2025高考數學一輪復習：雙曲線【含答案】

對點練61雙曲線

【A級基礎鞏固】

?2

1.已知曲線C的方程為壬+占=1（左GR）,若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，

/v-I_1D/v

則實數上的取值范圍是（）

A.T＜左＜5B.左＞5

C.R-1—1或5

2.雙曲線2y2~x2=l的漸近線方程是（）

A.y=±5B.y=±2x

C.y=土乎xD.y=±^2x

3.經過點”（2小，2?。┣遗c雙曲線與一手=1有相同漸近線的雙曲線方程是（）

X2JrrX2y2.

從18121此12181

22

y2xyx2

u

e-1812112181

4.（2024?大連調研）已知。為坐標原點，雙曲線C：胃=1（。＞°，人＞0）的右焦

點為F點A（a,b）,^\OA\=\FA\,則雙曲線C的離心率為（）

A.2B.小

5.（2024?湖南師大附中模擬）已知雙曲線C：了一^=1團＞0）,以C的焦點為圓心,

3為半徑的圓與C的漸近線相交，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

A（l,|）B.[l,胡）

c1|,咽D.（l,V13）

%2

6.（多選）（2024?煙臺質檢）已知雙曲線C：y-y2=A（A＜0）,則（）

A.雙曲線C的實軸長為定值B.雙曲線C的焦點在y軸上

C.雙曲線C的離心率為定值D.雙曲線C的漸近線方程為y=±格

7.（多選）（2024?南京調研）已知雙曲線C：m^+ny2=\,其焦點（0,10）到漸近線的

距離為6,則下列說法正確的是（）

A-m+H=100

4

B.雙曲線C的漸近線方程為丁=土全

C.雙曲線C的離心率為（

D.雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為2

8.已知雙曲線的兩個焦點分別為E（—5,0）,場（5,0）,雙曲線上一點P與

外的距離差的絕對值等于6,則雙曲線的標準方程為..

9.（2024?武漢模擬）雙曲線f—?=l的右焦點為E點P,Q在雙曲線上，且關于

原點對稱.若PFLQF,則XPQF的面積為.

10.（2024.福州模擬）雙曲線C的漸近線方程為'=±羋才,一個焦點為"0,—市），

點、A（表,0）,點P為雙曲線第一象限內的點，則當點尸的位置變化時，R周

長的最小值為.

H.已知雙曲線旨一1=1的左、右焦點分別為A,F2.

⑴若點M在雙曲線上，且加1?加2=0,求M點到x軸的距離；

（2）若雙曲線C與已知雙曲線有相同的焦點，且過點（36，2）,求雙曲線C的方程.

X2V2

12.已知雙曲線”一1=1（。＞0，。＞0）的右焦點為尺c，0）.

（1）若雙曲線的一條漸近線方程為y=x且c=2,求雙曲線的方程；

（2）以原點。為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A,過A

作圓的切線，斜率為一小,求雙曲線的離心率.

【B級能力提升】

x2v2

13.(2023?新高考I卷)已知雙曲線C：六一R=l(a>0">0)的左、右焦點分別為

外，點A在C上，點3在y軸上，F^ALF^B,&=一1所，則C的離心率為

14.雙曲線C：最=1(。>0,6>0)的左頂點為A,右焦點為F動點3在C上,

當時,\AF\=\BF\.

(1)求C的離心率；

(2)若3在第一象限，證明：ZBFA=2ZBAF.

對點練61雙曲線答案

1.C［若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線,

f^+l<0,

則解得/:<—1.]

〔5一左>0,

、也

2.C［依題意知，雙曲線11的焦點在y軸上，實半軸長。=芋，虛半軸

2-

長6=1,

所以雙曲線2y2—f=1的漸近線方程是

3.D［由題意知，可設所求的雙曲線方程為

x2y2

y—5=犯關0),

點”(2小，2小)在雙曲線方程上，

北…(25)°(2^5)2.

所以3-2=九解傳7二一6,

故所求的雙曲線方程是%喧=11

1Z10

4.A［由題知尸(c,0).

又A(a,b),\OA\=\FA\,所以a=；c,

所以雙曲線C的離心率e=：=2.］

b

5.B［由題意可知雙曲線的其中一條漸近線為即Z?x—2y=0,

又該圓的圓心為(c,0),

故圓心到漸近線的距離為虛、，

則由題意可得7：；+尸,即Z?2C2<9(&2+4),

又。2=°2一。2=，一4,則(02—4)°2<9°2,

解得c2<13,即c<V13,貝Ie=：=#^,

又e>l,故離心率的取值范圍是[1,苧川

6.BCD[對于A,B,由曲線C：y-y2=A(A<0),

27

整理可得七一二"=1?<0),

所以曲線表示焦點在y軸上的雙曲線，

且/=一九Z，2=-22(A<0),實軸長不是定值，

所以A錯誤，B正確；

對于C,離心率e=§=y1+%=小為定值,C正確；

對于D,漸近線的方程為y=±?;=±乎羽D正確.]

7.BCD[由雙曲線C的焦點(0,10)到漸近線的距離為6,可得雙曲線C的焦點

在y軸上，

22

設雙曲線C的標準方程為條=l(a>0,b>0),

則雙曲線C的半焦距c=10,b=6,

所以/=/—。2=]00—36=64,

得雙曲線C的標準方程為溫一5=1.

對于A,m=一表，〃=古，

所以5+[=—36+64=28,A錯誤；

對于B,雙曲線C的漸近線方程為丁=±*=±尹，B正確；

對于C,雙曲線C的離心率e=?=￥=曰,C正確；

對于D,雙曲線C上的所有點中，上、下頂點到相應焦點的距離最小,

所以最小值為。一。=10—8=2,D正確.]

8,一得=1[設雙曲線標準方程為

$—g=l(a>0,b>0),

由2c=10,2〃=6,得c=5,〃=3.

因此b2=c2—a2=16,

r2v2

???雙曲線的標準方程為'一春=L]

9.4[由題意，得a=l,b=2,c=\[5.

設該雙曲線的左焦點為人，連接PA,QF\,

因為PRLQR,P,。關于原點對稱，

所以不妨設點P在第一象限，

則由雙曲線的對稱性可得四邊形PFiQF為矩形，

所以歸。1=此川=2小，|。網=|「四|.

由雙曲線的定義可得|PA|—|Pf]=2,

所以1。用一1尸網=2.①

又萬斤十|。川2=|PQ|2=2O,②

所以聯立①②可得歸八|。川=8,

所以△P0R的面積S=^PF\-\QF\=4.]

10.10[由已知得雙曲線方程為:一日=1,

設雙曲線的另一個焦點為少，

則|Pf]=|PP|+4,△出R的周長為

歸川+|以|+|AW=|PP|+4+|必|+3,

當F,P,A三點共線時，|P嚴+|RL|有最小值,最小值為以用=3,

故的周長的最小值為10.]

11.解（1）不妨設M在雙曲線的右支上，M點到x軸的距離為

".'MFI-MF2=0,：.MF\LMFI.

l^\MF\\=m,\MF2\=n,

由雙曲線的定義知m—n=2a=8.①

在RtAFiMF2中，

由勾股定理得M+〃2=（2C）2=8O,②

由①②得機.“=8.

S/\MF\Fi=^mn=4=^X2c/i,

即M點到x軸的距離為平.

（2）設雙曲線C的方程為

-X2_y2

=1(-4<2<16).

16—X4+2

?.?雙曲線C過點(3啦，2),

.184

"16-A4+A-1)

解得A=4或％=—14(舍去)，

x2V2

，雙曲線C的方程為F1Z■—五O=1.

12.解(1)因為雙曲線的漸近線方程為

b

y=±-x,所以。=0,

所以02=/+62=2/=4,所以/=廿=2,

2

rV2

所以雙曲線方程為5—5=1.

(2)設點A的坐標為(xo,jo),

所以直線A。的斜率滿足當(一小)=—1,

A-1)

所以xo=#yo,①

依題意，圓的方程為爐+產;落

將①代入圓的方程得3角+京=",

即yo=；c,所以xo=坐c

所以點A的坐標為冬,2C1

3212

4C4C

代入雙曲線方程得/—廬1,

31

即不凡？一不/2，=〃262,②

又因為a2+b2=c2,

所以將廬=/一層代入②式，整理得

3八C

4c4—2〃2c2+〃4=0,

42

所以3e—《+4=0,

即3e4-8e2+4=0,

所以(3e2—2)(百一2)=0,

因為e>l,所以e=?

所以雙曲線的離心率為

13.乎［法一由題意可知人(一c,0),F2(C,0),

設A(xi,yi),B(0,yo),

所以方2A=(?—c,yi),FzB=(—c,yo).

—2f

因為局4=向?，

r2c5

X1—C=^C,X1=1C,

所以彳2gp|2

所以4阜,一|yo),

FiA=，一，FiB=(c,yo).

因為如款，而力，所以近1?戶畝=0,

Q7

即*$8=0,解得濟=4,2.

因為點A(jc,一|yo)在雙曲線C上,

25c24y8

所以9屋9b21,

又y4=4，，所以詬T—亞5"=1，

25(4+尻)16(4+尻)及4

即詬—9P=1,化簡得%=去

所以e2=l+*=|,所以離心率6=土宴

法二由法一得A仔c,一|yo),J§=4c2,

/4c2,4yo/4c2,16c22#c

='丁+于='于+丁=3>

由雙曲線的定義可知|AB|一發(fā)刊=20

即?！?2a,即冬=a,

所以雙曲線的離心率e=%方唔］

14.(1)解設雙曲線的離心率為e,焦距為2c,