第三章 圓錐曲線與方程（知識歸納+題型突破）（解析版）

第三章圓錐曲線與方程（知識歸納+題型突破）1．掌握橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2．會用定義法、待定系數(shù)法和相關(guān)點法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．3．掌握簡單的橢圓的幾何性質(zhì)．4．掌握直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用．5．了解雙曲線的實際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出雙曲線的過程，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程．6．掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何圖形．7．理解雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率)．8．能用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)解決問題．9．了解拋物線的定義及焦點、準(zhǔn)線的概念．10．掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程．11．理解拋物線的簡單幾何性質(zhì)．1．橢圓的定義平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫作橢圓，兩個定點F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點，兩個焦點間的距離叫作橢圓的焦距．（1）對定義中限制條件“兩個定點”的理解橢圓定義中的兩個定點F1，F(xiàn)2是指不重合的兩點，當(dāng)F1與F2重合時，相應(yīng)點的集合是圓．（2）對定義中限制條件“常數(shù)(大于F1F2)”的理解條件結(jié)論2a＞F1F2動點的軌跡是橢圓2a＝F1F2動點的軌跡是線段F1F22a＜F1F2動點不存在，因此軌跡不存在（3）定義的雙向運用一方面，符合定義中條件的動點的軌跡為橢圓；另一方面，橢圓上所有的點一定滿足定義的條件(即到兩焦點的距離之和為常數(shù))．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)圖形焦點坐標(biāo)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)a，b的幾何意義1標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個參數(shù)a，b確定了橢圓的形狀和大小，這是橢圓定形的條件，a，b，c三個量滿足a2＝b2＋c2，恰好是一個直角三角形的三條邊長，我們把如圖所示的直角三角形F2OM稱為橢圓的“特征三角形”．橢圓的特征三角形清晰地反映了參數(shù)a，b，c的幾何意義．（2）橢圓的焦點位置橢圓的焦點在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中含x2項的分母較大；橢圓的焦點在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中含y2項的分母較大．因此由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷橢圓的焦點位置時，要根據(jù)方程中分母的大小來判斷，簡記為“焦點位置看大小，焦點隨著大的跑”．3．與橢圓焦點三角形有關(guān)的常用公式(1)焦點三角形的周長L＝2a＋2c．(2)在焦點三角形MF1F2中，由余弦定理可得F1Feq\o\al(2,2)＝MFeq\o\al(2,1)＋MFeq\o\al(2,2)－2MF1·MF2cos∠F1MF2．(3)設(shè)橢圓上任一點M(xM，yM)，焦點三角形的面積S△F1MF2＝c|yM|＝eq\f(1,2)MF1·MF2·sin∠F1MF2＝b2taneq\f(∠F1MF2,2)．4．橢圓的范圍、對稱性、頂點焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長短軸長＝2b，長軸長＝2a焦點(±c,0)(0，±c)焦距|F1F2|＝2c對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：原點(1)橢圓的范圍實質(zhì)是橢圓上點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的取值范圍．由于橢圓方程中兩個非負(fù)數(shù)的和等1，所以橢圓上任一點的坐標(biāo)適合不等式eq\f(x2,a2)≤1，即－a≤x≤a，同理有eq\f(y2,b2)≤1，即－b≤y≤b，這說明橢圓位于直線x＝±a和y＝±b所圍成的矩形框里．(2)橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構(gòu)成一個直角三角形，其三邊長滿足關(guān)系式：a2＝b2＋c2．5．橢圓的離心率橢圓的焦距與長軸長的比eq\f(c,a)稱為橢圓的離心率．用e表示，即e＝eq\f(c,a)．(1)橢圓離心率e的取值范圍是(0,1)，橢圓的離心率刻畫了橢圓的“扁平程度”，離心率e越大，橢圓越扁平，離心率e越小，橢圓越接近于圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，c＝0時，兩個焦點重合，橢圓就變?yōu)閳A，它的方程為x2＋y2＝a2．(2)橢圓離心率是焦距與長軸長的比，也可以形象的理解為在橢圓的長軸長不變的前提下，兩個焦點離開中心的程度．由橢圓的定義，橢圓的離心率e一般有以下幾種表達(dá)方式：①e＝eq\f(c,a)＝cosα；②e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(F1F2,A1A2)；③e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(F1F2,PF1＋PF2)；④e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))(如圖)．6．直線與橢圓的位置關(guān)系及判定一般，聯(lián)立直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y，得一個一元二次方程．位置關(guān)系解的個數(shù)Δ的取值相交__2__Δ＞0相切__1__Δ＝0相離__0__Δ＜07．點與橢圓的位置關(guān)系點P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置關(guān)系：(1)點P在橢圓上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；(2)點P在橢圓內(nèi)部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＜1；(3)點P在橢圓外部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＞1．8．弦長公式設(shè)直線y＝kx＋b(k≠0)與橢圓的交點坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|．9．雙曲線的定義平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點的軌跡叫作雙曲線，兩個定點F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點，兩個焦點間的距離叫作雙曲線的焦距．符號語言：|PF1－PF2|＝常數(shù)(常數(shù)小于F1F2)．10．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形焦點坐標(biāo)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(1)標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個參數(shù)a和b確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件．(2)焦點F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線的定位條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型．“焦點跟著正項走”，即若x2的系數(shù)為正，則焦點在x軸上；若y2的系數(shù)為正，則焦點在y軸上．(3)在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，因為a，b，c三個量滿足c2＝a2＋b2．所以長度分別為a，b，c的三條線段恰好構(gòu)成一個直角三角形，且長度為c的線段是斜邊，如圖所示．11．直線與雙曲線的位置關(guān)系直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷一般地，設(shè)直線方程為y＝kx＋m(m≠0)，雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，將y＝kx＋m代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，消去y并化簡，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0．①當(dāng)b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)時，直線與漸近線平行，則直線與雙曲線只有一個公共點．②當(dāng)b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)時，判別式Δ＞0?直線與雙曲線相交，有兩個公共點；判別式Δ＝0?直線與雙曲線相切，有且只有一個公共點；判別式Δ＜0?直線與雙曲線相離，沒有公共點．(1)雙曲線的通徑過焦點且與焦點所在的軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫做雙曲線的通徑．對于雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，將x＝c代入雙曲線的方程可得eq\f(y2,b2)＝eq\f(c2,a2)－1＝eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(b2,a2)，所以直線x＝c與雙曲線的兩個交點為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，計算得通徑長AB＝eq\f(2b2,a)．同理，可求得雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的通徑長也是eq\f(2b2,a)．(2)雙曲線的焦點弦的最小值若焦點弦與雙曲線的交點在同一支上，則最短弦長是通徑長eq\f(2b2,a)；若焦點弦與雙曲線的交點在兩支上，則最短弦長是2a．12．雙曲線的范圍、對稱性和頂點標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)性質(zhì)范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：x軸、y軸；對稱中心：坐標(biāo)原點頂點坐標(biāo)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b；半實軸長：a；半虛軸長：b13．雙曲線的漸近線(1)漸近線一般地，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩支向外延伸時，與兩條直線eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0逐漸接近，我們把這兩條直線叫作雙曲線的漸近線．雙曲線與它的漸近線無限接近，但永遠(yuǎn)不相交．(2)等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其離心率e＝eq\r(2)．14．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與漸近線方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形漸近線直線y＝±eq\f(b,a)x直線y＝±eq\f(a,b)x雙曲線與漸近線的關(guān)系雙曲線在漸近線的左、右兩個區(qū)域，與漸近線無限靠近但不相交雙曲線在漸近線的上、下兩個區(qū)域，與漸近線無限靠近但不相交15．等軸雙曲線的性質(zhì)(1)方程形式為x2－y2＝λ(λ≠0)；(2)漸近線方程為y＝±x，它們互相垂直，并且平分雙曲線實軸和虛軸所成的角；(3)實軸長和虛軸長相等，離心率e＝eq\r(2)．16．雙曲線與橢圓的六個不同點雙曲線橢圓曲線兩支曲線封閉的曲線頂點兩個頂點四個頂點軸實、虛軸長、短軸漸近線有漸近線無漸近線離心率e＞10＜e＜1a，b，c關(guān)系a2＋b2＝c2a2－b2＝c217．雙曲線的離心率定義雙曲線的焦距與實軸長的比eq\f(c,a)，叫做雙曲線的離心率范圍[1，＋∞)雙曲線形狀與e的關(guān)系由等式c2＝a2＋b2，得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)．因此e越大，eq\f(b,a)也越大，即漸近線y＝±eq\f(b,a)x的斜率的絕對值越大，這時雙曲線的開口就越大，因此離心率e可以用來表示雙曲線開口的程度．18．拋物線的定義平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線，定點F叫作拋物線的焦點，定直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線．19．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有以下四種不同的形式標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)圖形焦點坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)p的幾何意義焦點到準(zhǔn)線的距離20．拋物線的簡單幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)性質(zhì)頂點O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下21．直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線有三種位置關(guān)系：相離、相切、相交．22．直線與拋物線位置關(guān)系的判斷方法(1)直線的斜率存在時，設(shè)直線y＝kx＋m與拋物線y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，將y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化簡，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0．①當(dāng)k＝0時，直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合，直線與拋物線只有一個公共點．②當(dāng)k≠0時，判別式Δ＞0?直線與拋物線相交，有兩個公共點；判別式Δ＝0?直線與拋物線相切，有且只有一個公共點；判別式Δ＜0?直線與拋物線相離，沒有公共點．(2)直線的斜率不存在時，設(shè)直線l：x＝m，拋物線：y2＝2px(p＞0)．顯然，當(dāng)m＜0時，直線與拋物線相離，無交點；當(dāng)m＝0時，直線與拋物線相切，有一個交點；當(dāng)m＞0時，直線與拋物線相交，有兩個交點．23．拋物線的通徑(1)定義：通過拋物線的焦點作垂直于對稱軸的直線，交拋物線于A，B兩點，線段AB被稱為拋物線的通徑，如圖所示．對于拋物線y2＝2px(p＞0)，由Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p))，得AB＝2p，故拋物線的通徑長為2p．(2)通徑是所有焦點弦中最短的弦．(3)通徑在反映拋物線開口大小上的作用：拋物線的通徑AB(如圖所示)的長度為2p，這是常數(shù)2p的又一幾何意義，所以p越大，通徑越長，即拋物線的開口越大；反之，p越小，通徑越短，即拋物線的開口越?。}型一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點在y軸上，經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0)；(2)橢圓的兩個焦點的坐標(biāo)分別是(0，－2)，(0,2)，并且橢圓經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))；(3)經(jīng)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))．【解析】(1)因為橢圓的焦點在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．又橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)＋x2＝1．(2)因為橢圓的焦點在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，由橢圓的定義知，2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))2)＝2eq\r(10)，即a＝eq\r(10)，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1．(3)法一：(分類討論法)①當(dāng)橢圓焦點在x軸上時，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．依題意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,0＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4).))由a＞b＞0，知不合題意，故舍去；②當(dāng)橢圓焦點在y軸上時，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．依題意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2,a2)＋0＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5).))所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,5))＝1．法二：(待定系數(shù)法)設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)m＋\f(1,9)n＝1，,\f(1,4)n＝1，)) 解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝4.))所以所求橢圓的方程為5x2＋4y2＝1，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,5))＝1．思維升華1．待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)先確定焦點位置；(2)設(shè)出方程；(3)尋求a，b，c的等量關(guān)系；(4)求a，b的值，代入所設(shè)方程．2．易錯提醒當(dāng)焦點位置不確定時，可設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因為它包括焦點在x軸上(m＜n)或焦點在y軸上(m＞n)兩類情況，所以可以避免分類討論，從而簡化了運算．鞏固訓(xùn)練1．設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，與y軸正半軸的交點為B，若BF2＝F1F2＝2，則該橢圓的方程為()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C．eq\f(x2,2)＋y2＝1 D．eq\f(x2,4)＋y2＝1【答案】A【解析】因為BF2＝F1F2＝2，所以a＝2，c＝1，由a2＝b2＋c2可得b2＝3，所以所求橢圓的方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．故選A．2．過點(－3,2)且與橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦點的橢圓E的方程是()A．eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B．eq\f(x2,225)＋eq\f(y2,100)＝1C．eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D．eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,225)＝1【答案】A【解析】由題意得橢圓C的焦點坐標(biāo)為(eq\r(5)，0)，(－eq\r(5)，0)，c＝eq\r(5)．設(shè)橢圓E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，把點(－3,2)代入，得eq\f(9,a2)＋eq\f(4,b2)＝1，①∵橢圓C與橢圓E有相同的焦點，∴a2－b2＝5，②由①②得a2＝15，b2＝10，∴橢圓E的方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1，故選A．題型二橢圓的定義及其應(yīng)用【例2】(1)已知△ABC的頂點B，C在橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是()A．2eq\r(3) B．6C．4eq\r(3) D．12(2)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且PF1∶PF2＝2∶1，則△F1PF2的面積等于()A．5 B．4C．3 D．1【答案】(1)C(2)B【解析】(1)設(shè)另一焦點為F．由F在BC邊上及橢圓的定義得BF＋BA＝CF＋CA＝2a＝2eq\r(3)，所以△ABC的周長為BC＋BA＋CA＝(BF＋CF)＋BA＋CA＝4eq\r(3)．故選C．(2)由橢圓方程，得a＝3，b＝2，c＝eq\r(5)．∵PF1＋PF2＝2a＝6且PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，又F1F2＝2eq\r(5)，∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)，∴△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面積為eq\f(1,2)·PF1·PF2＝eq\f(1,2)×4×2＝4．思維升華解決與橢圓焦點三角形有關(guān)問題的思路畫出圖形，觀察圖形，充分利用橢圓的定義，正、余弦定理以及三角形的面積公式等來分析解決問題．鞏固訓(xùn)練1．若橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,4)＝1上一點P到焦點F1的距離為3，則點P到另一焦點F2的距離為()A．6 B．7C．8 D．9【答案】B【解析】根據(jù)橢圓的定義知，PF1＋PF2＝2a＝2×5＝10，因為PF1＝3，所以PF2＝7．2．已知F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A，B兩點．若F2A＋F2B＝12，則AB＝________．【答案】8【解析】由直線AB過橢圓的一個焦點F1，知AB＝F1A＋F1B，所以在△F2AB中，F(xiàn)2A＋F2B＋AB＝4a＝20，又F2A＋F2B＝12，所以AB＝8．題型三與橢圓有關(guān)的軌跡問題【例3】如圖所示，在圓C：(x＋1)2＋y2＝25內(nèi)有一點A(1,0)．Q為圓C上任意一點，線段AQ的垂直平分線與C，Q的連線交于點M，當(dāng)點Q在圓C上運動時，求點M的軌跡方程．【解析】如圖所示，連接MA．由題意知點M在線段CQ上，從而有CQ＝MQ＋CM．又點M在AQ的垂直平分線上，則MA＝MQ，故MA＋MC＝CQ＝5＞AC＝2．又A(1,0)，C(－1,0)，故點M的軌跡是以(1,0)，(－1,0)為焦點的橢圓，且2a＝5，c＝1，故a＝eq\f(5,2)，b2＝a2－c2＝eq\f(25,4)－1＝eq\f(21,4)．故點M的軌跡方程為eq\f(x2,\f(25,4))＋eq\f(y2,\f(21,4))＝1．思維升華與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代入法．1．定義法如果能確定動點運動的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可以利用這種已知曲線的定義直接寫出其方程，這種求軌跡方程的方法稱為定義法．2．代入法(相關(guān)點法)若所求軌跡上的動點P(x，y)與另一個已知曲線C：F(x，y)＝0上的動點Q(x1，y1)存在著某種聯(lián)系，可以把點Q的坐標(biāo)用點P的坐標(biāo)表示出來，然后代入已知曲線C的方程F(x，y)＝0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(也稱相關(guān)點法)．鞏固訓(xùn)練1．已知△ABC的兩個頂點分別為A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周長為18，則點C的軌跡方程為()A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) B．eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D．eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)【答案】A【解析】依題意得CA＋CB＝10＞8，∴點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，則a＝5，c＝4，從而b2＝9．又A，B，C三點不共線，∴點C不在x軸上，∴點C的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．故選A．2．已知P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1上一動點，O為坐標(biāo)原點，則線段OP中點Q的軌跡方程為______________．【答案】x2＋eq\f(y2,2)＝1【解析】設(shè)Q(x，y)，由于Q是OP中點，故P(2x,2y)，代入橢圓方程得eq\f(2x2,4)＋eq\f(2y2,8)＝1，化簡得x2＋eq\f(y2,2)＝1．即Q點的軌跡方程為x2＋eq\f(y2,2)＝1．題型四根據(jù)橢圓方程研究其幾何性質(zhì)【例4】(1)橢圓25x2＋9y2＝225的長軸長、短軸長、離心率依次是()A．5,3,0．8 B．10,6,0．8C．5,3,0．6 D．10,6,0．6(2)(多選)已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)，并且焦距為6，則實數(shù)m的值為()eq\a\vs4\al(A.4,C.6)eq\a\vs4\al(B.\r(34),D.\r(33))【答案】(1)B(2)AB【解析】(1)把橢圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，∴2a＝10,2b＝6，eq\f(c,a)＝0．8．故選B．(2)∵2c＝6，∴c＝3．當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2＝25，b2＝m2．由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4；當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2＝m2，b2＝25．由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝eq\r(34)．綜上可知，實數(shù)m的值為4或eq\r(34)．故選A、B．思維升華1．由橢圓方程討論其幾何性質(zhì)的步驟(1)化橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，確定焦點在哪個坐標(biāo)軸上；(2)由標(biāo)準(zhǔn)形式求出a，b，c，寫出其幾何性質(zhì)．2．橢圓的幾何性質(zhì)與橢圓的形狀、大小和位置的關(guān)系(1)橢圓的焦點決定橢圓的位置；(2)橢圓的范圍決定橢圓的大??；(3)橢圓的離心率刻畫橢圓的扁平程度；(4)對稱性是圓錐曲線的重要性質(zhì)，橢圓的頂點是橢圓與對稱軸的交點，是橢圓上的重要的特殊點，在畫圖時應(yīng)先確定這些點．鞏固訓(xùn)練1．已知橢圓x2＋my2＝1的焦點在x軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m＝()A．eq\r(2) B．2C．eq\f(1,4) D．4【答案】D【解析】橢圓x2＋my2＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1．焦點在x軸上，所以長軸長2a＝2，短軸長2b＝2eq\r(\f(1,m))，所以2eq\r(\f(1,m))＝1，解得m＝4．故選D．2．設(shè)橢圓方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的離心率為eq\f(1,2)，試求橢圓的長軸長和短軸長、焦點坐標(biāo)及頂點坐標(biāo)．【解析】橢圓方程可化為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1．(1)當(dāng)0＜m＜4時，焦點在x軸上，a＝2，b＝eq\r(m)，c＝eq\r(4－m)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(4－m),2)＝eq\f(1,2)，∴m＝3，∴b＝eq\r(3)，c＝1，∴橢圓的長軸長和短軸長分別是4,2eq\r(3)，焦點坐標(biāo)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，頂點坐標(biāo)為A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－eq\r(3))，B2(0，eq\r(3))．(2)當(dāng)m＞4時，焦點在y軸上，a＝eq\r(m)，b＝2，∴c＝eq\r(m－4)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(m－4),\r(m))＝eq\f(1,2)，解得m＝eq\f(16,3)，∴a＝eq\f(4\r(3),3)，c＝eq\f(2\r(3),3)，∴橢圓的長軸長和短軸長分別為eq\f(8\r(3),3)，4，焦點坐標(biāo)為F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2\r(3),3)))，F(xiàn)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，頂點坐標(biāo)為A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(4\r(3),3)))，A2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4\r(3),3)))，B1(－2,0)，B2(2,0)．題型五根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程【例5】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)長軸長是10，離心率是eq\f(4,5)．(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6．(3)經(jīng)過點M(1,2)，且與橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1有相同離心率的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，由已知得2a＝10，故a＝5．∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，∴c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1．(2)依題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．如圖所示，△A1FA2為等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線，且OF＝c，A1A2＝2b，則c＝b＝3，故a2＝b2＋c2＝18，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1．(3)法一：由題意知e2＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，即a2＝2b2，設(shè)所求橢圓的方程為eq\f(x2,2b2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,2b2)＋eq\f(x2,b2)＝1．將點M(1,2)代入橢圓方程，得eq\f(1,2b2)＋eq\f(4,b2)＝1或eq\f(4,2b2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得b2＝eq\f(9,2)或b2＝3．故所求橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,\f(9,2))＝1或eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,3)＝1．法二：設(shè)所求橢圓方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝k1(k1＞0)或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,6)＝k2(k2＞0)，將點M的坐標(biāo)代入可得eq\f(1,12)＋eq\f(4,6)＝k1或eq\f(4,12)＋eq\f(1,6)＝k2，解得k1＝eq\f(3,4)，k2＝eq\f(1,2)，故eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝eq\f(3,4)或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,6)＝eq\f(1,2)，即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,\f(9,2))＝1或eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,3)＝1．思維升華已知橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)確定焦點所在的坐標(biāo)軸，從而確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；(2)由所給的幾何性質(zhì)充分挖掘a，b，c所滿足的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式或方程(組)解出a，b的值；(3)寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．鞏固訓(xùn)練1．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于eq\f(1,3)，則橢圓C的方程是()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1【答案】D【解析】依題意，設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,3)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝9，b2＝8．故橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1．2．已知橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是一個焦點，A是一個頂點，橢圓的長軸長為6，且cos∠OFA＝eq\f(2,3)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________．【答案】eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1或eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,9)＝1【解析】因為橢圓的長軸長是6，cos∠OFA＝eq\f(2,3)，所以點A不是長軸的端點(是短軸的端點)．所以O(shè)F＝c，AF＝a＝3，所以eq\f(c,3)＝eq\f(2,3)，所以c＝2，b2＝32－22＝5，所以橢圓的方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1或eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,9)＝1．題型六求橢圓的離心率【例6】設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為________．【答案】eq\f(\r(3),3)【解析】法一：由題意可設(shè)PF2＝m，結(jié)合條件可知PF1＝2m，F(xiàn)1F2＝eq\r(3)m，故離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(F1F2,PF1＋PF2)＝eq\f(\r(3)m,2m＋m)＝eq\f(\r(3),3)．法二：由PF2⊥F1F2可知P點的橫坐標(biāo)為c，將x＝c代入橢圓方程可解得y＝±eq\f(b2,a)，所以PF2＝eq\f(b2,a)．又由∠PF1F2＝30°可得F1F2＝eq\r(3)PF2，故2c＝eq\r(3)·eq\f(b2,a)，變形可得eq\r(3)(a2－c2)＝2ac，等式兩邊同除以a2，得eq\r(3)(1－e2)＝2e，解得e＝eq\f(\r(3),3)或e＝－eq\r(3)(舍去)．思維升華求橢圓離心率及范圍的兩種方法直接法若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a．再代入公式e＝eq\f(c,a)求解方程法若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍鞏固訓(xùn)練1．焦點在x軸上的橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，短軸的一個端點和兩個焦點相連構(gòu)成一個三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為eq\f(b,3)，則橢圓的離心率為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【答案】C【解析】由三角形的面積相等，得eq\f(1,2)×2c×b＝eq\f(1,2)×(2a＋2c)×eq\f(b,3)，得a＝2c，即e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故選C．2．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為________．【答案】eq\r(3)－1【解析】如圖，∵△DF1F2為正三角形，N為DF2的中點，∴F1N⊥F2N．∵NF2＝OF2＝c，∴NF1＝eq\r(F1F\o\al(2,2)－NF\o\al(2,2))＝eq\r(4c2－c2)＝eq\r(3)c．由橢圓的定義可知NF1＋NF2＝2a，∴eq\r(3)c＋c＝2a，∴a＝eq\f(\r(3)＋1c,2)．∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1．題型七直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷【例7】(1)已知直線l：x＋y－3＝0，橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1，則直線與橢圓的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．相切或相交(2)直線y＝kx－k＋1(k∈R)與焦點在x軸上的橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點，則m的取值范圍是________．【答案】(1)C(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，5))【解析】(1)把x＋y－3＝0代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，得eq\f(x2,4)＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0．∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64＜0，∴直線與橢圓相離．故選C．(2)直線y＝k(x－1)＋1恒過定點P(1,1)，直線與橢圓總有公共點等價于點P(1,1)在橢圓內(nèi)或在橢圓上．所以eq\f(12,5)＋eq\f(12,m)≤1，即m≥eq\f(5,4)，又0＜m＜5，故m∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，5))．思維升華直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷判斷直線與橢圓有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個數(shù)問題，此時要注意分類討論思想的運用．鞏固訓(xùn)練1．(多選)無論k為何值，直線y＝kx＋2和橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1交點情況滿足()A．沒有公共點 B．一個公共點C．兩個公共點 D．無法確定【答案】BC【解析】因為y＝kx＋2過定點(0,2)，且橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的上頂點也為(0,2)，所以當(dāng)直線的斜率為0時，此時直線與橢圓相切，僅有一個公共點，當(dāng)直線的斜率不為零時，此時直線與橢圓有兩個交點，故選B、C．2．直線l：y＝kx＋2與橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1有公共點，則k的取值范圍為________．【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(6),2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞))【解析】聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝kx＋2，))整理得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0．因為直線l與橢圓C有公共點．所以Δ＝(8k)2－24(2k2＋1)≥0，解得k≥eq\f(\r(6),2)或k≤－eq\f(\r(6),2)．題型八弦長及中點弦問題【例8】過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1內(nèi)一點M(2,1)引一條弦AB，若該弦被M點平分．(1)求此弦所在的直線方程；(2)求弦AB的長．【解析】(1)設(shè)所求直線方程為y－1＝k(x－2)．代入橢圓方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0．又設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是方程的兩個根，于是x1＋x2＝eq\f(82k2－k,4k2＋1)．又M為AB的中點，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(42k2－k,4k2＋1)＝2，解得k＝－eq\f(1,2)．故所求直線的方程為x＋2y－4＝0．(2)設(shè)弦的兩端點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,\f(x2,16)＋\f(y2,4)＝1，))得x2－4x＝0，所以x1＋x2＝4，x1x2＝0，所以AB＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)·eq\r(42－4×0)＝2eq\r(5)．思維升華1．直線與橢圓相交弦長的求法(1)直接利用兩點間距離公式：當(dāng)弦的兩端點的坐標(biāo)易求時，可直接求出交點坐標(biāo)，再用兩點間距離公式求弦長．(2)弦長公式：當(dāng)弦的兩端點的坐標(biāo)不易求時，可用弦長公式．2．解決橢圓中點弦問題的兩種方法根與系數(shù)的關(guān)系法聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決點差法利用交點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系鞏固訓(xùn)練1．(多選)已知直線y＝3x＋2被橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)截得的弦長為8，下列直線中被橢圓截得的弦長也為8的是()A．y＝3x－2 B．y＝3x＋1C．y＝－3x－2 D．y＝－3x【答案】AC【解析】作出橢圓和有關(guān)直線(圖略)，由于橢圓關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點對稱，而A、C中的直線與直線y＝3x＋2或關(guān)于原點對稱或關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，所以它們被橢圓截得的弦長相等，且可從圖中看出B、D中的直線被橢圓截得的弦長都大于8，故選A、C．2．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的弦AB的中點為(－1，－1)，則弦AB的長為()eq\a\vs4\al(A.\f(\r(30),3),C.\f(\r(10),3))eq\a\vs4\al(B.\f(2\r(6),3),D.\f(\r(15),3))【答案】A【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為點A，B在橢圓上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),4)＋\f(y\o\al(2,1),2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),4)＋\f(y\o\al(2,2),2)＝1，②))②－①，得eq\f(y2－y1,x2－x1)＝－eq\f(2,4)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)，又弦AB的中點為(－1，－1)，所以直線AB的斜率為－eq\f(1,2)，所以直線方程為y＝－eq\f(1,2)(x＋1)－1，聯(lián)立橢圓方程消去y得到3x2＋6x＋1＝0，根據(jù)弦長公式得AB＝eq\f(\r(30),3)．故選A．3．直線y＝x＋2交橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1于A，B兩點，若AB＝3eq\r(2)，則m的值為________．【答案】12【解析】由橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1，則頂點為(0,2)，而直線y＝x＋2也過(0,2)，所以A(0,2)為直線與橢圓的一個交點，設(shè)B(xB，yB)，則AB＝eq\r(xB－xA2＋yB－yA2)＝eq\r(1＋k2)|xB－xA|＝eq\r(2)|xB|＝3eq\r(2)，解得xB＝±3，所以B(－3，－1)或B(3,5)(舍去)，把B(－3，－1)代入橢圓方程得eq\f(9,m)＋eq\f(1,4)＝1，故m＝12．題型九利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)【例9】求滿足下列條件的參數(shù)的值．(1)已知雙曲線方程為2x2－y2＝k，焦距為6，求k的值；(2)橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a2)＝1與雙曲線eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦點，求a的值．【解析】(1)若焦點在x軸上，則方程可化為eq\f(x2,\f(k,2))－eq\f(y2,k)＝1，所以eq\f(k,2)＋k＝32，即k＝6；若焦點在y軸上，則方程可化為eq\f(y2,－k)－eq\f(x2,\f(－k,2))＝1，所以－k＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)))＝32，即k＝－6．綜上所述，k的值為6或－6．(2)由雙曲線方程知焦點在x軸上且c2＝a＋2(a＞0)．由橢圓方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．因此a的值為1．思維升華方程表示雙曲線的條件及參數(shù)范圍求法(1)對于方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，當(dāng)mn＜0時表示雙曲線，進(jìn)一步，當(dāng)m＞0，n＜0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當(dāng)m＜0，n＞0時表示焦點在y軸上的雙曲線．(2)對于方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1，當(dāng)mn＞0時表示雙曲線，且當(dāng)m＞0，n＞0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當(dāng)m＜0，n＜0時表示焦點在y軸上的雙曲線．(3)已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再根據(jù)方程中參數(shù)取值的要求，建立不等式（組）求解參數(shù)的取值范圍．鞏固訓(xùn)練1．已知方程eq\f(x2,k－5)－eq\f(y2,|k|－2)＝1對應(yīng)的圖形是雙曲線，那么k的取值范圍是()A．k＞5 B．k＞5或－2＜k＜2C．k＞2或k＜－2 D．－2＜k＜2【答案】B【解析】∵方程對應(yīng)的圖形是雙曲線，∴(k－5)(|k|－2)＞0．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－5＞0，,|k|－2＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－5＜0，,|k|－2＜0.))解得k＞5或－2＜k＜2．2．(多選)已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值可以是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】AB【解析】由題意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2．又由該雙曲線兩焦點間的距離為4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3．故選A、B．題型十求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例10】根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)a＝4，經(jīng)過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4\r(10),3)))；(2)與雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有相同的焦點，且經(jīng)過點(3eq\r(2)，2)；(3)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦點在坐標(biāo)軸上．【解析】(1)當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)，把點A的坐標(biāo)代入，得b2＝－eq\f(16,15)×eq\f(160,9)＜0，不符合題意；當(dāng)焦點在y軸上時，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,b2)＝1(b＞0)，把A點的坐標(biāo)代入，得b2＝9．故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1．(2)法一：∵焦點相同，∴設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20． ①∵雙曲線經(jīng)過點(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,a2)－eq\f(4,b2)＝1． ②由①②得a2＝12，b2＝8，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1．法二：設(shè)所求雙曲線的方程為eq\f(x2,16－λ)－eq\f(y2,4＋λ)＝1(－4＜λ＜16)．∵雙曲線過點(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,16－λ)－eq\f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1．(3)設(shè)雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1，AB＜0．∵點P，Q在雙曲線上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9).))∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1．思維升華1．求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時有兩個關(guān)注點(1)定位：“定位”是指確定與坐標(biāo)系的相對位置，即在“標(biāo)準(zhǔn)方程”的前提下，確定焦點位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式．(2)定量：“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解．2．用待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟鞏固訓(xùn)練1．已知雙曲線的a＝5，c＝7，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1B．eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1C．eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1D．eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝0或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝0【答案】C【解析】b2＝c2－a2＝72－52＝24，雙曲線的焦點可以在x軸上，也可以在y軸上，故選C．2．以橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1長軸的端點為焦點，且經(jīng)過點(3，eq\r(10))的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．【答案】eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝1【解析】由題意得，雙曲線的焦點在x軸上，且c＝2eq\r(2)．設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，則有a2＋b2＝c2＝8，eq\f(9,a2)－eq\f(10,b2)＝1，解得a2＝3，b2＝5．故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝1．題型十一求雙曲線的離心率【例11】(1)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點為F，右頂點為A，虛軸的一個端點為B，若△ABF為等腰三角形，則雙曲線C的離心率是()A．eq\r(3) B．eq\r(2)C．eq\r(2)或eq\r(3) D．1＋eq\r(3)(2)若雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝1無交點，則C的離心率的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(2),4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))【答案】(1)D(2)C【解析】(1)由題意，知F(－c,0)，A(a,0)，設(shè)B(0，b)，則AF2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac，AB2＝a2＋b2，BF2＝b2＋c2．由△ABF為等腰三角形，得AF＝BF，即a2＋c2＋2ac＝b2＋c2，變形，得c2－2a2－2ac＝0，又e＝eq\f(c,a)，則有e2－2e－2＝0，解得e＝1±eq\r(3)，又雙曲線中e＞1，所以e＝1＋eq\r(3)．(2)由題意，得雙曲線的漸近線為bx±ay＝0，∵雙曲線的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝1無交點，∴圓心到漸近線的距離大于半徑，即eq\f(3b,\r(a2＋b2))＞1，∴8b2＞a2，∴8(c2－a2)＞a2，即8c2＞9a2，∴e＝eq\f(c,a)＞eq\f(3\r(2),4)．思維升華求雙曲線的離心率或其取值范圍的思路(1)求解雙曲線的離心率一般有兩種方法．①由條件尋找a，c所滿足的等式，常用的公式變形為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(1,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2))，其中a＞0，b＞0．②依據(jù)條件列出含a，c的齊次方程，利用e＝eq\f(c,a)轉(zhuǎn)化為含e或e2的方程，解方程即可，注意依據(jù)e＞1對所得解進(jìn)行取舍．(2)求雙曲線離心率的取值范圍，關(guān)鍵是根據(jù)條件得到不等關(guān)系，并想辦法轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的不等關(guān)系，結(jié)合c2＝a2＋b2和eq\f(c,a)＝e得到關(guān)于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e時，經(jīng)常用到結(jié)論：雙曲線上一點到相應(yīng)焦點距離的最小值為c－a．雙曲線的離心率常以漸近線為載體進(jìn)行命題，注意二者參數(shù)之間的轉(zhuǎn)化．鞏固訓(xùn)練1．中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(4，－2)，則它的離心率為()A．eq\r(6) B．eq\r(5)C．eq\f(\r(6),2) D．eq\f(\r(5),2)【答案】D【解析】由題意知，過點(4，－2)的漸近線的方程為y＝－eq\f(b,a)x，∴－2＝－eq\f(b,a)·4，∴a＝2b．設(shè)b＝k，則a＝2k，c＝eq\r(5)k，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5)k,2k)＝eq\f(\r(5),2)．2．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)．若雙曲線上存在點P使得eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(a,c)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是____________．【答案】(1，eq\r(2)＋1)【解析】在△PF1F2中，由正弦定理，得eq\f(PF2,sin∠PF1F2)＝eq\f(PF1,sin∠PF2F1)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq\f(PF1,PF2)，即PF1＝eq\f(c,a)PF2，則點P在雙曲線的右支上，且點P不在直線F1F2上，畫出示意圖如圖所示．由雙曲線的定義知，PF1－PF2＝2a，則eq\f(c,a)·PF2－PF2＝2a，即PF2＝eq\f(2a2,c－a)．又由雙曲線的性質(zhì)知，PF2＞c－a，則eq\f(2a2,c－a)＞c－a，即c2－2ac－a2＜0，所以e2－2e－1＜0，解得－eq\r(2)＋1＜e＜eq\r(2)＋1．又e∈(1，＋∞)，所以e∈(1，eq\r(2)＋1)．題型十二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例12】分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)準(zhǔn)線方程為2y＋4＝0；(2)過點(3，－4)；(3)焦點在直線x＋3y＋15＝0上．【解析】(1)準(zhǔn)線方程為2y＋4＝0，即y＝－2，故拋物線焦點在y軸的正半軸上，設(shè)其方程為x2＝2py(p＞0)．又eq\f(p,2)＝2，∴2p＝8，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝8y．(2)∵點(3，－4)在第四象限，∴拋物線開口向右或向下，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把點(3，－4)的坐標(biāo)分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝eq\f(16,3)，2p1＝eq\f(9,4)．∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝eq\f(16,3)x或x2＝－eq\f(9,4)y．(3)令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15．∴拋物線的焦點為(0，－5)或(－15,0)．∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－20y或y2＝－60x．思維升華求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)直接法：直接利用題中已知條件確定參數(shù)p．(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出拋物線的方程，再根據(jù)題中條件確定參數(shù)p．當(dāng)焦點位置不確定時，應(yīng)分類討論或設(shè)拋物線方程為y2＝mx或x2＝my(m≠0)．已知焦點坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程可確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；已知拋物線過某點不能確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，需根據(jù)四種拋物線的圖象及開口方向確定．鞏固訓(xùn)練1．已知拋物線的焦點為F(a,0)(a＜0)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．y2＝2ax B．y2＝4axC．y2＝－2ax D．y2＝－4ax【答案】B【解析】因為拋物線的焦點為F(a,0)(a＜0)，所以可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p＞0)．由題意知，－eq\f(p,2)＝a，故p＝－2a．所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4ax．故選B．2．已知雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，若拋物線C2：x2＝2py(p＞0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程是()A．x2＝16y B．x2＝8yC．x2＝eq\f(8\r(3),3)y D．x2＝eq\f(16\r(3),3)y【答案】A【解析】由雙曲線的離心率為2知，e＝eq\f(c,a)＝2，∴c＝2a，從而a2＋b2＝4a2，即b2＝3a2，因此，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x．易知拋物線C2的焦點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))．依題意，得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0－\f(p,2))),\r(3＋1))＝2，解得p＝8(負(fù)值舍去)，∴拋物線C2的方程為x2＝16y．故選A．題型十三由拋物線的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程【例13】求與拋物線y2＝－16x共頂點，對稱軸是坐標(biāo)軸，且焦點在直線x－2y－4＝0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】∵拋物線的頂點在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，∴直線x－2y－4＝0與坐標(biāo)軸的交點即拋物線的焦點．令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4，∴拋物線的焦點坐標(biāo)為(4,0)或(0，－2)．當(dāng)焦點為(4,0)時，eq\f(p,2)＝4，∴p