白山市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

2024年白山市第一次高三模擬考試

數(shù)學(xué)

本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)

效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.設(shè)集合A=y=Jx-2卜B=sx|—卜則AC3=(

A.(2,4)B.[2,4)C.(2,4]D.。

2.復(fù)數(shù)z=i+2『+3/，則z的虛部為（）

A.2zB.-2zC.2D.-2

3.已知￡=（—2,2）,S=（3,l）,若Z在向量刃上的投影為則向量工=（）

4.2023年12月初，某校開展憲法宣傳日活動(dòng)，邀請(qǐng)了法制專家楊教授為廣大師生做《大力弘揚(yáng)憲法精神，建

設(shè)社會(huì)主義法制文化》的法制報(bào)告，報(bào)告后楊教授與四名男生、兩名女生站成一排合影留念，要求楊教授必須

站中間，他的兩側(cè)均為兩男1女，則總的站排方法共有（）

A.300B.432C.600D.864

5.“―1WO<1”是“方程J1—爐=%+一有唯一實(shí)根”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件

6.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正數(shù)

b,x,y,滿足/+‘三（"+」，當(dāng)且僅當(dāng)q=2時(shí)，等號(hào)成立.則函數(shù)=3

xyx+yxyx1-3x<3）

的最小值為（）

A.16B.25C.36D.49

7.正八面體可由連接正方體每個(gè)面的中心構(gòu)成，如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正八面體中，則有（)

A.直線AE與CF是異面直線B.平面ABF_L平面ABE

2/fi

C.該幾何體的體積為3D.平面ABE與平面間的距離為*

33

22

8.不與坐標(biāo)軸垂直的直線/過(guò)點(diǎn)N（x0,0）,%H0,橢圓。:=+與=l（a>b>0）上存在兩點(diǎn)A,B關(guān)于I

ab

對(duì)稱，線段A3的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（石,%）.若玉=2%,則C的離心率為（）

1

B-D

244

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.2023年10月3日第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)跳水女子10米跳臺(tái)迎來(lái)決賽,最終全紅嬋以總分438.20分奪冠.已知她

在某輪跳水比賽中七名裁判給的成績(jī)互不相等，記為%[=1,2,3,4,5,6,7）,平均數(shù)為x,方差為根.若7個(gè)

成績(jī)中，去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分，剩余5個(gè)成績(jī)的平均值為y,方差為“，則（）

A.y一定大于1B.y可能等于％C.機(jī)一定大于〃D.m可能等于〃

10.公差不為零的等差數(shù)列｛〃J滿足|%|二。8則()

女=1W%+i96

A.d~i—0B.d=+4C.q=24D.Si5=60

11.已知函數(shù)/(尤)=2sin(ox+0“①>G,O<(p<%的相鄰兩對(duì)稱軸的之間的距71離為函數(shù)X+.

2

為偶函數(shù)，則（）

7C

A.(p=—

6

B.-.,0為其一個(gè)對(duì)稱中心

rr

C.若/(x)在(—a,a)單調(diào)遞增，則0<aW]

1rr

D.曲線y=/(x)與直線y=,x+五有7個(gè)交點(diǎn)

12.已知拋物線C:y2=6x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直線/交拋物線于A、B兩點(diǎn),若“為C的準(zhǔn)線上任意一

點(diǎn)，貝U()

TT

A.直線若AB的斜率為6，則仙卻=16B.NAMB的取值范圍為0,-

2

__k273

C.OAOB=——D.ZAOB的余弦有最小值為-一

45

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

5+sin10。

13.化簡(jiǎn)

3-cos250°

14.已知二項(xiàng)式6]的展開式中第二、三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于45,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為.

15.在四面體A—BCD中，BC=272,BD=2e,且滿足AC±BC,AD_L3。.若該三棱

錐的體積為一二，則該錐體的外接球的體積為.

3

16.已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,且〃x+y)+/(x—y)=/(x)/(y),/(l)=b請(qǐng)寫出滿足條件的一

個(gè)/(x)=(答案不唯一)，/(2024)=.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)已知等比數(shù)列｛?！ǎ凉M足q=2,且。2+%=20.

(1)求數(shù)列｛q,｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列也｝滿足勿=〃?a”,也｝其前n項(xiàng)和記為S”,求S”.

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知anbcosC-lgcsinB.

3

(1)求角8；

(2)過(guò)B作5￡)J_B4,交線段AC于。，且AZ)=2OC,求角C.

19.(12分)如圖所示，在矩形ABCD中，AB=3,AD=2,DE=2EC,O為AE的中點(diǎn)，以AE為折

痕將△ADE向上折至D-AE-B為直二面角.

(1)求證：DOLBC-,

(2)求平面與平面DCE所成的銳角的余弦值.

20.(12分)俗話說(shuō)：“人配衣服，馬配鞍”.合理的穿搭會(huì)讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺.張老師準(zhǔn)

備參加某大型活動(dòng)，他選擇服裝搭配的顏色規(guī)則如下:將一枚骰子連續(xù)投擲兩次，兩次的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，

則稱為“完美投擲”，出現(xiàn)“完美投擲"，則記J=L若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則稱為“不完美投擲”，

出現(xiàn)“不完美投擲"，則記。=0；若J=l,則當(dāng)天穿深色，否則穿淺色.每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝,

33

若張老師選擇了深色，再選西裝的可能性為-，而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為一.

510

(1)求出隨機(jī)變量J的分布列，并求出期望及方差；

(2)求張老師當(dāng)天穿西裝的概率.

22

21.(12分)已知A,8分別為雙曲線E:'—京=l(a力＞0)的左、右頂點(diǎn)，M為雙曲線E上異于A、B

的任意一點(diǎn)，直線M4、M3斜率乘積為：，焦距為2旨.

(1)求雙曲線E的方程；

(2)設(shè)過(guò)T(4,0)的直線與雙曲線交于C,。兩點(diǎn)(C,。不與A,8重合)，記直線AC,的斜率為

K，左2,證明：8為定值.

k2

22.(12分)已知函數(shù)〃x)=ln%-履+1(左為常數(shù))，函數(shù)g(%)=1+/?.

(1)若函數(shù)/(九)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)%的取值的范圍；

⑵當(dāng)k=0,設(shè)函數(shù)/z(x)=g(x)-/(x),若/z(x)在［e,/］上有零點(diǎn)，求。？+/的最小值.

2024年第一次高三模擬考試

數(shù)學(xué)監(jiān)測(cè)試卷答案

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.答案：B【詳解】VA=[2,+oo）,B=[0,4）,.".405=[2,4）；故選B

2.答案：D【詳解】：z=—2—2兀z的虛部為—2；故選D.

3.答案：D【詳解】Vc==--（3,1）=；故選D

|&|\b\5V7I55；

「2r2

4.答案：B【詳解】總的方法數(shù)為N=上千隹隹團(tuán)團(tuán)=432；故選B

&

5.答案：A【詳解】方程1-M=%+4有唯一解,即直線0=%+土與上半圓y=J1——有且僅有一個(gè)交

點(diǎn)，解得6的取值范圍為[-u）u{&}，

1W》<1是方程"=/=X+b有唯一解的充分不必要條件；故選A.

6.答案：D【詳解】因?yàn)閍,b,x,y,則且+.三（"+'），當(dāng)且僅當(dāng)q=2時(shí)等號(hào)成立，又0<x<!，

xyx+y，xy5

3242（3+4『141

即1—3x>0,于是得〃x）=—+-----三當(dāng)且僅當(dāng)一二-----，即％二—時(shí)取“二”,

'）3xl-3x3x+（l-3x）x1-3%7

所以函數(shù)的/（x）=|+^|^|^0<x<；]最小值為49.

7.答案：D【詳解】VA,E,C,尸四點(diǎn)共面，直線AE與CF是共面的；；.A錯(cuò)

取AB中點(diǎn)G,連接EG、FG,則NEG尸為二面角E—A3—尸的平面角，

其余弦值為-』；B錯(cuò)

3

V=-x4x2^=-V2；；.C錯(cuò)

23

連接AC、BD設(shè)交于O,則O-A3E為正三棱錐，其底邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為虎，所以。到平面ABE的距

禹旦,所求平面ABE與平面DCF間的距離為冥5；D正確

33

E

b2

8.答案：C【詳解】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓C中，kk=—-又必一，

OMABa

???七時(shí)=4勺即2=又西=2xo，.?.?='，所以所求離心率為交；故選C-

axxaxx-xQa22

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)誤答案得0分）

9.答案：BC【詳解】七個(gè)數(shù)據(jù)，去掉最高和最低，對(duì)平均值可能沒有影響，但數(shù)據(jù)更加集中于平均值，所

以方差變小.

10.答案：AD【詳解】由得，％,+為=0，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)知內(nèi)=0，又線>0，，d>0

晶￡15乍1（11）5555.4,

由〉,-----——，付--------------=]------------------77=—12~—，??d=4

M％以+196a6Jqg（%一6〃）（四一弓）6d96

所以幾=15/=15(%+d)=60；故選：AD.

JT

11.答案：ACD【詳解】由題意7=萬(wàn)，故口=2,又y=/（x）的圖象向左平移7個(gè)單位得到

71TC

故°=一，所以A正確;

26

因?yàn)?x）=2sin[2%+^],且/[qj=2sin]—看,―1,所以B不正確；

令一會(huì)+2左;rW2x+?W]+2左?=>—3+匕rWx+,keZ,故易知/（九）在[一,看）單調(diào)遞

TT

增，故0<oW—,C正確；

6

直線y=+盤與曲線丁=/（X）均過(guò)點(diǎn)（―a，o],且該直線與曲線y=/（x）均關(guān)于該點(diǎn)中心對(duì)稱，

777STT1QTT1yr

當(dāng)了=，時(shí)，y=—<2,當(dāng)x=*時(shí)，y=—>2,由對(duì)稱性可知曲線y=〃x）與直線y=±x+土

6868224

有7個(gè)交點(diǎn)，故D正確.

故選：ABD.

12.答案：BCD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)AB的傾斜角為，，則AB=W-=8；故A錯(cuò)

sir?。

對(duì)于B選項(xiàng)，：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，點(diǎn)”在以AB為直徑的圓上或圓外，

TT

：.ZAMB<-,當(dāng)M在直線上時(shí)，；.NAMB=O；故B正確

2

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)A（Xi，yJ,§（X2，%），OAOB=xlx2+=-^-y^y；+y{y,,

36

一3

3x—ty——?—?27

設(shè)AB:x=^+—,聯(lián)立{-2,易得%%=—9,.?.QA-OB=一一,故C正確

22n4

[y=6x

_27_27

對(duì)于D選項(xiàng)，cosZAOB==/一彳==,4——

網(wǎng)可加樸；+口…)

_27

又X+%=6,，cosZAOB=142—；故D正確.

81x—+81r25

16

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.答案：2

，、辛5+sin1005+sin1005+sin1005+sin10°

【詳解】------;——=-:------=c---------------=c一

3-cos50°公1+cos100°5cos10005+sin10°

3F5-—FF

21

14.答案：—

2

常數(shù)項(xiàng)為7；=C；（；x）（五『=§=?.

【詳解】—=45,解得“=9

15.答案：36〃

【詳解】將四面體A-5CD放在長(zhǎng)方體中，根據(jù)錐體的體積，易求得，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為26，20和

4,所以四面體外接球的直徑為6,體積為36萬(wàn).

【詳解】令x=y=O,則/2(0)=2/(0),解得/(0)=2或/(0)=0,

若/(0)=0,令x=l,y=0,則2/(1)=/(1)/(。)=0,即/(1)=0與已知矛盾

.,./(0)=2,令》=0,則/(y)+/(—y)=2/(y),為偶函數(shù)

令y=l,則/(x+l)+/(x—l)=/(x),可推出，/(x)以6為周期

結(jié)合以上特征，找到滿足條件的一個(gè)函數(shù)為F(x)=2cos：x,結(jié)合/(x)以6為周期，則

/(2024)=/(2)=-1,

四、解答題：本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.解：(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知，得/+q—10=0(*)

易觀察，2是(*)方程的一個(gè)根，.?.(4-2乂/+24+5)=0

；.“=2又弓=2,=2".

(2)由(1)知，bn=n-2"

/.=lx2'+2x22+---+nx2,,(1)

25?=lx22+2x23+---+nx2n+1(2)

(1)-(2)得，一S〃=lx2i+lx22+-4x2“一〃x2'"i=(1—〃)2"+i—2

S?=(n-l)2n+1+2

18.解：(1)由正弦定理得：sinA=cosCsinBsinCsinB.

3

:A=^-（B+C）,sinA=sin（B+C）

sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=cosCsinB-^-sinCsinB

cosBsinC=-^-smCsinB,

3

又sinC#0,tan3=一百，又A為三角形內(nèi)角，A=——.

3

--2--1—.

(2)因?yàn)?。在AC邊上，且AD=2OC,所以=—BC+—8A.

33

因?yàn)?￡),胡，所以麗?麗=0=&麗+g比1函=0n麗?+2"?麗=0,

所以=ac^>c=a.

(1)證明：由已知DA=￡>E=2,且。為線段AE的中點(diǎn)，LAE

又平面DAE,平面AEC3,且平面DAEP平面AECB=AE,DOu平面DAE

DOJ_平面AEC3,又5Cu平面AEC3,/.DO±BC.

(2)設(shè)尸為線段AB上靠近A的三等分點(diǎn)，G為BC的中點(diǎn)，

由已知。尸，OG,又。平面AEC3

DO±OF,ODLOG,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OF,OG,OD所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示坐標(biāo)系

：。4=2,AB=3,AA（l,-l,0）,B（l,2,0）,。（0,0,0）,E（-l,l,0）,C（-1,2,0）

AAB=（0,3,0）,而=（-1,-2,0）,EC=（0,1,0）,DC=（-1,2,-^）

設(shè)平面4)3的法向量為7%=(%,％,21),

AB-m=0'3x=0

DB-m=0一再-23+A/^Z]—0

不妨令Z]=遮，則湯=（2,0,0）

同理，平面DCE的法向量

n=（2,Q,-42],cos/m,n\=-j^A=|

所以平面DAB與平面DCE所成的銳角的余弦值為

3

20.解：（1）隨機(jī)變量J的取值為0,1

p（^=0）=—=-,P（^=l）=—=1

v7363v7363

所以J的分布列為：

01

2

P

33

711

^)=0x-+lx-=-.

。（力11x/T彳=1

（2）設(shè)A表示深色，則A表示穿淺色，B表示穿西裝，則8表示穿休閑裝.

根據(jù)題意，穿深色衣物的概率為P（A）=g,則穿淺色衣物的概率為P（K）=g,

穿深色西裝的概率為P（B|A）=0.6=穿淺色西裝的概率為

5VI/io

__12020

則當(dāng)天穿西裝的概率為P（B）=/J（B|A）/J（A）+P（5|A）/J（A）=-x-+-x—=-.

2

所以張老師當(dāng)天穿西裝的概率為一.

5

21.解：(1)設(shè)V(%,%),A(-a,0),B(a,0),

又?.?焦距為2近，可得2c=2近，則。2=7,

22222

結(jié)合a+b=cfa=4fb=3f

雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—-^=1.

43

（2）證明：由（1）知A（—2,0）,5（2,0）,設(shè)。（石,必），D（x2,y2