浙江專用2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題2.8函數(shù)與方程講含解析

PAGEPAGE1第08講函數(shù)與方程講1.理解函數(shù)零點的概念.2.高考預(yù)料：（1）分段函數(shù)與函數(shù)方程結(jié)合；（2）二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與方程結(jié)合.（3）經(jīng)常以基本初等函數(shù)為載體，結(jié)合函數(shù)的圖象，推斷方程根的存在性及根的個數(shù)，或利用函數(shù)零點確定參數(shù)的取值范圍等．也可與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查.題目的難度起伏較大.3.備考重點：（1）函數(shù)方程的概念（2）基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì).學(xué)問點1．函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的概念對于函數(shù)y＝f(x)，把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點.(2)函數(shù)零點與方程根的關(guān)系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點.【典例1】（2024·四川高考模擬（理））已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則方程的全部解的和為（）A． B．1 C．3 D．5【答案】C【解析】∵是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，∴當時，則即則作出的圖象如圖：∵的圖象與的圖象關(guān)于對稱∴作出的圖象，由圖象知與的圖象有三個交點即有三個根，其中一個根為1，另外兩個根a，b關(guān)于對稱即則全部解的和為故選：C．【思路點撥】依據(jù)函數(shù)奇偶性，求出函數(shù)的解析式，結(jié)合的圖象與的圖象關(guān)于對稱，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)的對稱性，求得方程的全部解的和．【變式1】（2024·安徽高考模擬（文））函數(shù)的全部零點之和等于______．【答案】【解析】令，則.設(shè)，則，解得(舍去)或.所以，解得或.所以函數(shù)有兩個零點，它們之和等于學(xué)問點2．零點存在性定理假如函數(shù)y＝f(x)滿意：①在區(qū)間[a，b]上的圖象是連綿不斷的一條曲線；②f(a)·f(b)<0；則函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上存在零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根.特殊提示兩個易錯點：(1)函數(shù)的零點不是點,是方程f(x)=0的實根.(2)函數(shù)零點的存在性定理只能推斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點,而不能推斷函數(shù)的不變號零點,而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件.【典例2】（2024·云南省玉溪第一中學(xué)高考模擬（文））函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（）A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）【答案】B【解析】由題，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增且連續(xù)，，，f(0)=1>0，由零點定理得，零點所在區(qū)間是（-1,0），故選B.【重點總結(jié)】確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點.(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，視察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來推斷.【變式2】【2025屆北京市十一學(xué)校3月零模】已知函數(shù)那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間必有零點，選B.考點1推斷函數(shù)零點所在區(qū)間【典例3】(2024·浙江省溫州十校聯(lián)考)設(shè)f(x)＝lnx＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【答案】B【解析】方法一函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2圖象交點的橫坐標所在的區(qū)間．作圖如下：可知f(x)的零點所在的區(qū)間為(1，2)．方法二易知f(x)＝lnx＋x－2在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0.所以依據(jù)函數(shù)零點存在性定理可知在區(qū)間(1，2)內(nèi)函數(shù)存在零點．【規(guī)律方法】推斷函數(shù)零點所在區(qū)間有三種方法：①解方程，干脆求出零點；②利用零點存在定理，推斷零點所在區(qū)間；③圖象法，視察交點所在區(qū)間.特殊提示：在推斷一個函數(shù)在某個區(qū)間上不存在零點時，不能完全依靠函數(shù)的零點存在性定理，要綜合函數(shù)性質(zhì)進行分析推斷．【變式3】【2025屆北京市十一學(xué)校3月零?！恳阎瘮?shù)那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間必有零點，選B.考點2推斷函數(shù)零點的個數(shù)【典例4】（2015·天津高考真題（文））已知函數(shù),函數(shù),則函數(shù)的零點的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】當時,所以,,此時函數(shù)的小于零的零點為;當時,,函數(shù)無零點;當時,,,函數(shù)大于2的零點為,綜上可得函數(shù)的零點的個數(shù)為2.故選A.【總結(jié)提升】推斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：1.干脆法：即干脆求零點，令f(x)＝0，假如能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點；2.定理法：利用零點存在性定理，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間[a，b]上是連綿不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必需結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點3.圖象法：即利用圖象交點的個數(shù)，畫出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的個數(shù)就是函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；將函數(shù)f(x)拆成兩個函數(shù)h(x)和g(x)的差，依據(jù)f(x)＝0?h(x)＝g(x)，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)就是函數(shù)y＝h(x)和y＝g(x)的圖象的交點個數(shù).4.性質(zhì)法：即利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點個數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個周期內(nèi)的零點的個數(shù).【變式4】（2024·四川高考模擬（文））函數(shù)的零點個數(shù)為______．【答案】2【解析】函數(shù)的定義域為，畫出兩個函數(shù)，的圖象，由函數(shù)圖象的交點可知，函數(shù)的零點個數(shù)為2．故答案為：2．考點3函數(shù)零點的應(yīng)用【典例5】（2024·新疆高考模擬（文））關(guān)于的方程有兩個解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，當時，分別作出函數(shù)及的圖象如下：明顯，兩個函數(shù)圖象只交于一點，故只有一解.當時，分別作出函數(shù)及的圖象如下：明顯，兩個函數(shù)圖象交于兩點，故有兩個解.所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A【思路點撥】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：(1)干脆法：干脆依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．【變式5】（2024·江西高考模擬（文））已知函數(shù)若函數(shù)的圖像與軸的交點個數(shù)恰有個，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知函數(shù)的圖像與軸的交點恰有個，即為函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點恰有個，函數(shù)的圖像過定點，且斜率，當動直線過點時有個交點，此時直線的斜率增大即有個交點，故當動直線與直線平行時有個交點，故，綜上：【典例6】(2024·河北保定一模)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿意f(x＋1)＝－f(x)，當x∈[0,1]時，f(x)＝－2x＋1，設(shè)函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|(－1≤x≤3)，則函數(shù)f(x)與g(x)的圖象全部交點的橫坐標之和為()A．2 B．4C．6 D．8【答案】A【解析】∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(x)的周期為2.又f(x)為偶函數(shù)，∴f(1－x)＝f(x－1)＝f(x＋1)，故f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．又g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|(－1≤x≤3)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，作出f(x)和g(x)的圖象如圖所示．【總結(jié)提升】函數(shù)零點的應(yīng)用主要體現(xiàn)在三類問題：一是函數(shù)中不含參數(shù)，零點又不易干脆求出，考查各零點的和或范圍問題；二是函數(shù)中含有參數(shù)，依據(jù)零點狀況求函數(shù)中參數(shù)的范圍；三是函數(shù)中有參數(shù)，但不求參數(shù)，仍是考查零點的范圍問題．這三類問題最終都是通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點進行解決．【變式6】【2025屆山東、湖北部分重點中學(xué)沖刺（二）】定義在上的奇函數(shù)，當時，，則關(guān)于的函數(shù)的全部零點之和為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】當時，又是奇函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，由函數(shù)圖象可知：，有個零點，其中有兩個零點關(guān)于對稱，還有兩個零點關(guān)于對稱，所以這四個零點的和為零，第五個零點是直線與函數(shù)，交點的橫坐標，即方程的解，，故選C.【典例7】已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－logeq\s\do8(\f(1,2))x，h(x)＝log2x－eq\r(x)的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是()A．x1＞x2＞x3 B．x2＞x1＞x3C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1【答案】D【解析】由f(x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－logeq\s\do8(\f(1,2))x＝0，h(x)＝log2x－eq\r(x)＝0得2x＝－x，x＝logeq\s\do8(\f(1,2))x，log2x＝eq\r(x).在坐標系中分別作出y＝2x，y＝－x；y＝x，y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x；y＝log2x，y＝eq\r(x)的圖象，由圖象可知－1＜x1＜0,0＜x2＜1，x3＞1，所以x3＞x2＞x1.【變式7】已知e是自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù)的零點為a,函數(shù)的零