云南省昆明市官渡區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題卷（解析版）

第頁(yè)，共頁(yè)第15頁(yè)，共15頁(yè)云南省昆明市官渡區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題卷（全卷四個(gè)大題，共19個(gè)小題，共4頁(yè)；考試用時(shí)120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1.本卷為試題卷．考生必須在答題卡上解題作答．答案應(yīng)書(shū)寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)位置上，在試題卷，草稿紙上作答無(wú)效．2.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試題卷和答題卡一并交回．第I卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合,即可根據(jù)交集的定義域求解.【詳解】由，故，故選：C2.已知命題，則p的否定為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定為存在量詞命題可求解.【詳解】命題，其否定為.故選：B3.已知函數(shù)，則的值為（）A.1 B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】由分段函數(shù)解析式代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】易知，所以.故選：A4.如圖所示，角的終邊與單位圓在第一象限交于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，射線OP繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，角的終邊在射線OQ上，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)定義及誘導(dǎo)公式即可求得結(jié)果.【詳解】由三角函數(shù)定義可知，又為第一象限角，所以；又，所以.故選：C5.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先確定冪函數(shù)解析式，再利用函數(shù)單調(diào)性解不等式.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)過(guò)點(diǎn)，所以，則,所以=在0,+∞上是增函數(shù),所以不等式等價(jià)于，求解可得.故選：D.6.求值：（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合正切定義，兩角差的正弦公式，輔助角公式，二倍角公式，誘導(dǎo)公式，直接化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】.故選：B7.古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書(shū)中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時(shí)，由杠桿原理可推出：左臂長(zhǎng)與左盤(pán)物品質(zhì)量的乘積等于右臂長(zhǎng)與右盤(pán)物品質(zhì)量的乘積.一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱(chēng)黃金，其中左臂長(zhǎng)和右臂長(zhǎng)之比為，一位顧客到店里購(gòu)買(mǎi)10克黃金，售貨員先將5克砝碼放在天平左盤(pán)中，取出一些黃金放在天平右盤(pán)中使天平平衡；再將5克砝碼放在天平右盤(pán)中，然后取出一些黃金放在天平左盤(pán)中使天平平衡，最后將兩次稱(chēng)得的黃金交給顧客，則顧客購(gòu)得的黃金質(zhì)量（）A大于10克 B.小于10克C.等于10克 D.當(dāng)時(shí)，大于10克；當(dāng)時(shí)，小于10克【答案】A【解析】【分析】設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為（不妨設(shè)），先稱(chēng)得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，后稱(chēng)得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為.根據(jù)天平平衡，列出等式，可得表達(dá)式，利用作差法比較與10的大小，即可得答案.【詳解】解：由于天平的兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為，所以，所以，先稱(chēng)得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，后稱(chēng)得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為.由杠桿的平衡原理：，．解得，，則.下面比較與10的大?。阂?yàn)?，因?yàn)?，所以，即，所以這樣可知稱(chēng)出的黃金質(zhì)量大于.故選：A.8.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有（）A.的最小正周期為 B.的值域?yàn)镃.點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心 D.不等式的解集為【答案】D【解析】【分析】把函數(shù)用分段函數(shù)表示，再作出的圖象，觀察圖象即可判斷選項(xiàng)A，B，C，解不等式即可判斷選項(xiàng)D而作答.【詳解】，作出的圖象，如圖，觀察圖象，

對(duì)于A，

的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的值域?yàn)椋珺錯(cuò)誤；對(duì)于C，的圖象沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不等式，即時(shí)，得，解得，所以的解集為，故D正確.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.的解集為C.的解集為 D.【答案】BC【解析】【分析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛颍Y(jié)合不等式解集和韋達(dá)定理，可得和，然后逐個(gè)選項(xiàng)代換判斷即可.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛?，所以，，可得，則，即，得，，又化為，可得，解得，又，故A錯(cuò)，B正確，C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC10.下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及換底公式一一計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B不正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，則，，故D正確.故選：ACD.11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) B.為奇函數(shù)C.的最小正周期為4 D.【答案】ABD【解析】【分析】利用得到函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，可判斷A；利用的圖象關(guān)于1,0對(duì)稱(chēng)，可得為奇函數(shù)，可判斷B；由和兩者結(jié)合即可得到，可判斷C；令，可得可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由可知，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B，由可知，函數(shù)的圖象關(guān)于1,0對(duì)稱(chēng)，則向左平移一個(gè)單位可得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，由可得：，由可得：，所以，所以，函數(shù)的周期是2，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)的圖象關(guān)于1,0對(duì)稱(chēng)，所以f1=0再令，可得，故D正確.故選：ABD.第II卷非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)，且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求定點(diǎn).【詳解】令，則恒成立，故函數(shù)，且的圖象恒過(guò)定點(diǎn).故答案為：13.已知，且，則______.【答案】【解析】分析】根據(jù)平方關(guān)系求出，再利用誘導(dǎo)公式求解.【詳解】根據(jù)題意，，則，又，所以.故答案為：14.定義運(yùn)算：，若，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為_(kāi)_____；若在區(qū)間內(nèi)恰好有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】①.②.【解析】【分析】依題意得，根據(jù)三角函數(shù)的平移變換結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得，即可求出的最小值；將問(wèn)題化為在上恰好有4個(gè)解，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)有即可得結(jié)果.【詳解】依題意得，圖像向左平移個(gè)單位得為偶函數(shù)，所以，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，的最小值為.在區(qū)間內(nèi)恰好有4個(gè)零點(diǎn)，即在區(qū)間內(nèi)恰好有4個(gè)解，所以在區(qū)間內(nèi)恰好有4個(gè)解，因?yàn)?，即，所以，解得?故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合.（1）若，求；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式，根據(jù)集合的基本運(yùn)算可得結(jié)果.（2）根據(jù)條件可得?，利用集合的基本關(guān)系列不等式組可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，∵，∴，∴.【小問(wèn)2詳解】∵是的充分不必要條件，∴?，∴（等號(hào)不同時(shí)成立），解得，∴的取值范圍為.16.普洱茶種植歷史可追溯到1700多年前，其外形勻整、挺秀，湯色碧綠，香氣濃烈等優(yōu)異品質(zhì)聞名遐邇，深受廣大消費(fèi)者青睞.實(shí)踐表明，該茶用的水泡制，等到茶水溫度降至?xí)r，有最佳飲用口感.研究發(fā)現(xiàn)：茶水溫度隨放置時(shí)間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式為.由測(cè)試可知，經(jīng)過(guò)1分鐘后茶水的溫度為.（1）求常數(shù)的值；（2）在室溫下，剛泡的該茶大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）（2）7.5分鐘【解析】【分析】（1）代入即可求解，（2）根據(jù)指對(duì)互化即可求解.【小問(wèn)1詳解】將代入函數(shù)，得解得，所以常數(shù)【小問(wèn)2詳解】由（1）知，根據(jù)題意可知：，所以，化簡(jiǎn)得：，將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，將題目中的參考數(shù)據(jù)代入上述對(duì)數(shù)式，化簡(jiǎn)得，所以，在室溫下，剛泡的該茶大約需要放置7.5分鐘才能達(dá)到最佳飲用口感.17.函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的值域.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象，依次求得的值，從而求得的解析式，利用整體代入法來(lái)求得單調(diào)遞增區(qū)間.（2）根據(jù)三角函數(shù)值域的求法來(lái)求得正確答案.【小問(wèn)1詳解】由圖可得，，，，，由于，所以，則，而，所以，所以函數(shù)解析式為令，所以.綜上函數(shù)解析式為，單調(diào)增區(qū)間.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)有最大值為，，所以時(shí)有最小值為，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?18.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值并判斷的單調(diào)性（無(wú)需證明）；（2）解關(guān)于的不等式；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），單調(diào)遞增（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷得出結(jié)論；（2）利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可得出結(jié)果；（3）分離參數(shù)利用基本不等式計(jì)算得出最小值，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，所以，解得．此時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意；易知，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷得在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，解得.所以不等式的解集【小問(wèn)3詳解】由題設(shè)在上恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即在上恒成立，令，設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.如圖所示，角終邊與單位圓交于點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，交軸于，過(guò)作軸的垂線交射線OP于.（1）由正弦函數(shù)、正切函數(shù)定義可知，的值分別等于線段MP，AQ的長(zhǎng).（i）求的值；（ii）判斷的大小關(guān)系；（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的最大值.【答案】（1）（i），；（ii）（2）【解析】【分析】（1）（i）直接利用三角形面積公式和扇形面