2025年上海高考數(shù)學復習熱點題型專練：三角函數(shù)與解三角形（十二大題型） （解析版）

熱點題型?選填題攻略

專題04三角函數(shù)與解三角形(十二大題型)

O---------------題型歸納?定方向-----------*>

題型01任意角和弧度制.................................................................2

題型02任意角的三角函數(shù)...............................................................3

題型03同角三角函數(shù)的基本關系.........................................................6

題型04三角函數(shù)的誘導公式.............................................................7

題型05三角恒等變換...................................................................9

題型06三角函數(shù)的有關概念.............................................................11

題型07三角函數(shù)圖像的變換.............................................................13

題型08三角函數(shù)的求參問題.............................................................15

題型09解三角形.......................................................................17

題型10解三角形一面積問題、解的個數(shù)等問題.............................................19

題型11解三角形與平面向量、數(shù)列等....................................................21

題型12三角函數(shù)與解三角形的實際應用..................................................26

?>----------題型探析?明規(guī)律----------?>

【解題規(guī)律?提分快招】

匚一莉甬三面函藪的兔父「函鬲￡菊這E二點E的巫標可錄1而三錯畫藪宿「巨相翁丁缸三面函藪值廠由時以

求出角a終邊的位置.

2、判斷三角函數(shù)值的符號，關鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結合三角函數(shù)值在各象限的符號確定所求三

角函數(shù)值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況.

3、誘導公式的兩個應用

①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了；

②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.

4、常用的拆角、配角技巧：2a=(a+P)+(a—P)；a=(a+P)—P=(a—P)+P；P=—=(a+2p)—(a+P)；a—P=(a

-y)+(y-p)；150=450-30°；+a=一等.

5、確定y=Asin(3x+q))+b(A>0,co>0)的步驟和方法：

,,,,,?M~mM~\~m

(1)求A,b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m,則A=--—,b=---.

2兀

(2)求co.確定函數(shù)的最小正周期T,則(o=—.

(3)求(p,常用方法如下：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象

的最高點或最低點代入.

6、解三角形問題的技巧

(1)解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一

次式時，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.

(2)三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三

角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.

7、判斷三角形形狀的兩種思路

(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀.

(2)化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關系，從而判斷三角形的形狀.此時要注意應用A+B+C=7t這個結論.

8、平面幾何圖形中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設計等問題，通常是轉化到三角形中，

利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決.在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把

「妻廨三鬲形的面戢鬲甬面磁基袤關田栗:百莉甬至「荼載比迪司由萬商丁麻乏丁若講兗最值「籥便甬鬲藪恿覆1

函甌01注意隔布弧度制

【典例1-1】?已知扇形的半徑是3,弧長為6,則扇形圓心角的弧度數(shù)是.

【答案】2

【分析】利用扇形的弧長得到關于圓心角的方程，解之即可得解.

【解析】依題意，設扇形的圓心角為。(&>0),

因為扇形的半徑是r=3,弧長為/=6,

所以由/=w，得6=3a,則a=g=2.

故答案為：2.

【典例1-2】.母線長為5、底面半徑為2的圓錐的側面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為.

【答案】—

【分析】設圓錐的側面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為。，根據(jù)底面周長等于側面展開圖的弧長計算可得.

【解析】設圓錐的側面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為

又母線/=5,底面半徑r=2

471

貝！Jal-271r,即5a=4兀，解得?.

4TT

故答案為：—

【變式1-1】.若扇形的半徑為2,弧長為3,則扇形的面積為.

【答案】3

【分析】根據(jù)扇形的面積公式直接運算求解.

【解析】由題意可得：扇形的面積為:x3x2=3.

故答案為：3.

【變式1-2】?設1是第一象限的角，則合所在的象限為()

A.第一象限B.第三象限

C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限

【答案】C

ry

【分析】根據(jù)a是第一象限的角，求出］的范圍判斷即可得解.

【解析】因為&是第一象限的角，

兀

所以2kli<a<2kn+—,keZ,

2

CtTT

所以歷i<一<E+一,左wZ,

24

（yTTry

當左=2〃,幾￡Z時，2nn<—<Irni+—,?GZ,—為第一象限角；

242

OCTT（y

當先=2〃+1,"eZ時，Imt+7i<—<Inn+7t+—,?eZ,§為第三象限角.

故選：C

【變式1-3】?折扇在我國已有三千多年的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的

形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）,圖2為其結構簡化圖，設

扇面N,8間的圓弧長為/,A,8間的弦長為圓弧所對的圓心角為。（。為弧度角），貝!|/、d和。所滿足

cee

?2cos—,、cos—,

C.2_￡D.2_￡

e~7e-7

【答案】A

【分析】先用。表示出“和/,進而求得:的值.

n

【解析】過點。作于。，則乙408=。，ZD0B=-

2

°

貝ijd=2|即=2儂卜in,,l=\OB[0

故選：A

題型02任意角的三角函數(shù)

【典例2-1】.若角。的終邊過點（4,3）,則sin（a+5=.

【答案】1/0.8

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得cosa,再利用誘導公式即可求得.

兀4

貝！Jsin(a+—)=cosa=—

4

故答案為：—

【典例2-2】?"sine=Y2”是“e

2

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】判斷“sin6=^”和"。=?’之間的邏輯推理關系，即可得答案.

24

【解析】當sinO=變時，。=9+2標#eZ或6=^+2E小eZ,推不出6=工；

2444

當。=：時，必有sin0=，^,

42

故"sin。"”是“9=^”的必要不充分條件，

24

故選：C

3

【變式2-11.已知點尸（3,盟）（盟＜0）是角。終邊上一點，若COSa=M，貝ljtana=

【答案】=4

【分析】由任意角的三角函數(shù)定義即可求解.

解得：％=-4,

4

所以tana=一§,

4

故答案為：

【變式2-2】.下面有四個命題:

①若點P（a,2a）（aw0）為角a的終邊上一點,則sina=管；

②同時滿足sina=',cose=立的角a有且只有一個；

22

③如果角a滿足-3兀<a<-!兀，那么角a是第二象限的角；

④滿足條件tanx=-百的角x的集合為|x|x=^7t-yjezj.

其中真命題的序號為.

【答案】④

【分析】①根據(jù)正弦函數(shù)定義求正弦值判斷；②注意任意角定義即可判斷；③直接判斷角所在象限即可；④

根據(jù)正切值及任意角定義求角即可判斷.

【解析】①若點尸（。,2。）（。片0）為角。的終邊上一點，sina=/2a=±攣（注意參數(shù)。的符號不確

+4/5

定），假命題；

②同時滿足sina=：,cosa=@,只要終邊與a=三相同的角都滿足，假命題；

226

③如果角。滿足-3兀<a<-g兀，那么角。是第三象限的角，假命題；

④滿足條件tanx=一6的角x=§+E,keZ,真命題.

故答案為：④

【變式2-3].已知銳角。的頂點為原點，始邊為x軸的正半軸，將a的終邊繞原點逆時針旋轉冷后交單位

6

圓于點則sina的值為

276+1

【答案】

6

【分析】先求得cos（a+.Jsin[a+e],然后利用三角恒等變換的知識求得sina

【解析】由于尸,卜）在單位圓上，所以-j?=W=|,

由于1是銳角，所以/=?=>=迪，則尸J1卒

?9?3（33）

所以cos[a+^二人+』=迪

3I6J3

兀71兀兀71.71

所以sina=sina-\---=---s--i-n-OLH---c-os——cosCCH---s-in—

666666

25/2V311276+1

=----------X--------F—X—=------------------

32326

故答案為：也出

6

題型03同角三角函數(shù)的基本關系

【典例3-1].已知tanx=2,貝！]2sinxcos'=

【答案】1/0.8

【分析】由2sinxcosx=2：mxcos：,再將弦化切，最后代入計算可得.

smx+cosx

2sinxcosx2tanx2x24

【解析】因為tanx=2,所以2sinxcosx=

sin2x+cos2xtan2x+122+15'

4

故答案為：—

【典例3-2】?設6為第二象限角，若tan"-；,則si"+cosd=

小/-V5

【答案】------/-------

55

【分析】由同角三角函數(shù)的基本關系，列方程組解出sin。,cos。，求和即可.

【解析】。為第二象限角，貝！|sin=>0,cos0<0,

,aV5

sin<91sinu=——

i_______=_____5

若tan8=——,則有<cos。2解得

22A2小

-sin(9+cos^=1cos"--------

5

V5275_V5

所以sin8+cos6=

"5

故答案為:

._1?11.1-何/cosa+sina,,?1_

【變式V3-1】.若tana=&，則------:—的值為

cosa-sma

【答案】-3-272

【分析】弦化切，代入tanc即可.

cosa+sina

cosa+sina1+tana(、

【解析】cos”-----------=-3+

cosa-sinacosa—sina1-tan'

cosa

故答案為：-3-272

【變式3-21.已知角。的終邊不在坐標軸上，則下列一定成等比數(shù)列的是（）

A.sina,cos%tanaB.sin%tan%cosa

C.sin2cif,coscif,tan2cifD.cos26Z,sincr,tan26r

【答案】D

【分析】對于ABC,舉反例排除即可；對于D,利用三角函數(shù)的基本關系式即可判斷.

sina

【解析】角a的終邊不在坐標軸上，有cosawO,sinawO,tanawO,tana=-------

cosa

對于A,令則5由二=4^,€：05二='^/@110=1,

422

cos2cr=—,sin6rtana=-^^xl=,BPcos2awsinatana,A不是;

222

兀71

對于B,令&則tana=l,cosasina=：,即tarawcosasina,B不是;

42

TVM°sa=&an2a］_

對于C,令a=z則sin2a

6423

3iii

于是cos2a=z’sin/atan2a==五，即cos,awsiYatan?。，C不是;

對于D,sin。=cosatana,則sin?1=cos2atan?［，貝！Jcos2a,sina,tan2a一定成等比數(shù)列，D是.

故選：D

■什八八F”，l+sin6cos6

【變式3?31?右tan<9=-2,那么一----萬

sincz-cos8

【答案】1

【分析】弦化切即可.

,々力工匚▼l+sm<9cos<9sin20+cos28+sin8cos0tan20+\+tan0

［解析］—y-------y-=1

sm^-cos20sin2<9-cos20tan20-\

故答案為：1

題型04三角函數(shù)的誘導公式

sin(-a)-2cos--a

【典例4-1］.已知tana=2,則_____________12J=.

cos(兀+a)

【答案】6

【分析】由誘導公式化簡即可得出答案.

sin(-cif)-2cos--a八.3.

【解析】\2)-sma-2sma3sincr/

g-----------------------------=--------------------=---------=3tana=6

cos(7i+a)-cosacosa

故答案為：6.

【典例4-2］.已知sin［，+；］=；,則cos(e-：］=.

【答案】1/0.5

【分析】依題意利用兩角之間的關系并根據(jù)誘導公式計算可得結果.

【解析】根據(jù)題意，由誘導公式可得sin,+j=cosg+：J=cosg-d=cos■-jug

所以cos］。-：｝；.

故答案為：y

【變式4-1】.已知sin(a+?)=4cos。，貝！Jtan2a=.

Q

【答案】T5

【分析】利用誘導公式將sin("+?)=4cosa化簡，求出tana,再利用二倍角公式求值.

【解析】因為sin(a+%)=4cosa,所以一sina=4cosa,所以tana=—4,

2tan。8

所以tanla=

1-tan2a15

Q

故答案為：—

【變式4-2］.已知等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為工，若無=7萬，貝!Jcos(4+%)=.

【答案】一立

2

【分析】由條件可得52=6(&+%)=7萬，然后可得cos(R+a7)=cosg=-cosj,即可得到答案.

66

【解析】因為S,是等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，所以幾=6(&+%)=7%，即6+%=?

0

7萬71V3

所以COS（O6+%）=-cos—

662

故答案為：4

【變式4-3］.已知角"的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，將角a的終邊按逆時針方向旋轉￡TT

6

后經(jīng)過點(-1,6),貝1Jsina=.

【答案】1

【解析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，先求得a的值，可得sina的值.

【解析】???角"的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，

將角a的終邊按逆時針方向旋轉今后經(jīng)過點(-1,73),

(兀、飛3r-兀27170r

tana+—=——=一。3，a+—=——+2k7i,keZ,

V6J-163

JIJI

所以a=彳+2左乃,左eZ,sina=sin(—+2k7i)=1.

故答案為：1.

【點睛】本題考查已知終邊上一點求三角函數(shù)值的問題，涉及到三角函數(shù)的定義，是一道容易題.

題型05三角恒等變換

【典例5-11.若tana=5,則tan2a三

【答案】誦

【分析】直接利用二倍角公式計算可得.

【解析】因為tana=5,

2tana_2x55

所以tan2a=

l-tan2a1-5212

故答案為：-

【典例5-2】.已知sin(a+mj+sina=彳，則sin[2a-^J=.

7

【答案】--/-0.875

O

【分析】利用輔助角公式求出sin(a+e)=:,再利用誘導公式和二倍角公式求解即可.

【解析】vsinfcr+—>l+sincr=—sin6z+^-cos6Z+sin6r=,

I224

V3sina+cosa=^~,則^Esina+」cosa=工，故sin[a+：]=：,

2224I6；4

sin(2a一小二sin(2a+]-3=一cos(2a+y

7

故答案為：-5

o

hm_COSCCE兀)r-..

【變式5-1】.右—；---，且ae0式，貝!jtana=_______________

2—sinav2J

【答案】叵金岳

1515

【分析】由同角三角函數(shù)的關系，結合二倍角公式求解.

cosa

【解析】由tan2a=

2-sinor

2sinacosacosa

可得

1-2sin2a2—sina

7T

又a￡(0,/),貝Ucosa〉0,

BP2sina(2一sina)=1—2sin2a,

解得sin"；,

貝Icosa=Vl-sin2a=

4

sinczy/15

故tana-

cosa15

故答案為：叵

15

(a+S)=；,tanatan/7=2,貝|cos(a—￡)=()

【變式5-2】.已知cos

11

AB.C.—D

-41212-1

【答案】A

【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關系求出cosacos/7、sinasin分，再由兩角差的余

弦公式計算可得.

【解析】因為cos(?+/?)=cosacos￡-sinasin￡=；,

sinasin4=一;

sinasin/3

tanatan(3-=2,解得

cosacosf3cosacosj3=-：

3

所以cos(a一夕)=cosacos尸+sinasin夕=一

4

故選：A

2

【變式5-3].函數(shù)y=3sin2x+2gs:inxcosx+cosx,xG0,^的值域為.

【答案】[t4]

【分析】由三角恒等變換得/(x)=2sin(2x-Wj+2,再整體代換求解值域即可.

l-cos2xr-.31+cos2x

【解析】y=3sin2x+2V3sinxcosx+cos2x=3-------------+v3sin2xd-------------

22

=V3sin2x-cos2x+2=2sin[2x一弓)+2,

TTLL兀717C5兀

因為xe0,-'所以2工一k€一］不

6

1兀

所以sin12x-《卜--,1,所以2sin12x-《+2e[l,4],

26

所以函數(shù)V=3sin2x+2V3sinxcosx+cos2x,xe0,—的值域為［1,4］.

2

故答案為：［1,4］

題型06三角函數(shù)的有關概念

【典例6-1】.函數(shù)y=tan12x+gj的最小正周期為.

【答案】■IT兀1

【分析】根據(jù)條件，利用三角函數(shù)的周期公式，即可求出結果.

【解析】J=tanf2x+^,所以函數(shù)的周期7二5，

故答案為：—.

【典例6-2］.函數(shù)V=2sin+1的單調(diào)遞增區(qū)間是

【答案】[2^7t-y,2^+|],(^eZ)

［分析］利用整體代入法求得>=2sin［x+弓J+1的單調(diào)遞增區(qū)間.

【解析】函數(shù)了=sinx的單調(diào)區(qū)間為［2E-］,2也+/,(左eZ)

71

由2kli—-x+—<2kn+—,{kGZ)

62

解得2E—亨(左EZ)

所以函數(shù)7=25畝"胃+1的單調(diào)遞增區(qū)間是［2E-等,2加+f,住eZ)

【變式6-11.已知函數(shù)/(x)=cos(ox+9)10>O,|d<3的部分圖象如圖所示，則/(x)

【分析】根據(jù)圖象得到函數(shù)周期，進而得到。的值，再結合特殊點函數(shù)值求得答案.

【解析】由題意得，函數(shù)周期為T=4x[1-]]=7i,所以0=/=2,

所以/⑴=cos(2x+9),由/=COS[己+0j=1,

得殳+夕=24兀(左￡Z),BP^7=2kji--(keZ),

66

又因為ld<g，所以夕=-g所以〃x)=cosf

2o

故答案為：cos^2x-^j

【變式6?2].函數(shù)/(x)=sin(0x+e)3〉O,O<e<ii),設T為/(x)的最小正周期，若/[；)=￥，則

0=.

IT1

【答案】a

44

2兀

【分析】由7=」，代入函數(shù)解析式中，結合0<。<兀，可得。的值.

CD

27r

【解析】函數(shù)/(x)=sin(0x+9)(0>O,O<°<7t),最小正周期T=—,

CD

又0<。<兀，可得。=:.

77

故答案為：—.

4

【變式6?3】.函數(shù)y=2cos2%+百sin2x的值域為

【答案】[T3]

TT

【分析】化簡函數(shù)的解析式為y=2sin(2x+m)+l,結合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

6

【解析】由函數(shù)I=2cos2x+A/3sin2x=^2cos2x-1^+VJsin2x+1=cos2x+V3sin2x+1=2sin(2x+^)+1,

因為sin(2x+殳)G[-1,1],所以2sin(2x+&)+1G[-1,3],

66

所以函數(shù)的值域為[-M].

故答案為：[-1,3].

題型07三角函數(shù)圖像的變換

【典例7-1].把關于X的函數(shù)v=sina+e),04e<2兀的圖像向左平移可得函數(shù)〉=sinx的圖像，則夕

的值為.

■公田.4%4

【答案】—

【分析】利用y=/sin(ox+。的圖象變換規(guī)律，結合誘導公式即可得解.

【解析】把函數(shù)y=sin(x+。)的圖象向左平移等，得函數(shù)y=sin[x+g+〃=sinx的圖象，

2兀27r

貝！J—+8=2EKwZ,即。=——+2E,左sZ,

33

47r

因為0?夕<2兀，所以——.

3

471

故答案為：—.

【典例7-2],函數(shù)/(x)=sin(2x+°)的圖象向左平移方個單位得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)是偶函數(shù),

貝Utan。=.

【答案】一"

3

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移可得g(x)=/1+3=sin(2x+1+夕)，進而根據(jù)偶函數(shù)即可求解

JT

0=-：+而，左￡Z,進而可求解.

6

【解析】g(x)=/]x+|■卜sin(2x+g+e),

JJT'TV-TT

由于g(x)是偶函數(shù)，所以二-+。=彳+E,后eZ,故0=-：+配左eZ,

326

匚G、I/兀71/兀、A/3

/yfL>\tancp—tanI——+kuI=tanI——I——~~,

故答案為：-且

3

【變式7-1】.將函數(shù)N=sin2x的圖像向左平行移動￡TT個單位長度，再將得到的圖像上各點的橫坐標縮小

6

到原來的g（縱坐標不變），得到的函數(shù)圖像的解析式是

【答案】尸5畝（4了+3

【分析】利用平移和伸縮變換得出答案：向左平移。個單位，即將x換成x+a；橫坐標變?yōu)樵瓉淼纳媳叮?/p>

m

即將X換成加X.

【解析】把函數(shù)V=sin2x的圖像上所有的點向左平行移動JJT個單位長度，

6

得至1」了=$也2（y+.）=5出（2》+；]的圖象，

再把所得圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的|■倍（縱坐標不變），

得到y(tǒng)=sin[4x+g）的圖象.

故答案為：y=sin（4x+（：

【變式7-2】.若將函數(shù)了=12心工+￡|（0>0）的圖像向右平移7個單位長度后，與函數(shù)y=tan（ox+￡]

的圖像重合，則。的最小值為.

【答案】|

【分析】根據(jù)圖象的平移求出平移后的函數(shù)解析式，與函數(shù)y=tan[ox+器）的圖象重合，比較系數(shù)，求出

0=6左+；（左eZ）,然后求出。的最小值.

【解析】解：y=tan[0x+(J(0>O),向右平移7個單位可得:

y=tan|^o^x-^+^=tan^Wx+^

7171771

---a)+k7r=—

~466

co—6k+—(kwZ),

又。>0,

1

?"min=~?

故答案為：y.

【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象的平移，待定系數(shù)法的應用，考查計算能力，是基礎題.

【變式7-3].已知〃x)=sin(ox+T(o>0),函數(shù)y=〃x),xeR的最小正周期為兀，將y=的圖

像向左平移。個單位長度，所得圖像關于了軸對稱，則。的值是.

【答案】飛JT兀1

【分析】由周期求出0,即可求出/(X)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到平移后的解析式，最后

根據(jù)對稱性得到。的值.

【解析】???〃x)=sin,x+T(o>0),函數(shù)了=/(x)的最小正周期為7=?=兀，；.o=2,

/(x)=sin^2x+^.

將1〃x)的圖像向左平移。個單位長度，可得片sin(2x+20+：]的圖像，

JTJT“777T

根據(jù)所得圖像關于了軸對稱，可得2e+；=fai+g,keZ,解得0=?+g,keZ,

4228

又0<。</貝U令左=0,可得夕的值為

2o

故答案為：

題型08三角函數(shù)的求參問題

【典例8-1].若函數(shù)V=tan3x在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)加的取值范圍為

兀兀

【答案】

6,6

【分析】解出正切型函數(shù)單調(diào)區(qū)間，則得到〃，的范圍.

【解析】令阮一色<3x<ht+工，keZ,MM---<x<—+-,keZ,

223636

令k=Q,則其一個單調(diào)增區(qū)間為則實數(shù)小的取值范圍為卜

66L66；

故答案為：-/2].

【典例8-2】.函數(shù)〃x)=2sin[ox(。>0)在04上存在最小值-2,則實數(shù)。的最小值是.

【答案】5

7T

【分析】先由龍的范圍求得。工-m的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得到關于。的不等式，解之即可得解.

0

【斛析】因為。,7'所以0%一工￡，

_3J6|_636_

因為函數(shù)/5）=25“妙-。（0>0）在區(qū)間0,y上存在最小值-2,

7T7T3兀

所以［。一丁2與，解得。25,

362

所以實數(shù)。的最小值是5.

故答案為：5.

TT冗

【變式8-1］.已知函數(shù)了=5皿2工-7）-加在［0,彳］上有兩個零點，則加的取值范圍為____.

62

【答案】［1.1）

TT

【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)》=4!1（2龍-工）-加的單調(diào)性，結合函數(shù)值情況列出不等式求解即得.

O

【解析】當xe［O,勺時，t=

2666_

Ic?！肛Ｘ「八兀r

由2x--G［--,—］,每XG［0,—］;

O025

,_7L7T5jt/口r兀兀r

由2%—工r￡曰二?

ozo32

因此函數(shù)歹=sin￡一加，

在［J,勺上單調(diào)遞增，函數(shù)值從-=-%增大到1-%,

622

在《IT，夕TT上單調(diào)遞減，函數(shù)值從1-加減小到，1加，

11

且n--m>--------m,

22

\-m>0

ITTT1

由函數(shù)V=sin（2x-：）-加在［0,彳］上有兩個零點，得11,解得彳工加<1,

12

所以〃？的取值范圍為4』）.

故答案為：g,l）

【變式8-2】.關于x的不等式sinx“os2x+a對任意xeR恒成立，則實數(shù)。的最大值為.

【答案】-衿1.25

【分析】令"sinx/e[-1,1],將不等式轉化成關于f的一元二次不等式，根據(jù)一元二次函數(shù)性質(zhì)即可求出

結果.

【解析】因為sinx2cos2x+a,

所以sinx21—sin2x+。，即sin2x+sinx-1>tz,

令,=sinx,tt2+t-l>a

令/（%）=『+/T,，要使不等式sii？x+sinx-l*對于任意XER恒成立，

只需滿足Q"（%n，

函數(shù)/⑺在T，-；上單調(diào)遞減，在-g,l上單調(diào)遞增，

所以/=-；時，即sinx=-：,得x=?+（2左+1）肛左e2或》=彳+（2左+1）匹左eZ,有最小值，

=得a—；,所以實數(shù)0的最大值為福

故答案為：-。.

4

【變式8-31.設函數(shù)〉=sins（o>0）在區(qū)間（0,2兀）上恰有三個極值點，則0的取值范圍為.

【答案】0；

【分析】由X的取值范圍得到0X的取值范圍，再結合正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.

【解析】由已知xe（o,2兀）,0>0得。xe（O,207t）.

要使函數(shù)了=sinox?>0）在區(qū)間（0,271）上恰有三個極值點，

57r7

由〉=sinx,xw（0,4兀）圖象可得一<2^7i<一,

22

題型09解三角形

【典例9-1].在△NBC中，若AB=5,BC=?CA=4,則//=.

【答案】I

【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理求解即得.

【解析】在△的中，由余弦定理得3/=嗎總產(chǎn)=胃療］

7T

而0</<兀，所以』=§.

TT

故答案為：—

【典例9-2】,在△45。中，已知BC=5,40=4,4=23,則cosB的值為

【答案】f/0.625

O

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得.

【解析】在△NBC中，由正弦定理得型7=1,而8c=5,/C=4,4=28,

smAsmB

54545

因此^———，即一^----=」一，所以cos5=。

sin25sin52sinBcosBsin58

故答案為：

o

【變式9-11.在△/5C中，角4式。對應邊為4,Cc,其中6=4.若Z+C=120。,=2c,則c邊長為

【答案】巫/熊

33

【分析】利用正弦定理以及三角恒等變換的知識求得J

【解析】依題意，a=2c,

由正弦定理得sinN=2sinC,即sin(120°-C)=2sinC,

A/3?1.「,「—退

—cosCH—sinC=2smC,tanC=—,

223

由于0°<C<120°,所以。=30。,則于=90。,3=60°,

Z?sinC4xj_4V3

由正弦定理得$b

sinCsin5sin563

故答案為：手

【變式9-2】.△Z5C中，sinA:sinB:sinC=1:VI:V3,則cosZ+cos5+cosC=

【答案］G+、

【分析】利用正弦定理角化邊，再結合勾股定理即可求得答案.

【解析】因為51114：5苗5：$出。=1：亞：百，所以Q:b：C=1:血：百，

設4=左（左＞0）,則6=岳,0=限，

又/+/=3左2=02,所以該三角形為直角三角形，

所以cosA=,cosB=,cosC=0,

限3限3

所以cosA+cosB+cosC="十四,

3

故答案為：二十二.

3

【變式9-3】?在△4SC中，已知角43。所對的邊分別為Ac,若VJasinS+csinC=〃sin/l+加infi,則

C=.

【答案】7

6

【分析】根據(jù)正余弦定理邊角互化即可求解.

【解析】由\/3asinB+csinC=asirU+加in5可得y[3ab+c2=a2+b2

進而可得/+〃—/=百/，

所以cosC=/±I=?=立，

lablab2

由于Ce（O,兀），故C=9，

6

故答案為：—

6

題型10解三角形一面積問題、解的個數(shù)等問題

【典例10-1】.在△/8C中，已知NNC3=12（r,/8=2V7,^BC=2AC,則ZUBC的面積為.

【答案】2g

【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理求出NC,再利用三角形面積公式計算即得.

【解析】在△4BC