2023九年級數(shù)學上冊 第24章 解直角三角形24.3 銳角三角函數(shù) 1銳角三角函數(shù)第1課時 銳角三角函數(shù)教學實錄 （新版）華東師大版

2023九年級數(shù)學上冊第24章解直角三角形24.3銳角三角函數(shù)1銳角三角函數(shù)第1課時銳角三角函數(shù)教學實錄（新版）華東師大版學校授課教師課時授課班級授課地點教具設計意圖本節(jié)課以銳角三角函數(shù)為核心，通過引導學生回顧直角三角形知識，結(jié)合實際生活實例，讓學生理解并掌握正弦、余弦、正切的概念，培養(yǎng)學生運用三角函數(shù)解決實際問題的能力。教學過程中注重啟發(fā)式教學，激發(fā)學生的學習興趣，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。核心素養(yǎng)目標培養(yǎng)學生數(shù)學抽象能力，通過銳角三角函數(shù)的學習，使學生能夠從幾何圖形中抽象出數(shù)學關系，形成數(shù)學模型。提升邏輯推理能力，通過三角函數(shù)的定義和性質(zhì)，引導學生進行邏輯推理，培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學思維。增強數(shù)學建模意識，讓學生學會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，運用三角函數(shù)進行解決，提高解決實際問題的能力。教學難點與重點1.教學重點：

-理解正弦、余弦、正切函數(shù)的定義，即它們分別對應直角三角形中對于銳角的對邊、鄰邊和斜邊的比例關系。

-掌握銳角三角函數(shù)的基本性質(zhì)，包括函數(shù)值的范圍、周期性以及正弦和余弦函數(shù)的對稱性。

-能運用銳角三角函數(shù)解決實際問題，如已知直角三角形的兩邊求第三邊或角度。

2.教學難點：

-正確理解三角函數(shù)的幾何意義，即在直角三角形中如何找到對應的邊長。

-記憶并正確書寫三角函數(shù)的符號，尤其是在解決實際問題中避免混淆。

-理解三角函數(shù)在單位圓上的表示方法，包括角度與弧度的轉(zhuǎn)換。

-將三角函數(shù)應用到實際問題中，如計算物體在特定角度的投影長度，或確定角度的大小時，如何將實際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題。教學資源-軟硬件資源：多媒體教學設備（投影儀、計算機）、三角板、直尺、量角器

-課程平臺：學校內(nèi)部數(shù)學教學平臺

-信息化資源：銳角三角函數(shù)教學視頻、互動練習軟件

-教學手段：實物教具（如直角三角形模型）、多媒體課件、黑板或白板教學流程1.導入新課（用時5分鐘）

-教師展示生活中常見的直角三角形實例，如建筑物的屋頂、三角形的旗桿等。

-引導學生回顧直角三角形的性質(zhì)，如勾股定理。

-提問：在直角三角形中，如果我們知道一個角度和它的一條邊長，能否求出另一條邊長？從而引出本節(jié)課的主題——銳角三角函數(shù)。

2.新課講授（用時15分鐘）

-教師講解正弦、余弦、正切函數(shù)的定義，結(jié)合直角三角形模型進行說明。

-舉例說明正弦、余弦、正切函數(shù)在直角三角形中的幾何意義，如正弦表示對邊與斜邊的比值。

-通過動畫演示，展示正弦、余弦、正切函數(shù)在單位圓上的變化規(guī)律。

3.實踐活動（用時10分鐘）

-學生分組，每組準備一個直角三角形模型。

-教師給出一個角度，要求學生測量對應的邊長，并計算正弦、余弦、正切值。

-學生匯報測量結(jié)果，教師點評并糾正錯誤。

4.學生小組討論（用時10分鐘）

-學生討論以下三個方面：

-如何根據(jù)已知角度和一條邊長，求出直角三角形的另一條邊長？

-在實際生活中，如何運用銳角三角函數(shù)解決實際問題？

-如何將實際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題？

-舉例回答：

-學生A：如果已知直角三角形的一個角度為30°，斜邊長為10cm，可以求出對邊和鄰邊的長度。

-學生B：在建筑設計中，可以利用正弦函數(shù)計算屋頂?shù)男倍取?/p>

-學生C：在測量物體高度時，可以通過三角函數(shù)計算出觀測點到物體頂部的距離。

5.總結(jié)回顧（用時5分鐘）

-教師總結(jié)本節(jié)課所學內(nèi)容，強調(diào)正弦、余弦、正切函數(shù)的定義和幾何意義。

-提問：如何判斷一個函數(shù)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)還是正切函數(shù)？

-學生回答：根據(jù)函數(shù)圖像的形狀和性質(zhì)來判斷。

-教師點評：本節(jié)課通過實例和實踐活動，使學生掌握了銳角三角函數(shù)的基本概念和應用，提高了學生的數(shù)學素養(yǎng)。教學資源拓展1.拓展資源：

-銳角三角函數(shù)在物理學中的應用：介紹三角函數(shù)在描述簡諧運動、振動和波動等現(xiàn)象中的角色，如彈簧振子的運動軌跡。

-銳角三角函數(shù)在工程學中的應用：討論三角函數(shù)在建筑設計、橋梁工程和機械設計中的重要性，例如，如何使用正弦和余弦來計算斜面的角度和支撐力。

-銳角三角函數(shù)在計算機圖形學中的應用：講解三角函數(shù)在3D圖形渲染、圖像處理和游戲開發(fā)中的應用，如計算物體之間的角度和距離。

2.拓展建議：

-閱讀相關科普書籍：推薦《數(shù)學之美》等書籍，讓學生了解數(shù)學在各個領域的應用。

-觀看教育視頻：利用網(wǎng)絡平臺如YouTube或國家教育資源公共服務平臺上的數(shù)學教育視頻，增加對三角函數(shù)應用的理解。

-實踐項目：鼓勵學生參與物理實驗，如使用傳感器測量振動頻率，應用三角函數(shù)分析數(shù)據(jù)。

-設計數(shù)學模型：讓學生嘗試設計簡單的數(shù)學模型，如模擬日食或月食現(xiàn)象，使用三角函數(shù)計算角度和距離。

-解決實際問題：引導學生從日常生活中尋找應用三角函數(shù)的機會，如計算家中的樓梯角度、測量屋頂?shù)男甭实取?/p>

-編寫數(shù)學故事：讓學生編寫短篇故事，講述三角函數(shù)在某個歷史事件或神話故事中的應用。

-制作教學輔助工具：鼓勵學生制作教學輔助工具，如制作可旋轉(zhuǎn)的直角三角形模型，以便于直觀地理解三角函數(shù)的變化。典型例題講解1.例題：

已知直角三角形的一條直角邊長為3cm，斜邊長為5cm，求另一條直角邊的長度。

解答：

設另一條直角邊長為xcm，根據(jù)勾股定理，有：

x^2+3^2=5^2

x^2+9=25

x^2=16

x=√16

x=4

所以，另一條直角邊的長度為4cm。

2.例題：

在直角三角形ABC中，∠C為直角，∠A=30°，斜邊AB=10cm，求AC和BC的長度。

解答：

在直角三角形中，∠A=30°時，對邊與斜邊的比值為√3/2。

所以，AC=AB*(√3/2)=10*(√3/2)=5√3cm。

由于∠C為直角，根據(jù)勾股定理，有：

BC^2=AB^2-AC^2

BC^2=10^2-(5√3)^2

BC^2=100-75

BC^2=25

BC=√25

BC=5cm。

所以，AC的長度為5√3cm，BC的長度為5cm。

3.例題：

在直角三角形中，若sinA=3/5，cosA=4/5，求∠A的正切值。

解答：

正切值定義為正弦值除以余弦值，即：

tanA=sinA/cosA

將已知的正弦值和余弦值代入，得：

tanA=(3/5)/(4/5)

tanA=3/4

所以，∠A的正切值為3/4。

4.例題：

已知直角三角形的一條直角邊長為8cm，另一條直角邊長為15cm，求斜邊長。

解答：

設斜邊長為ccm，根據(jù)勾股定理，有：

c^2=8^2+15^2

c^2=64+225

c^2=289

c=√289

c=17

所以，斜邊長為17cm。

5.例題：

在直角三角形中，若∠B=45°，斜邊長為c，求對邊AB的長度。

解答：

在直角三角形中，若一個角為45°，則該直角三角形為等腰直角三角形，即兩條直角邊相等。

所以，對邊AB的長度也為c。

因此，對邊AB的長度為c。教學評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：

-教師將觀察學生的課堂參與度，包括提問、回答問題、課堂討論和作業(yè)完成情況。

-學生是否能夠積極回答問題，并準確表達自己的思路。

-是否能夠根據(jù)教師的引導，正確運用銳角三角函數(shù)解決簡單問題。

2.小組討論成果展示：

-通過小組討論，評估學生對銳角三角函數(shù)概念的理解和應用能力。

-檢查小組是否能夠合作完成實際問題，如設計一個實驗來測量三角形的邊長和角度。

-評價學生的展示是否清晰、邏輯性強，是否能正確解釋他們的解題過程。

3.隨堂測試：

-設計一份包含5個問題的隨堂測試，以評估學生對銳角三角函數(shù)知識的掌握程度。

-問題類型包括選擇題、填空題和簡答題，涵蓋本節(jié)課的主要知識點。

-收集測試結(jié)果，分析學生普遍存在的問題，為后續(xù)教學提供依據(jù)。

4.學生自評與互評：

-引導學生進行自我評價，反思自己在課堂上的表現(xiàn)和學習成果。

-組織學生互評，鼓勵他們提出改進建議，增強學生的合作學習意識。

5.教師評價與反饋：

-針對學生在課堂上的參與度和表現(xiàn)，給予及時的正面反饋，鼓勵學生的積極性和主動性。

-針對學生在小組討論中的貢獻和展示，給予評價，指出他們的優(yōu)點和需要改進的地方。

-根據(jù)隨堂測試的結(jié)果，個別輔導學習有困難的學生，幫助他們鞏固知識點。

-在課后，通過電子郵件或面對面交流，給予學生具體的反饋，幫助他們了解自己的學習進度和需要改進的方向。內(nèi)容邏輯關系①銳角三角函數(shù)的定義：

-定義：銳角三角函數(shù)是直角三角形中，一個銳角的對邊與斜邊的比值。

-關鍵詞：銳角、對邊、斜邊、比值。

-重點句子：正弦、余弦、正切函數(shù)分別表示為sinA、cosA、tanA。

②銳角三角函數(shù)的性質(zhì)：

-性質(zhì)一：函數(shù)值的范圍，如sinA和cosA的值域為[-1,1]。

-性質(zhì)二：周期性，正弦和余弦函數(shù)具有周期性，周期為2π。

-性質(zhì)三：對稱性，正弦函數(shù)在y軸上對稱，余弦函數(shù)在x軸上對稱。

-關鍵詞：值域、周期性、