2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：三角形的證明 練習(xí)題匯編（含答案）

2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：三角形的證明專題練習(xí)題匯編

一、解答題

1.如圖，在RtA4BC和RtDEF中,ABLBC,DE1,EF,AC=DF,BF=EC,求證:

AB=DE.

2.如圖，已知VABC是等邊三角形，D,E,尸分別是射線54,CB,AC上的點(diǎn)，且

AD=BE=CF,連結(jié)DE,EF,DF.

⑴求證：DE=EF；

⑵試判斷尸的形狀，并說明理由.

3.如圖，BE=CEDELAB的延長線于點(diǎn)E,DF/AC于點(diǎn)F,且DB=L>C.

(2)若/皿>=25。，求/C的度數(shù).

4.如圖，在VABC中，AB=AC,點(diǎn)。在BC邊上，ZDAJB=90°,

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AA

備用圖

(1)當(dāng)NC=30。，求證：BD=2CD；

(2)當(dāng)3O=2CD時(shí)，/C是否一定為30。，如果一定，給出證明：如果不一定，請(qǐng)說明理由.

5.如圖，B,C,E三點(diǎn)在一條直線上，VA3C和ADCE均為等邊三角形，連接AE,DB.

(1)AE和03有何大小關(guān)系，請(qǐng)說明理由；

(2)如果把△OCE繞點(diǎn)C順時(shí)針再旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，(1)中的結(jié)論還成立嗎？

6.如圖1,在VABC中，NB=ZACB,延長區(qū)4至。，過點(diǎn)。作。EL5C交BC的延長線

于點(diǎn)E,延長AC至F,過點(diǎn)尸作RGL3C交BC的延長線于點(diǎn)G,且DE=bG.

圖1圖2

⑴求證：乙BDE咨人CFG；

(2)如圖2,連接DF,交EG于點(diǎn)H,用等式表示線段GH與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

7.在等腰VABC中，AB=AC,點(diǎn)。是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在的延長線上，且=

AF平分NCAE交DE于點(diǎn)尸，連接尸C.

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(1)如圖1,求證：ZABE=ZACF；

(2)如圖2,當(dāng)NABC=60。時(shí)，在BE上取點(diǎn)M,使BM=EF,連接求證：是

等邊三角形.

8.如圖，在VABC中，NABC的平分線交AC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作/汨〃3C交A3于點(diǎn)E.

⑴求證：BE=DE；

⑵若ZA=78。，ZC=32°,求N")￡1的度數(shù).

9.己知VA3C和，CDE是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，ZACB=NCDE=90。.

(1)如圖1,CD和CE分別與邊A3交于點(diǎn)M,N,過點(diǎn)C作CFJ_CE,且使B=C7V,連接

AF,FM,求證：

①△ACF四△BCN；

@MN2=AM2+BN2；

⑵如圖2,。與邊A3交于點(diǎn)/，CE與A3的延長線交于點(diǎn)N,請(qǐng)?zhí)骄亢椭?/p>

間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

10.如圖，已知VABC中，NB=NC,AB=8厘米，3C=6厘米，點(diǎn)。為A3的中點(diǎn)，如

果點(diǎn)尸在線段BC上以每秒2厘米的速度由8點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。在線段C4上以每

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秒加厘米的速度由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r(秒)(0</<3).

(1)用含r的代數(shù)式表示PC的長度；

⑵若點(diǎn)尸、。的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與VCQP是否全等，請(qǐng)說明理由；

(3)若點(diǎn)P、。的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)。的速度機(jī)為多少時(shí)，能使△BPD與VCQP全等？

11.如圖，在VABC中，點(diǎn)。、E分別為邊A3、AC上的點(diǎn)，連接DE,點(diǎn)尸、G分別在

邊DE、EC上，連接8尸、DG交于點(diǎn)P,DF2=FP.FB>NDFP=NDGE.

⑴求證：ABDF^ADEG；

(2)如果4PG=N/RC,AD=2BD,求證：2BC.DF=ACEG.

12.在VABC中，AC=8C,NACB=90°,點(diǎn)。在AC邊上(不與點(diǎn)A,C重合)，連接3D,

過。作/足，3￡>,且DE=BD,連接BE交AC的延長線于點(diǎn)E

圖1圖2圖3

⑴如圖1,若8D平分，ABC,求證：DF=2CD；

(2)如圖2,在(1)的條件下，過。作DGLAC交A3于G,過E作￡7—GD交G。的延長

線于H,求證：BG+DH=BC；

(3)如圖3,連接AE,M是AE的中點(diǎn)，連接。h，求的度數(shù).

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13.如圖，在VABC中，AB^AC,若點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)，將△AEC繞點(diǎn)A逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)得到4)8,點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，連接DE,

⑴求證：ZABC=ZABD；

(2)若3?！ˋC,求的度數(shù).

14.在VA3C中，AB=AC,N3AC=90。，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直角邊在AD

的右側(cè)作VAOE,使miE=90。，AD=AE,連接CE.

⑴當(dāng)點(diǎn)O在線段8C上時(shí)，如圖1,證明：CE=BD且CELBD；

⑵當(dāng)點(diǎn)。在線段CB的延長線上時(shí)，如圖2,判斷線段CE與線段即的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,

并說明理由.

15.在.ABC中，AC=BC,點(diǎn)。是邊48上不與點(diǎn)3重合的一動(dòng)點(diǎn)，將一BDC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)

得到一ED尸，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在直線BC上，E歹與AC相交于點(diǎn)G,連接AF.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時(shí),

①求證：FG=AG；

②判斷A尸與3c的位置關(guān)系是_

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(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。不與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E在邊8C上時(shí)，判斷AF與8C的位置關(guān)系，并寫出

證明過程；

⑶如圖3,當(dāng)點(diǎn)。是力B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，延長H4,CF相交于點(diǎn)尸.若AB=CD=2,

求尸尸的長.

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參考答案:

1.見解析

【詳解】解：???AB_L5C,DELEF,

：.ZB=ZE=90°,

???BF=EC,

；?BF+FC=EC+FC,即3C二跖，

在RtZXABC和Rt-DEF中，

jAC=DF

[BC=EF'

ARtAABC^RtDEF(HL),

???AB=DE.

2.(1)證明見解析

⑵DEF是等邊三角形，理由見解析

【詳解】(1)證明：TVABC是等邊三角形，

AAB=BC=AC,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

???ZDAF=ZEBD=ZFCE=120°,

?:AD=BE=CF,

：?BD=CE=AF,

在LD班與-EFC中,

BD=CE

<ZEBD=ZFCE,

BE=CF

：.ADEB^AEFC(SAS),

:.DE=EF；

(2)DEF是等邊三角形.

理由：在△位)尸與△CFE中，

AF=CE

<ZDAF=ZFCE,

AD=CF

AADF^ACFE(SAS),

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：?FD=EF,

*.*DE=EF,

DE=EF=EF,

是等邊三角形.

3.⑴見解析

(2)40°

【詳角軍】(1)證明：??,OESAB,DF1AC,

：.ZDEB=ZDFC=90°,

在RtADEB和RtADFC中，

[BE=CF

[BD=CD"

：.RtABDE^RtACDF(HL)

(2)證明：?；_BDE—CDF,

:?DE=DF,

又DE_LAB,DF1AC,

???AD是NBAC的平分線，

VZ￡W=25°

JZEAC=2ZEAD=2x25°=50°

二?ZC=90°-ZE4C=90°-50°=40°

4.(1)詳見解析

(2)當(dāng)3。=2co時(shí)，/C=30。，詳見解析

【詳解】(1)證明：當(dāng)NC=30。時(shí)，

AB=AC,

/.ZB=ZC=30°,

NZMB=90。，

=2AT>且ZADB=60。，

:.ZDAC=ZADB-ZC=3O09

ZC=30°,

AD=CD,

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/.BD=2CD；

(2)解：當(dāng)3D=2CD時(shí)，ZC=30°,理由如下:

取80的中點(diǎn)連接AM,

2

QBD=2CD,

:.AM=CD,

:.BM=CD,

AB=AC,

.?./B=NC,

在.ABM與ACD中，

AB=AC

<ZB=ZC,

BM=CD

ABM^ACD(SAS),

:.AD=AM,

：.AD=AM=MD,

:.ZADM=60°,

NZMB=90。，

/.ZB=30°,

/.ZC=30°.

5.{1}AE=BD,理由見解析

(2)成立=理由見解析

【詳解】(1)AE=DB,理由如下：

ABC.均為等邊三角形，

/.BC=AC,CD=CE,ZBCA=ZDCE=60°f

/.ZBCA+ZACD=ZDCE+ZACD,

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即N3CD=NACE,

在ZXACE和△5CD中，

AC=BC

</ACE=/BCD

CE=CD

/.ACE也BCD(SAS),

AE=BD.

(2)成立，AE=BD；理由如下:

如圖，

△OCE均為等邊三角形,

:.BC=AC,CD=CE,N5c4=NDC￡=60。，

ZBCA+ZACD=ZDCE+ZACD,

即N3CD=NACE,

在“。石和△BCD中,

AC=BC

</ACE=/BCD,

CE=CD

/.ACE且BCD(SAS),

:.AE=BD.

6.(1)見解析

⑵BC=2GH,理由見解析

【詳解】(1)證明：VZB=ZACB,ZACB=NFCG,

：.ZABC=ZFCG,

VDELBC,FGYBC,

ZBED=ZCGF=90°,

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,:DE=FG,

???BDEMCFGgq；

(2)解：BC=2GH,理由如下：

,:ABDE^ACFG,

：.BE=CG,

：.BE-CE=CG-CE,

：.BC=EG,

在△￡)石H和一廠GH中，

/DHE=/FHG

<ZDEH=ZFGH=90°f

DE=FG

,DEH^FGH(AAS),

:.EH=GH,

:.BC=2GH.

7.⑴見解析

(2)見解析

【詳解】(1)證明：AF平分/C4E,

NEAF=/CAF,

AB=ACfAB=AE,

-e-AE=AC,

在△ACF和△?!￡尸中，

AC=AE

<ZCAF=NEAF,

AF=AF

,-AB均AEF(SAS),

ZACF=ZE,

AB=AE,

ZE=ZABE,

ZABE=ZACF；

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(2)如圖，在應(yīng):上截取=連接AM,

.AACF,

EF=CF=BM,NE=ZACF=ZABM,

在4ABM和ZkAC尸中，

AB=AC

<ZABM=ZACF,

BM=CF

ABM^ACF(SAS),

AM=AF^ZBAM=ZCAF,

AB=AC,ZABC=60°,

VABC是等邊三角形，

Z^4C=60°,

ZMAF=ZMAC-^-ZCAF=ZMAC+ZBAM=ABAC=60°,

AM=AF.

丁...AMF為等邊三角形.

⑵NBDE=35。

【詳解】(1)證明：???BO平分/A5C,

???ZABD=ZCBD,

?:DE//BC,

：.ZBDE=ZCBD,

：.ZBDE^ZABD,

BE=DE；

(2)解：VZA=78°,ZC=32°,

???ZABC=180°-ZC-ZA=70°,

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???瓦）平分/ABC,

ZABD=ZCBD=35°,

,:DE〃BC,

：.ZBDE=ZCBD=35°f

9.（1）①見解析；②見解析

（2）MN2=AM2+BN2,證明見解析

【詳解】（1）證明：①TVABC是等腰直角三角形，CF1CE,

...ZACB=NFCN=90°,AC=BC,ZBAC=ZABC=45°,

???ZACF+NACN=NBCN+NACN=90°,即ZACF=ZBCN,

在△AC尸和科四中，

AC=BC

<ZACF=/BCN,

CN=CF

：..ACF^ABC7V（SAS）.

②由①知AACF之△3CN,

.?.AF=BN,NCAF=NCBN=45°,

???ZFAM=ZCAF+ABAC=450+45°=90°,

???_CD￡是等腰直角三角形，

???ZDCE=45°,

???ZACD+ZBC7V=45°,

■:ZACF=ZBCN,

：.ZFCM=ZACD+ZACF=45°,

:?NFCM=NNCM,

又「CF=CN,CM=CM,

：.^CMF^CMN（SAS）f

：.MF=MN,

在RtZWM中，ZFAM=90°,由勾股定理得MF?=加〃十人尸2,

???MN2=AM2+BN2.

（2）解：MN2=AM2+BN2,證明如下：

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如圖，將ABav繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ACC連接萬

圖2

則ZNCF=90°,AF=BN/FCM=90°-ZDCE=45°=ZMCN,

在,CM尸和中，

CF=CN

-ZFCM=ZMCN,

CM=CM

，_CMFyCMV(SAS),

ZFAC=ZCBN=180°-ZABC=135°,FM=MN,

：.ZFAM=ZFAC-ZCAB=135°-45°=：90°,

AM2+AF2=FM2^

；?AM2+BN2=MN?.

10.(1)6-2?

(2)全等，理由見解析

Q

⑶I厘米/秒

【詳解】(1)解：由題意可知族=2/厘米，

/.「0=3。一族=(6-2。厘米；

(2)解：ABPD和VCQP全等，理由如下：

；f=l秒,

族=(?。=2、1=2厘米，

CP=3C-3P=6—2=4厘米.

：AB=8厘米，點(diǎn)。為的中點(diǎn)，

；?3。=4厘米.

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:.PC=BD.

在△BPD和VCQ尸中，

BD=PC

<NB=NC,

BP=CQ

：.RPD名心CQ尸(SAS)；

(3)解：??,點(diǎn)尸、。的運(yùn)動(dòng)速度不相等，

:.BPwCQ.

又?：ZB=/C,

則當(dāng)5尸=尸。=35。=3厘米，CQ=50=gA5=4厘米時(shí)，LBPDQMPQ,

???點(diǎn)尸，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間/=與二,秒，

in-CQ——4——8

:.t33厘米/秒，

2

Q

當(dāng)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度比為三厘米/秒時(shí)，能夠使△BPD與VCQP全等.

11.⑴見解析

(2)見解析

【詳解】(1)證明：DF?=FP.FB，

.DFFB

,,=,

FPDF

ZDFP=ZBFD,

7DFPEBFD,

??/FDP=NFBD,

NDFP=ZDGE,

ABDF^ADEG；

(2)證明：由(1)得：/\BDF^/\DEG,NDFP^NBFD,

ZBDF=ZDPF=ZDEG,-,

EGDE

A1800-ZBDF=1800-ZDPF=1800-ZDEG,

ZADE=ZFPG=ZAEDf

ZFPG=ZABC,

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:.ZADE=ZABC,

ADE//BC,

，AADEcoAABC,ZAED=ZACB,

??.NABC=ZACB,

:.AB=AC,

AD=2BD,

AB=AD+BD=3BD,

BD=-AB=-AC

33f

DEAD2BD2

3BD~3f

DE=-BC,

3

.DF_BD_jAC

'~EG~~DE~'

—￡)C

3

2BC.DF=AC.EG.

12.⑴見解析

(2)見解析

⑶NA￡)M=135。

【詳解】(1)證明：AC=BC9ZACB=90°,

.-.ZA=ZABC=45°,

QB。平分/ABC,

,ZABD=-ZABC=-x45°=22.5°,

22

ZBDF=ZA+ZABD=45°+22.5°=67.5°.

DE1.BD,

ZBDE=90°f

又BD=DE,

.\ZDBE=45°,

在VBD/中，ZBDF+ZDBF+ZBFD=180°,

/.NBFD=180。-NBDF-/DBF=180。一67.5°-45°=67.5°,

:.ZBDF=ZBFD.

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:.BD=BF.

NACB=90。，

:.BC±DF,

??.C為。尸中點(diǎn)，

：.DF=2CD；

(2)證明：ZDBC=-ZABC=-x450=22.5°,ZACB=90°,

22

:.NBDC=90°-22.5°=67.5°.

NBDE=9。。,

ZEDF=22.5°.

DGLAC,

:./EDH=90。.

ZHDE=90?！?2.5°=67.5°,

:./BDC=ZEDH.

EHIDG,

.-.ZH=90°

:"H=/DCB,

又DE=BD,

;._HDEaCDB(AAS),

:.HD=CD.

NG。。=90。，NBDC=675。,

:.ZBDG=22.5°,

:./BDG=NDBG,

/.BG=DG.

ZA=45°,ZADG=90°,

:.ZAGD=45°,

.\ZA=ZAGDf

:.AD=DGf

AD=BG,

:.BG+DH=AD+CD=AC,

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BC=AC.

:.BG+DH=BC；

(3)解：如圖，延長。M至。，使加=?！?，連接EQ.過。作。N1AC交A3于點(diǎn)N.

A

/[^\y

M是AE中點(diǎn)，

E

:.AM=EM.

ZAMD=ZEMQ,DM=QM.

AADM^AEQM(SAS).

??.AD=EQ,ZQ=ZADM,ADAM=AQEM,

:.EQ//AD.

ZQED=ZEDF.

ZBDE=90。,

.?./EDF+NBDF=90°,

DNLAC.

/.ZA?C=90°,

.,.ZNDB+/BDF=96。,

:"EDF=NNDB.

..NQED=ZNDB.

NADN=90。,ZDAN=45°,

,\ZAND=45°,

:.ZDAN=ZAND,

:.AD=DN.

EQ=DN.

又BD=DE,

EQ=DN,

.??在△￡。。和、。BN中，]/QED=NNDB,

DE=BD,

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.?.△EDQ且△ZMN(SAS).

/.ZQ=ZBND.

■.ZAND=45°9

ZBND=180。—45。=135°,

Z2=135°,

:.ZADM=135°.

13.⑴見解析

(2)ZAED=60°

【詳解】(1)證明：???AB=AC

:.ZABC=ZC

由旋轉(zhuǎn)知..ACE也?ABD

:.ZC=ZABD

又ZABC=NC

:.ZABC=ZABD

(2)解：由(1)知ZABC=NC=ZABD=a

???ZCBD=ZABC+ZABD=2a

???BD//AC

：.ZCBD+ZC=180°

2a+a=180°

解得&=60。

???ZABC=ZC=60°

...VABC為等邊三角形

ABAC=60°

由旋轉(zhuǎn)知/ZME=/BAC=60。，AD=AE

，VADE為等邊三角形

ZAED=60°

14.(1)見解析

Q)CE=BD,CELBD,理由見解析

【詳解】(1)證明：ZBAC=ZDAE=90°,AB^AC,

:.ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,ZABC=ZACB=45°,

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:.ZBAD=ZCAE.

又AD=AE,

:._ABD^_ACE(SAS),

:.CE=BD,NACE=/ABC=45。.

/.ZECB=ZACE+ZACB=90°,

：.CE=BD,CELBD；

(2)解：CE=BD,CELBD.

理由：ZBAC=ZDAE=90°fAB=ACf

/.ABAC-ZBAE=ZDAE-ZBAE,ZABC=ZACB=45°,

:"BAD=/CAE,ZABD=135°.

又AD=AE,

ABD^ACE(SAS),

:.CE=BDfZACE=ZABD=135°,

/.ZECB=ZACE-ZACB=90°.

：.CE=BD,CELBD.

15.(1)①證明見解析

(2)AF//BC,證明見解析

⑶竿

【詳解】(1)①證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：尸也△ABC,

：.ZEDF=ZCAB,ZF=ZC,AE=AB,

ZFAC+ZCAE=ZBAE+ZCAE,ZAEB=ZB,

:?NFAC=NBAE,

*：AC=BC,

：./CAB=/B,

在,48石