四川省德陽(yáng)中學(xué)高三下學(xué)期高考直擊卷(一)理科數(shù)學(xué)試題

2024屆高三高考直擊卷(一)理科數(shù)學(xué)溫馨提示:1.本試卷共23小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.選擇題部分使用2B鉛筆填涂，非選擇題部分使用0.5mm黑色墨跡簽字筆書(shū)寫(xiě).3.所有題目均答在答題卡指定區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域的答案無(wú)效，答在本試卷、草稿紙上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，將答題卡、本試卷和草稿紙一并交回.一:選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.設(shè)復(fù)數(shù)和分別是方程的兩個(gè)根，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解方程得復(fù)數(shù)、，利用復(fù)數(shù)的減法和復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】由可得，可得，不妨取，，所以，，因此，.故選：A.2.已知集合，，若集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為，則集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線與相交，再利用直線與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】易知集合中的元素是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上的點(diǎn)或原點(diǎn)，集合中的元素是直線上的點(diǎn)，又集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為，所以直線與圓相交，則，解得或，所以，故選：D.3.設(shè)各項(xiàng)均不為的等差數(shù)列的首項(xiàng)，若點(diǎn)、，滿足，則該數(shù)列的公差為（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合題意進(jìn)行檢驗(yàn)即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，，所以，，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列每項(xiàng)都為奇數(shù)，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，則，不合乎題意.綜上所述，.故選：B.4.若滿足限制條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)約束條件，得到可行域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題知可行域?yàn)閳D中陰影區(qū)域，由，解得，所以，由，解得，所以，由，解得，所以，因?yàn)榭煽闯煽尚杏騼?nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，又，所以的最大值為，故選：B.5.公司選拔部門(mén)總監(jiān)，根據(jù)投票數(shù)與業(yè)績(jī)?cè)u(píng)分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在選拔中脫穎而出.現(xiàn)在人事部、財(cái)務(wù)部與科研部要分別選擇人擔(dān)任部門(mén)總監(jiān)，其余人隨機(jī)分別調(diào)到個(gè)部門(mén)中擔(dān)任項(xiàng)目經(jīng)理，設(shè)事件{甲、乙兩人不在同一部門(mén)}，事件{甲擔(dān)任財(cái)務(wù)部部門(mén)總監(jiān)}，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用排列、組合及古典概率公式，求出，，再利用條件概率公式，即可求解.詳解】由題知，，所以，故選：C.6.若函數(shù)是奇函數(shù)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解【詳解】因，且為奇函數(shù)，則，得到，所以，又圖象的對(duì)稱軸為，且開(kāi)口向下，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值為，故選：A.7.若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意可得函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于曲線和在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，求出極大值與端點(diǎn)處函數(shù)值，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，令，即，則，所以函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于曲線和在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，，故的取值范圍為.故選：D.8.已知點(diǎn)為橢圓:上一點(diǎn)，，分別為的左，右焦點(diǎn)，若圓是的內(nèi)切圓，直線與軸交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件利用內(nèi)角平分線定理，結(jié)合合比定理得到，然后根據(jù)橢圓的定義和離心率的定義求得離心率.【詳解】因?yàn)榈膬?nèi)心為，連接和，可得為的平分線，為的平分線，則，又，所以，所以，得到，故選：D．9.設(shè)，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造，，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，從而得到，故，再構(gòu)造，，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，從而得到，得到，得到答案.【詳解】設(shè)，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，又，故，即，故，令，，則在恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故，即，故，綜上：.故選：D10.已知函數(shù)，將的圖象向右平移個(gè)單位后，關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)與軸最接近的一個(gè)極大值坐標(biāo)為，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.的一條對(duì)稱軸為 B.在有個(gè)根C.與直線有個(gè)交點(diǎn) D.關(guān)于中心對(duì)稱【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件得到，利用的圖象與性質(zhì)，直接求出的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，即可判斷選項(xiàng)A和D的正誤；對(duì)于選項(xiàng)B，直接求出在內(nèi)的根，即可求解；對(duì)于C，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】因?yàn)?，將的圖象向右平移個(gè)單位后，得到，由題知關(guān)于軸對(duì)稱，得到，且與軸最接近的一個(gè)極大值坐標(biāo)為，所以，又，得到，，所以，對(duì)于選項(xiàng)A，由，得到，即的對(duì)稱軸為，由，得到，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，由，得到，或，得到，或，令，得到或，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，又，，，，，注意到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可知與直線有個(gè)交點(diǎn)，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，得到，令，得到，所以是的一個(gè)對(duì)稱中心，故選項(xiàng)D正確，故選：A.11.若各頂點(diǎn)均在球上的三棱錐中，則當(dāng)取得最大值時(shí)，球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】平面，取得最大值，據(jù)此計(jì)算可求得外接于的表面積.【詳解】，其中為到平面的距離，又，所以時(shí)，取得最大值，此時(shí)平面，設(shè)是的外心，過(guò)作平面，是外接球的球心，因?yàn)槠矫?，所以，由正弦定理可得，所以，所以球的表面積為.故選：A.12.已知，，當(dāng)時(shí)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，求導(dǎo)令，可得，進(jìn)而求得的單調(diào)性，求得，結(jié)合已知可得，求解即可.【詳解】令，則，因?yàn)椋O(shè)的根為，即有，所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增.，所以，，所以，①當(dāng)；，②當(dāng)時(shí)，設(shè)，，在單調(diào)遞增，又，所以.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵點(diǎn)有：（1）掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用；（2）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)的最小值，從而解決問(wèn)題.二:填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.的展開(kāi)式中的系數(shù)最大的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是___________.【答案】15【解析】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)式的展開(kāi)式，可求系數(shù)最大的項(xiàng)，進(jìn)而求得二項(xiàng)式系數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以展開(kāi)式的項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)為，所以二項(xiàng)式系數(shù)為.故答案為：.14.在正方體中，為上靠近的三等分點(diǎn)，為上的點(diǎn)，則當(dāng)異面直線與夾角最大時(shí)，______.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出兩向量夾角余弦值的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解其最值，再利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，所以，令，則，則，要使異面直線與夾角最大，則取到最小，從而取到最大，因?yàn)椋?，函?shù)對(duì)稱軸為，所以當(dāng)即時(shí)，即時(shí)，，則.故答案為：.15.已知點(diǎn)，分別是拋物線上的兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)，作拋物線的切線.設(shè)兩條切線的交點(diǎn)為點(diǎn)，則若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為_(kāi)____________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)直線，與拋物線交點(diǎn)且，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達(dá)定理得，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求過(guò)切線方程，進(jìn)而求切線交點(diǎn)得，有直線過(guò)定點(diǎn)，再由面積公式求最小值.【詳解】設(shè)直線，與拋物線交點(diǎn)且，聯(lián)立拋物線有且，所以，，當(dāng)時(shí)，，則，即過(guò)的切線斜率為，所以，同理得，聯(lián)立直線，可得，即，所以直線恒過(guò)拋物線焦點(diǎn)，如下圖，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小.故答案為：216.空間直角坐標(biāo)系下，空間內(nèi)任何平面都具有一般方程，這如平面中的直線方程形式相似，可得向量為平面的法向量.而空間中的直線，可以使用平面相交或兩點(diǎn)確定.若已知過(guò)的直線方向向量，則就是該直線所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程.若已知空間內(nèi)兩點(diǎn)和，則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)_______.【答案】##【解析】【分析】由題意求得平面的一個(gè)法向量，求得直線的一個(gè)方向向量，利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)榭臻g內(nèi)兩點(diǎn)和，所以直線的一個(gè)方向向量為，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)定義求出直線的一個(gè)方向向量，和平面的法向量，是解決本題的關(guān)鍵.三:解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)(一)必考題(60分)17.已知數(shù)列和首項(xiàng)為2的等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，，且.（1）求和的通項(xiàng)公式和的前n項(xiàng)和；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式滿足，設(shè)為的前n項(xiàng)和，求證:.【答案】（1）；；（2）證明見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由即可求出，進(jìn)而得，令，由得即可求出，進(jìn)而得，令，利用錯(cuò)位相減法即可求出；（2）由，利用裂項(xiàng)相消法即可證明.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)，，所以，，，又因?yàn)椋?，令，，又有，則有，所以，又因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，令，所以①，②，由①—②有：，【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所?18.如圖，在三棱錐中，二面角的大小為，，為棱的中點(diǎn).（1）①②③④從上述四個(gè)條件中，選出一個(gè)能證明的選項(xiàng)，并證明；（2）設(shè)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得二面角的余弦值等于？若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）選條件②，證明見(jiàn)解析；（2）存在，或.【解析】【分析】（1）取AB中點(diǎn)O，連接，先假設(shè)，則有，進(jìn)而得到條件②能使，從而選條件②，再由先出垂直判定定理結(jié)合線面垂直定義即可得證；（2）以O(shè)為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面和平面的一個(gè)法向量，利用求出參數(shù)y即可得解.【小問(wèn)1詳解】取AB中點(diǎn)O，連接，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，又，則，若，又，，、平面，則平面，又平面，所以有，又①②③④四個(gè)條件中，條件②能使，故選條件②：證明：，O為中點(diǎn)，所以有，又，，、平面，所以平面，又平面，所以；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，即為正三角形，取AB中點(diǎn)O，則有，則由（1）可知平面，所以是二面角的平面角，故，設(shè)，則，則點(diǎn)P到底面的距離為，點(diǎn)P在底面的投影落在直線上且與距離為，以O(shè)為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，分別設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量為，則，，取，，則，則.解得或，滿足題意，所以存在點(diǎn)E使得二面角的余弦值等于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決第（2）問(wèn)的關(guān)鍵是正確建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確表示點(diǎn)P的坐標(biāo).19.已知橢圓，直線交橢圓于，兩點(diǎn).（1）若直線過(guò)定點(diǎn)，且，求的斜率；（2）若，滿足，判斷是否存在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓，使得直線與圓總相切？若存在，請(qǐng)求出圓的半徑；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，半徑為【解析】【分析】（1）分直線斜率存在與不存在兩種情況討論，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)條件，利用弦長(zhǎng)公式，即可求解；（2）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程得，消得到，根據(jù)條件得到，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得到，即可求解；再檢驗(yàn)斜率不存在也滿足即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，由，得到，此時(shí)，不合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，由，消得到，則，所以，整理得到，解得.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，由，消得到，則，，，因?yàn)椋郑瑒t，所以，得到，又原點(diǎn)到直線的距離為，所以存在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓，使得直線與圓總相切，此時(shí)圓的半徑為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得到，此時(shí)，由，得到，解得，此時(shí)直線也與圓相切，綜上，存在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓，使得直線與圓總相切，此時(shí)圓的半徑為.20.已知羽毛球比賽的單打規(guī)則是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合發(fā)球方?現(xiàn)甲?乙二人進(jìn)行羽毛球單打比賽，隨機(jī)選取了以往甲?乙兩名運(yùn)動(dòng)員對(duì)陣中的300回合的比賽數(shù)據(jù)，得到如下待完善的2×2列聯(lián)表：甲得分乙得分總計(jì)甲發(fā)球90乙發(fā)球120總計(jì)120300（1）完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“比賽得分與接?發(fā)球有關(guān)”？（2）以列聯(lián)表中甲?乙各自接?發(fā)球的得分頻率分別作為每一回合中甲?乙各自接?發(fā)球的得分概率.①若第1回合是甲先發(fā)球，設(shè)第回合是甲發(fā)球的概率為，證明：是等比數(shù)列；②已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，則.若第1回合是甲先發(fā)球，求甲?乙連續(xù)進(jìn)行300回合比賽后，甲的總得分期望.（結(jié)果保留2位小數(shù)）參考公式：，其中，.【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有99.9%的把握認(rèn)為“比賽得分與接?發(fā)球有關(guān)”（2）①證明見(jiàn)解析，②100.44【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列聯(lián)表，然后卡方計(jì)算，分析有99.9%的把握認(rèn)為“比賽得分與接?發(fā)球有關(guān)”（2）①分析第回合是甲發(fā)球要分兩種情況：第回合是甲發(fā)球且甲得分，或第回合是乙發(fā)球且甲得分，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷數(shù)列為等比數(shù)列；②根據(jù)兩點(diǎn)分布的特征,然后根據(jù)結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求解即可；【小問(wèn)1詳解】由題得完整列聯(lián)表如下：甲得分乙得分M計(jì)甲發(fā)球9060150乙發(fā)球30120150總計(jì)120180300經(jīng)計(jì)算，因?yàn)?，故?9.9%的把握認(rèn)為“比賽得分與接?發(fā)球有關(guān)”.【小問(wèn)2詳解】由題已知：在甲發(fā)球的情況下，甲得分的概率為，乙得分的概率為；在乙發(fā)球的情況下，乙得分的概率為，甲得分的概率為.①第回合是甲發(fā)球要分兩種情況：第回合是甲發(fā)球且甲得分，或第回合是乙發(fā)球且甲得分，即：，故，故，又，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.②由①可得，故.記“第回合甲得分為”，則顯然服從兩點(diǎn)分布，且事件“”等價(jià)于“第回合是甲發(fā)球”，故.又甲?乙共連續(xù)進(jìn)行300回合比賽后，甲的得分為，故【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：分析第回合是甲發(fā)球分兩種情況：第回合是甲發(fā)球且甲得分，或第回合是乙發(fā)球且甲得分，并列出，根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷數(shù)列是本題的難點(diǎn)和突破點(diǎn).21設(shè)函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求的值；（3）設(shè)，若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）首先要通過(guò)求導(dǎo)來(lái)分析函數(shù)的單調(diào)性，分類討論根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的增減區(qū)間；（2）根據(jù)（1）結(jié)論，對(duì)于恒成立問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性找到最值，計(jì)算即可；（3）通過(guò)換元和參變分離，借助導(dǎo)數(shù)求最值，來(lái)確定參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】對(duì)求導(dǎo)，可得.令，則.當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.又，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增..令，對(duì)其求導(dǎo)得.令，解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減..當(dāng)時(shí)，，又，所以存在使得，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)或時(shí)，，即，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增.綜上所得，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，所以恒成立，故.【小問(wèn)3詳解】已知，恒成立，即恒成立.移項(xiàng)可得恒成立.令，則可化為（）.令，對(duì)其求導(dǎo)得，所以在上單調(diào)遞增，且，所以恒