北京市朝陽區(qū)2024-2025學(xué)年高二年級上冊期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

北京市朝陽區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.經(jīng)過點（1,0）且傾斜角為45。的直線的方程為（）

A.x+y-l=0B.%一歹一1二0

C.x+y/3y-1=0D.百x+y-l=0

2

2.雙曲線，-匕=1的漸近線方程為（）

3

B.尸土與

A.y=±^x

3

C.y=±>/3xD.尸±3%

3.已知函數(shù)〃力=腔而，則x)=()

A.excosxB?-excosx

C.ex(sinx+cosx)D.ex(sinx-cosx)

4.已知｛?！ǎ堑缺葦?shù)列，a3=2,a4=10,則%=()

A.5B.12C.20D.50

5.如圖，在三棱柱ABC-45cl中,￡/分別為棱/B,4G的中點.設(shè)焉=萬,%=反函=,,

則麗=()

B

n1-L-

A.--a+-b+cB.—uH—〃+c

2222

1一17一

C.—a——b+cDc.—1a-+—1bt-c-

2222

試卷第1頁，共4頁

6.圓心為。,2)且與直線3x+4y-l=0相切的圓的方程為()

A.(x-l)2+(^-2)2=2B.(I)?+3-2)2=4

C.(x+l)2+(y+2)2=2D.(x+l)2+(y+2)2=4

7.已知日=(-2,0㈤是直線/的方向向量，所=(1,0,2)是平面a的法向量，若Ua,則實數(shù)

k=()

A.-4B.-1C.1D.4

8.已知等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S",貝「j>0”是“｛S“｝為遞增數(shù)歹爐的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.建設(shè)大型水庫可實現(xiàn)水資源的合理分配和綜合利用，提高水資源的社會經(jīng)濟效益.已知一

段時間內(nèi)，甲，乙兩個水庫的蓄水量少與時間/的關(guān)系如下圖所示.

下列敘述中正確的是()

A.在［0/］這段時間內(nèi)，甲，乙兩個水庫蓄水量的平均變化率均大于0

B.在,出］這段時間內(nèi)，甲水庫蓄水量的平均變化率大于乙水庫蓄水量的平均變化率

C.甲水庫在時刻蓄水量的瞬時變化率大于乙水庫在時刻蓄水量的瞬時變化率

D.乙水庫在4時刻蓄水量的瞬時變化率大于乙水庫在42時刻蓄水量的瞬時變化率

10.已知數(shù)列｛叫滿足q=2%+1-1(“=1,2,3廣一)，設(shè)7；=a^2Lan,則《025=()

1120242025

A.------B.------C.------D.------

2026202520252026

二、填空題

11.已知空間向量1=(1,3,-2)3=(2,0,2),則忖+3卜.

試卷第2頁，共4頁

12.設(shè)直線/i：x-4y+l=0,/2：2x-4y+7=0,若口與，則實數(shù)彳=.

13.設(shè)拋物線C：/=2/（P>O）的焦點為尸。，0），則。=；點八在拋物線C上,

若M尸1=5,則點A的橫坐標(biāo)為.

14.某校計劃新建一個容納300個座位的階梯教室，若設(shè)置10排座位，且從第二排起每一排

都比前一排多2個座位，則第一排需設(shè)置的座位數(shù)為.

15.已知曲線C:上一+=J=1（加eZ且加*±2）.若C為雙曲線，則〃z的一個取值

m+22-m

為;若C為橢圓，則加的所有可能取值為.

16.在長方體N8CD-44G。中，43=4D=2,叫=4,尸為棱44上的動點（不與重

合），在直線CG上的點。滿足給出下列四個結(jié)論:

?CP±BD；

②/尸。。為定值；

③存在點尸，使得平面。2。，平面O3P；

④存在點P,使得點。到平面尸的距離為2.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題

17.已知函數(shù)〃x）=——41nx.

⑴求曲線y=〃x）在點（1J⑴）處的切線方程；

（2）求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間.

18.已知｛%｝是公比大于1的等比數(shù)列，%=1,且％，32，%成等差數(shù)列.

⑴求｛4｝的通項公式；

試卷第3頁，共4頁

⑵若也｝是等差數(shù)列，且4=%，%=%.設(shè)c“=%+6,,求數(shù)列匕｝的前〃項和小

19.如圖，在六面體N8C跖中，。為48的中點，四邊形CDEE為矩形，且ECLC民/CLC3,

AC=CB=4.

(1)求證：EC,平面N3C；

(2)再從條件①，條件②，條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求平面瓦4尸與平面EC8的

夾角的余弦值.

條件①：AE=5；

條件②：尸的面積為6立；

條件③：六面體4BCEF的體積為16.

注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.

20.已知橢圓氏，+/=1(°>6>0)的右頂點為/(2,0),離心率為

(1)求橢圓￡的方程；

(2)過點尸(0,2)作斜率為k的直線/與橢圓￡交于不同的兩點C。.在了軸上是否存在點。使

得直線QC與直線0D的斜率之和為0?若存在，求出點。的坐標(biāo)：若不存在.說明理由.

21.給定正整數(shù)〃23,設(shè)數(shù)列4嗎、4、L、肉滿足卬=匚。=1,2,…對于正數(shù)x,定

n

義G(x)=maxk,其中maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).記某合

G(4)=｛G(q)hl,2,…設(shè)G(幻的元素個數(shù)為g(幻.

⑴寫出集合G(4)、G(4)；

⑵若〃-g(4)=i,求〃的所有可能取值；

(3)證明：存在無窮多個〃使得g(4)=g(4+J.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BCCDABABDA

1.B

【分析】用點斜式直線方程即可求出結(jié)果.

【詳解】由直線的傾斜角為45°可知斜率為后=tan450=1,

再因為直線經(jīng)過點(1,0),由點斜式直線方程得：＞=

整理得：x-v-l=0,

故選：B.

2.C

【分析】根據(jù)給定的雙曲線方程，直接求出其漸近線方程.

2

【詳解】雙曲線f一4=1的漸近線方程為y=±瓜.

故選：C

3.C

【分析】據(jù)函數(shù)乘法求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)即可.

【詳解】因為"x)=e，sinx,

所以/'(X)=(e*)sinx+e"(sinx)=ersin.x+excosx=ex(sinx+cosx).

故選：C.

4.D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式計算即可.

【詳解】因為｛%｝是等比數(shù)列，設(shè)公比為4,

由題意得?=1=5,所以%=%次=50,

故選：D

5.A

【分析】根據(jù)幾何體，結(jié)合向量的線性運算，即可求解.

------*-----?-------?-------?I------*I------?-------?II-?

【詳解】EF=EA+AA,+A,F=--AB+-AC+BB.=--a+-b+cT.

2222

故選：A

答案第1頁，共12頁

6.B

【分析】由點到直線的距離公式求得圓心到直線3x+4yT=0的距離，由圓與直線相切得到

圓的半徑「，然后寫出直線方程.

/、一13x1+4x2-11

【詳解1點1,2到直線3x+勺-1=0的距離d=J~/丁」=2,

V32+42

因為圓與直線3x+4y-l=0相切，所以圓的半徑廠=〃=2,

所以圓的方程為(x-l)2+"-2)2=4.

故選：B

7.A

【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系的向量法判斷力〃而，再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運算，即可求解.

【詳解】由題意可知，u/Im,

—2=X

所以反=麗，BP0=2-0,解得：2--4.

k=2A

故選：A

8.B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，由S3>0,得出>0,不能判斷為的正負(fù)，所以不能判斷S3,S,

的大小，故不能確定｛y｝是否遞增數(shù)列；但由｛'｝為遞增數(shù)列，能得到S3〉。進(jìn)而即得.

【詳解】由｛4｝是等差數(shù)列，色>0,得S3=%+%+%=32,所以。2>。,

S4=%+，+%+。4，不能判斷。4的正負(fù)，所以不能判斷S3,S4的大小,

所以不能確定｛'｝是否遞增數(shù)列；

若｛'｝為遞增數(shù)列，則S〃一Si>0(〃N2),即讓2時%>0,

所以。2>0,邑=%+。2+。3=%2，所以S3>0,

所以5>0是｛5｝為遞增數(shù)列的必要不充分條件.

故選：B

9.D

【分析】結(jié)合瞬時變化率與平均變化率變化率結(jié)合圖象分析即可得.

答案第2頁，共12頁

【詳解】對A：由圖可知，在［0/］這段時間內(nèi)，甲水庫蓄水量的平均變化率小于0,

乙水庫的蓄水量的平均變化率大于0,故A錯誤；

對B：由圖可知，在,出］這段時間內(nèi)，甲水庫蓄水量的平均變化率小于0，乙水庫的蓄水

量的平均變化率大于0,

故甲水庫蓄水量的平均變化率小于乙水庫蓄水量的平均變化率，故B錯誤;

對C：由圖可知，甲水庫在，2時刻蓄水量的瞬時變化率小于0，

乙水庫在芍時刻蓄水量的瞬時變化率大于0,

故甲水庫在才2時刻蓄水量的瞬時變化率小于乙水庫在時刻蓄水量的瞬時變化率,故C錯誤;

對D：由圖可知，乙水庫在4時刻蓄水量上升比在時刻蓄水量上升快,

故乙水庫在4時刻蓄水量的瞬時變化率大于乙水庫在42時刻蓄水量的瞬時變化率，故D正確.

故選：D.

10.A

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可通過列舉一些項，進(jìn)而根據(jù)規(guī)律猜想得%即可求解.

n+l

【詳解】由a“%+i=2%+1-1(〃=1,2,3廣)可得%+1：2^(?=1,2,3,…),

112131415

由q=5,得％===針％==="%==一,〃5=

2—%52—46

YI

由此猜想…

nn+1n〃+1

當(dāng)時'此時~，2%+i-1=2i=—,滿足

n+2n+2

%=2%-=3,…),故％

12320251

因止匕北a?=—x—x—xLx---=---

05"23420262026

故選：A

11.372

【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運算，來求向量的模.

【詳解】由「+4=|(1,3,-2)+(2,0,2)|=|(3,3,0)卜=3板,

故答案為：3VL

答案第3頁，共12頁

12.—/-0.5

2

【分析】由兩直線垂直的充要條件求解即可.

【詳解】直線4：X-AV+1=0,/2:2尤-4y+7=0,

若則2+44=0,所以2=-;，

故答案為：

2

13.24

【分析】根據(jù)拋物線焦點坐標(biāo)公式，結(jié)合拋物線的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】因為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為尸(1,0),

所以有段'=lnP=2;

設(shè)點A的橫坐標(biāo)為七,該拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=-l,

因為點A在拋物線C上，

所以根據(jù)拋物線的定義，由以司=5=%-(-1)=5n%=4,

故答案為：2；4

14.21

【分析】設(shè)第《=1,2,3,…,10)排的座位數(shù)為弓，由題意可知，數(shù)列是公

差為d=2的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得包的值.

【詳解】設(shè)第m=123,…,10)排的座位數(shù)為小

由題意可知，數(shù)列{%}(〃410,"eN*)是公差為［=2的等差數(shù)列，

10x9

由題意可得10%+0一〃=10。|+90=300,解得q=21.

故答案為：21.

15.3(答案不唯一)±1

【分析】由雙曲線和橢圓的方程性質(zhì)結(jié)合題意列不等式組可得；

【詳解】若C為雙曲線，則產(chǎn)+?但一根)<°,解得%>2或加<-2,

\m卡±2

又加eZ,所以加的一個取值可能為3；

答案第4頁，共12頁

m+2>0

若。為橢圓，則《2—冽〉0,解得—2<加<2且冽。0,

m+2w2—m

又〃zeZ,所以機的所有可能取值為±1；

故答案為：3(答案不唯一)；±1.

16.①④

【分析】根據(jù)給定的長方體，建立空間直角坐標(biāo)系，由。尸確定點尸，。的豎坐標(biāo)關(guān)系,

再利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷①③；利用向量夾角公式求解判斷②；利用點到平面距

離的向量求法求解判斷④即可得解.

【詳解】在長方體-44GA中，AB^AD=2,AA^4,建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

則。(0,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),設(shè)尸(2,01)(0<f<4),。(0,2,5),

-.___,—.4

。尸=(2,-2,/),。0=(0,2,$),由。。_LCP,得。尸?。。=白一4=0,解得s=7，

對于①，麗=(2,2,0),CPDB=0,因此CP_L8D,①正確；

re"前標(biāo)-DPDQ_tS4

對于②，赤=(2,0,0，〈'"一|西函一吊巨曲7一卜2+4(產(chǎn)+3

不是常數(shù)，因此/尸。。不為定值，②錯誤；

對于③，由“，8D,D0J.C尸,。8n。。=。,。2,。。u平面Z)5。，得CPL平面功。,

即平面DBQ的一個法向量為CP=(2,-2,0,設(shè)平面DBP的法向量n=(x,y,z),

ii?DB=2x+2y=0一_k__，一

則_.,令z=2,得”=(-，/,2),CP"=-2<0，即CP,"不垂直，

n?DP=2x+tz=0

因此不存在點尸，使得平面。50，平面D8P,③錯誤；

答案第5頁，共12頁

—"2/H—

對于④，點。到平面。8尸的距離m川吆+2s|t,若d=2,

In|12-+4+4

則j2/+4=/+；,整理得〃一獷一16=0,解得:也+2君e(0,4)，

因此存在點尸，使得點。到平面D8P的距離為2,④正確，

所以所有正確結(jié)論的序號是①④.

故答案為：①④

【點睛】關(guān)鍵點點睛：由幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解是解決

問題的關(guān)鍵.

17.(l)2x+y-3=0.

(2)單調(diào)減區(qū)間是(0,0),單調(diào)增區(qū)間是(血,+8).

【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)/'(x)，計算導(dǎo)數(shù)/'⑴得切線斜率，再求得/⑴后由點斜式得切線

方程并整理成一般式；

(2)由尸(x)>0得增區(qū)間，由/(x)<0得減區(qū)間.

4

【詳解】(1)r(x)=2x--,/'⑴=2-4=-2,又/(1)=1,

所以切線方程為)T=-2(x-l),即2x+y-3=0.

(2)/(x)=x2-41nx,定義域是(0,m)，

/，(X)=2XJ=2(X0)(X+&),

XX

當(dāng)O〈x<0時，/V)<0,當(dāng)x>五時，/V)>o,

所以/(X)的單調(diào)減區(qū)間是(0,V2),單調(diào)增區(qū)間是(V2,+oo).

18.(1)%=2"T

(2)(=2”-1+〃(3〃+1)

【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列公比為q,由。3,3出，%可得關(guān)于0的方程，據(jù)此可得答案;

(2)由題可得｛"｝的通項公式，然后由分組求和法可得答案.

【詳解】(I)設(shè)等比數(shù)列公比為0,因生，3出，4成等差數(shù)列，

貝I6a2=%+%=6q=q2+q3=^>+^—6=0(q>1)=>(q+3)(q—2)=0=>q=2.

答案第6頁，共12頁

則?！?27；

(2)設(shè)也｝公差為d,因。=。3，4]=%,

=4n/=4

得6〃=4+6(〃-1)=6〃-2.

bn=bx+\Od=64\d=6

貝[]g=2〃i+6〃-2,故(=q+&+…+g=%+%+—an+bx+b2+—\-bn

12〃一1〃(6〃+2),、

=1+2+…+21+4+10+…+6〃—2=-------F△------幺2〃—1+nin+\).

2-12

19.(1)證明見解析

C、3后

34

【分析】(1)根據(jù)矩形性質(zhì)，結(jié)合線面垂直判定證明即可；

(2)首先根據(jù)已知條件求出相關(guān)線段的長度，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量,

再利用向量的夾角公式求出二面角的余弦值即可.

【詳解】(1)已知四邊形CDEE為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，鄰邊相互垂直，

所以ECJ_C。，又ECLCB,并且C2nCZ?=C,CB,CDu平面/3C,

所以￡C_L平面/8C.

(2)選擇條件①：AE=5,

因為EC_L平面48C,所以EC_L/C.

在RM/CE中，根據(jù)勾股定理EC=，/爐-叱，

已知4E=5,AC=4,則￡C=后孑=3.

因為￡C_LC3,AC±CB,所以EC,/C,C8兩兩垂直，可建立空間直角坐標(biāo)系C-平，

得到4(4,0,0),8(0,4,0),￡>(2,2,0),￡(0,0,3),尸(2,2,3).

進(jìn)而得到通=(-4,0,3),麗=(2,2,0).

一m-AE=0f-4x+3z=0

設(shè)平面￡4尸的法向量為加=(x,y,z),由<—.，即c?>

-m-EF=0[2x+2y=0

令x=3,則＞=-3,z=4,于是記=(3,-3,4).

因為/C，平面ECB,所以7=(1,0,0)是平面ECB的法向量.

設(shè)平面EAF與平面ECB的夾角為。，

答案第7頁，共12頁

|麗,司33南

貝l]cos0=|cosm,n\='{_7^=~f=-

網(wǎng)網(wǎng)V3434

選擇條件②：△/時的面積為6亞，

因為NCJ.C8,AC=CB=4,所以/8=4也.

由A4B尸的面積為,48?五。=1*4拒乂㈤=6后，可得陽=3,即EC=3.

22

以下同選擇條件①的計算過程求出平面胡尸與平面ECB的夾角余弦值為2.

34

選擇條件③：六面體48CEF的體積為16,

在RtZ\4BC中，AC=CB=A,。為的中點，

所以4B=4A歷，CD=242.

且/3_LCD,因為￡C_L平面/BC,NBu平面48C,

所以48_L￡C,CD^EC=C,CZ>,ECu平面.

所以平面CDEE.

K面體ABCEF的體積V—七棱錐N-COFE+/棱錐3-CDFE，

根據(jù)體積公式/二g,s矩形3；葭/5=16,已知45=4收，可得S矩形CD即=68.

又因為s矩形COM=8?EC,CD=2V2,所以EC=3.

以下同選擇條件①的計算過程求出平面切產(chǎn)與平面EC8的夾角余弦值為小.

34

⑵存在，

【分析】(1)由右頂點及離心率可得a,C,然后可得橢圓方程.

(2)設(shè)直線/：>=代+2,0(04,。(再,必),。(%％),將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利

用韋達(dá)定理可化簡直線0c與直線0。的斜率之和的表達(dá)式，即可得答案.

答案第8頁，共12頁

【詳解】（1）因橢圓右頂點為幺（2,0）,離心率為當(dāng)，

________2

則〃=2,c=VJ=>/?=\la2-c2=1，故橢圓方程為：~^+/=1；

（2）由題，設(shè)直線方程為>=履+2,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，

（2

X

可得"十，2nJ+外自+2『—4=0=（1+4左2卜2+16履+12=0.

y=kx+2

因直線與橢圓E交于不同的兩點C,。，則A=256〃—48—192左2>。=左2>

4

設(shè)。（再,必），。（9,名），由韋達(dá)定理再+%2=1+4左2=]+4k2.

/\.,,V\~ty^—tfK=kx+2

又設(shè)。(oj),貝0c+勺「?+?，又:一:]+2

人]人2Iyy—?乙

y1~t]/kX[+2—t]kx?+2—t2AXJ%2+(2—%)(再+x?)

則I-H—d)

/、/、24左—(2—)16左

=>2kxix?+(2—)(玉+/戶----j~~-----0.

31

貝lj24左一(2—16左=0^>2—Z=—=>/=—.

故J軸上存在點0m使得直線0C與直線QD的斜率之和為0.

21.（l）G（4）={0,l,3},G（4）={0』,2,4}

（2）5、6、7、8

（3）證明見解析

【分析】（I）寫出數(shù)列4、4,根據(jù)題中定義可得出集合G（4）、G（4）；

（2）由題意可得g（4）=〃T,由（1）可知，"=3或4不合乎題意，可得出”25,推導(dǎo)出

9

1<-<2,求出”的可能取值，然后逐一檢驗即可得解；

n

（3）討論〃=4后，左eN*和"=4斤+1,左eN*兩種情況，結(jié)合題中的定義，求出g（4j、

答案第9頁，共12頁

g（4+J,即可證得結(jié)論成立.

【詳解】（1）因為數(shù)列4：；，p3,則G（4）={0,l,3},

數(shù)列4：；,1,1,4,則G（4）={0」,2,4}.

（2）由題意可得g（4）=〃-L

由（1）可知，當(dāng)"=3或4時，g（An）=n,不合乎題意，所以，“25,

對于給定的"，因為a;+1-a,>O（z=l,2,???,?-1）,

所以，G（aM）>G（a,.）,即G