第一章 直線與方程（壓軸題專練）（解析版）

第一章直線與方程（壓軸題專練）題型一直線的傾斜角與斜率的綜合問(wèn)題【例1】已知兩點(diǎn)A(－3,4)，B(3,2)，過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)．(1)求直線l的斜率k的取值范圍；(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍．【解析】(1)如圖，由題意可知kPA＝eq\f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq\f(2－0,3－1)＝1.要使l與線段AB有公共點(diǎn)，則k≤－1或k≥1，即直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°，∴α的取值范圍是45°≤α≤135°.思維升華解決取值范圍問(wèn)題的策略斜率k的大小與正切函數(shù)之間的關(guān)系是用傾斜角α來(lái)聯(lián)系的，因此，可以由傾斜角的變化得出斜率的變化．如圖所示，過(guò)點(diǎn)P的直線l與線段AB相交時(shí)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P且與x軸垂直的直線PC的斜率不存在，而直線PC與線段AB不相交，所以直線l的斜率k的取值范圍是kPA≤k≤kPB.解決這類問(wèn)題時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合思想直觀地判斷直線的位置．鞏固訓(xùn)練1．若點(diǎn)A(－2，－3)，B(－3，－2)，直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，＋∞))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(4,3)))【答案】D【解析】因?yàn)閗PA＝eq\f(1－－3,1－－2)＝eq\f(4,3)，kPB＝eq\f(1－－2,1－－3)＝eq\f(3,4).由圖可知，直線l與線段AB相交時(shí)，直線l的斜率k的取值范圍是eq\f(3,4)≤k≤eq\f(4,3).2．若直線l過(guò)點(diǎn)A(4,1)，B(3，a2)(a∈R)，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))【答案】D【解析】設(shè)直線l的傾斜角為θ，則tanθ＝eq\f(a2－1,3－4)＝1－a2，因?yàn)閍∈R，所以1－a2≤1，即tanθ≤1，因?yàn)棣取蔥0，π)，所以0≤θ≤eq\f(π,4)或eq\f(π,2)＜θ＜π，所以直線l的傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故選D.題型二直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程的應(yīng)用【例2】已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2,3)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，求直線l的斜截式方程．【解析】顯然，直線l與兩坐標(biāo)軸不垂直，否則構(gòu)不成三角形，設(shè)其斜率為k(k≠0)，則直線l的方程為y－3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，令y＝0，得x＝－eq\f(3,k)－2，于是直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2k＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,k)－2))))＝4，即(2k＋3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)＋2))＝±8.若(2k＋3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)＋2))＝8，則整理得4k2＋4k＋9＝0，無(wú)解．若(2k＋3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)＋2))＝－8，則整理得4k2＋20k＋9＝0，解得k＝－eq\f(1,2)或k＝－eq\f(9,2)，所以直線l的方程為y－3＝－eq\f(1,2)(x＋2)或y－3＝－eq\f(9,2)(x＋2)，即y＝－eq\f(1,2)x＋2或y＝－eq\f(9,2)x－6思維升華(1)直線的斜截式方程y＝kx＋b清晰地指出了該直線的兩個(gè)幾何要素：斜率k和截距b.(2)已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過(guò)該點(diǎn)的直線方程，通常選用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距，無(wú)論采用哪種方式，在求解過(guò)程中待定系數(shù)法是求解該類問(wèn)題的常用方法．鞏固訓(xùn)練1．已知直線l的斜率為－2，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，求直線l的斜截式方程．【解析】設(shè)直線方程為y＝－2x＋b，則令x＝0得y＝b；令y＝0得x＝eq\f(b,2)，由題意得eq\f(1,2)|b|·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))＝4，即|b|2＝16，所以b＝±4，所以直線l的方程為y＝－2x＋4或y＝－2x－4.2．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2,3)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的斜截式方程．【解析】依題意直線的斜率存在，設(shè)為k，直線方程為y－3＝k(x＋2)，令x＝0得縱截距為y＝2k＋3，令y＝0得橫截距為x＝－eq\f(3,k)－2，依題意得，2k＋3＝－eq\f(3,k)－2，解得k＝－eq\f(3,2)或k＝－1，所以直線方程為y＝－eq\f(3,2)x或y＝－x＋1.3．過(guò)點(diǎn)(3,1)的直線分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積取得最小值時(shí)的直線方程．【解析】易知直線AB的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的方程為y－1＝k(x－3)，即y＝kx＋1－3k.在直線AB的方程中，令x＝0，可得y＝1－3k；令y＝0，可得x＝eq\f(3k－1,k).所以點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－1,k)，0))，B(0,1－3k)．由已知條件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3k－1,k)>0，,1－3k>0，))解得k<0.△AOB的面積為S＝eq\f(1,2)×(1－3k)×eq\f(3k－1,k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－9k－\f(1,k)))≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6＋2\r(－9k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k))))))＝6.當(dāng)且僅當(dāng)－9k＝－eq\f(1,k)(k<0)時(shí)，即當(dāng)k＝－eq\f(1,3)時(shí)，等號(hào)成立，所以直線AB的方程為y＝－eq\f(1,3)x＋2題型三直線方程的綜合問(wèn)題【例3】若A是直線l：y＝3x上的第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，B(3,2)為定點(diǎn)，直線AB交x軸正半軸于點(diǎn)C，求使△AOC面積最小的點(diǎn)A的坐標(biāo)．【解析】如圖，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,3m)(m＞0)．(1)當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，由兩點(diǎn)式得直線AB的方程為eq\f(y－2,3m－2)＝eq\f(x－3,m－3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m≠\f(2,3)，且m≠3)).令y＝0，得xC＝eq\f(7m,3m－2).因?yàn)辄c(diǎn)C在x軸的正半軸上，所以eq\f(7m,3m－2)＞0，即m＞eq\f(2,3).所以△AOC的面積S＝eq\f(1,2)×eq\f(7m,3m－2)×3m＝eq\f(21m2,23m－2)＝eq\f(7,6)×eq\f(9m2－4＋4,3m－2)＝eq\f(7,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3m－2＋\f(4,3m－2)＋4))≥eq\f(7,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3m－2×\f(4,3m－2))＋4))＝eq\f(7,6)×8＝eq\f(28,3).當(dāng)且僅當(dāng)m＝eq\f(4,3)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，4)).(2)當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,9)，此時(shí)S△AOC＝eq\f(1,2)×3×9＝eq\f(27,2)＞eq\f(28,3).綜上所述，△AOC的面積的最小值為eq\f(28,3)，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，4)).思維升華(1)涉及直線與坐標(biāo)軸圍成的面積問(wèn)題，一般把直線的方程用截距式表示，利用直線在坐標(biāo)軸上的截距表示面積．(2)解答此類問(wèn)題需注意直線的截距與三角形邊長(zhǎng)的區(qū)別與聯(lián)系．鞏固訓(xùn)練1．已知直線過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在這樣的直線同時(shí)滿足下列條件：(1)△AOB的周長(zhǎng)為12；(2)△AOB的面積為6.若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，若滿足條件(1)，則a＋b＋eq\r(a2＋b2)＝12. ①又∵直線過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))，∴eq\f(4,3a)＋eq\f(2,b)＝1. ②由①②可得5a2－32a＋48＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(12,5)，,b＝\f(9,2)，))∴所求直線的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1或eq\f(5x,12)＋eq\f(2y,9)＝1，即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.若滿足條件(2)，則ab＝12， ③由題意得eq\f(4,3a)＋eq\f(2,b)＝1， ④由③④整理得a2－6a＋8＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝6，))∴所求直線的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1或eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝1，即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.綜上所述，存在同時(shí)滿足(1)(2)兩個(gè)條件的直線方程，為3x＋4y－12＝0.題型四直線方程的綜合應(yīng)用【例5】已知直線l：kx－2y－3＋k＝0.(1)若直線l不經(jīng)過(guò)第二象限，求k的取值范圍；(2)設(shè)直線l與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，若△AOB的面積為4(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的方程．【解析】(1)因?yàn)閗x－2y－3＋k＝0，所以y＝eq\f(k,2)x＋eq\f(k－3,2).若直線l不經(jīng)過(guò)第二象限，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)≥0，,\f(k－3,2)≤0，))解得0≤k≤3.即k的取值范圍是[0,3]．(2)由題意得，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－k,k)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(k－3,2)))，k＜0，則△AOB的面積為eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3－k,k)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(k－3,2)))＝－eq\f(k－32,4k).因?yàn)椤鰽OB的面積為4，所以－eq\f(k－32,4k)＝4，即k2＋10k＋9＝0，解得k＝－9或k＝－1.當(dāng)k＝－1時(shí)，直線方程是x＋2y＋4＝0；當(dāng)k＝－9時(shí)，直線方程是9x＋2y＋12＝0，綜上，直線方程是x＋2y＋4＝0或9x＋2y＋12＝0.思維升華利用直線的位置或特征確定變量的方法將直線方程化為恰當(dāng)?shù)男问?點(diǎn)斜式、斜截式或截距式等)，根據(jù)直線的位置或特征構(gòu)建關(guān)于變量的不等關(guān)系，通過(guò)解不等式(組)求變量的取值，解題中要注意直線方程的形式對(duì)變量取值的限制．鞏固訓(xùn)練1．已知直線l：y＝kx＋2k＋1.(1)求證：直線l過(guò)定點(diǎn)．(2)若當(dāng)－3＜x＜3時(shí)，直線l上的點(diǎn)都在x軸上方，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解析】(1)證明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)，則直線l過(guò)定點(diǎn)(－2,1)．（2）設(shè)函數(shù)f(x)＝kx＋2k＋1，其圖象是一條直線．當(dāng)－3＜x＜3時(shí)，直線l上的點(diǎn)都在x軸上方，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－3≥0，,f3≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3k＋2k＋1≥0，,3k＋2k＋1≥0，))解得－eq\f(1,5)≤k≤1.故實(shí)數(shù)k的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，1)).題型六直線平行、垂直的綜合應(yīng)用【例6】已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四邊形ABCD為直角梯形．【解析】①當(dāng)∠A＝∠D＝90°時(shí)，如圖①所示．∵四邊形ABCD為直角梯形，∴AB∥DC且AD⊥AB，易求得m＝2，n＝－1.②當(dāng)∠A＝∠B＝90°時(shí)，如圖②所示．∵四邊形ABCD為直角梯形，∴AD∥BC且AB⊥BC.∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－2,m－2)＝－3，,\f(n＋1,m－5)－3＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(16,5)，,n＝－\f(8,5).))綜上所述，m＝2，n＝－1或m＝eq\f(16,5)，n＝－eq\f(8,5).思維升華利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟鞏固訓(xùn)練在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OPQR的頂點(diǎn)按逆時(shí)針順序依次為O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0.試判斷四邊形OPQR的形狀．【解析】由斜率公式得kOP＝eq\f(t－0,1－0)＝t，同理，kQR＝t，kOR＝－eq\f(1,t)，kPQ＝－eq\f(1,t).∴kOP＝kQR，kOR＝kPQ.∴OP∥QR，OR∥PQ.∴四邊形OPQR為平行四邊形．∵kOP·kOR＝－1，∴OP⊥OR.又|OP|≠|(zhì)OR|，故四邊形OPQR為矩形．題型七運(yùn)用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題【例7】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上異于B，C的任意一點(diǎn)，求證：AB2＝AD2＋BD·DC.[證明]如圖，以BC邊的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，BC邊所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)A(0，a)，B(－b,0)，C(b,0)，D(m,0)(－b<m<b)．則AB2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，AD2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2，BD·DC＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)(b－m)＝b2－m2，∴AD2＋BD·DC＝a2＋b2，∴AB2＝AD2＋BD·DC.思維升華利用坐標(biāo)法解平面幾何問(wèn)題的4步驟(1)建立坐標(biāo)系，盡可能將有關(guān)元素放在坐標(biāo)軸上；(2)用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；(3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算；(4)把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．鞏固訓(xùn)練已知Rt△ABC，∠B為直角，AB＝a，BC＝b，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫(xiě)出頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，并求證斜邊AC的中點(diǎn)M到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．【解析】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊BA所在的直線為x軸，邊BC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a,0)，B(0,0)，C(0，b)．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得斜邊AC的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2))).所以MA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(b,2)))2)＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2)，MB＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(b,2)))2)＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2)，MC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(b,2)))2)＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2).所以MA＝MB＝MC.題型八對(duì)稱問(wèn)題【例8】已知直線l：3x－y＋3＝0，求：(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；(2)直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程；(3)直線l關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱的直線方程．【解析】(1)設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，∵kPP′·kl＝－1，即eq\f(y′－y,x′－x)×3＝－1. ①又PP′的中點(diǎn)在直線3x－y＋3＝0上，∴3×eq\f(x′＋x,2)－eq\f(y′＋y,2)＋3＝0. ②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(－4x＋3y－9,5)，③,y′＝\f(3x＋4y＋3,5).④))把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(－2，7)．(2)用③④分別代換x－y－2＝0中的x，y，得關(guān)于l對(duì)稱的直線方程為eq\f(－4x＋3y－9,5)－eq\f(3x＋4y＋3,5)－2＝0，化簡(jiǎn)得7x＋y＋22＝0.(3)在直線l：3x－y＋3＝0上取點(diǎn)M(0,3)，關(guān)于(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)M′(x′，y′)，∴eq\f(x′＋0,2)＝1，x′＝2，eq\f(y′＋3,2)＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．l關(guān)于(1,2)對(duì)稱的直線平行于l，∴k＝3，∴對(duì)稱直線方程為y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.思維升華對(duì)稱問(wèn)題主要有以下幾種情況(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題是最基本的對(duì)稱問(wèn)題，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解．點(diǎn)M(a，b)關(guān)于點(diǎn)(x0，y0)的對(duì)稱點(diǎn)為M′(2x0－a,2y0－b)．(2)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩直線平行求得斜率，由點(diǎn)