專題2.9 函數(shù)的零點（解析版）-2024年高考數(shù)學一輪復習精講精練寶典（新高考專用）

第二章函數(shù)專題2.9函數(shù)的零點1.理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應用.3.了解用二分法求方程的近似解．考點一零點所在區(qū)間判斷考點二判斷零點的個數(shù)考點三根據(jù)零點求的個數(shù)參數(shù)考點四根據(jù)零點的分布求參數(shù)1．函數(shù)的零點與方程的解(1)函數(shù)零點的概念一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實數(shù)α處的函數(shù)值等于零，即f(α)＝0，則稱α為函數(shù)y＝f(x)的零點．(2)函數(shù)零點與方程實數(shù)解的關系方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點．(3)函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，并且f(a)f(b)<0(即在區(qū)間兩個端點處的函數(shù)值異號)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)中至少有一個零點，即?x0∈(a，b)，f(x0)＝0.2．二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．常用結論1．若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調函數(shù)，則f(x)至多有一個零點．2．連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號．第一部分核心典例題型一零點所在區(qū)間判斷1．方程的根所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設，則方程根所在區(qū)間即為零點所在區(qū)間，與在上均為增函數(shù)，在上單調遞增；對于A，，當時，，A錯誤；對于B，，，即，，使得，B正確；對于CD，當時，，在區(qū)間和上無零點，C錯誤，D錯誤.故選：B.2．函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，當時，，當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又，，根據(jù)零點存在性定理及函數(shù)的單調性可得函數(shù)在內有零點，故選：B.3．函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為在上單調遞增，所以在上單調遞增，所以至多有一個零點，因為，，所以在零點在區(qū)間，故選：A．題型二判斷零點的個數(shù)4．設函數(shù)，則函數(shù)的零點的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【詳解】函數(shù)的圖象如下圖所示：

令，則函數(shù)的零點滿足，即，所以??，當時，則，結合函數(shù)的圖象可得的根有3個；當時，則，結合函數(shù)的圖象可得的根有1個；當時，則，結合函數(shù)的圖象可得的根有0個；綜上可得，函數(shù)的零點的個數(shù)是個.故選：C.5．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】D【詳解】首先由定義知道，又由的定義域知道，所以有.然后在同一直角坐標系中先分別畫出和的圖象，如下圖所示：

設方程的三個根從大到小依次排列為，則由圖可知.現(xiàn)在在同一直角坐標系中先分別畫出，，，的圖象如下圖：

由圖可知分別與，，的圖象分別交于一共七個點，所以方程有7個根，則函數(shù)的零點個數(shù)為7.故選：D.6．已知函數(shù)，則方程的根的個數(shù)是（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【詳解】當時，，當時，，當時，，根據(jù)函數(shù)的解析式特征，可知，由，所以函數(shù)在同一直角坐標系內的圖象如下圖：方程的根的個數(shù)就是這兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)，通過圖象可以判斷只有8個交點，故選：B

題型三根據(jù)零點求的個數(shù)參數(shù)7．已知函數(shù)，若的零點個數(shù)為2，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題知，函數(shù)，作出的圖象，利用數(shù)形結合思想可知：

當時，與有兩個交點.故選：B.8．函數(shù)的定義域為，當時，且，若函數(shù)有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】先作出在上的圖象，根據(jù)可知在上的圖象為在上的圖象向右平移2個單位且縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话氲玫?，同理得到上的圖象，如圖：

函數(shù)有四個不同的零點可看作與有四個不同的交點，由圖可知，故.故選：A．9．已知函數(shù)，．若有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】時，，函數(shù)在上單調遞減，，令可得，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示：

由上圖可知，當時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個交點，此時，函數(shù)有2個零點．因此，實數(shù)a的取值范圍是．故選：D．題型四根據(jù)零點的分布求參數(shù)10．已知方程有兩個不同的解，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】

由于，即，在同一坐標系下做出函數(shù)及的圖像，如圖所示：由圖知在上是減函數(shù)，故，由圖知，所以，即，化簡得，即，故選：D.11．已知函數(shù)，若關于x的方程有四個不同的根（），則的最大值是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】圖，

由圖可知當且僅當時，方程有四個不同的根，且，由題：，，設則，令，故在遞增，在遞減，.故選：A.12．函數(shù)，若互不相同，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】不妨設，作出函數(shù)的圖象，如圖：由圖可知，，，，因為，所以，所以，所以，所以，所以.因為二次函數(shù)的對稱軸為，因為，所以，所以，因為，所以，所以.故選：C第二部分課堂達標一、單選題1．函數(shù)的一個零點在內，另一個零點在（

）內.A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為函數(shù)的一個零點在內，所以，又因為函數(shù)在連續(xù)不斷，根據(jù)零點存在性定理另一個零點在內.故選：C.2．已知關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】要使方程有兩個不相等的實數(shù)根，只需滿足，解得.故選：A.3．已知方程的解在內，則（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【詳解】令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調遞增，而，，因此函數(shù)的零點，所以方程的解在內，即.故選：C4．關于的函數(shù)的兩個零點為，且，則＝（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】依題意得是方程的兩不等實根，所以，，，所以，即，又，所以.故選：A5．已知函數(shù)，若關于x的方程有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】令，則可轉化為與只有1個交點，當時，，故恒成立，故在上單調遞增，當時，，故恒成立，故在上單調遞增，又，畫出的圖象如下：

要想與只有1個交點，只需，故實數(shù)a的取值范圍是.故選：A6．若方程有兩個不相等的正實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，依題意，方程有兩個不相等的正實數(shù)解，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C7．以下每個圖象表示的函數(shù)都有零點，但不能用二分法求函數(shù)零點的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】根據(jù)二分法的思想，函數(shù)在區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，且，即函數(shù)的零點是變號零點，才能將區(qū)間一分為二，逐步得到零點的近似值．對各選項的函數(shù)圖象分析可知，A，B，D都符合條件，而選項C不符合，因為圖象經過零點時函數(shù)值的符號沒有發(fā)生變化，因此不能用二分法求函數(shù)零點．故選：C.8．已知函數(shù)，且滿足對任意的，總有，的圖象上關于軸對稱的點恰好有3對，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為當時，，故在上的圖象具有局部周期性，則在上的圖象如圖所示：

設，若要使函數(shù)的圖象上關于軸對稱的點恰好有3對，則函數(shù)與的圖象恰有3個交點，在同一直角坐標系中畫出與的圖象，如圖，

由圖象可得，若使兩函數(shù)的圖象恰有3個交點，則且滿足，，即，，所以，解得，故選：C二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的零點是，B．方程有兩個解C．函數(shù)的圖象關于對稱D．已知函數(shù)的一個零點，用二分法求精確度為0.01的的近似值時，判斷各區(qū)間中點的函數(shù)值的符號最少需要的次數(shù)為8次【答案】BCD【詳解】對A，函數(shù)的零點是，，故A錯誤；對B，與的圖象有兩個交點，故方程有兩個解，故B正確；

對C，函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關于對稱，故C正確；對D，由二分法的步驟可得：第1次：取區(qū)間中點值，精度為1；第2次：取或區(qū)間中點值，精度為；第3次：精度為；第4次：精度為；第5次：精度為；第6次：精度為；第7次：精度為；第8次：精度為；故至少要8次，故D正確；故選：BCD10．已知函數(shù)，則下列命題中，正確的有（

）A．函數(shù)的值域為；B．函數(shù)的單調增區(qū)間為；C．方程有兩個不同的實數(shù)解；D．函數(shù)的圖象關于直線對稱．【答案】BCD【詳解】A選項，因為，故，故函數(shù)的值域為，A錯誤；B選項，因為在R上單調遞增，故的單調遞增區(qū)間為的單調遞增區(qū)間，因為的單調遞增區(qū)間為，所以函數(shù)的單調增區(qū)間為，B正確；C選項，令，即，所以，解得，故方程有兩個不同的實數(shù)解，C正確；D選項，關于對稱，故的圖象關于對稱，D正確.故選：BCD三、填空題11．已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點構成的集合為．【答案】【詳解】函數(shù)的零點，即方程的所有根，令，根據(jù)函數(shù)，方程的解是，則方程的根，即為方程的根，當時，，由，，當時，，由，，綜上，函數(shù)所有零點構成的集合是.故答案為：.12．若二次函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)m的取值范圍是.【答案】【詳解】令，可得，即，由函數(shù)在區(qū)間上存在零點，即方程在區(qū)間上有解，設，可得，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題13．已知函數(shù)是偶函數(shù).當時，.(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知，試討論的零點個數(shù)，并求對應的的取值范圍.【詳解】（1）設，則，則，因為為偶函數(shù)，所以，所以，作出的圖象如圖：

因為函數(shù)在區(qū)間上具有單調性，由圖可得或，解得或；所以實數(shù)的取值范圍是.（2）令，即，由（1）作出的圖象如圖：

由圖像可知：當時，有兩個零點；當時，有四個零點；當時，有六個零點；當時，有三個零點；當時，沒有零點.14．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上有三個零點，求的取值范圍．【詳解】（1）令，則，又是定義在上的奇函數(shù)，所以可得．又，故函數(shù)的解析式為（2）根據(jù)題意作出的圖象如下圖所示：

，，若函數(shù)在上有三個零點，即方程有三個不等的實數(shù)根，所以函數(shù)與有三個不同的交點，由圖可知當，即時，函數(shù)與有三個不同的交點，即函數(shù)有三個零點．故的取值范圍是．15．記，分別為函數(shù)，的導函數(shù).若存在實數(shù)，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“S點”.(1)證明：函數(shù)與不存在“S點”；(2)若