高考備考資料之數(shù)學人教A版全國用課件第六章高考專題突破三

高考中的數(shù)列問題高考專題突破三考點自測課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引考點自測12345解析答案1.(2017·洛陽模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差和首項都不等于0，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，則

等于A.2B.3C.5D.7√12345∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，∴d2＝a1d，1245解析3答案√12453解析設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.∴an＝a1＋(n－1)d＝n.12453解析3.若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于A.6B.7C.8D.9答案√12453解析由題意知a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2這三個數(shù)的6種排序中，成等差數(shù)列的情況有：a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比數(shù)列的情況有：a，－2，b；b，－2，a.∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故選D.解析答案12453√12453解析{an}是等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，解析12453答案412453∴an＝－2an－1，又a1＝－1，12453∴{an}是以－1為首項，以－2為公比的等比數(shù)列，∴an＝－(－2)n－1，由1<Sk<9，得4<(－2)k<28，又k∈N*，∴k＝4.題型分類深度剖析例1

(2016·四川)已知數(shù)列{an}的首項為1，Sn為數(shù)列{an}的前n

項和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若a2，a3，a2＋a3成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式；題型一等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題解答解

由已知，Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，兩式相減得an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1，故an＋1＝qan對所有n≥1都成立.所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列，從而an＝qn－1.由a2，a3，a2＋a3成等差數(shù)列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2.所以an＝2n－1(n∈N*).解答解由(1)可知，an＝qn－1，＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標，為最終解決問題設(shè)置中間問題，例如求和需要先求出通項、求通項需要先求出首項和公差(公比)等，確定解題的順序.(2)注意細節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等，這些細節(jié)對解題的影響也是巨大的.思維升華解答跟蹤訓練1

(2018·滄州模擬)已知首項為

的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，解答當n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，當n為偶數(shù)時，Sn隨n的增大而增大，題型二數(shù)列的通項與求和例2

(2018·邢臺模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解答由題意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.解答當n為偶數(shù)時，(1)一般求數(shù)列的通項往往要構(gòu)造數(shù)列，此時從要證的結(jié)論出發(fā)，這是很重要的解題信息.(2)根據(jù)數(shù)列的特點選擇合適的求和方法，常用的求和方法有錯位相減法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項相消法等.思維升華證明(2)求數(shù)列{an}的通項公式與前n項和Sn.解答題型三數(shù)列與其他知識的交匯命題點1數(shù)列與函數(shù)的交匯例3

(2018·長春模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(an，bn)在函數(shù)f(x)＝2x的圖象上(n∈N*).(1)若a1＝－2，點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項和Sn；解答解答解

f′(x)＝2xln2，f′(a2)＝

，故函數(shù)f(x)＝2x在(a2，b2)處的切線方程為y－

＝(x－a2)，解得a2＝2，所以d＝a2－a1＝1.命題點2數(shù)列與不等式的交匯例4

(2016·天津)已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中項.證明因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，所以{cn}是等差數(shù)列.證明命題點3數(shù)列應用題例5某企業(yè)為了進行技術(shù)改造，設(shè)計了兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元.兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息.若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復利計算，試比較兩種方案中哪種獲利更多？(參考數(shù)據(jù)：取1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665)解答解

甲方案中，每年所獲利潤組成等比數(shù)列，首項為1，公比為(1＋30%)，所以10年所獲得的總利潤為S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9貸款到期時，需要償還銀行的本息是10(1＋5%)10≈16.29(萬元)，故使用甲方案所獲純利潤為42.62－16.29＝26.33(萬元).乙方案中，每年的利潤組成等差數(shù)列，首項為1，公差為0.5，所以10年所獲得的總利潤為T10＝1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)故使用乙方案所獲純利潤為32.5－13.21＝19.29(萬元).綜上可知，甲方案獲利更多.故貸款到期時，需要償還銀行的本息是1×[(1＋5%)10＋(1＋5%)9＋…＋(1＋5%)]數(shù)列與其他知識交匯問題的常見類型及解題策略(1)數(shù)列與函數(shù)的交匯問題①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，掌握遞推數(shù)列的常見解法.思維升華(2)數(shù)列與不等式的交匯問題①函數(shù)方法：即構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實數(shù)的不等式，通過對關(guān)于正實數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式；②放縮方法：數(shù)列中不等式可以通過對中間過程或者最后的結(jié)果放縮得到；③比較方法：作差或者作商比較.(3)數(shù)列應用題①根據(jù)題意，確定數(shù)列模型；②準確求解模型；③問題作答，不要忽視問題的實際意義.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解答解

f′(x)＝2ax＋b，由題意知b＝2n，16n2a－4nb＝0，又f′(x)＝x＋2n，當n＝1時，a1＝4也符合，解答∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn課時作業(yè)基礎(chǔ)保分練123456解答(1)求a4的值；解

當n＝2時，4S4＋5S2＝8S3＋S1，證明123456證明因為4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)，當n＝1時，4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，所以n＝1也滿足此式，所以4an＋2＋an＝4an＋1(n∈N*)，123456123456解答(3)求數(shù)列{an}的通項公式.123456123456123456解答1234562.(2017·福建漳州八校聯(lián)考)已知遞增的等比數(shù)列{an}滿足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中項.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；123456∵{an}是遞增數(shù)列，∴a1＝2，q＝2，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2·2n－1＝2n.解答123456123456∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)，

①則2Sn＝－(1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1)，

②②－①，得Sn＝(2＋22＋…＋2n)－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，則Sn＋n·2n＋1＝2n＋1－2，解2n＋1－2>62，得n>5，∴n的最小值為6.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；解答123456123456∴an＋1＝an＋1，∴數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列.∵a1＝1，∴an＝1＋(n－1)×1＝n，∵Sn＝2－bn，∴Sn＋1＝2－bn＋1，由S1＝2－b1，即b1＝2－b1，得b1＝1.解答1234564.(2018·佛山模擬)在等比數(shù)列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3與a5的等比中項為2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解答123456123456解

∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又an>0，∴a3＋a5＝5，又a3與a5的等比中項為2，∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1，解答(2)設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；123456解∵bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，b1＝log2a1＝log216＝log224＝4，∴{bn}是以b1＝4為首項，－1為公差的等差數(shù)列，解答123456123456技能提升練1234565.(2017·天津濱海新區(qū)八校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}，{bn}，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，a2＝4b1，Sn＝2an－2，nbn＋1－(n＋1)bn＝n2＋n(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解答123456當n＝1時，S1＝2a1－2，得a1＝2，綜上，{an}是公比為2，首項為2的等比數(shù)列，an