2025年高考數(shù)學一輪復習講義：導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

第二節(jié)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

課標解讀考向預測

1.結合實例，借助幾何直

從近三年的高考情況來看，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題是必考

觀了解函數(shù)的單調(diào)性與

的一個問題，這是因為單調(diào)性是解決后續(xù)問題的關鍵，單調(diào)性在研

導數(shù)的關系.

究函數(shù)圖象、比較函數(shù)值的大小、確定函數(shù)的極值與零點、解不等

2.能利用導數(shù)研究函數(shù)

式及證明不等式中起著至關重要的作用.函數(shù)單調(diào)性的討論與應用

的單調(diào)性，會求函數(shù)的

一直是高考考查的重點，而含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的討論與應用是

單調(diào)區(qū)間(其中多項式

高考中的難點.預計這一考點在2025年高考中仍是重點考點.

函數(shù)一般不超過三次).

必備知識——強基礎

知識梳理

1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系

條件恒有結論

加0在(0,6)上〕

如)>001單調(diào)遞增

函數(shù)y—/(x)在區(qū)間(。，3上可

心)在(0,6)上〕021

/(x)<0單調(diào)遞減

導

(031常數(shù)函數(shù)

/?=0人x)在(a,b)上是

2.利用導數(shù)判斷函數(shù))，=加)單調(diào)性的步驟

第一步，確定函數(shù)的皿定義域;

第二步，求出導數(shù)/(x)的同霎點；

第三步，用/(x)的零點將人x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出了(X)在各區(qū)間上的正負,

由此得出函數(shù)y=/(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

常用圖論

1.利用導數(shù)解決單調(diào)性問題需要注意的問題

(1)定義域優(yōu)先的原則：解決問題的過程只能在定義域內(nèi)，通過討論導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間.

(2)注意“間斷點”：在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除了必須確定使導數(shù)等于零的點外，還要注意

在定義域內(nèi)的間斷點.

2.若函數(shù)兀r)在(0,6)上單調(diào)遞增，則6)時，/(x)20恒成立；若函數(shù)加)在(0,6)上

單調(diào)遞減，則無G(a,6)時，/(x)WO恒成立.

3.若函數(shù)於)在(0,b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則b)時，/(x)>0有解；若函數(shù)4)在(0,

6)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則xG(a,6)時，/(功。有解.

診斷自測

1.概念辨析(正確的打“3,錯誤的打“X”)

(1)如果函數(shù)人x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有/(x)=0,則負x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.()

(2)在(a,b)內(nèi)/(x)WO且了(x)=0的根有有限個，則大x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.()

(3)若函數(shù)4)在定義域上恒有/(x)>0,則以)在定義域上一定單調(diào)遞增.()

答案(1)4(2W(3戶

2.小題熱身

(1)(多選)(人教A選擇性必修第二冊5.3.1例2改編)如圖是函數(shù)y=/(x)的導函數(shù)y=/(x)的圖

象，則下列判斷正確的是()

A.在區(qū)間(一2,1)上加)單調(diào)遞增

B.在區(qū)間(2,3)上五x)單調(diào)遞減

C.在區(qū)間(4,5)上;(x)單調(diào)遞增

D.在區(qū)間(3,5)上單調(diào)遞減

答案BC

(2)函數(shù)/)=xer的一個單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(一8,1)B.(2,8)

C.(1,2)D.(0,2)

答案A

解析由於)=工，得/(x)=^~由/(x)>0,得所以/)在(一8,1)上為增函數(shù).故

選A.

(3)(人教A選擇性必修第二冊5.3.1例1改編)函數(shù)於)=cosx—x在(0,兀)上的單調(diào)性是()

A.先增后減B.先減后增

C.增函數(shù)D.減函數(shù)

答案D

解析,當xG(0,it)時，/(x)=-sinx—l<0,在(0,兀)上是減函數(shù).故選D.

考點探究——提素養(yǎng)

考點一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

例1求函數(shù)於)=?然一e(2x+l)的單調(diào)區(qū)間.

解了(x)=2e笈—2e=2e(e2c—1),

令/(x)=0,解得x=:，

X,f(x),外)的變化如下：

1

X+co

卜8,』21]

f(x)一0+

?單調(diào)遞減-e單調(diào)遞增

—8，-n+

所以"）的單調(diào)遞減區(qū)間是2j,單調(diào)遞增區(qū)間是°°1

【通性通法】

利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

注意：（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關鍵在于準確判定導數(shù)的符號，易錯點是忽視函數(shù)的

定義域.

⑵若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間不能用并集“U”及“或”連接，只能用

“，”“和”字隔開.

【鞏固遷移】

1.（2023?湖南長沙模擬）已知函數(shù)危）=20^1we是自然對數(shù)的底數(shù)），討論作）的單調(diào)性.

fx+4

解/（%）+cosx）=2A/2evsinC4J,

由/（x）＜0,解得2桁+—*24兀+手（左2）,

由/（x）＞0,解得2防1—卜＜2防1+午伏京），

,,,flkn——,2左兀+^]*e、電內(nèi),|2A7r+^,

故兀c）在I44J/WZ）上單倜遞增，在I44j/WZ）上單倜遞減.

考點二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

例2已知函數(shù)y(x)=lnx+^■—l(a￡R,且“W0),討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性.

axa

解了(%)="7a>o),

ax￡

①當a<0時，/(x)>0恒成立，

函數(shù)段)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

②當。>0時，由/(x)=絲?>0,得X：」；

由/(X)=竺三1<0，得0<x2,

Ma

函數(shù)以)在6+8)上單調(diào)遞增，在卜力上單調(diào)遞減.

綜上所述，當〃<0時，函數(shù)小)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當a>0時，函數(shù)火X)在［?+8)上單調(diào)遞增，在10'』上單調(diào)遞減.

【通性通法】

利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的策略

提醒：討論含參函數(shù)的單調(diào)性時，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論.

【鞏固遷移】

2.已知函數(shù)g(x)=lnx+ax2—(2Q+1)X.若Q>0,試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.

解因為g(x)=lnx+"2—(2a+l)x,所以g，(x)=2"?一(2a+l)x+l=(2ax—1)(》一D

由題意知函數(shù)g(x)的定義域為(0,+8),

若,即a〉:

由g'(x)>。，得x>l或0QS」-,

2a

由g'(x)<0，得4<xvL

,(1,十8)上單調(diào)遞增，在I上單調(diào)遞減;

即函數(shù)g(x)在

若上＞1,即

2a2

由g'(x)＞。，得公」-或，

2a

由g'(x)〈O，得

2a

即函數(shù)g(x)在(0,1),+8)上單調(diào)遞增，在［1'J上單調(diào)遞減；

若工=1,即q=l,則在(0,+8)上恒有8＜%)20,

2a2

即函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

綜上可得，當0＜金時，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在［1'豆)上單調(diào)遞減,

上單調(diào)遞增;

當。=3時，函數(shù)g(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當a〉：時，函數(shù)g(x)在9，2a］上單調(diào)遞增，在La'I上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

考點三與導數(shù)有關的函數(shù)單調(diào)性的應用(多考向探究)

考向1辨析圖象

例3已知/(x)是於)的導函數(shù)，/(x)的圖象如圖所示，則")的圖象只可能是()

答案D

解析由題中/(X)的圖象可以看出，在(a,6)內(nèi)，/(x)＞0,且在2J內(nèi)，/(X)單調(diào)遞增,

pz+Z7q內(nèi)，小(x)單調(diào)遞減，所以函數(shù)加)在(°,6)內(nèi)單調(diào)遞增，且其圖象在內(nèi)

在I2

越來越陡峭，在卜一‘q內(nèi)越來越平緩.故選D.

【通性通法】

該類問題主要抓住導函數(shù)的正負決定原函數(shù)的增減，導數(shù)絕對值的大小決定原函數(shù)圖象在該

點處的陡峭程度，即可完成相應的判斷.

【鞏固遷移】

3.(2023?浙江紹興諸暨市高三下學期5月聯(lián)考)如圖是函數(shù)>=加)的導函數(shù)y=/(x)的圖象,

若八2)=0,則?=段)的圖象大致為()

解析由y=/(x)的圖象可知，當0令<1時，0勺則在區(qū)間(0,1)上，曲線y=/(x)上各

點處切線的斜率在區(qū)間(0,1)內(nèi).對于A,在區(qū)間(0,1)上，曲線y=/(x)上各點處切線的斜率

均小于0,故A不正確；對于B,在區(qū)間(0,1)上，曲線y=/(x)上存在點，在該點處切線的

斜率大于1,故B不正確；對于C,在區(qū)間(0,1)上，曲線y=/(x)上存在點，在該點處切線

的斜率大于1,故C不正確；對于D,由y=/(x)的圖象可知，當0<x<l時，0勺Xx)<l,當14<3

時，/(x)<0,當x>3時，/(x)>0,所以在區(qū)間(0,1)上，曲線y=/(x)上各點處切線的斜率在區(qū)

間(0,1)內(nèi)，函數(shù)y=?x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+8)上單調(diào)遞增，

而選項D中函數(shù)y=?x)的圖象均符合這些性質(zhì)，故D正確.故選D.

考向2比較大小

例4(2023?浙江重點中學拔尖學生培養(yǎng)聯(lián)盟高三下學期適應性考試)設a=21n1.4,6=\16—

1,c=ln1.6,則()

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

答案D

解析因為21n1.4=ln1.42=ln1.96,In1.96>ln1.6,所以a>c；令/(x)=lnx一(心一1),貝

=-一一^=口及，當xe[i,4)時,/(x)>0,負X)單調(diào)遞增，所以{1.6)>{1)=0,即In1.6>VL6

x2\x2x

—1,即b<c,所以6<c<a.故選D.

【通性通法】

(1)根據(jù)導數(shù)計算公式和已知的不等式構造函數(shù)，利用不等關系得出函數(shù)的單調(diào)性，即可確定

函數(shù)值的大小關系，關鍵是觀察已知條件構造出恰當?shù)暮瘮?shù).

(2)含有兩個變元的不等式，可把兩個變元看作兩個不同的自變量，構造函數(shù)后利用單調(diào)性確

定其不等關系.

【鞏固遷移】

4.(2023?湖南婁底市部分學校高三三模)若a=ln1.01,6=21Pc=Vfo2-l,貝女)

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

答案B

解析由于a=ln1.01=ln(1+0.01),c=\J1.02—l="+0.01x2—1,故設函數(shù)/(x)=ln(1+x)

—+2x+1(x>0),則/(x)=-;-i1_=J1+—(1+*,x>o,由于c/1+2x)2—(1+x)2

1+xA/1+2X(1+X)\1+2X

=—x2<0,所以?1+2x)2<(1+療,即J+2x—(1+x)<0?即f(x)<0,故/(x)=ln(1+x)—\jl~\-2x

+l(x>0)單調(diào)遞減，故於)勺(0)=0，即1口(1+平)"1+2%一1(%>0),令％=0.01,則ln(l+

0.01)<A/1+2x0.01-1,即〃V。；又〃=ln1.01=ln(1+0.01),(=肅=；；；；；,令g(x)=ln(x

2x

+1)貝!]當x>0時，g'(x)=------------=---------------->0即當x>0時，g(x)=ln(x

2+xx+1(x+2)2(x+l)(x+2)2

0Y0y

+1)——"單調(diào)遞增，故當x>0時，g(x)>g(0)=0,即當x>0時，ln(x+l)>-^,令x=0.01,

2+x2+x

則In1.01>2即a>b,故6<a<c.故選B.

2+0,01201

考向3解不等式

例5(2023?四川成都模擬)已知一個定義在R上的奇函數(shù)｛x),當x>0時，加)=x—l+lnx,

則不等式研x)>0的解集為()

A.(—8,-])U(0,1)

B.(-1,0)U(0,1)

C.(-1,0)U(l,+°°)

D.(—8,—1)U(1,+°°)

答案D

解析由題意，得當x>0時，/(x)=l+l>0.則於)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又")=0,所以

當xW(O,1)時，於)<0；當xd(l,+8)時，段)>0,所以當40時，不等式研x)>0的解集

為(1,+8),又加)為奇函數(shù)，所以求x)為偶函數(shù)，所以不等式研x)>0的解集為(-8,-1)

U(l,+8).故選D.

【通性通法】

利用單調(diào)性解不等式的思路方法

(1)利用單調(diào)性解不等式通常用于：①分段函數(shù)型不等式；②復合函數(shù)型不等式；③抽象函數(shù)

型不等式；④解析式較復雜的不等式.

(2)解題的一般策略是：利用函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)值的大小關系轉化為自變量的關系，解不

等式即可.

【鞏固遷移】

5.已知函數(shù)2x+l,則不等式｛2x—3)+/(x)>2的解集為.

答案(1，+°°)

解析令g(x)=/(x)—l=e*—e)—2x,定義域為R,因為g(—x)=er—e*+2x=—g(x),所以

g(x)為奇函數(shù)，不等式3)+於)>2可變形為人2x—3)—1>1—於)，即g(2x—3)>—g(x)=

g(—x),又222ye^e三一2=0,當且僅當^二/工，即x=0時，等號成立，所

以g(x)在R上單調(diào)遞增，所以2x—3>—x,解得尤>1,所以所求不等式的解集為(1,+8).

考向4求參數(shù)的取值范圍

例6(2024,寧夏回族自治區(qū)銀川一中高三上學期第二次月考)若函數(shù)｛x)=x—gsin2x+asinx

在R上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是()

一_〔r

A.[-1,1]B.L3」

1n「[「

C.L33」D.L3」

答案c

解析/(x)=1—jcos2x+tzcosx^0對x￡R恒成立，故1—；(2cos2%—1)+QCOSX20,即acosx

一：cos2x+j10恒成立，即一對1,1]恒成立，構造g?)=—$2+秋+：,

由》=—:5+m+:為開口向下的拋物線，知g⑺的最小值的可能值為端點值，故只需保證

g(_l)=：_a20,

解得一1WawL故選C.

g(l)=；+a,O,33

3

【通性通法】

由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的策略

注意：若已知函數(shù)段)在區(qū)間/上的單調(diào)性，區(qū)間/中含有參數(shù)時，可先求出於)的單調(diào)區(qū)間,

令/是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍.

【鞏固遷移】

6.若函數(shù)作)=lnx+"2—2在區(qū)間I'1］內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)。的取值范圍是()

C.(-2,+°°)D.(-8,+°°)

答案D

解析由/(x)=lnx+ax2—2,可得/(x)=L+2ax.因為函數(shù)_/(x)=lnx+ax2—2在區(qū)間L'"內(nèi)

存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以/。)>0在xeh'1］上有解，即a>—U在1］上有解.設g(x)

2xz

=一」;，x/o,由g，(x)=/3>0在xeh，1］上恒成立，所以g(x)在h，1］上單調(diào)遞增，所以

^^<g(x)vg(l)?所以—8.故選D.

7.若函數(shù)g(x)=2x+lnx一2在區(qū)間［1,2］內(nèi)不單調(diào)，則實數(shù)。的取值范圍是.

x

答案(-10,-3)

解析，?,函數(shù)g(x)在區(qū)間［1,2］內(nèi)不單調(diào)，???/(%)=2+,+3=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)有解，則。

xX2

=—2K—X=—2心力+：在(1,2)內(nèi)有解，令尸一21+力+L易知該函數(shù)在(1,2)上是

88

減函數(shù)，.,?值域為(—10,—3),?,?實數(shù)Q的取值范圍為(一10,—3).

課時作業(yè)

A級基礎鞏固練

一、單項選擇題

1.(2023?江西撫州高三上學期期末)函數(shù)y=/(x)的圖象如圖，則導函數(shù)y=/(x)的圖象可能是下

圖中的()

CD

答案A

解析由函數(shù)圖象知作)為偶函數(shù)，則x),因為4r)的導數(shù)存在，兩邊取導數(shù)可得了(x)

=區(qū)一x)Y，由復合函數(shù)的求導公式可得[A—x)Y=/(—x>(一》=—/(一X),故/(x)=-/(—X),

即了(X)為奇函數(shù)，排除C，D；由原函數(shù)圖象可知當x>0時，<X)先遞增再遞減，故/(x)在x>0

時，函數(shù)值先正后負，排除B.故選A.

2.(2024?遼寧大連第八中學高三上學期月考)函數(shù)/(x)=3+xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.[?e]B,[0,3

C.11D.[J，+T

答案B

解析因為函數(shù)人x)的定義域為(0,+°°),且/(x)=lnx+x'=lnx+l,令/(x)v0,解得

xe

故人X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(°,故選B.

3R內(nèi)可導,

3.函數(shù)>=/(x)在定義域I2圖象如圖所示，記歹=危)的導函數(shù)為y=/(x),則不

等式了(x)，0的解集為()

,1

A.L3」U[2,3)

B.L2ju[33」

1，T

C.I23jU[l.2]

f_3_inR

D.I23」U|_3'3j

答案C

解析了(x)NO的解集即為y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.結合圖象可得y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

r3_rr3_r

I2'3」，[1,2],則〃x)20的解集為I2’3_U[1,2].故選C.

4.(2023?江西信豐中學模擬)若函數(shù)人x)=ax3+x在定義域R上恰有三個單調(diào)區(qū)間，則a的取

值范圍是()

A.(—8,0)B.(0,+°0)

C.(—8,o]D.[0,+°°)

答案A

解析因為函數(shù)八x)=ax3+x在定義域R上恰有三個單調(diào)區(qū)間，所以其導函數(shù)在定義域R上

有兩個不同的零點，由/(x)=3aN+l,可得3ax2+1=0,即N=,所以只需a<0,方程

3。

3ax2+1=0在R上有兩個不同的實數(shù)根.故選A.

5.(2023?新課標11卷)已知函數(shù)人》)=°^—11^在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為()

A.e2B.e

C.■iD.2

答案C

解析依題意可知，/@)=。^一120在(1,2)上恒成立，顯然a>0,所以xd》1，設g(x)=xe",

xa

當xG(l,2)時，3(》)=。+1)3>0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，g(x)>g(l)=e,故e2L

a

即a^-=e~l即a的最小值為e~L故選C.

e9

6.(2023?陜西咸陽高三三模)已知函數(shù)/(x)的部分圖象如圖所示，則它的解析式可能是()

ex

A.於)=工B.?=

sinxcosx

C.?r)=eXcosxD.小)=^5111￥

答案D

解析由題中圖象可知，函數(shù)/(X)的定義域為R,函數(shù)人x)=￡的定義域為{x|xWE,左WZ},

sinx

兀

I“專+版，"Zj,所以B不符合題意;

COSX

當O<x<K0^,/(x)=eXcosx,貝U/ajMNcosx—e^sinxne^cosx—siiix),當0<x<：時,/(x)>0,當:<x<兀

時，/。)<0,所以式X)在(°,j上單調(diào)遞增，在I,q上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值，

結合圖形，/D不是極大值，故C不符合題意；當0<了<兀時，/(x)=eXsinx,則/(x)=eXcosx+

x

esinx=^(cosxH-sinx),當0<》<手時，/(x)>0,當個VX〈TI時，/(x)<0,所以兀v)在j上單

調(diào)遞增，在匕,q上單調(diào)遞減，結合圖形，D符合題意.故選D.

2022

7.設a=20222024,6=20232023,c=2O24,貝ij()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

答案A

In2022

名刀小匚?.ln。20241n20222023期、生”就“、Inx,兒、x+1—xlnx人,、

解析?一~=，構造函數(shù)段)=1—(xNe2),f(x)=----1一1，令g(x)

Inb20231n2023In2023x+1x(x+1)2

2024

=x+1—xlnx(x^e2),貝Ug<x)=—Inx<0,.??g(x)在［e?,+8)上單調(diào)遞減，.*.g(x)^g(e2)=1

-e2<0,故/(x)<0,二加)在封，+8)上單調(diào)遞減，.\/(2022)>/(2023)>0,"f^^|o23)>1,

Ina>lnb,a>b,同理可得Inb>lnc,b>c,故a>b>c.故選A.

8.(2024?山東棗莊第三中學高三上學期期中)設實數(shù)，>0,若不等式e2江一山2+山”2。對二

t

恒成立，貝心的取值范圍為()

———1,+?°°]n+,°0

A.L_2eJB.Le

解析由題意/e2〃Nln(2x),x>0,/>0,當ln(2x)W0時，此不等式恒成立，當ln(2x)>0時，

2txe2tx22xln(2x)=In(2x),eln(為，設fix)=%或%>0),則不等式為代2僅)>/(ln(2x)),*.*/(x)=(x

+l)e?0,.在(0,+8)上是增函數(shù)，.?.2aNln(2x),即令g(x)=m^3[>J,

2x2x

則g，(x)=lTn[2x),當至匕J時,烈勸>0,g(x)單調(diào)遞增,當xj+"時,g'(x)<0,

2xz

g(X)單調(diào)遞減，，g(X)max=gll

1,.,?/三1.故選B.

ee

二、多項選擇題

9.如果函數(shù)外)對定義域內(nèi)的任意兩實數(shù)XI,X2(X1WX2)都有>不)—X兆2)>0,則稱函數(shù)4)

X1~X2

為“歹函數(shù)”，下列函數(shù)不是'N函數(shù)''的是()

A.fix)=exB.y(x)=x2

C./(x)=lnxD.f(x)—sinx

答案ACD

解析依題意，得函數(shù)/(x)為“尸函數(shù)”，則函數(shù)g(x)=^(x)為定義域上的增函數(shù).對于A,g(x)

=xe",g，(x)=(x+l)e;當xW(—8,—1)時，g,(%)<0,g(x)單調(diào)遞減，故A中函數(shù)不是“尸函

數(shù)”;對于B,g(x)=x3在R上單調(diào)遞增，故B中函數(shù)為“尸函數(shù)”;對于C,g(x)=xlnx,g，(x)

=l+lnx,當XG[°'J時，g"(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，故C中函數(shù)不是“尸函數(shù)”；對于D,g(x)

01

=xsinx,g%x)=sinx+xcosx,當2J時，g%x)<0,g(x)單調(diào)遞減，故D中函數(shù)不是“尸

函數(shù)故選ACD.

10.(2023?重慶七校高三三診)德國數(shù)學家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出

發(fā)，引進微積分概念.在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫

坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數(shù)的幾何意義.設/(x)是

函數(shù)佃的導函數(shù)’若如)>。'03+叼，且、學.總有人丁則

下列結論正確的是()

A.義2)</(e)詼兀)B.f(7r)<f(e)<f(2)

C./⑵yS)一^)^。)D./⑶勺⑶一{2)</\2)

答案ABD

解析根據(jù)/(x)>0可得，兀r)在R上單調(diào)遞增，因為n>e>2,所以次2)勺(e)勺(無)，A正確；因

為Vxi，x2e(O,+8),且xi/x2，總有人為)；加2)<[2]所以函數(shù)圖象上凸，畫出函數(shù)

圖象，由幾何意義可知，/(x)表示函數(shù)圖象上的各點處的切線斜率，顯然隨著x的增大，切

線斜率變小，且恒為正，因為心e>2,所以/E)9(e)勺\2),B正確；叁=虺匚?=心)—@,

3-2

結合函數(shù)圖象可知了(3)勺(3)—人2)勺\2),C錯誤，D正確.故選ABD.

三、填空題

11.(2023?河北唐山一中模擬)設函數(shù)於)=x(e>—1)—$2,則/)的單調(diào)遞增區(qū)間是,

單調(diào)遞減區(qū)間是.

答案(一8,—1),(0,+°°)[―1,0]

解析?7-1)-￥，/(—十—)(x+l).令儂)=0,得I

或x=0.當xe(—8,—1)時，7(x)>0；當XG[—1,0]時，/(x)W0；當xG(0,+8)時，/@)>0.

故兀￥)在(一8,—1),(0,+8)上單調(diào)遞增，在[—1,0]上單調(diào)遞減.

12.(2023?湖南長郡中學模擬)已知函數(shù)/(x)=x3—辦一1QWR).若函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，

則實數(shù)a的取值范圍為.

答案(一8,0]

解析易知/(x)=3x2—以因為大X)在R上單調(diào)遞增，所以/(x)，0恒成立，即aW3N恒成立，

故aW(3N)mm=0.經(jīng)檢驗，當。=0時，符合題意，故實數(shù)。的取值范圍是(一8,0].

13.(2024?廣東深圳橫崗高級中學高三上學期第一次月考)已知函數(shù)〃)=2siiu+er—8',且

滿足八。2一。+1)+八―20+1)>0,則a的取值范圍為.

答案(1，2)

解析/(—x)=2sin(—^)+^—e-r=-2811?+^—e-A'=兀v)為奇函數(shù)，又/(x)=2cosx—

g-.r—gx—2cosx—(e-,:+e':)^2cosx—2A/e=^ex：=2cosx—2^0,於)是減函數(shù)，所以不等式—

a+1)+/(—2a+1)>0化為八/—a-\-\)>fi2a—1),即層—a-\-l<2a—1,解得l<a<2.故a的取值

范圍為(1,2).

14.(2023?全國乙卷)設〃W(0,1),若函數(shù)/)=a，+(l+a》在(0,+8)上單調(diào)遞增，則°的

取值范圍是.

答案［飛2T1J1

解析由函數(shù)的解析式可得了(工)=優(yōu)111〃+(1+0尸111(l+a)20在區(qū)間(0,+8)上恒成立，則(1

p+A1p+A

+a)x\n(l+a)^—ax\na,即IaJ2---..—在區(qū)間(0,+8)上恒成立，故［J=i2

In(1+(7)a

Ina,,,,(In(a+1)2—Ina,

一■,而Q+1W(1,2),故ln(l+a)>0,故，

In(1+tz)

即卜(a+l)*l,故.故a的取值范圍是'I

l0<a<l,2

四、解答題

15.已知函數(shù)/（工）=公益+（“一2）曠一x,討論外）的單調(diào)性.

解次x）的定義域為R,f（x）=2ae2x+（a-2）e-1=（?ex-1）（2^+1）,

若aWO,則/（x）vO恒成立，故人x）在（-8,+8）上單調(diào)遞減；

若a>0,則當x<—Ina時,/（x）<0,

當x>~\na時，/（x）>0,

故兀0在（一Ina,+8）上單調(diào)遞增，在（—8,—Inq）上單調(diào)遞減.

綜上所述，當aWO時，外）在（一8,十8）上單調(diào)遞減；

當〃>0時，於）在（一Inq,+8）上單調(diào)遞增，在（一8,一Ina）上單調(diào)遞減.

16.已知函數(shù)於）=ln（x+l）+Q（x2+x）+2（其中常數(shù)心0）,討論於）的單調(diào)性.

解f（x）=——■Fa（2x+1）

x+1

_2ax2+3ax+q+1

x+1

記g(x)=2ax2+3Qx+a+1,/=層一8q,

①當/WO,即0<QW8時，g(x)NO,

故/(x)20,

所以/(X)在(-1,+8)上單調(diào)遞增.

②當/>0,即。>8時，g(x)=O有兩個實根

—3a—\a2-8a-3a-\-\a2-8a

X1,X2

4a4Q

a

注意到g(0)=a+l>0,g(—l)=l>0且g(x)圖象的對稱軸方程為1=一：￡(—1,0),

故X1，%2日—1，0),

所以當一或X>X2時，g(x)>0,/(x)>0,/(%)單調(diào)遞增;

當X1<X<X2時，g(x)<0,/(x)<0,兀V)單調(diào)遞減.

_]-3a—\a2—8。

t4a

C-3a~\~\Ja2Sa,C—3a—\Jci2Sa—3a+\l(j2一84

和I兀'