2025屆高三數(shù)學(xué)雙變量問題題型匯編（學(xué)生版）

°(EES°

命題城..................................................................................1

知識梳理..................................................................................1

舉一反三..................................................................................2

【題型1雙變量單調(diào)性問題】.............................................................2

【題型2雙變式的最值（范圍）問題】......................................................5

【題型3與極值點有關(guān)的雙變量問題】....................................................7

【題型4與切線有關(guān)的雙變量問題】......................................................9

【題型5與零點有關(guān)的雙變量問題】.....................................................11

【題型6雙變量的恒（能）成立問題】.....................................................13

【題型7雙變量的不等式證明問題】.....................................................15

【題型8雙變量的新定義問題】.........................................................19

課后提升.................................................................................23

Q（命題規(guī)律）

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是高考?？嫉臒狳c內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，導(dǎo)數(shù)中的雙變量問

題在高考中占有很重要的地位，主要涉及雙變量的恒成立問題、雙參數(shù)不等式問題以及雙變量的不等式

證明等問題，一般作為解答題的壓軸題出現(xiàn)，難度較大，需要靈活求解.

（知識梳理）

【知識點1導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題】

1.導(dǎo)數(shù)中的雙變景問題

導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題往往以雙參數(shù)不等式的形式呈現(xiàn)，要想解決雙變量問題，就需要掌握破解雙參數(shù)

不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的

不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.???

【知識點2導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題的解題策略】

1.轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)解決雙變■問題

此類問題一般是給出含有的，的，/31）,/（電）的不等式，若能通過變形，把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)形式

相同的代數(shù)式，即轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)，可利用該函數(shù)單調(diào)性求解.

2.整體代換解決雙變■:問題

（1）解此類題的關(guān)鍵是利用代人消元法消去參數(shù)a,得到僅含有色，*2的式子.

（2）與極值點g,g有關(guān)的雙變量問題：一般是根據(jù)xlfg是方程/'（4）=0的兩個根，確定xltx2的關(guān)

系，再通過消元轉(zhuǎn)化為只含有X1或g的關(guān)系式，再構(gòu)造函數(shù)解題，即把所給條件轉(zhuǎn)化為傷，出的齊次

式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于生的函數(shù)，把歪看作一個變量進(jìn)行整體代換，從而把二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)

來解決問題.

3.構(gòu)造函數(shù)解決雙變量問題的答題模板

第一步：分析題意,探究兩變量的關(guān)系；

第二步：合二為一，變?yōu)閱巫兞坎坏仁剑?/p>

第三步：構(gòu)造函數(shù)；

第四步：判斷新函數(shù)的單調(diào)性或求新函數(shù)的最值，進(jìn)而解決問題；

第五步：反思回顧解題過程，規(guī)范解題步臊.

-O［舉一反三）

【題型1雙變■:單調(diào)性問題】

2—ax^①41

1.（2024?四川德陽?一模）已知函數(shù)/（力）=1?32小2小11門若對任意①iVg，都

-^x6—^axz+（2a2+2）x--g-,x>l

有/（刈）—/（g）<2電—2g，則實數(shù)Q的取值范圍是（）

A.(—00,—2)B.[l,+oo)C.(―2,/]D.(一8,一告]

2.（2024.四川內(nèi)江.模擬預(yù)測）定義在R上的函數(shù)/（⑼，對V61,電GR都有g(shù)f（g）+x2f（x2）>0/（電）+

g/Ql）,若/3a）>/（10gaC）（Q>0且QW1）,則下列式子一定成立的是（）

2

A.alna<一B.alna<—C.alna>—D.alna>—

eeee

3.（24—25高二上?全國?課后作業(yè)）已知函數(shù)/（力）=2\nx+x2—ax.

（1）當(dāng)Q=1時，求/Q）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對任意0VgVg，都有/但）-/（&）＞1,求a的取值范圍.

X2—X1

4.(23—24高二下?遼寧朝陽?階段練習(xí))已知函數(shù)/Q)=c—(a+2)lnc—烏署.

(1)討論函數(shù)/(①)的單調(diào)性；

(2)設(shè)gQ)=lnc+5,對任意Xi,x2C[3,+8),且電>g,使/(g)—/(皿)>a[g(a；2)—g(a?i)]恒成立,

求正實數(shù)a的取值范圍.

【題型2雙變■:的最值(范圍)問題】

5.(2024.廣東廣州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(劣)=ex+x,g(x)=\nx+/，若/(%)=g(62),則力的的最小值

為()

A.—eB.——C.—1D.—

e2

fe”x>0

6.(2024?河北滄州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)='，若aVb,且/(。)=/仙)，則b—。的取值范

[力+2,a;<0

圍是()

A.(In2,l]B.(In2,l)C.(yln2,l]D.[1,2)

7.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(工)=ex-ax—^-x1.

(1)若(3)>0,求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若/(2)>—^-x2+x+b,求(a+l)fe的最大值.

???

8.(2024/(c)=ae-a;3(aeR)

高三下?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)。有三個極值點為，電，T3(TI<X2<X3).

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若g>2g，求實數(shù)a的最大值.

【題型3與極值點有關(guān)的雙如問題】

9.(2024?福建泉州?一模)已知電，叫,是函數(shù)/3)=(±—1)3—力兩個極值點，則()

A.力1+力2=—2B.g+g=lC./(g)+/(g)=-2D./(g)+/(g)=2

10.(2024?全國?模擬預(yù)測)若函數(shù)/(力)=aln/+]劣2一2/有兩個不同的極值點力且力一/(g)+x2<

/(g)—?恒成立，則實數(shù)力的取值范圍為()

A.(—oo,—5)B.(—oo,—5]C.(—oo,2—21n2)D.(—8,2—21n2]

11.(2024?四川德陽?二模)已知函數(shù)/(6)=lnx+x2—2ax,aER,

(1)當(dāng)Q>0時,討論/(劣)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(力)有兩個極值點/1,①2(/1〈力2),求2/Q1)—/(N2)的最小值.

12.(24-25高三上?四川綿陽?階段練習(xí))已知/Q)=—■^-e2x+4ex—ax—5.

⑴當(dāng)a=3時，求/(c)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若/(①)有兩個極值點g,x2.

⑴求a的取值范圍；

(久)證明：/(刈)+/(x2)+s1+a；2<0.

M

【題型4與切線有關(guān)的雙變?問題】

13.（23-24高二下?湖南?期中）已知F（t,t2），過點P可作曲線〃為=x-lnx的兩條切線，切點為

3，/（的）），（陶/（電））.求"2—）二’的t]的取值范圍（）

A.（—1,0）B.[—1,0）C.（—2,—1）D.[—2,—1）

14.（2024?河北邢臺.二模）已知函數(shù)/（力）=〃+21nx的圖像在/（Ni,/（g））,B（力2,/（62））兩個不同點處的

切線相互平行，則下面等式可能成立的是（）

A./1+力2=2B.力1+22=孚C./巡2=2D.力逆2=當(dāng)

OO

15.（2024?廣東?二模）已知/（力）=-^-ax2+（1—2a）x—21nrc,a>0.

（1）求/Q）的單調(diào)區(qū)間；

⑵函數(shù)/（為的圖象上是否存在兩點4（%協(xié)）,_8（狽統(tǒng)）（其中為￥加，使得直線與函數(shù)/（c）的圖

象在3=217處的切線平行？若存在，請求出直線4氏若不存在,請說明理由.

16.(2024?重慶?模擬預(yù)測)牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了代數(shù)方程的一種數(shù)值解法--牛頓法.具體做

法如下:如圖，設(shè)T是fa)=0的根，首先選取g作為r的初始近似值，若/(c)在點(g,/(g))處的切線

與田軸相交于點(處0),稱O是r的一次近似值;用電替代g重復(fù)上面的過程，得到g，稱g是「的二

次近似值；一直重復(fù)，可得到一列數(shù)：網(wǎng),2i,g,…，*“，….在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)

XLSCN*)近似值相等時，該值即作為函數(shù)/(①)的一個零點

(1)若/(x)=爐+3d+力—3,當(dāng)g=0時,求方程/(宓)=0的二次近似值(保留到小數(shù)點后兩位)；

(2)牛頓法中蘊含了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，直線常常取為曲線的切線或割線,求函數(shù)g(x)=e。一3在

點(2,5(2))處的切線，并證明：ln3<1+2；

e2

⑶若h(x)=x(l-lnx)，若關(guān)于①的方程h(x)=a的兩個根分別為Vg)，證明：電一3>e—

ea.

【題型5與零點有關(guān)的雙變?問題】

17.（2024.河北衡水.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（6）=Inx+1—QN有兩個零點g,劣2,且V72,則下列命題正

確的是（）

21

A.a>1B.g+力2V—C.Xi?rc<1D.電一期>---1

a2a

o

18.（2024?四川南充?一模）已知函數(shù)/Q）=Inx-------F2—m（0<m<3）有兩個不同的零點g,x（x<

x21

g），下列關(guān)于的，X2的說法正確的有（）個

mo

①①Ve2優(yōu)③”＜電＜日

②熹④0力2＞1

61

A.1B.2C.3D.4

19.（2024.全國.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/⑺=ac—^a>0.

X

（1）若/（力）存在零點，求Q的取值范圍；

⑵若如力2為/（力）的零點，且劣1<力2,證明：。（力1+宓2）2>2.

20.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(6)="lna;_?7z有兩個不同的零點g，電，且t=就+總.

(1)求實數(shù)項的取值范圍；

(2)求證：t<l;

⑶比較t與2及2m+冬的大小，并證明?

ee

12

【題型6雙變■的恒(能)成立問題】

21.(2024?重慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/㈤=乎,gQ)=azeR,若存在gC(0,l),g6(—8,0)使得/(g)

=g(g)，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(—oo,—2)B.(—2,—1)C.(—1,+8)D.(0,+8)

22.(2024.陜西商洛?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=2adn/—ad,若對任意的如gC(0,+8),當(dāng)c1>g時,

都有2為+/(電)>2/2+/(g)，則實數(shù)Q的取值范圍為()

A.,+oo)B.[1,+oo)C.[上,+oo)D.[2,+co)

23.(2024.四川瀘州l模)已知函數(shù)/(力)=ax+1—xlnx的圖像在/=1處的切線與直線力一g=0平行.

(1)求函數(shù)/(⑼的單調(diào)區(qū)間；

(2)若VX19X2G(0,+8),且61>/2時，/(力1)—7(劣2)>館(或一譴)，求實數(shù)館的取值范圍.

24.（23—24高二下?湖南郴州?期末）已知/（力）=alnx+-^-o:2—2%（Q€A且aW。），g（力）=cosx+xsinx.

（1）求gQ）在［—兀，兀］上的最小值；

（2）如果對任意的為e［—兀，兀］，存在ge『工,e］,使得一a<g（g）成立,求實數(shù)a的取值范圍.

Le」力2

【題型7雙變■的不等式證明問題】

25.(2024?河北保定?二模)已知函數(shù)/(2)=ax—為其導(dǎo)函數(shù).

(1)若f(G41恒成立，求a的取值范圍；

(2)若存在兩個不同的正數(shù)力1,22,使得/(21)=/(22),證明：出m2)>0.

26.(2024.全國.模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/Q)=x\nx

(1)分析/(⑼的單調(diào)性和極值；

(2)設(shè)gQ)=/(2+?)+已，若對任意的①>0,都有g(shù)Q)>?、俪闪?求實數(shù)m的取值范圍；

(3)若的彳電,且滿足/(g)+/(電)=](若+譴)一1時,證明：￡i+g>2.

27.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/㈤=a（l-21n2；）+4，（aCR）.

（1）討論/Q）的單調(diào)性；

（2）若g,?31片電）為函數(shù)g（c）=k"+七一Inc的兩個零點，求證：31電）4>12e4.

28.(2024.四川成都?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(⑼=他型-m,xG(0,兀).

ex

(1)求函數(shù)/(⑼的單調(diào)區(qū)間；

⑵若為〈啊,滿足/(電)=/(X2)=0.

(i)求力的取值范圍；

(ii)證明：g+c2V兀.

18

【題型8雙知的新定義問題】

nIn/x-1i

29.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）定義運算：=mq—np,已知函數(shù)/（①）=，。3）=----

pqlax

⑴若函數(shù)/Q）的最大值為0,求實數(shù)a的值；

（2）證明：（1+券）（1+a）（1+5）…（1+十）<e-

（3）若函數(shù)拉（⑼=/3）+gQ）存在兩個極值點內(nèi)電,證明："3）—a+2<0.

力1―力2

???

30.(2024?浙江紹興?三模)若函數(shù)aQ)有且僅有一個極值點館,函數(shù)儀力)有且僅有一個極值點打，且小>

n,則稱0(⑼與/?(劣)具有性質(zhì)a—/3//m>n.

(1)函數(shù)為(力)=sinrc—力2與以/)二一①一/是否具有性質(zhì)仍一敕〃/()〉。？并說明理由.

(2)已知函數(shù)/(2)=ae*—In(6+1)與g(①)=ln(rr+a)—e~+1具有性質(zhì)/—g〃/i>62?

⑴求以的取值范圍；

⑻證明：|g(g)|>|g|.

???

31.（2024.浙江溫州.二模）如圖，對于曲線「，存在圓。滿足如下條件：

①圓。與曲線r有公共點4且圓心在曲線「凹的一側(cè)；

②圓C與曲線「在點A處有相同的切線；

③曲線r的導(dǎo)函數(shù)在點人處的導(dǎo)數(shù)（即曲線r的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓。在點人處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓

2

（?-a）+（9一匕苗二產(chǎn)在點△（&,為）處的二階導(dǎo)數(shù)等于,二、3）；

（b-yj

則稱圓C為曲線「在A點處的曲率圓，其半徑「稱為曲率半徑.

⑴求拋物線夕="在原點的曲率圓的方程；

（2）求曲線夕=上的曲率半徑的最小值；

X

⑶若曲線g=e”在（傷,e的）和（rr2,儼）⑶豐re2）處有相同的曲率半徑，求證：/i+g<—ln2.

32.(2024.上海徐匯.二模)已知常數(shù)％為非零整數(shù)，若函數(shù)4=f(x),xG[0,1]滿足:對任意xlfx2E[0,1],

|/(?1)-/(T2)|<I@+1)J3+1)，,則稱函數(shù)y=/(尤)為L(k)函數(shù).

⑴函數(shù)9=2力，力6[0,1]是否為乙⑵函數(shù)？請說明理由；

⑵若"=/(*)為乙⑴函數(shù)，圖像在力G[0,1]是一條連續(xù)的曲線,/(0)=0,/⑴=卷,且/(為在區(qū)

間(0,1)上僅存在一個極值點，分別記/⑸max、/⑺min為函數(shù)g=/Q)的最大、小值，求/⑸max-

/O)min的取值范圍；

2

(3)若Q>0,/(力)=0.05a;+0.lx+aln(x+l)，且g=/(力)為L(—l)函數(shù)，g(x)=/(力),對任意x,y

G[0,1]，恒有|g(6)—g(g)|記M的最小值為M(Q),求a的取值范圍及M(Q)關(guān)于a的表達(dá)式.

（課后提升）

一、單選題

33.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）已知Q,b滿足e』—aeRb（lnb-2）=e,其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則ab

的值為（）

A.—eB.—e2C.—e3D.—e4

2

34.（24—25高三上?山西大同?開學(xué)考試）已知如力2是函數(shù)/（%）=-^-ax—2x-\-lnx的兩個極值點，若不

等式772>/（劣1）+/（g）+/1/2恒成立，則實數(shù)瓶的取值范圍是（）

A.（—3,+8）B.[—2,+oo）C.（2,+oo）D.[e,+8）

2x

35.（23—24高三上?山東?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（力）=e,g（x）=x-1,對任意E凡存在x23（0,+oo）,

使/（力i）=g（力2），則電一/1的最小值為（）.

A.1B.A/2^C.2+ln2D.—I---ln2

36.（2024.江蘇南通.模擬預(yù)測）已知直線沙=強+力與函數(shù)g=Asin（0N+0）（人>0,0>0）的圖象恰有兩

個切點，設(shè)滿足條件的k所有可能取值中最大的兩個值分別為自和防，且自>防，則（）

A3.fci57.fci5「5々自々7門7々自々7

RD-

37.（2024.山西晉中.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/Q）=clmc,gQ）=ce*若存在的C（0,+8）,geR,使得

f（X1）=g（x2）>0成立，則生的最大值為（）

X1

A.■-B.1C.2D.——

eee2

38.（23-24高三上.廣東江門.階段練習(xí)）已知/（c）=almE+]"（a>0）若對于任意兩個不等的正實數(shù)

C，都有,（的）—八電）>2恒成立，則a的取值范圍是（）

一力1一力2

A.(0,1]B.[1,+8)C.(0,3]D.[l,2e)

39.（23-24高三上?河北滄州?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（⑼=e，—的定義域為（｝,2）,且對VG

/01)一/(電)

（5,2）,曲片物Vg+g恒成立，則實數(shù)Q的取值范圍為（

二1一62

A.-1,+8)B.[Ve-l,+oo)c.D.(―oo,-|--1

40.（23—24高二下.福建福州?期中）已知函數(shù)/（為）=（力-2）巴若/（g）=/（62），且g￥力2,g?優(yōu)2>0,則

iQ

A.a：i>—B.rc2<-C.xrx2>1D.g+gVZ

二、多的

41.(2024.重慶萬州.模擬預(yù)測)若函數(shù)/(2)=In(ax)-1,g(x)=ex-6,滿足對Vxe(0,+oo)均有

/(c)gQ)>0,則ab的取值不可能為()

A.eB.尊C.e2D.9

4

42.(2024.廣東廣州.一模)已知直線沙=?與曲線g=lnc相交于不同兩點7W(如gj,Mg,")，曲線4=

In%在點河處的切線與在點N處的切線相交于點P(g,%)，則()

A.0<fc<—B.xx=exC.%+m=1+隊D.yy<1

er20r2

43.(2024?海南?？?/p>