1.3 等腰三角形（3） 等腰三角形的判定-八年級數(shù)學(xué)下冊10分鐘課前預(yù)習(xí)練（北師大版）（解析版）

課前預(yù)習(xí)記錄：月日星期10分鐘課前預(yù)習(xí)練（北師大版）1.3等腰三角形（3）—等腰三角形的判定知識要點:1．如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也_________(簡述為：等角對等邊)．【答案】相等2．等腰三角形判定：兩個角__________的三角形是等腰三角形.【答案】相等課堂練習(xí)一、選擇題1．下列判斷錯誤的是（）A．等腰三角形是軸對稱圖形B．有兩條邊相等的三角形是等腰三角形C．等腰三角形的兩個底角相等D．等腰三角形的角平分線、中線、高互相重合【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱的定義以及等腰三角形的性質(zhì)判斷即可.【詳解】解：A、等腰三角形是軸對稱圖形，正確；B、兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，正確；C、等腰三角形的兩腰相等，兩個底角相等，正確；D、等腰三角形頂角的角平分線與底邊上的中線、底邊上的高線互相重合，故本選項錯誤；故選D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形性質(zhì)與軸對稱的定義是本題的關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，∠ABC的角平分線與線段AC相交于點D，若CD＝8，則AD的長（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABD=∠CBD=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BD，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，則∠ABC=90°-30°=60°，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠C=∠CBD，∴BD=CD=8，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=8，∴AD=BD=4，故選：C．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握30°的角對的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．3．如圖，中，是角平分線，交于，交于，若，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用角平分線和平行線的性質(zhì)得到，再得到△EBD為等腰三角形，所以，最后計算即可．【詳解】∵平分，∴，∵，∴，∴，△EDB為等腰三角形，，∴故選：B．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等以及等角對等邊即可．4．如圖，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB邊上的高，∠BAC的角平分線AF交CD于E，則△CEF必為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】首先根據(jù)條件∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，可證出∠BCD+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，再根據(jù)同角的補角相等可得到∠B=∠DCA，再利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系可得到∠CFE=∠FEC，最后利用等角對等邊可證出結(jié)論．【詳解】∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∵CD是AB邊上的高，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠DCA，∵AF是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2，∵∠1+∠B=∠CFE，∠2+∠DCA=∠FEC，∴∠CFE=∠FEC，∴CF=CE，∴△CEF是等腰三角形.故選A【點睛】此題考查等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.5．如圖，在中，和的角平分線交于點，過點作交于點，交于點．若，，則的長為（）A．10 B．5.5 C．6 D．5【答案】D【分析】由平行線的性質(zhì)，得出∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE，再由角平分線定義得出∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠BCE，證出ME=MB，NE=NC，即可求得MN的長．【詳解】解：∵MN∥BC，

∴∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，

∴∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠BCE，

∴∠MEB=∠MBE，∠NEC=∠NCE，

∴ME=MB，NE=NC，

∴MN=ME+NE=BM+CN=2+3=5，

故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定等知識；熟練掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．6．如圖，是的角平分線，，則的長為（）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】延長CB至點F，使CF=CA，連接DF，證明△FCD≌△ACD，得到∠F=∠A，結(jié)合已知得到線段的關(guān)系，從而計算BD．【詳解】解：延長CB至點F，使CF=CA，連接DF，∵CD是△ABC的角平分線，∴∠ACD=∠FCD，在△FCD和△ACD中，，∴△FCD≌△ACD（SAS），∴∠F=∠A，∴∠ABC=2∠A且∠ABC=∠F+∠FDB，∴∠F=∠FDB，∴BF=BD，∴CF=BC+BF=BC+BD，∴AC=BD+BC，∴BD=AC-BC=7-4=3，故選B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是合理作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．二、填空題7．如圖，已知OB、OC為△ABC的角平分線，過點O作DE∥BC交AB、AC于D、E，若AB＝7，AC＝5，則△ADE的周長為______．【答案】12【分析】根據(jù)DE∥BC，可得∠DOB=∠OBC，再由角平分線的定義，可得∠DBO=∠OBC，從而∠DBO=∠DOB，得到DO=BD，同理可得EO=EC，則有DE=DO+OE=BD+EC，再根據(jù)三角形的周長等于三邊長度之和，即可求解．【詳解】解：∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠OBC，∴∠DBO=∠DOB，∴DO=BD，同理可得EO=EC，∴DE=DO+OE=BD+EC，∴AD+AE+DE=AD+DO+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=7+5=12，即△ADE的周長為12．故答案為：12【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等角對等邊是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分線，則∠ABD＝______°．【答案】36【詳解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°﹣36°）÷2=72°，又∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD=36°，故答案為36．9．如圖，BM是的角平分線，D是BC邊上一點，連接AD，使，且，則的度數(shù)是__________度?！敬鸢浮?5°【分析】根據(jù)∠AMB=∠MBC+∠C，想辦法求出∠MBC+∠C即可．【詳解】解：∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，∵∠ADB=∠C+∠DAC，∴∠ADB=2∠C，∵MB平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∵∠BAD=110°，∴∠ABD+∠ADB=70°，∴2∠DBM+2∠C=70°，∴∠MBC+∠C=35°，∴∠AMB=∠MBC+∠C=35°，故答案為35°．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．10．老師在投影屏上展示了如下一道試題：已知：如圖，平分，．求證：．證明：∵平分，∴（①角平分線定義）．∵，∴（②等角對等邊）．∴③，∴（④內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．則以上證明過程中，結(jié)論或者依據(jù)錯誤的一項是__________．【答案】②【分析】根據(jù)題目條件可以直接判斷②錯誤，應(yīng)該是等邊對等角．【詳解】證明：∵平分，∴①（角平分線定義），∵，∴②（等邊對等角），∴③，∴④（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：②．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，理解等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，角平分線BD，CE相交于點O，求證：OB＝OC．【答案】見解析【分析】證明即可解決問題．【詳解】證明：，，，是角平分線，，，，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．12．如圖，在中，是角平分線，，，垂足分別為、，（1）若，求證：；（2）若，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用SAS證明△BAD△CAD，即可得到結(jié)論；（2）首先由角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，由BD=CD，可證Rt△BED≌Rt△DFC（HL），得出∠B=∠C，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵AD為∠BAC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，在△BAD與△CAD中，，∴△BAD△CAD(SAS)，∴；（2）∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，

在Rt△BED和Rt△DFC中，，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴∠B=∠C，

∴AB=AC．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分線，交BC于點E，DE∥AB交AC于點D．(1)求證AD=ED；(2)若AC=AB，DE=3，求AC的長．【答案】(1)證明見解析；(2)6.【解析】【分析】（1）由AE是∠BAC的角平分線可得∠DAE=∠BAE，由DE∥AB，可得∠DEA=∠EAB，則∠DEA=∠DAE，可得結(jié)論．

（2）根據(jù)等腰三角形三線合一可得AE⊥BC，可證∠C=∠CED則CD=DE，即可求AC的長．【詳解】證明：(1)∵AE是∠BAC的角平分線∴∠DAE=∠BAE，∵DE∥AB∴∠DEA=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE-；(2)∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分線∴AE⊥BC∴∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°，∵∠CAE=∠DEA，∴∠C=∠CED，∴DE=CD，∴AD=DE=CD=3，∴AC=6.故答案為(1)證明見解析；(2)6.【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用這些性質(zhì)解決問題．14．在△ABC中，∠A＝∠C＝∠ABC，BD是角平分線，求：（1）∠A的度數(shù)？（2）求證：△DBC是等腰三角形．【答案】(1)36°，(2)答案見詳解【分析】(1)設(shè)∠A=x,則∠ABC=∠ACB=2x,利用三角形內(nèi)角和即可解答；（2）利用角平分線的性質(zhì)求出∠ABD的度數(shù)，再利用外角的性質(zhì)求出∠BDC的度數(shù)，從而得到△DBC是等腰三角形．【詳解】解:(1)∵∠A＝∠C＝∠ABC∴設(shè)∠A=x,則∠ABC=∠ACB=2x∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴x+2x+2x=180°解得:x=36°∴∠A=36°證明:(2)由(1)可知∠ABC=∠ACB=2×36°=72°∵BD是角平分線∴∠ABD=∠ABC=36°∵∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°∴∠BDC=∠C∴BD=BC，即△DBC是等腰三角形【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，三角形外角的性質(zhì)以及等腰三角形的判定，利用三角形內(nèi)角和等于180°求出各內(nèi)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點F，DE過點F且平行于BC．（1）判斷三角形BDF的形狀，并證明．（2）若∠A＝70°，求∠BFC的度數(shù)．【答案】（1）是等腰三角形，證明見解析；（2）125°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得，進而可得三角形BDF的形狀為等腰三角形；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，進而求得，即，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得的度數(shù)．【詳解】（1）是等腰三角形，理由如下，為的角平分線，，，，，，是等腰三角形，（2），，分別為∠ABC和∠ACB的角平分線，，，．【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對等邊，三角形內(nèi)角和定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．16．已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BE是三角形的角平分線，交AD于F．（1）若∠ABC=40°，求∠AFE的度數(shù)．（2）若∠BAC是直角，請猜想：△AFE的形狀，并寫出證明．【答案】（1）∠AFE=70°；（2）等腰三角形，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠DBF，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BFD即可解決問題．（2）結(jié)論：△AEF是等腰三角形．想辦法證明∠AEF=∠AF