2025年北京高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專練：平面向量與復(fù)數(shù)（9類題型全歸納）（解析版）

熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題08平面向量與復(fù)數(shù)

o----------題型歸納?定方向------------?>

目錄

題型01用基底表示向量.........................................................................I

題型02平面向量共線定理推論...................................................................4

題型03向量數(shù)量積（幾何意義法）...............................................................7

題型04向量數(shù)量積（自主建系法）..............................................................11

題型05向量數(shù)量積（極化恒等式法）...........................................................15

題型06向量投影（投影向量）..................................................................19

題型07向量模（含最值范圍）..................................................................22

題型08向量夾角（含最值范圍）................................................................24

題型09復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算........................................................................28

*>----------題型探析,明規(guī)律-----------令

題型01用基底表示向量

【解題規(guī)律?提分快招】

如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任意向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4，4，

使〃=4,+l2e2.

*窕祠m72023%言年否三稹3而囪丁歪工4面市17萬(wàn)萬(wàn)萬(wàn)己正正西幣殯;碧7百茄而市百「而正二

1—?3—?

B.——AB——AC

44

1—?5―?1—?3—?

C.-AB——ACD.-AB——AC

4444

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的混合運(yùn)算、用基底表示向量

【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.

［詳解］CE=CA+AE=CA+^AD=CA+^(CD-CA^=^CA+^CD

=-CA+-CB

24

=1C4+1(^_^C)

=_1^C+1(ZB-^C)

AACLAB.

=4+4

故選：D

【典例1-2】(2023,北京海淀?一模)在△4BC中，ZC=90°,48=30。，/A4c的平分線交BC于點(diǎn)D.若

—?—.—?4

AD=AAB+//^C(A,//GR),則一=()

A

11

A.-B.—C.2D.3

32

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量基本定理的應(yīng)用

【分析】設(shè)NC=1,由角平分線定理求得黑，然后由向量的線性運(yùn)算可用刀,就表示出血，從而求得

入,",得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)/。=1,因?yàn)?。=90。，/5=30。，所以48=2,

CDAC11

又4。是/A4c的平分線，所以==-^=；,CD=-BC9

BDAB23

AD=AC+CD=AC+^CB=AC+^(AB-AC)=^AB+^AC,

—.—.—.12

yiAD=AAB+JuAC,所以％=§,〃=§,

所以：=

故選：B.

【變式1-1］(2023?北京西城?一模)已知P為△43。所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2CP,則()

A.AP=--AB+-ACB.AP=-AB+-AC

2233

C.AP=-AB--ACD.AP=-AB+-AC

2233

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】用基底表示向量、向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用

【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用向量線性運(yùn)算即可得到答案.

【詳解】由題意作出圖形，如圖，則

=」存+3就，

22

故選：A.

【變式1-2](23-24高三上?北京?階段練習(xí))如圖，在△/BC中，。是5C的中點(diǎn).若麗=￡,萬(wàn)3=知?jiǎng)t工=

()

__1_1一一___

A.3a—2bB.—+—C._〃+2加D.a-2b

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】用基底表示向量、向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳角軍】AC=JC-BA=2DC-BA=2{DA+AC^-BA=2b+2AC-af

所以/C=a-2b

故選：D

【變式1-3](23-24高一下?北京豐臺(tái)?期末)在△43C中，點(diǎn)D是邊45的中點(diǎn).記0=￡,CD=b,則而=

()

A.—a-2bB.—a+2bC.a-2bD.a+2b

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】用基底表示向量

【分析】利用向量的線性運(yùn)算直接求解即可.

【詳解】如圖，因?yàn)椤檫叺闹悬c(diǎn)，

所以麗=聲+而=5+1。一!聲=1四+工赤,

2222

所以至=2而_而=2加一屋

故選：B.

題型02平面向量共線定理推論

【解題規(guī)律?提分快招】

OA=AOB+/nOB（2,〃為實(shí)數(shù)），若N,B,。三點(diǎn)共線=幾+〃=1

—?1?

【典例1-1］（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）已知A45C是邊長(zhǎng)為1的正三角形，AN=gNC,P是BN上一點(diǎn)、

—?—?2—?—

且4尸=加45+§/。，則方（）

212

A.—B.—C.—D.1

993

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】用基底表示向量、用定義求向量的數(shù)量積、平面向量共線定理的推論

【分析】根據(jù)題意得/P=冽/3+"N,由尸㈤N三點(diǎn)共線求得加=§,利用向量數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

■,■*I---------------1------?------?------*}-------*------*X-------*

【詳解】由NN=§NC,^AN=-AC,AP=mAB+-AC=mAB+-AN,

Q1

而尸,8,N三點(diǎn)共線，則機(jī)+1=1,即機(jī)=；,

—1—?2—

所以,

所以〃.益=［次+噂可.礪=g+：xcos60o=|.

故選：A.

【典例1-2］（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知ZUBC的重心為G,經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的直線交48于。，交/C于

E,若而=2次,AE=“AC,則彳+―=.

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用、平面向量共線定理的推論

—11一1I

【分析】先由向量的線性運(yùn)算求得/G=7T/。+丁么￡,再由G,D,E三點(diǎn)共線得二+丁=1,即可求得

【詳解】

如圖，設(shè)尸為3C的中點(diǎn)，貝1］就=；左=：（刀+就），又與=?而，AC^-AE,

33'）A〃

___1__.1___1111

則/G=4D+「/E,又G,D,￡三點(diǎn)共線，.+丁=1,即7+—=3.

73/Ti3jU343〃z//

故答案為：3.

【變式1-1］（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）己知點(diǎn)4B,C是直線/上相異的三點(diǎn)，。為直線/外一點(diǎn)，且

2OA=3OB+XOC,則幾的值是（）

11

A.-1B.1C.——D.-

22

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線定理的推論

【分析】化簡(jiǎn)得+再利用三點(diǎn)共線系數(shù)和為1的結(jié)論即可得到方程，解出即可.

22

___.32--

【詳解】2OA=3OB+AOC，即。/.。臺(tái)+彳。。，

因?yàn)辄c(diǎn)4瓦C是直線/上相異的三點(diǎn)，則點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)共線,

q2

則5+5=1，解得4=-L

故選：A.

【變式1-2]（2024?天津河北?二模）△4BC是等腰直角三角形，其中Z8，/C,CS|=1,尸是△4BC所在平

面內(nèi)的一點(diǎn)，若。=20+〃Q（2>0,//>0<2+2//=2）,則而在而上的投影向量的長(zhǎng)度的取值范

圍是（）

A.卜字B.當(dāng),1C.[1,V2]D.[V2,2]

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】向量與幾何最值、平面向量共線定理的推論、求投影向量

【分析】根據(jù)向量共線定理的推論，投影向量的概念，數(shù)形結(jié)合，即可求解.

【詳解】設(shè)函=253,CP=XCA+!uCB（2N0,〃W0且2+2〃=2）,

__,夕___k2

則樂(lè)=5函+〃而（A>0,〃20且,+〃=1）,

則尸在線段02上，如圖所示，

當(dāng)尸與。重合時(shí)，聲在壇上的投影向量的長(zhǎng)度取得最大值，最大值為1。圖=1;

當(dāng)P與B重合時(shí)，而在齊上的投影向量的長(zhǎng)度取得最小值，最小值為g|C2|=*；

則而在存上的投影向量的長(zhǎng)度的取值范圍是事」.

故選：B.

【變式1-3]（2025高三?北京?專題練習(xí)）已知G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作一條直線與邊,/C分別

交于點(diǎn)E,F（點(diǎn)、E,尸與所在邊的端點(diǎn)均不重合），設(shè)方=x/，AC=vAF,則'的最小值是_____

xy

【答案】|4

【知識(shí)點(diǎn)】向量加法的法則、向量數(shù)乘的有關(guān)計(jì)算、基本不等式求和的最小值、平面向量共線定理的推論

【分析】取8c中點(diǎn)。，根據(jù)題意，利用向量的線性運(yùn)算可得方=；屈+[左，由E,G,廠三點(diǎn)共線可得

x+y=3,再利用基本不等式即可求解.

【詳解】如圖：

\\

HDc

—?2—.—■1?1.

取8C中點(diǎn)。，則NG=-/。，AD=-AB+-AC,

322

AG=-AD=-[-AB+-AC]=-AE+^AF,

33（22J33

...瓦G,尸三點(diǎn)共線，.?彳+1=1,即x+y=3,

11

—+—23（2+2）=g

xy

3

當(dāng)且僅當(dāng)'=>=5時(shí)，取等號(hào).

4

故答案為：—.

題型03向量數(shù)量積（幾何意義法）

【解題規(guī)律?提分快招】

已知兩個(gè)非零向量Z與B，我們把數(shù)量Q||g|cos。叫做Z與書的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作7B，即

a-b=\a\\b\cos。，

彳我而Rlj一（萬(wàn)瓦不無(wú)京瑚而［二稹）一如酉廠商方為Z7所的開接貳萬(wàn)二4二一萬(wàn)為透萬(wàn)不的不菽:

貝1J益?亞=（）

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義

—、1—?—,

【分析】由中點(diǎn)關(guān)系可得+利用E為ZUBC的外接圓的圓心，可得

1E-ZB=!|^5|2=1X42=8,同理可得次?就=；|%『=18,即可得出結(jié)論.

—1——

【詳解】由于。是BC邊的中點(diǎn)，可得/D=](4B+/C),

VE是A4BC的外接圓的圓心，

AE-AB=\AE\\AB\cosZBAE=^\AB\2=-x42=8,

-.?1.c

同理可得4E.4C=/|/Cf=18,

AD-AE=-(AB+AC)-AE=-AE-AB+-AE-AC=-xS+-xl8=13.

22222

故選：B

【典例1-2](2024?北京門頭溝一模)己知。是邊長(zhǎng)為2的正△A8C邊3c上的動(dòng)點(diǎn)，則行.通的取值范

圍是()

A.[V3,4]B.[V3,2]

C.[0,2]D.[2,4]

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可得而|cos[1,2],再由益?而=|萬(wàn)51|次|cosZD48即可求

范圍.

【詳解】由。在邊BC上運(yùn)動(dòng)，且△/BC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，

所以O(shè)WZD/BW?,貝1|網(wǎng)cos"/Be[1,2],

由萬(wàn).萬(wàn)5=|151|次|cos/048e[2,4].

故選：D

【變式1-1](23-24高三下?北京西城?開學(xué)考試)如圖，圓/為△ABC的外接圓，AB=4,AC=6,N為

邊BC的中點(diǎn)，則麗?萬(wàn)7=()

A.10B.13C.18D.26

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的幾何意義、數(shù)量積的運(yùn)算律

【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義求解可得可得而.方與而.就，再根據(jù)平面

向量的運(yùn)算可得出結(jié)論.

—?1—.—■

【詳解】是邊的中點(diǎn)，可得ZN=］（N2+/C）,

:M是AABC的外接圓的圓心，

AM-AB=\AM\\AB\cosZBAM=^\AB\2=^x42=8,

同理可得痂?衣=就『=18,

AN-AM=~（AB+AC）-AM=-AM-AB+-AM-AC=-xS+-xlS=13.

22222

故選：B.

【變式1-2］（23-24高一下?北京海淀?期中）如圖，已知四邊形43CZ）為直角梯形，ABLBC,AB//DC,

27r—

AB=1,AD=3,ZBAD=—,設(shè)點(diǎn)尸為直角梯形4BCD內(nèi)一點(diǎn)（不包含邊界），則刀的取值范圍是

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義

【分析】依題意過(guò)點(diǎn)。作交R4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,即可求出NE,設(shè)方與荏的夾角為凡結(jié)合圖

形即可得到正在存方向上的投影的取值范圍，再根據(jù)數(shù)量積的幾何意義計(jì)算可得；

3

【詳解】解：依題意過(guò)點(diǎn)。作交A4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,貝iJ/E=4Dcos60°=5，

設(shè)方與通的夾角為

因?yàn)辄c(diǎn)尸為直角梯形438內(nèi)一點(diǎn)（不包含邊界），所以靜在劉方向上的投影0A|cose,且

Wcosdcl,

所以在.萬(wàn)=|刀H而卜os（9=|Z^cosde［-|,l）

DC

EFA

故選：A

【變式1-3]（23-24高一下?江蘇揚(yáng)州?期中）在2022年2月4日舉行的北京冬奧會(huì)開幕式上，貫穿全場(chǎng)的雪

花元素為觀眾帶來(lái)了一場(chǎng)視覺(jué)盛宴，象征各國(guó)、各地區(qū)代表團(tuán)的91朵“小雪花”匯聚成一朵代表全人類"一起

走向未來(lái)"的"大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊形

（如圖②）.已知正六邊形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)M滿足加則口應(yīng)卜；若點(diǎn)尸是其內(nèi)部一

點(diǎn)（包含邊界），則彳譯布的最大值是.

圖②

【答案】1/0.5|/1.5

2N

【知識(shí)點(diǎn)】已知數(shù)量積求模、數(shù)量積的運(yùn)算律、用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義

=1,然后利用數(shù)

【分析】由題可得回=網(wǎng)=1,回左方三，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則即得\AM\

量積的定義結(jié)合正六邊形的性質(zhì)即得.

，亦=；（次+萬(wàn)L+2方方+萬(wàn)2）=?l_2xg+l]=（,

VAM\

2

設(shè)向量疝5,方的夾角為凡設(shè)尸在直線48的射影為P,要使刀.劉的最大則6e[0,，），因?yàn)?/p>

N.石=|詞.畫cose=pF|網(wǎng)，如圖可知當(dāng)尸在c處時(shí)，萬(wàn).篇最大,

此時(shí)W==-^,AP-AB=V3xlx^^-=g

故答案為：y;g.

題型04向量數(shù)量積（自主建系法）

【解題規(guī)律?提分快招】

根據(jù)圖形建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,

用坐標(biāo)表示點(diǎn)

建立函數(shù)關(guān)系

根據(jù)函數(shù)關(guān)系求值

【典例1-1】（2024?北京?三模）已知點(diǎn)N在邊長(zhǎng)為2的正八邊形4,4,…,4的邊上，點(diǎn)”在邊44上，則

)

B.

C.[-272,4+272]D.[-272,4]

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量與幾何最值

【分析】以4為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，計(jì)算4M即可.

【詳解】以4為原點(diǎn)，44為X軸，44為丁軸建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)N(和(x2,0),則AXM=(々,0),4、=(再,%),

所以AXM?A[N=再X2,

TT

由于正八邊形的每個(gè)外角都為7；

則工2e[0,2],%!￡[一行,2+收],

所以而=%尤2e[-2夜,4+2拒].

故選：C

【典例1-2]（2024?北京昌平?二模）已知正方形/BCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)尸滿足后=4刀。＞0）.當(dāng)2

時(shí)，AC-PD=;當(dāng)彳=時(shí)，正.而取得最大值.

21

【答案】j1/0.5

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【分析】第一空建立如圖所示坐標(biāo)系，用坐標(biāo)分分別表示出％=麗=,51｝再計(jì)算數(shù)量積即可;

第二空建立如圖所示坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出麗=（4-1）,定=0-41）,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算數(shù)量積

的最大值即可.

【詳解】根據(jù)題意，建立以A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，如圖

則1(0,0),0(0,1),3(1,0)

因?yàn)檎叫?BCD的邊長(zhǎng)為1,AP=2X8(2>0)

當(dāng)彳=；時(shí)，AP=1AB=Q,OJ,所以

所以元=(1,1),而=[-;,11

所以就?麗=1x1-.+1=1;

如圖，

因?yàn)槿f(wàn)5=7□夙彳＞0),所以P(ZO),

所以而=(彳,一1),PC=(1-2,1),

所以京?麗uXO—zQ—lu—Te+z—iu—lz—g)_|,

所以當(dāng)彳=1■時(shí)，^^而取得最大值.

故答案為：—;y.

【變式1-1](2024?北京朝陽(yáng)?一模)在△4BC中，AB=AC=2,BC=2右,點(diǎn)尸在線段2c上.當(dāng)?shù)?而

取得最小值時(shí)，PA=()

A.3B.立C.-D.-

2244

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量模的坐標(biāo)表示

【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示數(shù)量積，并求最小值，求得強(qiáng)的坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】如圖，以8c所在直線為x軸，以5c的垂直平分線建立了軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

由力8=/C=2,BC=2y/3,則。/=,22-（省『=1,

所以5(-73,0),C(V3,0),設(shè)尸(x,o),

則方=(-x,l),PB=(-V3-x,0),

貝!]尸/.尸8==X?+6x=+

當(dāng)x=-業(yè)時(shí)，歷屏取得最小值，此時(shí)尸4=已-,1,網(wǎng)=+1=七

2\7

故選：B

【變式1-2](2024?北京東城?一模)已知正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2,P為正方形/BCD內(nèi)部(不含邊界)

的動(dòng)點(diǎn)，且滿足力.。=0，則萬(wàn)?麗的取值范圍是()

A.(0,8]B.[0,8)C.(0,4]D.[0,4)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】向量與幾何最值、數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【分析】通過(guò)建立合適的直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(x/),得到尸的軌跡方程，最后得到麗.麗的表達(dá)式，根據(jù)函

數(shù)單調(diào)性即可得到其范圍.

【詳解】以中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如下直角坐標(biāo)系；

則/(一1,0),3(1,0),C(l,2),D(-l,2),

設(shè)尸(x,y),則尸/=(-l-x,-y),PB=(1-x,-y),

貝I]莎?麗=0,

即/+/=1,則/-1=_了2,其中0<J<1,

貝I]3=(X_1/_2)M=(X+1/_2),0<yWl

則于而=/_1+(/_2)2=-y+(y_2『=_?+4?0,4),

故選：D.

【變式1-3](2024?北京通州?一模)在矩形48CD中，AB=2,BC=C,點(diǎn)P在邊上，則向量而在

向量無(wú)上的投影向量的長(zhǎng)度是—,屈?麗的最大值是.

【答案】V3-2

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、求投影向量

【分析】根據(jù)投影向量的概念，可求得向量無(wú)在向量在上的投影向量的長(zhǎng)度；

建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，表示出無(wú).而，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案.

【詳解】由題意可得||歷|?cosN尸C8H在卜百，

即向量而在向量無(wú)上的投影向量的長(zhǎng)度是行;

如圖，以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，N3為x軸，為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

故辦=0-2,-揚(yáng)，麗=（-,

則/.麗=*+2彳_3=_（1）2_2,

當(dāng)x=le[0,2]時(shí)，方.而取最大值為-2,

故答案為：百；-2

題型05向量數(shù)量積（極化恒等式法）

【解題規(guī)律?提分快招】

①平行四邊形形式：若在平

中，貝U

-----??1?2?2

ABAD=-（AC-DB）

②三角形形式：在A45c中,

【典例1-1】（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，是圓。的一條直徑且=2,即是圓。的一條弦，且

跖=1,點(diǎn)P在線段斯上，則蘇.麗的最小值是（）

E

PF

13

C.——D.——

2424

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】向量加法的法則、數(shù)量積的運(yùn)算律

【分析】由題意可得萬(wàn)?麗=回2一1,則當(dāng)園最小時(shí)，玩而取得最小值,然后結(jié)合圓的性質(zhì)可求出國(guó)

的最小值，從而可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可得，

萬(wàn)?麗=（麗+西.（而+兩=（麗+西?（而一西=9-而=|研-1

為使蘇?麗最小，只需戶q最小，

所以只需。尸，所，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，此時(shí)尸為所中點(diǎn)，

又EF=1,因此凡「口![今

所以莎?麗的最小值為（g]-l=-j.

I2J4

故選：B

【典例1-2]（24-25高三上?安徽六安?階段練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為2的正方體-4與G。，點(diǎn)尸是其表面

上的動(dòng)點(diǎn)，該正方體內(nèi)切球的一條直徑是MN,則而?麗的取值范圍是.

【答案】[0,2]

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量與幾何最值、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題

【分析】利用極化恒等式化西7.麗為的2一兩2,從而轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)〃到正方體中心的最大與最小距離問(wèn)

題，從而即可求解.

【詳解】

DC

AB

設(shè)內(nèi)切球的球心為0,

由用7.麗=（而+而）.（而+函）=（而+而）.（而_麗卜市-麗2,

已知正方體428-44。，的棱長(zhǎng)為2,所以內(nèi)切球的直徑兒W=2,

所以西乙兩=麗2」，由于點(diǎn)尸是正方體ABCD-44GA表面上的動(dòng)點(diǎn)，

可知：即用7.麗二麗。一le[0,2],

故答案為：[0,2].

【變式1-1]（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知正六邊形A8CZ）M的邊長(zhǎng)為4,圓。的圓心為該正六邊形的

中心，圓。的半徑為2,圓。的直徑兒W〃CD,點(diǎn)尸在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，則可7.麗的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】向量與幾何最值、數(shù)量積的運(yùn)算律

【分析】根據(jù)可/兩=而2-4,結(jié)合正六邊形的性質(zhì)求解|而|的范圍即可.

【詳解】如圖所示，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，△CM8,AOBC,AOCD,AODE,AOEF,AOE4均是

邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，

當(dāng)點(diǎn)尸位于正六邊形/BCD斯的頂點(diǎn)時(shí)，|麗|取最大值4,

當(dāng)點(diǎn)尸為正六邊形各邊的中點(diǎn)時(shí)，|而|取最小值，即|而|=4sin?=2若，

IIIImin3

所以“同26,4].

所以兩.麗=（而+西）.（而+礪）=（而+南＞（而_麗]詞2_4e[8,12],

即聞7.麗的最小值為8.

故選：D

【變式1-2]（24-25高一上?浙江杭州?階段練習(xí)）在△4BC中，尸在ZUBC的三邊上運(yùn)動(dòng)，MV是△4BC外

接圓的直徑，若/3=2,BC=3,AC=4,則同乙麗的取值范圍是.

【答案】14,0]

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理求外接圓半徑、余弦定理解三角形、向量加法的法則、數(shù)量積的運(yùn)算律

【分析】設(shè)△/8C外接圓圓心為。，半徑為R,利用平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積可得

PM-PN=^PO+OMy（Pd+ON^=（Pd+OMy（Pd-OM^=Pd2-OM2=PO2-1|,再結(jié)合圓的幾何性質(zhì)

確定其最大最小值可得結(jié)論.

【詳解】設(shè)A/BC外接圓圓心為。，半徑為五,

由余弦定理有cosN="[If二9,所以sin/=Jl—cos2/=±45,

2-2-41616

由正弦定理有型7=2R,即尺=①，

sm/15

兩.西=（而+而）.（而+礪）=（而+而）.（麗-加）

—?2?2—?264

PO-OM=尸。---,

15

設(shè)。到ZUBC三邊BC,C4的距離分別為則

所以兩?兩的取值范圍是[-4,0].

故答案為：[-4,0].

題型06向量投影（投影向量）

【解題規(guī)律?提分快招】

①定義:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作。祝=2,西=5.過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M],則呵"就

是向量Z在向量B上的投影向量.

M

②投影向量計(jì)算公式：

當(dāng)。為銳角（如圖（1））時(shí)，兩與2方向相同，A=\OMx\=\a\cose,所以

OMX-1OMX|e-\a\cos0e；

---------------A~"?'JL"?

當(dāng)。為直角（如圖（2））時(shí)，2=0,所以01%=0=|a|cos?e；

當(dāng)。為鈍角（如圖（3））時(shí)，西與工方向相反，所以

2=-1OMX|=-1a|cosZMOM1=-\a\cos（7-0）=\a\cos0,即OMX—\a\cos0e.

Mk

M

當(dāng)。=0時(shí)，4=同，所以。A/1=|Q|e=|Mcos0e；；

當(dāng)。=兀時(shí)，彳=一同，所以0Ml=TQ|e=|a|cos兀!

綜上可知，對(duì)于任意的?！辏?,兀］,都有皿=R|cos。工.i

【典例1-1］（23-24高一下?北京大興?期中）已知是夾角為120。的兩個(gè)非零向量，且同明，若向量"+近

在向量々上的投影向量為3%，則（）

A.-4B.-迪

3

C.4D.正

3

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量、數(shù)量積的運(yùn)算律、用定義求向量的數(shù)量積

【分析】設(shè)W=W=1,計(jì)算出向量.+濕在向量Z上的投影向量為11-;彳），由題知投影向量為巨，所以

1-1^=3,解出彳的值.

【詳解】設(shè)|4=W=1,則a?5=|?cos（a,B）=-g,a-{^a+iSj=|a|+Aa-b=\—^A,

所以向量"+位在向量。上的投影的數(shù)量為

Fl12

因?yàn)橥队跋蛄渴?所以1-/=3,解得幾=一4,

故選：A.

【典例1-2】（23-24高二上?北京通州,期中）在空間直角坐標(biāo)系。中z中，已知方=（2,0,0）,衣=（0,2,0）,

40=（0,0,2）.則說(shuō)與法的夾角的余弦值為；而在根的投影向量￡=.

【答案】1/0.5（1,-1,0）

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示、求投影向量

【分析】先根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出而與血的坐標(biāo)，然后由向量夾角的運(yùn)算公式和投影向量的計(jì)算

公式即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)樵?（2,0,0）,AC=（0,2,0）,AD=（0,0,2）,

所以函=右一就=（0,-2,2）,CB=AB-AC^（2,-2,0）,

CD-CB4

所以cos〈CZ),C8〉=

CD\\CB\20x2直2

I--------->.i---------?---------cb

函在在的投影向量為卬|cos〈CD,CB〉j^=(l,-1,0).

故答案為：|；（i,-i,o）.

【變式1-1]（2024?北京?模擬預(yù)測(cè)）已知向量g），￡在方上的投影向量為[%,|￡+q=77,則

【答案】國(guó)

2

【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量、坐標(biāo)計(jì)算向量的模、數(shù)量積的運(yùn)算律

【分析】a在刃上的投影向量為:九由投影向量公式可得2展3=同，再由歸+可=嶼，兩邊同時(shí)平方可求

出入

【詳解】向量。=（1,-道），同=2,

a在b上的投影向量為則下=得2展6=忖，

\a+b\=41,則（@+盯=片+2限3+廬=同2+2丑2=4+2麻=7,

故答案為：逅

2

【變式1-2]（23-24高一下?北京?期中）已知向量2=（1,-1）,S=（-2,l）,則無(wú)+坂=;向量￡在石上

的投影向量的坐標(biāo)為.

【答案】（0,-1）（|,-|）

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)計(jì)算向量的模、求投影向量

【分析】運(yùn)用平面向量加法、向量數(shù)量積、向量的模、投影向量公式計(jì)算即可.

【詳解】解：a=（1,-1）,石=（-2,1）,

則2。+6=(2,-2)+(-2,1)=(0,-1)；

22

?-6=lx(-2)+(-l)xl=-3,|^|=A/(-2)+l=45,

a-bb3(63、

故向量々在B上的投影向量的坐標(biāo)為：同*同=-不r=。,一"

d田G江/?八,63、

故答案為：(o,-i)；(-j,--).

【變式1-3](23-24高一下?北京門頭溝?期中)設(shè)向量Z與B的夾角為60。，且同=2收，可=6,則,在B

方向上的投影數(shù)量為.

【答案】41

【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量、平面向量數(shù)量積的幾何意義

【分析】由向量的投影公式即可求解.

【詳解】由題意在在B方向上的投影數(shù)量為同8560。=/.

故答案為：猴.

題型07向量模(含最值范圍)

【解題規(guī)律?提分快招】

|a|=yja-a=Jx：+y：

【典例1-1](23-24高三上?北京豐臺(tái)?期中)已知向量〃滿足同=2,1=1,且73=1，則|Z+2+()

A.12B.26C.4D.2

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】已知數(shù)量積求模、數(shù)量積的運(yùn)算律

【分析】借助向量的模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得.

【詳解】歸+2q="￡+2辦丫=Jq2+4￡i+4忖2=74+4x1+4x1=273.

故選：B.

【典例1-2](23-24高三上?北京海淀?階段練習(xí))已知平面向量b,滿足2=(1,3),⑻=1,則,-彳的

取值范圍是

【答案】[加-1,而+1]

【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求模、坐標(biāo)計(jì)算向量的模

【分析】求出|田，再用B的夾角6表示出即可得解.

【詳解】因￡=（i,3）,則內(nèi)=瓦，設(shè)洋5的夾角為，（Ovevm,

于是得卜_療=yja~-2a-b+b^=A/11-2A/10COS^?而TVcosOVl,

因此，711-2V10<|a-^|<711+2710,BpV10-l<|a-S|<V10+l,

所以|"-陷的取值范圍是[廂-+

故答案為：[而-1,而+1]

【變式1-1]（23-24高一上?北京西城,期末）如圖，48為半圓的直徑，點(diǎn)C為益的中點(diǎn)，點(diǎn)/為線段

上的一點(diǎn)（含端點(diǎn)/,B）,若AB=2,則附+洞的取值范圍是（）

A.[1,3]B.[V2,3]

c.[3,胸]D.[vi.vro-]

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】向量的模、已知數(shù)量積求模、向量與幾何最值

【分析】根據(jù)題意可得出0W環(huán)卜2,然后根據(jù)向量的運(yùn)算得出困+畫？=（%+礪『=（|兩+1）2+1,

從而可求出答案.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)C為益的中點(diǎn)，秒=2,所以同卜叵NC/8=7,

所以國(guó)+碉?=國(guó)+標(biāo)『=AC2+MB2+2AC-MB

因?yàn)辄c(diǎn)M為線段上的一點(diǎn)，所以0?|施卜2,所以2"畫+l『+iwio,

故選：D.

【變式1-2]（23-24高三上?北京昌平?期末）已知向量萬(wàn)，5滿足向=4,5在&方向上的投影為2,則|“+2g

的最小值為（）

A.2B.272C.8D.10

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、已知數(shù)量積求模

【分析】由題意得到投影WcosO=2,得出￡石和忸卜烹上2,即可得到|。+2可的最小值.

【詳解】因?yàn)?在萬(wàn)方向上的投影為2,所以WcosO=2.

所以a*b=|a|x|S|cos8=4x2=8,且|S|=—>2.

因?yàn)椴?2q=（。+2司=a+4a*b+4b=16+32+4忖>64,

所以口+21=8.

IImin

故選：c

【變式1-3］（24-25高三上?北京西城,期末）折扇，古稱聚頭扇、撒扇等，以其收攏時(shí)能夠二頭合并歸一而

得名.某折扇的扇面是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，如圖所示.設(shè)=2,AAOB=^,則扇面（圖中扇環(huán)）

部分的面積是,\OD-CB\=.

【知識(shí)點(diǎn)】扇形面積的有關(guān)計(jì)算、已知數(shù)量積求模

【分析】根據(jù)扇形面積公式，即可求解扇面的面積；根據(jù)向量數(shù)量積公式求模.

2兀

【詳解】由條可知，NO=2+1=3,ZAOB=—,

127r127rTL

所以扇形/。的面積W--Xyx32=37i,扇形。0C的面積S2=5X7x12=1,

所以扇面的面積是岳-$2=與；

\OD-CB\=4OD+CB-2ODCB=^l+4-2xlx2xcosy=V7.

故答案為：A/7

題型08向量夾角（含最值范圍）

【解題規(guī)律?提分快招】

cose=y=尸+產(chǎn)

【典例1-1】（2024?北京?模擬預(yù)測(cè)）平面向量否滿足口=3即且*可=4,貝￡與1右夾角的正弦值

的最大值為（）

A.JB.—C.。D.一

4323

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、向量夾角的計(jì)算、基本不等式求和的最小值

【分析】設(shè)￡=厲，b^OB，則￡-否=加，設(shè)|同=加，同=3加，cos/CM2=r+3，根據(jù)均值不等式計(jì)

111133m

算最值，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到答案.

【詳解】如圖所示：設(shè)1=方，b=OB則U麗，設(shè)同=加，1［=3加，1＜加＜2,

A

/\8S/。人」可；用）區(qū)="+16-*竺+2尹=逑,

/\2CM?R424m33mV33m3

O'-----------

當(dāng)＜==，即加=夜時(shí)等號(hào)成立，故/。

33mI2/

當(dāng)cosNCUB最小時(shí)，sin/CMB最大，

故z與］一Z夾角的正弦值的最大值為、18=1.

故選：B

【典例1-2】（2024高三?北京海淀?專題練習(xí)）已知平面向量Z］滿足問(wèn)=也a