安徽省蕪湖市高三上學(xué)期期末考試（一模）數(shù)學(xué)（理）試題

蕪湖市20172018學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)習(xí)質(zhì)量測(cè)評(píng)高三數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，，，則（）A．B．C．D．2.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3.下圖是一個(gè)算法的程序框圖，當(dāng)輸入值為10時(shí)，則其輸出的結(jié)果是（）A．B．2C．D．44.某校高一開設(shè)4門選修課，有4名同學(xué)選修，每人只選1門，恰有2門課程沒有同學(xué)選修，則不同的選課方案有（）A．96種B．84種C.78種D．16種5.已知，，，則的大小為（）A．B．C.D．6.“勾股定理”在西方被稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，若直角三角形中較小的銳角，現(xiàn)在向大正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是（）A．B．C.D．7.“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C.充要條件D．既不充分也不必要條件8.已知實(shí)數(shù)滿足條件，令，則的最小值為（）A．B．C.D．9.若，則（）A．B．C.D．10.某四棱錐的三視圖如圖所示，其俯視圖為等腰直角三角形，則該四棱錐的體積為（）A．B．C.D．11.已知直線與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，設(shè)為雙曲線上任一點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則下列不等式恒成立的是（）A．B．C.D．12.已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，則的取值范圍是（）A．B．C.D．二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知向量，，且，則．14.已知拋物線的弦過(guò)焦點(diǎn)，若，且中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則拋物線的方程為．15.將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)圖像．若，且在上單調(diào)遞減，則．16.四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面是以為斜邊的等腰直角三角形，若，則四棱錐的外接球的表面積為．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知數(shù)列的首項(xiàng)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.18.某校高一200名學(xué)生的期中考試語(yǔ)文成績(jī)服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如下：（1）計(jì)算這次考試的數(shù)學(xué)平均分，并比較語(yǔ)文和數(shù)學(xué)哪科的平均分較高（假設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)陬l率分布直方圖中各段是均勻分布的）；（2）如果成績(jī)大于85分的學(xué)生為優(yōu)秀，這200名學(xué)生中本次考試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)大約各多少人？（3）如果語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的共有4人，從（2）中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)三人中兩科都優(yōu)秀的有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.（附參考公式）若，則，19.在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，，沿將翻折到，連接，得到如圖所示的五棱錐，且.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成二面角的余弦值.20.在中，，且，若以為左右焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，探究在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，試求出定值和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21.已知函數(shù)（為常數(shù)）.（1）求函數(shù)在的最小值；（2）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出直線的極坐標(biāo)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知與直線平行的直線過(guò)點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)，試求.23.選修45：不等式選講已知函數(shù).（1）解不等式；（2）已知，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.試卷答案一、選擇題15:BBDBC610:DAACC11、12：CB二、填空題13.14.15.316.三、解答題17.解：（1），①當(dāng)時(shí)，，②①②得，，所以.故是首項(xiàng)為的常數(shù)列，所以.，∴.18.解：（1）數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為根據(jù)語(yǔ)文成績(jī)的正態(tài)分布知語(yǔ)文平均分為70分，所以語(yǔ)文平均分高些.（2）語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的概率為，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率為，語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)為人，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)為人（3）語(yǔ)文數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的4人，單科優(yōu)秀的有6人，所有可能的取值為0，1，2，3，，，的分布列為數(shù)學(xué)期望.19.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，所有，因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直，所以，故.翻折后即有因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）分別延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)，連，設(shè)，連接，∵∴為等邊三角形.∴，，，，在中，，在中，，∴，∵，∴平面，又，∴平面，過(guò)點(diǎn)做，連，則為平面與平面所成二面角的平面角.在中，，，，∴，∴，∴.20.解：（1）在中，由余弦定理.又，∴，代入上式得，即橢圓長(zhǎng)軸，焦距，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立，得，，設(shè)交點(diǎn)，，∴，.假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，∴要使為定值，則的值與無(wú)關(guān)，∴，解得，此時(shí)為定值，定點(diǎn)為.21.解：（1），的定義域?yàn)?，且，∴?dāng)時(shí)，，所以在遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，且，，因，函數(shù)在的最小值為.由（1）知滿足，且，，，由題意可知又由（1）可知在遞減，故，所以，，則令，則，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，所以因，即，所以當(dāng)時(shí)，，即因?yàn)?，，在上單調(diào)遞增，所以，故.22.解：（1）將，代入直線方程得，由可得，曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）直線的傾斜角為，∴直線的傾斜角也為，又直線過(guò)點(diǎn)，∴直線的參