn=2,所以3an+1-2Sn+1=2,所以3an+1-3an-2(Sn+1-Sn)=0.所以{an}是等比數(shù)列.當(dāng)n=1時(shí),3a1-2S1=2,又S1=a1,所以a1=2.所以{an}的通項(xiàng)公式an=2×3n-1.-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向二

立體幾何中的證明例2(2017山東棗莊一模)如圖,在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABCD是菱形,AB=2A1B1,AA1⊥平面ABCD.求證:(1)BD⊥C1C;(2)C1C∥平面A1BD.思考在用綜合法證明立體幾何中的平行或垂直問題時(shí)還經(jīng)常用到什么數(shù)學(xué)方法?-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明:(1)連接AC,∵AA1⊥平面ABCD,∴AA1⊥BD.∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,又AC∩AA1=A,∴BD⊥平面ACC1A1.∵CC1?平面ACC1A1,∴BD⊥CC1.(2)連接AC和A1C1,設(shè)AC∩BD=E.∵底面ABCD是菱形,∴E為菱形ABCD的中心,由棱臺(tái)的定義及AB=2A1B1,可得EC∥A1C1,且EC=A1C1,故ECC1A1為平行四邊形,∴CC1∥A1E.∵CC1?平面A1BD,A1E?平面A1BD,∴CC1∥平面A1BD.-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向三

不等式中的證明思考綜合法證明的特點(diǎn)是什么?

證明

由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.綜合法的適用范圍:(1)定義明確的問題,如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等,求證沒有限制條件的等式或不等式.(2)已知條件明確,并且容易通過分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型.2.用綜合法證明立體幾何中的平行或垂直問題時(shí)還經(jīng)常用到轉(zhuǎn)化法,例如證明線面平行或垂直一般轉(zhuǎn)化成證明線線平行或垂直.3.用綜合法證明的特點(diǎn)是“由因?qū)Ч?即從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則,通過演繹推理,一步一步地接近要證明的結(jié)論,直到完成命題的證明.-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分別是AP,AB的中點(diǎn).求證:①直線EF∥平面PBC;②平面DEF⊥平面PAB.-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(1)①解

因?yàn)镾n=an+1+n-2,所以當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=an+(n-1)-2=an+n-3,兩式相減,得an=an+1-an+1,即an+1=2an-1.設(shè)cn=an-1,代入上式,得cn+1+1=2(cn+1)-1,即cn+1=2cn(n≥2).又Sn=an+1+n-2,則an+1=Sn-n+2,故a2=S1-1+2=3.所以c1=a1-1=1,c2=a2-1=2,即c2=2c1.綜上,對(duì)于正整數(shù)n,cn+1=2cn都成立,即數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,其首項(xiàng)a1-1=1,公比q=2.-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)證明

①在△PAB中,因?yàn)镋,F分別為PA,AB的中點(diǎn),所以EF∥PB.又因?yàn)镋F?平面PBC,PB?平面PBC,所以直線EF∥平面PBC.②如圖,連接BD.因?yàn)锳B=AD,∠BAD=60°,所以△ABD為正三角形.因?yàn)镕是AB的中點(diǎn),所以DF⊥AB.因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD,DF?平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以DF⊥平面PAB.又因?yàn)镈F?平面DEF,所以平面DEF⊥平面PAB.-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例4已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,且a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,思考哪些問題的證明適合用分析法?-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得分析法證明問題的適用范圍:當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接,或證明過程中所需知識(shí)不太明確、具體時(shí),往往采用分析法,特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式,從正面不易推導(dǎo)時(shí),常考慮用分析法.-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)已知a≥b>0,求證:2a3-b3≥2ab2-a2b.證明

(1)因?yàn)閙>0,所以1+m>0.所以要證原不等式成立,只需證(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),即證m(a2-2ab+b2)≥0,即證(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0顯然成立,故原不等式得證.-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)要證明2a3-b3≥2ab2-a2b成立,只需證2a3-b3-2ab2+a2b≥0,即2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0,即(a+b)(a-b)(2a+b)≥0.∵a≥b>0,∴a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,從而(a+b)(a-b)(2a+b)≥0成立,∴2a3-b3≥2ab2-a2b.-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例5設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和.(1)求證:數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.(2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎?為什么?思考反證法的適用范圍及證題的關(guān)鍵是什么?

(1)證明

假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列,因?yàn)閍1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2,即q=0,這與公比q≠0矛盾,所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)解

當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1,故{Sn}是等差數(shù)列;當(dāng)q≠1時(shí),{Sn}不是等差數(shù)列.假設(shè){Sn}是等差數(shù)列,則2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),得q=0,這與公比q≠0矛盾.綜上,當(dāng)q=