2025人教版七年級數(shù)學(xué)下冊導(dǎo)學(xué)案：第八章 實數(shù) 小結(jié)與復(fù)習(xí)

人教版初中數(shù)學(xué)七年級下冊

第八章實數(shù)小結(jié)與復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.梳理本章的相關(guān)概念，通過回顧平方根、立方根、實數(shù)及有關(guān)的概念，強化概念

之間的聯(lián)系；

2.會進行開平方和開立方運算及鞏固實數(shù)的運算.

二、學(xué)習(xí)過程：

知識梳理

一、算術(shù)平方根

1.算術(shù)平方根的定義：

__-a的______________

讀作：“

2.算術(shù)平方根的性質(zhì)：

(1)一個正數(shù)的算術(shù)平方根有一個;0的算術(shù)平方根有一個，是;—沒

有算術(shù)平方根.

(2)被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)，即;?是非負(fù)數(shù)，即.(雙重非負(fù)性)

(3)被開方數(shù)越大，對應(yīng)的算術(shù)平方根也____.若a>b>0,則—>—>0.

(4)被開方數(shù)擴大(或縮小)100倍，它的算術(shù)平方根擴大(縮小)倍.

二、平方根

1.平方根的定義:

2.平方根的特征：

(1)正數(shù)有個平方根，它們互為:

(2)0的平方根是;

⑶沒有平方根.

3.平方根的表示:

正數(shù)a的算術(shù)平方根可以表示為,正數(shù)a的負(fù)的平方根，可以表示為一

正數(shù)a的平方根可以用表示，讀作“

4.平方根與算術(shù)平方根的聯(lián)系與區(qū)別：

'1.包含關(guān)系：,

聯(lián)系＜2..

」3.一............一

(1.個數(shù)不同：_________________________________________________________.

區(qū)別《

I2.表示法不同：.

二、"方根

1.立方根的定義：

類似于平方根，一個數(shù)a的立方根，用符號“”表示，讀作“”，其

中a是,3是.

正數(shù)的立方根是;負(fù)數(shù)的立方根是;0的立方根是.

立方根的性質(zhì)：一般地，口=.

平方根與立方根的區(qū)別和聯(lián)系

平方根立方根

正斐攵

性

0

質(zhì)

負(fù)舉丈

表示方法

被開方致

的范00

四、實數(shù)及其運算

L有理數(shù)

我們知道有理數(shù)包括和,它們都可以寫成或者

________________的形式.

5，-3-，-27-，1-1-，-9-.

254911

5_一,-3--_,2-7-_-,1-1-_,9--_.

254911

［歸納］___________________________________________________________

2.無理數(shù)

通過前兩節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，很多數(shù)的平方根和立方根都是.

無限不循環(huán)小數(shù)又叫做.

例如行，-柄，啦，近等都是無理數(shù).

兀是無理數(shù)嗎？1.01001000100001...是無理數(shù)嗎？.

常見的無理數(shù)的三種形式：

(1);

(2)；

(3).

3.實數(shù)

和統(tǒng)稱為實數(shù).

(1)按定義分

(2)按性質(zhì)分

實數(shù)＜

,,,―煦,,，屈，，冗，..

-4-3-2-101234

當(dāng)數(shù)的范圍從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)與數(shù)軸上的點是的，即

每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示

一個實數(shù).與規(guī)定有理數(shù)的大小一樣，對于數(shù)軸上的任意兩個點，

數(shù)a的相反數(shù)是,這里a表示任意一個實數(shù).

［歸納］____________________________________________________________

4.實數(shù)的運算性質(zhì)

(1)當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除(除數(shù)

不為0)、乘方運算，而且正數(shù)及0可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行

開立方運算.

(2)在進行實數(shù)運算時，有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)同樣適用.

1.交換律：加法,乘法

2.結(jié)合律：加法,乘法

3.分配律：___________________________

考點解析

考點1:算術(shù)平方根的概念及計算

例1.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

(1)100(2)竺49(3)0.0001

例2.化簡:

(2)J(-IQ(3)J(—2)x(—8)

【遷移應(yīng)用】

【1-1】VB的算術(shù)平方根是()

A.4B+4C.2D+2

[1-2]一個正方形的面積變?yōu)樵瓉淼?倍，則它的邊長變?yōu)樵瓉淼囊槐?面積變

為原來的9倍，則它的邊長變?yōu)樵瓉淼囊槐?面積變?yōu)樵瓉淼?00倍，則它的邊

長變?yōu)樵瓉淼囊槐?面積變?yōu)樵瓉淼膎倍時，則它的邊長變?yōu)樵瓉淼谋?

[1-3]求下列各數(shù)的算術(shù)平方根.

(1)64；(2)0.25；(3自(4)52；⑸(一自：(6)104.

考點2：算術(shù)平方根的非負(fù)性應(yīng)用

例3.若(x-4)2+Jy+3=0,求(x+丫尸"9的算術(shù)平方根.

【遷移應(yīng)用】

若實數(shù)x、y、z滿足Vx+2+(y—3)2+|z+6|=0,求xyz的算術(shù)平方根.

考點3:平方根的概念及計算

例4.求下列各式的值:

(1)廊；(2)-7081；⑶唱,

例5.已知一個正數(shù)m的平方根為2n+1和4-3n.

⑴求m的值；

(2)|a-1|+Vb+(c-n)2=0,a+b+c的平方根是多少？

例6.已知2a-1的算術(shù)平方根是3,b-l的平方根是±4,c是履的整數(shù)部分,

求a+2b-c的平方根.

【遷移應(yīng)用】

[3-1]下列式子中，正確的是()

A.±V4=2B.7W=-2C.V4=+2D.V?=2

[3-2]W：(1)7121=.；(2)-VL69=；

(3)-V(-0.3)2=;(4)±V324=.

[3-3]已知一個正數(shù)的平方根是2x+3和x-9,則這個數(shù)是.

[3-4]求下列各數(shù)的平方根.

(1)49；(2琮;(3/(4)0.36；(5)(-1)2.

[35]求下列各式中的x.

(l)9x2-25=0,(2)4(x—2/—9=0.

考點4:立方根的概念及計算

例7.列各式的值：

⑴標(biāo)⑵E⑶痣.

例8.已知a?=16,|b|=9,證=—2,且ab<0,be>0,求a—b+c的值.

例9.對于結(jié)論：當(dāng)a+b=0時.a3+b3=0也成立.若將a看成a3的立方根，b

看成b3的立方根.由此得出結(jié)論：“如果兩數(shù)的立方根互為相反數(shù)，那么這兩個

數(shù)也互為相反數(shù)”

(1)舉一個具體的例子進行驗證；

(2)若^7-y和J2y-5互為相反數(shù),且x-3的平方根是它本身，求x+y的立方

根.

【遷移應(yīng)用】

[4-1]下列說法正確的是()

A.9的算術(shù)平方根是±3B.-8沒有立方根

C.-8的立方根—2D.8的立方根是±2

[4-2]下列各式中，正確的是()

A.-V^6=-0.6B.V^S=-V5C.J(-13)2=-13D.V36=±6

[4-31如果7^7=1.333,V237~2.872,那么^23700約等于()

A.28.72B.287.2C.13.33D.133.3

[4-4]已知a-5的平方根是±4,2b-1的立方是-27,求a-4b的算術(shù)平方根.

［4-5］已知A=m-3n-m+3是n-m+3的算術(shù)平方根,B-m-2n+Vm+2n

是m+2n的立方根，求B-A的平方根.

考點5:實數(shù)的概念、性質(zhì)及分類

例10.如圖，請將數(shù)軸上標(biāo)有字母的各點與下列實數(shù)對應(yīng)起來:

1

^夕

-

--刀

2OI,

ABOCDE

.11L

-?,-

-2-101234

例11.把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號內(nèi):

0,-2，V3,-V27,0.12,-J—,7?,—,—,1.21212121...,0.1010010001..^-.

V27724

有理數(shù)：｛

無理數(shù)：］

非負(fù)數(shù)：（

分?jǐn)?shù)：］

負(fù)實數(shù)：I

例12.如圖所示，數(shù)軸上A,B兩點表示的數(shù)分別為一1和四，點B關(guān)于點A的

對稱點為C,求點C所表示的實數(shù).

AB

-----1-----------1------------------1——>

-10Q

【遷移應(yīng)用】

【5-1】如圖，數(shù)軸上A,B兩點表示的數(shù)分別為e和51，則A,B兩點之間表示

整數(shù)點共有()

A.6個B.5個C.4個D.3個

-0J2571~"

[52]若將三個數(shù)-8,位,VTT表示在數(shù)軸上，其中能被如圖所示的墨跡覆蓋的

數(shù)是.

-2-1045

[53]把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi):

有理數(shù)集合無理數(shù)集合

考點6:實數(shù)的大小比較

例13.通過估算比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

⑴V5與1.9；(2)壇;1與1.5.

例14.比較下列各組數(shù)的大小.

(1)班與2.5;(2)正與3.

2

【遷移應(yīng)用】

【6-1】將下列各實數(shù)按從小到大的順序排列，并用號連接起來.

~2,1看，一石，1一冗，J2,1.141.

[6-2]比較3,4,胸的大小.

[6-3]已知"＜?。肌?1(n為正整數(shù))，則2n的立方根為.

[6-4]比較下列各組數(shù)的大小:

⑴例與V10；(2)765與8；(3)等與0.5；(4)/與1.

考點7:實數(shù)的運算

例15.計算:

(1)|V3-2|-(-2)2+2X^；(2)|2-V10|+|V10-V14|+|4-VT4|；

(3殺(2/+8)一？(保留小數(shù)點后兩位).

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【遷移應(yīng)用】

[7-1]下列計算正確的是（）

A.|V2-V3|=V2-V3B.V9=±3

C.3V2+V3=3V50.7^27=-3

[7-2]練習(xí)：

(1)2V2-3V2；(2)|V2-V3|+2V2.

[7-3]化簡與計算：