2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)綜合測(cè)試卷（新高考專用）（解析版）

第三章導(dǎo)數(shù)綜合測(cè)試卷

（新高考專用）

（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)

在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.（5分）（2024?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=—12+限，貝Him”岑^的值為（）

1

A.eB.-2C.--D.0

【解題思路】求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的定義知求r（1）即可得解.

【解答過(guò)程】因?yàn)?'（%）=—X+3

所以尸（1）=-1+1=0,

所以同"1+々一/⑴=0.

-△久

故選：D.

2.（5分）（2024?廣東肇慶?一模）曲線y=%（%2—i）在％=1處的切線方程為（）

A.x=1B.y=1

C.y=2%+1D.y=2x—2

【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，再代入直線的點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn)即可

【解答過(guò)程】令f（x）=x（x2-l）,則尸（x）=3x2-l,即/⑴=2,/（1）=0,

所以曲線y=龍（/-l）在％=1處的切線方程為y-0=2（%-1）,即y=2x-2,

故選：D.

3.（5分）（2024?四川瀘州?一模）已知函數(shù)/（x）=x（x-a）2在乂=1處取得極大值，貝ija的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)，再由所得參數(shù)驗(yàn)證在％=1處是否取得極大值，即可得答案.

【解答過(guò)程】由題設(shè)((%)=3久2一4。%+。2,則r(i)=3-4a+=0,可得。=1或。=3,

當(dāng)。=1時(shí)/'(%)=3x2—4%+1=(3x—l)(x—1),

當(dāng)》<《或久>1時(shí)—(%)>0,則/(%)在(一8、)和(L+8)上遞增,

當(dāng)!<%<1時(shí)廣(X)<0,則/(x)在&1)上遞減，

此時(shí)在久=1處取得極小值，不符；

當(dāng)a=3時(shí)1(x)=3x2—12%+9=3(x—1)(%—3),

當(dāng)％<1或x>3時(shí)尸(x)>0,則/'(%)在(-8,1)和(3,+8)上遞增,

當(dāng)1<x<3時(shí)［(久)<0,則/(x)在(1,3)上遞減，

此時(shí)在x=l處取得極大值，符合；

綜上，a=3.

故選：C.

4.(5分)(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(2x-l)+3,廣(久-2)都是奇函數(shù)，且

力2025

廣(1)=一2/(—1),則々仁/㈤二()

A.6B.-9C.3D.-12

【解題思路】利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到f(2x-l)+3=-/(-2x-l)-3,然后通過(guò)求導(dǎo)得到廣(2K-1)=(

(―2x—1),再結(jié)合/(X—2)為奇函數(shù)得到r(x)的周期，根據(jù)/(2x—1)+3為奇函數(shù)和((1)=—2/(—1)得到廣⑴,

最后利用周期性計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】由/(2x—1)+3為奇函數(shù)可得/(2尤—1)+3=-/(-2x-l)-3,

兩邊分別求導(dǎo)可得2「(2x—1)=21(—2x—1),

即廣(2久-1)=尸(-2%—1),故廣(%-1)=((一刀一1),所以f(x—2)=f(t),

又/''(X—2)為奇函數(shù)，所以尸(x—2)=一尸(—x—2),可得x)=—x—2),

故r(久+2)=一/0),從而r0+4)=/口)，

故4是廣(%)的一個(gè)周期，

在r(x+2)=—r(x)中，分別令％=i和2可得：r(3)=-r(i),尸(4)=一「⑵,

所以((1)+f(2)+f(3)+/(4)=0.

由/(2x—1)+3為奇函數(shù)可得/(—1)+3=0,

2025

廣(￡)=506x0+r⑴=6.

Zk=l

故選：A.

1Q1

5.(5分)(2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))已知a=si吃力=1咆J=3-5,貝！J()

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.b<a<c

【解題思路】先構(gòu)造函數(shù)=sinx,xe[o,l),再應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性得出Singv?,再根據(jù)(|?<e<(|丫,

取對(duì)數(shù)判斷得出[<尾<1,最后比較可得選項(xiàng)；

【解答過(guò)程】^/(x)=x-sinx,xG[0,1),則((x)=l-cosx20,所以/'(%)在[0,1)上單調(diào)遞增，

所以/'(9>/(0)=0,BP-sin1>0,所以a=sing<提

因?yàn)?|)2<e<(|)1所以21nl<l<31n|,即*6=ln|<?；

又c=3*1>4-51=a1所以a<b<c.

故選：C.

6.(5分)(2024?吉林長(zhǎng)春?一模)已知定義在(0,+8)上的函數(shù)人尤),廣(久)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，滿足%廣

(%)-2/(%)<0,且/(2)=4,則不等式/(2，)一#>。的解集是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,+oo)D.(-oo,l)

【解題思路】構(gòu)造函數(shù)9(%)=等，由導(dǎo)數(shù)確定g(x)單調(diào)性，將已知不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于g(x)不等式，然后利

用單調(diào)性即可求解.

【解答過(guò)程】設(shè)9。)=等，則9'0)=立窄曲，

因?yàn)閤>0,xf'(x)-2f[x}<0,所以g(x)<0,可得g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

不等式八2與>4”即竿>1=竽，即緇〉第，所以g(2x)>g(2),

因?yàn)間(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以2工<2,解得：X<1,

所以不等式的解集為：(-8,1),

故選：D.

7.(5分)(2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè))己知a€N*,函數(shù)f(x)=e3,一久。>0恒成立，貝必的最大值為()

A.2B.3C.6D.7

【解題思路】由題意函數(shù)f(x)=e3x-乂。>0恒成立，可得到a為正奇數(shù)，討論x的范圍，參變分離轉(zhuǎn)化成恒

成立問(wèn)題，定義新函數(shù)求導(dǎo)求最小值，從而得到a的最大值.

【解答過(guò)程】當(dāng)a為正偶數(shù)時(shí)，當(dāng)％=—2時(shí)，/(-2)=e6-(-2)a<0,不合題意，所以a為正奇數(shù)，

則當(dāng)久<0時(shí)，xa<0<e3x恒成立，只需研究x>0時(shí)，e3*—%。>0恒成立即可，

當(dāng)x=l時(shí)，e3-l>0成立，則當(dāng)xe(0,l)時(shí)，a>蚤，因?yàn)榇藭r(shí)怒<0,所以恒成立.

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，a<貳恒成乂，

設(shè)g(x)=蚤，KG(1，+8),則夕(x)=喘聲，

令,(%)=0,得尤=6,

當(dāng)Xe(l,e)時(shí),g'(x)<0,g(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)％e(e,+8)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)min=g(e)=3e28.2,又因?yàn)閍為正奇數(shù)，

所以a的最大值為7.

故選：D.

8.(5分)(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(X)=3若函數(shù)g(x)=[fCOF+a/(x)-e2-ae恰有5個(gè)不

同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-co,-2e)B.(-00,-e)C.(-8,-3D.

【解題思路】根據(jù)函數(shù)定義域，將函數(shù)分類(lèi)討論，借助于求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，判斷極值點(diǎn)和圖象趨勢(shì)，

作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，將函數(shù)g(x)分解因式，根據(jù)零點(diǎn)定義，結(jié)合圖象，確定/(x)=e有兩個(gè)根，轉(zhuǎn)化為

f(>)=-e-a有3個(gè)零點(diǎn)，由圖即得參數(shù)范圍.

【解答過(guò)程】函數(shù)/(%)=卷的定義域?yàn)閧小豐0},

若x>0時(shí)，由/'(x)=亍求導(dǎo)得,f1(x)=。,

故當(dāng)0<x<l時(shí)，/(久)<0,當(dāng)x>l時(shí)，尸(x)>0,

所以fO)=：在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增,且/(%)極小值=f(l)=e,

當(dāng)Xj0+時(shí)，/(x)7+oo,當(dāng)XT+8時(shí)，/(x)^+00;

若X<0時(shí)，由/'(久)=一^求導(dǎo)得，「(X)=°,

因％<0,故恒有r(x)>0,即/(X)-一三在(-8,0)上單調(diào)遞增，

且當(dāng)工——8時(shí)，y(x)to+,當(dāng)x7o-時(shí)，/(%)^+oo,即x<o時(shí)，恒有y(x)>o.

又由g(x)=[/(x)]2+a/(x)-e2-ae=[/(x)-e][f(%)+e+a]=0可得/'(%)=e或/'(%)=-e-a,

由圖知f(x)=e有兩個(gè)根，此時(shí)g(x)有2個(gè)零點(diǎn)；

要使函數(shù)9(%)=[/(x)]2+af(x)-e2-ae恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，

需使/'(%)=—e-a有3個(gè)零點(diǎn)，由圖知，需使/'(x)>e,即-e-a>e,解得a<-2e.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,-2e).

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.(6分)(2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè))設(shè)/(久)是定義在五上的函數(shù)/(久)的導(dǎo)函數(shù)，若f(x+2)=2-f

(2-x),且r(x+1)為奇函數(shù)，則()

A./(2)=1B./(x)為奇函數(shù)

%160

C.r(無(wú))為周期函數(shù)D.〉/(/c)=60

【解題思路】對(duì)A：結(jié)合/(x+2)=2-/(2—x),賦值X=O代入計(jì)算即可得；對(duì)B：由r(x+l)為奇函數(shù)可

得/■(久+1)為偶函數(shù)，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合A中所得可得/(x)+f(-無(wú))=2；對(duì)C：由B中所得f(x)+/

(2+x)=2,即可得/(x)=f(4+x),對(duì)其左右求導(dǎo)后結(jié)合周期性即可得；對(duì)D：由C中所得可得/(X)的周

期，結(jié)合賦值法計(jì)算出一個(gè)周期內(nèi)的和即可得.

【解答過(guò)程】對(duì)A：由/(x+2)=2-f(2—x),/(x+2)+/(-%+2)=2,

令x=0,解得/(2)=1,故A正確；

對(duì)B：由廣(x+1)為奇函數(shù)可得，貝獷(x+1)為偶函數(shù)，

所以/'(1+*)=/(1-久)，所以/(x)=/(2—t),

又/'(2-x)+/(2+x)=2,所以/'(x)+/(2+x)=2,

X/(-x)=/(2+x),所以/'(%)+/(-盼=2,故B錯(cuò)誤;

對(duì)C：由/(久)+/(2+尤)=2可得，/(x+2)+/(4+x)=2,

所以/(%)=y(4+%),求導(dǎo)可得，r(x)=r(4+%),

故((無(wú))的一個(gè)周期為4,故C正確；

對(duì)D：由f(x)=/(4+x),故/(X)的一個(gè)周期為4,

因?yàn)閒(2-x)+f(2+x)=2,令x=l可得，f(l)+f(3)=2,

令x=2可得，/(2)+f(4)=2,所以f(l)+f(2)+/(3)+f(4)=4,

60

=4X15=60,故D正確.

Zk=l

故選：ACD.

10.(6分)(2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=|%-2四—a,則()

A.〃>)在(1,2)上單調(diào)遞增B.久=1是函數(shù)/(%)的極大值點(diǎn)

C.f(x)既無(wú)最大值，也無(wú)最小值D.當(dāng)a6(1,2)時(shí)，f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

【解題思路】先將/(%)用分段函數(shù)表示出來(lái)，再根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值點(diǎn)、最值及零

點(diǎn)即可.

【解答過(guò)程】由題意得外嗎=lx-2lex-a={$二二:；11，

所以「(功={器器：晨］

對(duì)于A,當(dāng)xe(1,2)時(shí)，/'(%)=(l-x)ez<0,

所以八支)在(1,2)上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)x6(-8,1)時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)x6(1,2)時(shí)，/,(%)<0,當(dāng)x6(2,+8)時(shí)，f'(x)>0,

所以人尤)在(—8,1)單調(diào)遞增，在(1,2)單調(diào)遞減，在［2,+8)單調(diào)遞增，

所以x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)x->—8時(shí)，/(%)=\x-2\ex—a>-a,當(dāng)xt+8時(shí)，/(%)—+8,

又/'(1)=e-a>/(2)=-a,

f(%)的大致圖象如圖所示，

/(X)的值域?yàn)椋垡?+8),

所以f(x)有最小值，無(wú)最大值，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)x22時(shí)，/(x)在［2,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)閍6(1,2),

所以f(2)=—a<0/(3)=e3-a>0,

所以/'(x)在［2,+oo)上有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)*<2時(shí)，/(%)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，

x

又/'(1)=e-a>0,當(dāng)XT-8時(shí)，/(%)=\x-2\e-a>-aE(-2.-1),/(2)=-a<0.

結(jié)合/Xx)的大致圖象(如上圖)，

/(%)在(—8,1)有一個(gè)零點(diǎn)，在(1,2)上有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上，當(dāng)ae(1,2)時(shí)，/O)有三個(gè)零點(diǎn)，故D正確.

故選：BD.

11.(6分)(2024?云南大理?一模)己知函數(shù)/(久)=xe，-a,則下列說(shuō)法正確的是()

-1

A./(%)有最大值一%—a

B.當(dāng)a=l時(shí)，f(久)的圖象在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程是)/=久一1

C.f(x)在區(qū)間［一2,0］上單調(diào)遞減

D.關(guān)于x的方程/(久)=0有兩個(gè)不等實(shí)根，貝心的取值范圍是(-《0)

【解題思路】A選項(xiàng)，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出最值；B選項(xiàng)，求出尸(0)=1/(0)=-1,利用導(dǎo)

數(shù)的幾何意義得到切線方程；

C選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，得到函數(shù)單調(diào)性；D選項(xiàng)，xex-a=0<^%ex=a,令g(%)=%e"求導(dǎo)得到其單

調(diào)性和最值，

結(jié)合函數(shù)圖象，得到a的取值范圍是0).

【解答過(guò)程】因?yàn)閒'(x)=e\x+1),

選項(xiàng)A,當(dāng)久<一1時(shí)，尸(x)<0,當(dāng)x>-l時(shí)，f(%)>0.

所以在區(qū)間上/(尤)單調(diào)遞減，在區(qū)間(-1,+8)上f(x)單調(diào)遞增，

所以/'(乂)有最小值/(-1)=-a,無(wú)最大值，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,當(dāng)a=l時(shí)，f(0)=V(0)=-l，

所以f(x)的圖象在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程是y=X-1,故B正確；

選項(xiàng)C,因?yàn)樵趨^(qū)間(-8,-1)上/(%)單調(diào)遞減，在區(qū)間(-1,+8)上/(%)單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,方程/(%)=0,BPxex-a=00%e久—CL,

令9(%)=撫久，而。(%)=ex+xex=ex(x+1),

當(dāng)％v-l時(shí)，g3<0,當(dāng)%>一1時(shí)，g\x)>0.

所以在區(qū)間(一8,-1)上g(%)單調(diào)遞減，在區(qū)間(一1,+8)上g(%)單調(diào)遞增,

當(dāng)％V0時(shí)g(%)V0,且g(0)=0,如圖,

。的范圍是(一(0),故D正確.

故選：BD.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(2024?廣東河源?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=e'-ln%+(1-TH)%-Imn的最小值為0,則m=

_e_.

【解題思路】根據(jù)給定的條件，利用同構(gòu)變形并構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最小值.

【解答過(guò)程】依題意，e%-ln%+之0對(duì)于久>0恒成立，且能取得等號(hào)，

即+%>ln(mx)+mx=ln(mx)+0皿小無(wú))對(duì)于久>0恒成立，且能取得等號(hào)，

函數(shù)9(%)=e*+%在(0,+8)上單調(diào)遞增，不等式為g(%)>g[ln(zn%)],

則%>ln(mx),即e*>mx,因此m<?在(。,+8)上恒成立，且能取得等號(hào)，

設(shè)九(%)=/(%>0)，于是血是函數(shù)%(%)在(0,+8)上的最小值，

求導(dǎo)得"(x)=g薩，當(dāng)xe(0,1)時(shí)，h|(x)<0,當(dāng)xe(i,+8)時(shí)，〃Q)>0,

函數(shù)僅X)在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增,且九(工)min=八(1)=e,

所以7n=e.

故答案為：e.

13.(5分)(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))若直線y=/c%(k為常數(shù))與曲線/(%)=ln%,曲線g(%)=ae%均相切,

則a=_

【解題思路】設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，根據(jù)兩直線相等，列方程可得xi=e,k=(進(jìn)

-1

而代入在直線y=求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)?'(%)=lnx,xe(0,+8),所以r(x)=g

11

設(shè)直線y=依與/(X)=In*的切點(diǎn)為(Xi,lnxi),則切線方程為y-lmq=云(工一工1),即丫=三比+Imq-1,

又因?yàn)閥=for,所以［五一'解得xi=e,k=，，所以切線方程為y=?,

(In%1—1=0,ee

因?yàn)間(x)=aex,所以g，(x)=(ae*y=ae",

設(shè)直線y=%與g(x)=ae*的切點(diǎn)為(xo，ae，。)，所以g'(x())=ae*。=：①，

又因?yàn)榍悬c(diǎn)Oo,ae*。)在直線y=1x上，所以ae*。=%()②，

由①和②可得%o=l,所以ae=：,解得a=5

故答案為：去.

1

14.(5分)(2024?陜西商洛?一模)已知函數(shù)f(久)=ln久-ae。。若對(duì)任意的xN(x)W0成立，則正數(shù)a

的取值范圍是土出)一

【解題思路】將/'(%)W0構(gòu)造成xlnxWeaxine%運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究g(x)=xlnx單調(diào)性進(jìn)而轉(zhuǎn)化為a2當(dāng)(x>^)

恒成立，令h(x)=等，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可求得入。)的最大值即可.

【解答過(guò)程】由/(x)W0,BPlnx-aeaz<0,得InxWae%

因?yàn)閤N工，所以xlnx<axeax-eax\neax.

e

設(shè)g(%)=xlnx,則g，(%)=Inx+1.

因?yàn)榫??,所以g，(x)20,所以g(x)在&+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)镵lnx4eaxine。*,所以g(x)W。作磔)，所以xWe。*,所以InxWax,所以aN笥.

設(shè)八(x)=野，則〃(x)=等.

由"(%)VO,得％,e,則九(%)在(e,+8)上單調(diào)遞減；

由"(久)<0,得0V4Ve,則人(%)在(0,e)上單調(diào)遞增.

故九(%)</i(e)=：,即a之；

故答案為：E，+8).

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

15.(13分)(2024?吉林?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(x)=e2，+ex—x.

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程；

(2)當(dāng)xe［-1,0］時(shí)，求函數(shù)/(%)的最大值與最小值.

【解題思路】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)和切線斜率，即可得切線方程；

(2)根據(jù)求導(dǎo)判斷f(x)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析最值.

【解答過(guò)程】(1)因?yàn)?'(X)=e2x+則f'(x)=2e2x+e*-l,

可得/'(0)=2,廣(0)=2,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),切線斜率為k=2,

所以切線方程為y=2x+2.

(2)由(1)可得r(x)=2e2x+ex-l=(e，+l)(2ex-l),

且;貝亞支+1〉0,

令((%)>0,貝U2ex—1>0,解得—ln2<xW0；

令((%)<0，貝U2eX-l<0,解得一lWx<-ln2；

可知/(x)在［―1,—ln2)內(nèi)單調(diào)遞減，在(―ln2,0］內(nèi)單調(diào)遞增，

又因?yàn)橐浴?)=HFNf(0)=2,/(-ln2)=1+ln2,且藝當(dāng)<2,

所以函數(shù)/(%)的最大值為2,最小值9+ln2.

16.(15分)(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(久)=爐+ax(aeR)的一個(gè)極值點(diǎn)為x=1.

(1)求a的值；

⑵若過(guò)點(diǎn)(3,㈤可作曲線y=/(x)的三條不同的切線，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)f'(l)=3+a=0可得a=-3,即可驗(yàn)證求解，

(2)設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式直線方程，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為加=-2端+9就-9有三個(gè)不同的根，構(gòu)造函數(shù)g(x)

=-2x3+9x2-9,利用導(dǎo)數(shù)求解即可.

【解答過(guò)程】(1)尸(x)=3%2+a,由于x=l是極值點(diǎn)，故((1)=3+。=0,故a=-3,

當(dāng)a=-3時(shí)，f'(x)=3x2—3=3(x4-l)(x—1),

當(dāng)x>l或時(shí)，尸(%)>0,當(dāng)一1<X<1時(shí)，f(%)<0,

故x=1是/(%)的一個(gè)極值點(diǎn)，故a=-3

(2)設(shè)切點(diǎn)為(%o，yo),則切點(diǎn)處的切線方程為y=(3xg-3)(x-x0)+就一3配，

將(3,血)代入可得血=(3胞一3)(3-々))+焉一3配，

故7n=-2%o+9就一9,

要使過(guò)點(diǎn)(3,6)可作曲線y=/(%)的三條不同的切線，則血=-2%o+9/-9有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

記g(%)=-2"+9%2-9,則歐%)=-6/+18%=-6x(%-3),

當(dāng)x>3或x<0時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)0<x<3時(shí)，g'(x)>0,

故g(x)在(3,+8),(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,3)上單調(diào)遞增，

且9(0)=—9,9(3)=18,

因此—9<m<18.

17.(15分)(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(久)=-alnx,a6R.

(1)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若/■(>)N0恒成立，求a的值.

【解題思路】⑴先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)((久)；再分aW0和a>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)的方法分別判定

單調(diào)性即可.

(2)由(1)中函數(shù)單調(diào)性，當(dāng)aWO時(shí)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，以及f(1)=0,可判斷當(dāng)尤6(0,1)時(shí)，

不符合題意；當(dāng)a>0時(shí)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，得到/(x)min=a-l-alna,再令g(a)=a-l-alna(a>0),對(duì)

其求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出其最值，即可結(jié)合題中條件求出結(jié)果.

【解答過(guò)程】(1)函數(shù)/'(X)的定義域?yàn)?0,+8),尸(%)=1-2='巴，

當(dāng)aW0時(shí)，r(x)>0恒成立，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)a>0時(shí)，由廣(久)<0,得x6(0,a),由得x€(a,+oo),

則函數(shù)/(久)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，/(久)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知，當(dāng)aWO時(shí)，/'(尤)在(0,+8)上單調(diào)遞增，由/'(1)=0,知當(dāng)x6(0,1)時(shí)，/(x)<0,不符合

題意；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增，

故/'(x)min=/(a)=a-l-alna,

由/(%)>0恒成立，得a-1-alna>。恒成立，令g(a)=a-l-alna(a>0),

求導(dǎo)得g'(a)=-Ina,

當(dāng)0<a<l時(shí)，g\d)>0,當(dāng)a>l時(shí)，g,Qa)<0,

于是函數(shù)g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

所以g(a)max=g⑴=o,故g(a)=a-1-alna<0恒成立,

因此g(a)=0=g(l),所以a=l.

18.(17分)(2024?安徽安慶?三模)已知函數(shù)/(x)=(ln|x|)2—(X+9+2,記尸(%)是fQ)的導(dǎo)函數(shù).

(1)求尸(1)的值；

(2)求函數(shù)久久)的單調(diào)區(qū)間；

(3)證明：當(dāng)時(shí)，(x-1)e~x+xln(^l+!)j>Inx-ln(x+1).

【解題思路】(1)求出當(dāng)x>0時(shí)的/(x)的導(dǎo)函數(shù)尸(x)即可得；

(2)先分類(lèi)討論求出y=ln|x|的導(dǎo)函數(shù)，即可得函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)去研究((久)

的正負(fù)，即可得函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(3)原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明：當(dāng)”>1時(shí)，1^一三>k樂(lè)-3構(gòu)造函數(shù)G(%)=W-三，可得G(x)的導(dǎo)函數(shù)

與f(x)的關(guān)系，即可得其單調(diào)性，即可得證.

【解答過(guò)程】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧XWRI久力0},

當(dāng)％>0時(shí)，/(x)=(lnx)2—(X+3+2,

此時(shí)(0)=等_(1_鄉(xiāng)，所以尸(1)=0.

(2)先求y=ln|%］的導(dǎo)數(shù)，

1

當(dāng)%>0時(shí)，y'=(Ini%!)7=(In%),=

當(dāng)％<0時(shí)，y'=(ln|x|)z=(ln(—x))z=1,

當(dāng)％wo時(shí)，總有y=(in|%|y=g,

所以r(X)=?-(l-9=2岫尸,

令g(x)=21n.|_x+;則,(%)=竽，。(幻=：一1一5=隼k=一三口w0,

所以g(x)在(-8,0),(0,+8)上均單調(diào)遞減，

由(1)尸(1)=0,又尸(—1)=0,也即是g(±1)=0,

所以當(dāng)》<-1時(shí)，g(x)>g(-i)=o，于是/(%)=卓<0,

所以〃X)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)一IV%VO時(shí)，g(%)<g(—i)=o,于是/(%)=竽>0,

所以/(%)在(-1,0)上單調(diào)遞增，

當(dāng)OV%<1時(shí)，g(%)>g(l)=o,于是r(%)=竽>0,

所以/(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)%>1時(shí)，g(%)<g(l)=o,于是r(%)=W^vo，

所以/(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

故/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一1,0)和(0,1),

單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,-1)和(1,+8);

(3)當(dāng)久>1時(shí)，要證(％—1)e—久+%ln(l+§)]>In%?ln(%+1),

只需證彳J+%(%—l)lng^>Inx-ln(x+1),

因?yàn)樗灾恍枳C》(%—l)lng^>In%-ln(x+1),

只需證%(%—+1)-Inx]>In%?In(%+1),

口壬ln(x+l)-lnx1

八lnxln(x+l)>x(x-iy

只需證立-ln(x+l)>二?一?

只需證底一三I>ln(x+l)-x,

令GDu'j------(x>1)，

vJInxx—1

則只需證G(%)>G(%+1)(%>1)(X)

中、1,1(1吟2一生顯

因?yàn)镚Q)=—即+正于=聲而際

(lnx)2—(久+鄉(xiāng)+2/(x)

=~(x-l)2(lnx)2~=(x-1)2(Inx)2

由(2)知，f(X)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x>l時(shí)，/(%)</(1)=0,所以。(久)<0,

所以GQ)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

又1<久<久+1,所以G(x)>G(K+1),即不等式(:※)成立，

故當(dāng)x>1時(shí)，(x-1)e-x+xln(l+1)]>Inx-ln(x+1).

19.(17分)(2024?湖南郴州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(x)=2alnx+#-(a+2)久，其中a為常數(shù).

(1)當(dāng)a>0時(shí)，試討論/(無(wú))的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)打，%2,

(i)求a的取值范圍；

(ii)證明：%i+x2>4.

【解題思路】(1)利用導(dǎo)數(shù)并討論參數(shù)。的范圍研究導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可判斷單調(diào)性；

(2)(