2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練：數(shù)列（含解析）

2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練數(shù)列

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且生=1，a,=21,則為=()

A.63B.±63C.81D.±81

2.已知等比數(shù)列｛4,｝中，%?0=1，4=2，則公比4為()

A.lB.2C.lD.4

24

3.分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，分形幾何具有自身相似性，從它的任何一

個局部經(jīng)過放大,都可以得到一個和整體全等的圖形.如圖的雪花曲線,將一個邊長為1的正三角形的每

條邊三等分,以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖2,如此繼續(xù)下去，得圖(3)…不斷

重復(fù)這樣的過程，便產(chǎn)生了雪花曲線.記S“為第n個圖形的面積，如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去,

4.觀察數(shù)列1,in2,sin341n5,sin6,7,In8,sin9,…，則該數(shù)列的第12項等于()

A1212B.12C.M12D-sin12

5.已知等比數(shù)列｛%｝的公比q=—，且q++〃5H--1-〃99=60，則Q]+。2+“3+〃4----^a100等于

()

A.100B.80C.60D.40

6.已知等比數(shù)列｛4｝滿足q+%=4,%+4=32,則其公比9=（）

A.1B.2C.3D.4

,且曳=2，則答=（）

7.已知兩個等差數(shù)列｛4｝,｛〃｝的前〃項和分別是S“，Tn

Tb

n3?+15

7

BC.—D

A7-n11t

+a“）,，的（）

8.記數(shù)列｛an｝的前〃項和為Sn，則“｛叫為等差數(shù)列”是“sn

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.已知｛4｝是等比數(shù)列,S“是其前見項和，滿足4=2。］+2，則下列說法中正確的有（）

A.若｛an｝是正項數(shù)列,則｛??｝是單調(diào)遞增數(shù)列

B.5?,S2?-S?,S3?—5功一定是等比數(shù)列

C.若存在河>0,使同對“CN*都成立，則｛⑷｝是等差數(shù)列

D.若存在M>0,使|M對〃eN*都成立，則｛3｝是等差數(shù)列

10.已知S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，且6=-7,邑=-12,則下列結(jié)論正確的是（）

A.an-2n-9B.｛a“｝為遞減數(shù)列C.a3+a6-0D.S7-a,

11.已知數(shù)列｛4｝滿足q=2,且（〃+l）a“+j-=2"，則以下正確的有（）

A.%=4B.數(shù)列｛〃4｝是等差數(shù)列

2"

C.數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列Dq

n

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

3〃+39

12.已知兩個等差數(shù)列｛4｝和也｝的前w項和分別為S”和T“，且口=則使得％為整數(shù)

〃+3b?

的正整數(shù)n的值為.

13.設(shè)等比數(shù)列｛4｝滿足q+a3=10,4+g=5,則...an的最大值為.

2

14.已知為=-----，數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，則§21=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記S“為數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知4s“=3%+4.

(1)求｛。“｝的通項公式；

(2)設(shè)以=(-1尸”，求數(shù)列也｝的前n項和T,.

16.已知數(shù)列｛an｝的前n頂和為S”.且囚=1,S,=(〃eN*).

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)在數(shù)列也,｝中，bn=an+log4S?,求數(shù)列出｝的前w項和7；.

17.若數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù),對任意“eN*，有a,">4+24，，則稱數(shù)列｛4｝為“對數(shù)凹性”數(shù)列.

(1)已知數(shù)列1,3,2,4和數(shù)歹1J1,2,4,3,2,判斷它們是否為“對數(shù)凹性”數(shù)列，并說明理由；

(2)若函數(shù)/(%)=偽+么x+b3x-+印必有三個零點，其中4〉0(i=1,2,3,4).

證明：數(shù)列偽，為，打，”為“對數(shù)凹性”數(shù)列；

(3)若數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù),c2>q,記｛cn｝的前?項和為，對任意三個不相等正整

n

數(shù)存在常數(shù)r,使得(p-q)叱+(q-r)叫+(—〃)嗎=t.

證明：數(shù)列6｝為“對數(shù)凹性”數(shù)列.

18.對于數(shù)列A:,出,之3)，定義變換T,T將數(shù)列A變換成數(shù)列

1

T(A):%,%，…，4，%，記T(A)=T(A),T"'(A)=T(T"i(A)),m22.對于數(shù)列

A:4,%,…,a”與3：4也，…也，定義=01bl+a2b24—+a也.若數(shù)列

A:,出，…,%(〃>3)滿足%e｛-l,l｝(z=1,2,???,?)，則稱數(shù)列A為R數(shù)列，

(1)若數(shù)列1—1,寫出T(A),并求A7(A).

(2)對于任意給定的正整數(shù)〃是否存在RR數(shù)列4使得4T(A)=〃-5?若存在，寫

出一個數(shù)列A；若不存在，說明理由.

(3)若R,數(shù)列A滿足Tk(A)T+i(A)=〃—4(左=1,2,…，〃—2),求數(shù)歹UA的個數(shù).

19.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，滿足SR=|%,—1.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵記bn=4,求數(shù)列也｝的前〃項和Tn.

參考答案

I.答案：c

解析：因為數(shù)列

設(shè)公比為q,且。3=1，%=21

%21

所以q4=2===9,所以〃=3,

。31

T3

所以也="2=21x3=9,

977

所以。9=9x9=81,

故選：C.

2.答案：C

解析：9=二,.4=2?%1_1

q%a6ae

故選：C.

3.答案：A

解析：由題意知，初始三角形的面積So=字，

第一次操作后，增加了3個邊長為工的等邊三角形，

3

此時面積：H=立+3義3*［』］，

144

第二次操作后，增加了3x4個邊長為—的等邊三角形，

32

此時面積52=乎+3義￥*］￡|2+3*4義￥義(:1，

第n次操作后,增加了3X4"T個邊長為"的等邊三角形，此時面積

3+3x當4+3x4x?+3x7』

n44UJ4l32J4(3口

、

7

當〃f+oo時0，3.與.

故選：A.

4.答案：D

解析：通過觀察數(shù)列得出規(guī)律,數(shù)列中的項是按正整數(shù)順序排列,

且3個為一循環(huán)節(jié)，由此判斷第12項是sinl2,故D項正確.

故選：D.

5.答案：B

斛析：因為卬+〃2+%+〃/?,+q()o=(q+/+。5+…+%9)(i+q)，

所以囚++〃3+々4---1~"100—601+—=80,

故選：B.

6.答案：B

解析：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,則由題得“3=/(4+%)=包土&=衛(wèi)=8,

%+%q+〃34

所以q=2.

故選：B

7.答案：B

解析：因為?=筌;，｛%｝，｛2｝都是等差數(shù)列，

所以可設(shè)S"=X〃(2〃+4),北=4鞏(3>+1),其中;IH0,

所以％,=S0一S,i=2?(2n+4)—2(〃一1)(2〃+2)=22(2〃+1)

bn=Tn-Tn_x=An(3n+1)-A(n-l)(3n-2)=24(3〃-1),

所以%=182，々=282,所以包=2.故選B.

々14

8.答案：C

解析：若｛4｝為等差數(shù)列，則S"=.

若S="(。1+4)廁s=("-1)(4+4-1),n>2-

"2"T2—

兩式相減，得2%=q+y即%+｛n-2^an-[n-\^an_x=0,

所以q+(〃-3)-2)an_2=0，〃23，

兩式相減，得冊+%一2=2an-l，即4—an-l=an-l~*，

所以數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列.

所以“｛4｝為等差數(shù)列”是“sn="("；/)”的充要條件.

故選:C.

9.答案：AC

解析：/=2q+4，即d=2+9，

解得:夕=—1或2

A.an>0,則4=2,an+1-an=4〉0,

即an+i>a“，故｛a”｝遞增,正確；

B.nq=-1,為偶數(shù)時,S”=0,故錯誤；

C.存在〃>0,使同對aeN*都成立，則q=—l,故⑷=同，｛⑷｝是等差數(shù)列,

D.當“為偶數(shù)時，5"=0,當〃為奇數(shù)時，S“=%WO,顯然｛S“｝不是等差數(shù)列

10.答案：ACD

解析：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為a因為。I=-7,邑=T2,

所以%=§2-％=T2—(—7)=—5,解得d=2,

所以%+(〃—V)d——7+2(〃-1)=2n—9,故A正確;

因為d=2〉0,所以｛4｝為遞增數(shù)列，故B錯誤;

由〃3=—3,6=3,有/+〃6=。,故C正確；

Sq=7x（―7）H—義2=—7，故D正確.

故選：ACD.

11.答案：ACD

n

解析：數(shù)列｛〃〃｝滿足a1=2，且（〃+l）a〃+i—nan=2，

可得2時，nan=4+（2?2_?1）+-,+（7也“一（〃-1）%_1）

=2+2+4+…+2'i=1+_L^=2"，當〃=1成"?

1-2

目口右c"2"▽（"+1）?！?1c

即侶na=2，a=——，乂----------二2，

nn

nnan

可得%=4，｛也“｝是公比為2的等比數(shù)列，不是等差數(shù)列，故ACD正確，B錯誤.

故選：ACD.

12.答案：2,4,14

（2〃-1）（%+%；_］）

解析：由題意可得邑曰=_2_=卜T&=%,

QT（2〃-1）（仇+41）（2〃-1鬼b“

2

則”=邑03（2“-1）+393”+181315

、然T2n-x（2〃-1）+3n+1n+1）

由于組為整數(shù)，

b,,

則〃+1為15的正約數(shù),

則”+1的可能取值有3,5,15,

因此，正整數(shù)w的可能取值有2,4,14.

故答案為：2,4,14

13.答案：64

解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為％由［6+%=1°得,卜a+/）=i°,

%+%=5闖（1+才）=5

Q]=8

解得1i.所以為%...an=401+2+...+(I)=8〃x

q=一

I2

于是當〃=3或4時,q%…?！ㄈ〉米畲笾?6=64,

21

14.答案：—

11

解析：因為4=---=2|----

〃(〃+1)\nn+lj

所以S八=%+%+。3+…+0及一1+%

Jl111111111>

<122334n-1nnn+\)

所以s—V?

21

故答案為：—.

11

1

15.答案：(1)an=4-(-3)"-

(2)7；=(2n-l)-3"+l

解析：(1)當〃=1時，4S]=+4,解得q=4.

當2時，4s“T=3q_]+4,所以4S0一4s“T=4%=3an-3an_x,即an=-3an_x,

又。i=4w0,所以a“wO,故j-=—3,

%

所以數(shù)列｛%｝是以4為首項，-3為公比的等比數(shù)列，

所以4=4-(-3)"-1.

111

(2)方法一：bn=(-1)"--?-4?(-3)"-=4n-3"-,

所以(=偽+為+么+.??+〃,=4x3°+8x3i+12x32+…+4〃?3"T.

1^37；=4x31+8x32+12x33+---+4n-3\

所以—21=4+4x3、4x32+…+4-3"T_4".3"=4+4?—4H-31

=4+2?3<3'i—1)—4〃-3"=(2—4">3”—2,

.-.7；=(2n-l)-3"+l.

方法二：bn=(—I)"」?〃4(―3)“一】=4n.3"T,

將b,改寫為A=4“.X"T,其中X=3,

則

4(nx-n-l)x"+4

x°+2xl+3x2H-----1-nxn~l)=4(x1+x2+x3+---+X7')

(1-x)2

將x=3代入上式得(=(2“—1)3+1.

1n=1

16.答案：⑴()

'3-4n~2(在2)

2_

1

(2)Tn=4'-+^-^-,〃eN*

解析：(1)當〃=1時，

可得：g=3sl=3%=3；

當〃之2時，S='〃JSj=—a,兩式相減,

n3n+in—i3n

得：??即4+1=4?！?

1(n=1)

所以：an

34"2(n>2)

(2)當〃=1時，4=1；

所以，=3-4"-2+〃一1,

1

221-4"-

所以：7；7=1+3(4°+4'+4+---+4"-)+[1+2+3+---+(71-1)]=1+3.

.?.in2-n

=4+-----,

2

〃=1時，4「1+二1=1,上式也成立

2

2_

所以：<=4"7+與4,neN*

17.答案：(1)只有1,2,4,3,2是“對數(shù)凹性”數(shù)列，理由見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

解析：(1)根據(jù)“對數(shù)凹性”數(shù)列的定義可知數(shù)列1,3,2,4中2?23x4不成立，

所以數(shù)列1,3,2,4不是“對數(shù)凹性”數(shù)列；

22>1x4

而數(shù)列124,3,2中<4?22x3均成立，所以數(shù)列1,2,4,3,2是“對數(shù)凹性”數(shù)列；

32>4x2

2

(2)根據(jù)題意及三次函數(shù)的性質(zhì)易知尸(%)=2+2Z?3X+3Z?4X有兩個不等實數(shù)根,

所以A】=4用一4'3d句>00d>3打包，

又%>0(i=1,2,3,4)，所以環(huán)〉3b2b4>b2b4,

顯然x=0=>/⑼=4〉0,即尤=0不是/(九)的零點，

又

令/=J■，則/?)=4+"/+&/+bf也有三個零點，

X

即于[_3+3+如+。4有三個零點，

2

則g(%)=[d+b2X+4%+”有三個零點，

所以g'(x)=3瓦/+2&X+&有兩個零點，

所以同上有A2=4代—4x3b也>On,>3〃也也，

故數(shù)列耳也也，九為“對數(shù)凹性''數(shù)列

(3)將p,q互換得:1=(夕_同叱+(,_“)叱=_彳，所以/=0,

令p=l,q=2,得一叱+(2_r)W(+&_l)叱=0,

所以叱=（2--）叫+（r—1）叱=叱+（——1）（叱—叱>故數(shù)列｛叱｝是等差數(shù)列,

=c%.q+(〃一

記d=W-W~^~\=22>0,所以叱=q+(〃=C]1”,

2x。。2

所以=〃叱-dn+(c「d)n.

G,〃=1

又因為g，所以c〃=q+2d(〃一1),

Sn—S〃_],nN2

所以GM—%=2d>0,所以｛5｝為單調(diào)遞增的等差數(shù)歹U,

所以—>%>0,%+.=2%總="尸2.

所以4(S3-SA*)=(〃+(G+-丫-M/+2)(9+cn)(G+cn+2)

2

>(〃+1)2億+%)2-“(〃+2)卜+*)丁+"

=(〃+1)2億+%)—〃(〃+2產(chǎn)+尸21

\J

=(“+1)2(q+%+】y一〃(〃+2)億+%+]了

2

=[("+1)2-〃(〃+2)](c,+c,1+1)

=(Cl+C“+l)2>0

所以S；+1>snsn+2，數(shù)列｛s,,｝是“對數(shù)凹性”數(shù)列.

18.答案：（1）一2

（2）見解析

（3）見解析

解析：（1）因為A：l,—1,1,1,由變換T的定義

所以AT2(A)=1—1—1—1—1+1=—2.

(2)對于數(shù)列A:4,的，…，4,T[A):a2,a3,...,an,al,

所以A-T（A）=o1a2+020^H---ba”％■

因為數(shù)列A為R"數(shù)列，所以qe｛-l,l｝（z=l,2,...,n）.

對于數(shù)列A:,4，…，a”，令an+i=%，

則對于數(shù)列ai,a2,...,an,a“+]中相鄰的兩項對,ai+1（z=1,2,???,?）,

若%=aM廁ataM=1；若q豐4+i廁4aHi=-1-

記4%1（力=1,2,…，小中有且"N）個-1，則有（〃T）個1，

1H

貝JA?T（A）=01a2+生生--H。,臼=01a2+a2a3H---Fanan+l=n-2t-

因為〃-2,與n的奇偶性相同,“—5與”的奇偶性不同，

所以不存在符合題意的數(shù)列A