浙江省杭州市浙里特色聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若集合A={x|-1<x<1}A．{-2,-1,0,1} C．{x|-3<x2．等差數(shù)列{an}中，a7+a9=16，a4=2，則a12=（）A．10 B．14 C．15 D．303．已知空間向量a=(-2,-1,1)A．(a+b)//a B．C．2a⊥(5a4．若函數(shù)f(x)=A．0 B．12 C．32 5．若點(diǎn)P(-22,y)是角αA．-2 B．2 C．-2 D．6．已知圓x2+y2=4與圓xA．2x+y-3=0 B．x-2y7．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)研究函數(shù)圖象的特征.我們從這個(gè)商標(biāo)中抽象出一個(gè)圖象如圖，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是()A．f(x)=C．f(x)=8．已知拋物線(xiàn)C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，若|AB|=16，則點(diǎn)M到A．4 B．6 C．7 D．8二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9．已知復(fù)數(shù)z=1-A．z的實(shí)部為1B．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限C．z的虛部為-D．z的共軛復(fù)數(shù)為1+10．袋子中共有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中2個(gè)白球和2個(gè)黑球，從袋中有放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“兩次都摸到白球”，則（）A．甲與乙互斥 B．乙與丙互斥 C．甲與乙獨(dú)立 D．甲與乙對(duì)立11．如圖所示，“嫦娥五號(hào)”月球探測(cè)器飛行到月球附近時(shí)，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在P點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在Q點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為R，圓形軌道Ⅲ的半徑為r，則()A．軌道Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為RB．軌道Ⅱ的焦距為RC．若R不變，r越小，軌道Ⅱ的短軸長(zhǎng)越大D．若r不變，R越大，軌道Ⅱ的離心率越小三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知向量a=(1,x),b13．已知直線(xiàn)l：y=2x-1.若點(diǎn)(n,an)在直線(xiàn)l14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(約公元前262～公元前190年)的著作《圓錐曲線(xiàn)論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果其中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱(chēng)這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓，已知點(diǎn)O(0,0)，A(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P(四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15．在△ABC中，sinA=2sinB，b=2.再?gòu)臈l件①條件①：c=4條件②：b2條件③：acosB=（1）求角B的大??；（2）求△ABC16．已知f(x)=ax3-（1）求f(（2）求f(x)（3）若方程f(x)+17．已知數(shù)列{an}中，a1=3（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及其前n（2）設(shè)bn=n18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，△DCP是等邊三角形，∠DCB=∠PCB=π4，點(diǎn)（1）求證：MN//平面PBC（2）求證：平面PBC⊥平面ABCD（3）求CM與平面PAD所成角的正弦值．19．已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，若以F1為圓心，1為半徑的圓與以（1）求橢圓E的方程；（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)l：x=4上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M，N①求證直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)；②求△PMN

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：B={x|x∴A∩B={x|?1<x<1}.

故答案為：D.

【分析】求出B，再根據(jù)交集運(yùn)算即可得解.2．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a7+a9=16，a4=2，∴2a1+14d=16，a1+3d=2．解得a1=﹣52，d=3則a12═﹣52+11×3故選：B．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．3．【答案】C【解析】【解答】解：A、a+b=(1,3,6)，?21≠B、a與b夾角的余弦值為a?C、2a=(?4,?2,2)，5a+6bD、4|a|=46故答案為：C.【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，一一判斷即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：f'(x)=1x?2故答案為：A.

【分析】求導(dǎo)，代入x=15．【答案】D【解析】【解答】解：cos(α+π2故y8+y2=3故答案為：D.【分析】由誘導(dǎo)公式六及三角函數(shù)的定義求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：圓C1:x2+C2:x2+由題意可知，l是圓C1和圓CC1(0,0)，C2(4,?2)，C1C2的中點(diǎn)(2,?1)故l的方程：y+1=2(x?2)，即y=2x?5．故答案為：C．【分析】易知l是圓C1和圓C7．【答案】B【解析】【解答】解：由圖知f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠±1}，排除A、D，因?yàn)閒(0)=1，故C錯(cuò)誤.故答案為：B.【分析】由圖象知函數(shù)的定義域，排除選項(xiàng)AD，再根據(jù)f(0)=1排除選項(xiàng)C，即可得正確選項(xiàng).8．【答案】B【解析】【解答】解：由題設(shè)易知p=4，從而準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=?2.設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)，點(diǎn)由拋物線(xiàn)的定義知，|AF|+|BF|=x所以有x1+x2=12，所以M故答案為：B【分析】由拋物線(xiàn)的定義和相關(guān)性質(zhì)求解即可得到答案.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：z=1?i，z的實(shí)部為1，虛部為-1，共軛復(fù)數(shù)為1+i，故A、D正確，C錯(cuò)誤；z=1?i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為1，?1，位于第四象限，故B正確；故答案為：ABD.【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的幾何意義一一判斷即可.10．【答案】B,C【解析】【解答】首先抽取方法是有放回，每次摸出1個(gè)球，共抽取2次.基本事件為：白白，白黑，黑白，黑黑，共4種情況.事件甲和事件乙可能同時(shí)發(fā)生：白黑，所以甲與乙不是互斥事件，A不符合題意.事件乙和事件丙不可能同時(shí)發(fā)生，所以乙與丙互斥，B符合題意.事件甲和事件乙是否發(fā)生沒(méi)有關(guān)系，用A表示事件甲，用B表示事件乙，P(A)=12，P(B)=由于事件甲和事件乙是否發(fā)生沒(méi)有關(guān)系，所以不是對(duì)立事件.故答案為：BC

【分析】利用已知條件結(jié)合互斥事件、對(duì)立事件的定義，從而找出正確的選項(xiàng)。11．【答案】A,B【解析】【解答】解：設(shè)橢圓長(zhǎng)軸為2a，短軸為2b，焦距為2c，A、由橢圓的性質(zhì)可知，軌道Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=|PQ|=|QF|+|FP|=R+r，故A正確；B、|QF|=a?c=r，又因?yàn)?a=R+r，所以2c=R?r，故B正確；C、2b=2a若R不變，r越小，2b越小，軌道Ⅱ的短軸長(zhǎng)越小，故C錯(cuò)誤；D、e=ca=R?r2R+r2故答案為：AB.【分析】根據(jù)橢圓中長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)之間的距離2a，以及一個(gè)焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)的距離分別為a+c,a?c，結(jié)合圓的半徑R和r以及橢圓的性質(zhì)一一分析判斷即可.12．【答案】±2【解析】【解答】解：因?yàn)閍∥b，所以1×4?x故答案為：±2.

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可得到結(jié)果.13．【答案】n【解析】【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)(n,an)在直線(xiàn)l所以{an}是以2為公差，以1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，所以Sn=n+nn?12×2=n214．【答案】2【解析】【解答】解：設(shè)P(x,y)，易知|PA|2=4|PO|整理得P的軌跡方程為(x+1)2+y圓(x?1)2+y圓心距為2，大于2?1=1，小于2+1=3，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與圓(x?1)2故公切線(xiàn)的條數(shù)為2.故答案為：2【分析】利用阿波羅尼斯圓定義可得點(diǎn)P的軌跡方程為(x+1)215．【答案】（1）解：因?yàn)閟inA=2sinB由正弦定理得，a=若選條件①：c=4，此時(shí)a若選條件②：b2由余弦定理得，cosB=由B為三角形內(nèi)角，得B=45°若選條件③：acosB=則sinAcosB=又sinA>0所以cosB=sinB，即所以B=45°（2）解：由（1）B=45°，a=2由正弦定理得，asinA所以sinA=所以A=90°，則B=C△ABC的面積S故△ABC的面積為1【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，根據(jù)所選條件進(jìn)行分析即可；（2）利用三角形的面積公式即可得解.16．【答案】（1）解：由題意知f'(因?yàn)閒(x)在x則f(2)=8a-2b+4=-所以a=13所以f(（2）解：由題意知f(x)=所以f(3)=1，f'所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1)，斜率所以切線(xiàn)方程為y-1=5(x-3)（3）解：令f'(x)=0解得x當(dāng)x<-2時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)-2<x<2則f(-2)=283x→+∞時(shí)，f(x)→+方程f(x)+等價(jià)于函數(shù)y=-k與y=f(解得k<-283所以k的范圍為(-∞【解析】【分析】（1）求出f'(x)，由題意可得（2）求出f(3)，f'（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=?k與y=f(x)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求出y=f(x)的單調(diào)性與極值，即可求出k的范圍.17．【答案】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)(an，an+1)在直線(xiàn)故數(shù)列{an}是以3為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以an=（2）解：由題可知bn=n所以Tn①×13，得①-②，得23故Tn=34?【解析】【分析】(1)由題意an+1an=3，a1=3，可得數(shù)列{an}是以3為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解出前n項(xiàng)的和S18．【答案】（1）證明：取PC中點(diǎn)E，連接ME，BE，如圖所示：

∵M(jìn)為DP中點(diǎn)，N為AB∴ME//1又∵BN//1∴ME//BN∴四邊形BEMN為平行四邊形，∴MN∵M(jìn)N?平面PBC，BE?∴MN//平面（2）證明：∵∠DCB∴△BCD≌△BCP，過(guò)P作PQ⊥BC于點(diǎn)∴PQ=DQ∴PQ⊥平面∵PQ?平面PBC，∴平面PBC⊥（3）解：如圖建系，則C(∴CM設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量n=(∴2設(shè)CM與平面PAD所成角為θ，∴sinθ【解析】【分析】（1）取PC中點(diǎn)E，由已知條件，結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理即可得證；（2）過(guò)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，利用三角形全等結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理即可得證；（3）以Q為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可.19．【答案】（1）解：因?yàn)閳AF1：(x+c所以2a解得a=2因?yàn)橹本€(xiàn)AA1，AA所以kA解得b2則橢圓E的方程為x2（2）解：證明：①由（1）得橢圓右焦點(diǎn)F2不妨設(shè)M(x1,y可得切線(xiàn)PM的方程為xx即3x因?yàn)辄c(diǎn)P在直線(xiàn)PM上，所以3x因?yàn)閗M所以kM因?yàn)?x所以ty此時(shí)kM則MF同理得NF故直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn)F2②由（1）知直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn)F2不妨設(shè)直線(xiàn)