高中數(shù)學學業(yè)水平測試復(fù)習專題七立體幾何初步第24講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系課件

第24講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系必備知識PART01第一部分1．四個公理公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)．推理模式：__________________．如圖所示，或者：因為A∈α，B∈α，所以AB?α.公理1的作用：①判定直線是否在平面內(nèi)；②判定點是否在平面內(nèi)；③檢驗面是否是平面．公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線．推理模式：______________________．如圖所示，或者：因為A∈α，A∈β，所以α∩β＝l，A∈l.公理2的作用：①判斷兩個平面是否相交及交線位置；②判斷點是否在線上．今后所說的兩個平面(或兩條直線)，如無特殊說明，均指不同的平面(直線).公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面．推理模式：____________________________．或者：因為A，B，C不共線，所以存在唯一的平面α，使得A，B，C∈α.推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行．4．平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．5．等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．幾個唯一性結(jié)論(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直；(3)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．考點精析PART02第二部分考點一公理的應(yīng)用(1)在下列命題中，不是公理的是(

)A．如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)B．經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面C．垂直于同一條直線的兩個平面相互平行D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的一條直線√解析：對于選項A，B，D分別是公理1，3，2；選項C不是公理．故選C.(2)在空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA上分別取點E，F(xiàn)，G，H，若直線EH，F(xiàn)G相交于點P，則(

)A．點P必在直線AC上B．點P必在直線BD上C．點P必在平面ABC內(nèi)D．點P必在平面ACD內(nèi)√解析：如圖，連接EH，F(xiàn)G，BD，因為EH，F(xiàn)G所在直線相交于點P，所以P∈EH且P∈FG，因為EH?平面ABD，F(xiàn)G?平面BCD，所以P∈平面ABD，且P∈平面BCD，又因為平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD.故選B.歸納總結(jié)公理1是判斷一條直線是否在某個平面內(nèi)的依據(jù)；公理2是判斷或證明點、線共面的依據(jù)；公理3是證明三點共線的依據(jù)；公理4是判斷空間兩條直線平行的依據(jù)，也叫平行的傳遞性．考點二判斷空間兩直線的位置關(guān)系(1)已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則(

)A．m與n異面B．m與n相交C．m與n平行D．m與n異面、相交、平行均有可能√解析：如圖所示，在長方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯誤；m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯誤；m，n3與l都異面，m與n3相交．故選D.(2)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直線中，與直線BC1異面的直線的條數(shù)為__________．3解析：根據(jù)題圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的9條棱所在直線中，與直線BC1異面的直線的有A1B1，AA1，AC，共3條．故答案為3.歸納總結(jié)空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定．對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、基本事實4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決．考點三直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)已知直線m，n，平面α，β，若α∥β，m?α，n?β，則直線m與n的關(guān)系是(

)A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面√解析：如圖，

長方體的下底面所在平面為α，上底面所在平面為β，則α∥β，AB所在直線為m，當CD所在直線為n時，m∥n，當CE所在直線為n時，m與n異面．由兩平面平行的定義可知，α與β無公共點，而m?α，n?β，則m與n無公共點，m與n不相交．故選D.(2)(2022·廣東學考)已知直線m與平面α，則下列結(jié)論成立的是(

)A．若直線m垂直于平面α內(nèi)的一條直線，則m⊥αB．若直線m垂直于平面α內(nèi)的兩條直線，則m⊥αC．若直線m平行于平面α內(nèi)的一條直線，則m∥αD．若直線m與平面α沒有公共點，則m∥α√解析：由線面垂直的判定定理知，若直線m垂直于平面α內(nèi)的兩條相交直線，則m⊥α，故A，B錯誤；若直線m平行于平面α內(nèi)的一條直線，則m∥α或m?α，故C錯誤；若直線m與平面α沒有公共點，則m∥α，故D正確．故選D.歸納總結(jié)用定義法判斷直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，要注意充分考慮定義，例如直線與平面相交——直線與平面只有一個公共點，直線與平面平行——直線與平面沒有公共點，平面與平面平行——兩平面沒有公共點，這樣也就得到了相應(yīng)的一些性質(zhì)．綜合提升PART03第三部分1．已知a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，α∩β＝c，a?α，b?β，則“a，b相交”是“a，c相交”的(

)A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件√解析：充分性：若a，b相交，a?α，b?β，則其交點在交線c上，故a，c相交；必要性：若a，c相交，a，b可能為相交直線或異面直線．綜上所述，“a，b相交”是“a，c相交”的充分不必要條件．故選C.2．(2024·廣東學考模擬)已知空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是(

)A．平行B．異面C．相交或平行D．平行或異面或相交均有可能√解析：根據(jù)條件作出示意圖，得到以下三種可能的情況，

由圖可知AB，CD有相交、平行、異面三種情況．故選D.3．如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(

)A．點A B．點BC．點C但不過點M D．點C和點M√解析：因為AB?γ，M∈AB，所以M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.根據(jù)公理3可知，點M在γ與β的交線上.

同理可知，點C也在γ與β的交線上．故選D.4．如圖，兩個正方形ABCD，ADEF不在同一個平面內(nèi)，點P，Q分別為線段EF，CD的中點，則直線FQ與PB的關(guān)系是(

)A．相交 B．平行C．異面 D．相交或異面√解析：取AB的中點G，連接GQ，GF，EQ，則GQ∥AD，

又AD∥EF，所以GQ∥EF，則G，Q，E，F(xiàn)確定平面GQEF，又FQ?平面GQEF，P∈平面GQEF，P?FQ，B?平面GQEF，所以直線FQ與PB是異面直線．故選C.5．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關(guān)系是(

)A．相交但不垂直 B．相交且垂直C．異面 D．平行√6．已知a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，則下列說法中正確的為________．(填序號)①若a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則a∥α；②若α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線；③若α∥β，a?α，則a∥β；④若α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交．③解析：①忽略了a在平面α內(nèi)這一情況，故①錯誤；②直線a與b沒有交點，所以直線a與b可能異面也可能平行，故②錯誤；③直線a與平面β沒有公共點，所以a∥β，故③正確；④直線a與平面β可能相交也可能平行，故④錯誤．7．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結(jié)論錯誤的序號是________．①C1，M，O三點共線；②C1，M，O，C四點共面；③C1，M，O，A四點共面；④D1，D，O，M四點共面．④解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，在①中，因為直線A1C交平面C1BD于點M，所以M∈平面C1BD，M∈直線A1C，又A1C?平面ACC1A1，所以M∈平面ACC1A1，因為O為DB的中點，BD?平面C1BD，且BD?平面ACC1A1，所以O(shè)∈平面C1BD，且O∈平面ACC1A1，又C1∈平面C1BD，且C1∈平面ACC1A1，所以C1，M，O三點共線，故①正確；在②中，因為C1，M，O三點共線，所以C1，M，O，C四點共面，故②正確；在③中，因為C1，M，O三點共線，所以C1，M，O，A四點共面，故③正確；在④中，因為直線OM∩CC1＝C1，DD1∥CC1，所以D1，D，O，M四點不共面，故④錯誤．故答案為④.8．在