2024浙教版七年級下冊數(shù)學(xué)各章節(jié)考點(diǎn)清單知識梳理

浙教版七年級下冊數(shù)學(xué)各章節(jié)考點(diǎn)清單知識梳理

第一章相交線與平行線

1.1直線的相交

知識點(diǎn)1鄰補(bǔ)角的概念與性質(zhì)

1.相交線：有一個公共點(diǎn)的兩直線是相交線。

2.定義：兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角。

如圖，直線與直線相交于點(diǎn)O,其中與是一對鄰補(bǔ)角，另外還有三對鄰補(bǔ)角。

3.性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)。如上圖，與/80。是一對鄰補(bǔ)角，ZAO￡）+ZBOD=180°。

說明：

⑴鄰補(bǔ)角形成的前提是兩條直線相交。

⑵鄰補(bǔ)角是互補(bǔ)的一種特殊情況：數(shù)量上互補(bǔ)，位置上有一條公共邊，另一條邊互為反向延長線。（3）互

為鄰補(bǔ)角的兩個角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個角不一定是鄰補(bǔ)角，一個角的鄰補(bǔ)角有兩個，但一個角的補(bǔ)角

可以有很多個。

知識點(diǎn)2對頂角的概念與性質(zhì)

1.定義：兩個角有一個公共頂點(diǎn)，并且兩邊互為反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對

頂角。如圖，NAOO與N3OC是一對對頂角，另外還有一對對頂角。

2.性質(zhì)：對頂角相等如上圖，/AOC與NBOD是一對對頂角，ZAOC=ZBODo

注意:

⑴對頂角形成的前提是兩條直線相交。

⑵對頂角要同時滿足下面兩個條件：①有公共頂點(diǎn)；②兩個角的兩邊互為反向延長線。

⑶對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角。

3.鄰補(bǔ)角與對頂角的異同:

鄰補(bǔ)角對頂角

(1)都表示兩個角之間的關(guān)系，成對出現(xiàn)；

相同點(diǎn)

(2)鄰補(bǔ)角和對頂角都有公共頂點(diǎn)

不數(shù)量上鄰補(bǔ)角的和為180°對頂角相等

同

點(diǎn)

位置上有一條公共邊，另一條互為反向延長線沒有公共邊，角的兩邊互為反向延長線

知識點(diǎn)3垂線

定義：兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時,我們說這兩條直線互相垂直。其中的一條

直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O,當(dāng)N

AOC=90°(或其他任意一個交角等于90°)時，直線AB與直線CD垂直，記作AB±CD,讀作“AB垂直

于CD”，交點(diǎn)O是垂足。反之，若ABLCD,則四個交角均為90°。

D

AOB

C

注意：

(1)兩條直線是否垂直是由兩條直線相交所成的角是不是直角決定的，與兩條直線是否水平、豎直無關(guān)。

(2)若兩條直線相交成直角，則這兩條直線互相垂直；反之，若兩條直線互相垂直，則這兩條直線相交成直

角，依據(jù)都是垂直的定義。

⑶兩條線段或射線垂直，是指它們所在的直線垂直。所以，如果兩條直線互相垂直，那么在這兩條直線上

分別取一條線段或射線也必然互相垂直如果兩條線段或射線所在的直線相交成直角，那么這兩條線段或射

線也互相垂直。

知識點(diǎn)4垂線的畫法

步驟畫法

—“落”讓直角三角板的一條直角邊落在已知直線上，即與已知直線重合。

二“移”沿已知直線移動三角板，使其另一條直角邊經(jīng)過已知點(diǎn)。

三“畫”沿與已知直線不重合的直角邊畫直線，這條直線就是已知直線的垂線。

注意：

⑴在同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線上一點(diǎn)或直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，只能作出一條。

⑵過一點(diǎn)畫已知線段或射線的垂線，指的是線段或射線所在直線的垂線，垂足可能在線段的延長線上或射

線的反向延長線上。

⑶向“誰”畫垂線，垂足就在“誰”上面（或在其延長線、反向延長線上）。

知識點(diǎn)5垂線段

1.垂線段：過直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線，這點(diǎn)與垂足之間的線段,叫做垂線段。如圖，線段CO叫做

點(diǎn)C到直線A3的垂線段。

D

AOB

C

2.點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離。如上圖，垂線段C。

的長度就是點(diǎn)C到直線AB的距離。

注意：

垂線是直線，垂線段是線段，點(diǎn)到直線的距離是一個數(shù)量，而不是圖形。距離不能畫，只能測量。所以“畫

出點(diǎn)A到理線CQ的距離”的說法是錯誤的。“點(diǎn)到直線的距離”實(shí)質(zhì)上是直線外一點(diǎn)到垂足之間的距離，

也可以理解成兩點(diǎn)之間的距離，不過要弄清楚是怎樣的兩點(diǎn)。

知識點(diǎn)6垂線、垂線段的性質(zhì)

L垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi),過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

2.垂線段的性質(zhì)：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。

簡單說成：垂線段最短。

如圖，點(diǎn)P是直線/外一點(diǎn)，尸垂足為0。A,B,C,。都是直線/上的點(diǎn)，在線段山，PB,PC,

PD,P0中，P0最短，因?yàn)榇咕€段最短。又因?yàn)椤霸谕黄矫鎯?nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂

直”，所以點(diǎn)P到直線/的垂線段也只有一條。

P

ni

AnocDl

拓展:

因?yàn)榇咕€段只有一條，所以線段B4,PB,PC,都不與直線/垂直。我們把不與直線/垂直的線段力,

尸3等叫做點(diǎn)P到直線/的斜線段。斜線段的長度大于垂線段的長度。

L2同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

知識點(diǎn)1同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

L同位角：兩個角分別在兩條被截直線的同一方，并且都在截線的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的一對角叫做晅

位角。

2.內(nèi)錯角：兩個角都在兩條被截直線之間，并且分別在截線兩側(cè)，即被截線“錯開”具有這種位置關(guān)系的一

對角叫做內(nèi)錯角。

3.同旁內(nèi)角：兩個角都在兩條被截直線之間，并且在截線的同一旁，具有這種位置關(guān)系的一對角叫做同旁

內(nèi)角。

角的名稱角的特征基本圖形形象記法共同特征

截線：同側(cè)

同位角

被截線：同旁F

①必有三條直線；

截線：兩側(cè)

內(nèi)錯角②這三類角都沒有公共頂點(diǎn)；

被截線：之間

1Z③都表示角之間的位置關(guān)系。

截線：同側(cè)

同旁內(nèi)角

被截線：之間U

注意：

(1)兩條直線被第三條直線所截，構(gòu)成的八個角簡稱“三線八角”。其中同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是“三

線八角”中沒有公共頂點(diǎn)但具有特殊位置關(guān)系的三類角。

⑵識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角時，主要看其是不是由“兩條直線被第三條直線所截”構(gòu)成的，是不是

符合各類角的位置特征。尤其是同位角，不要被其表面“方位相同”的假象所迷惑。

1.3平行線

知識點(diǎn)1平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系及平行線的定義

同一平面內(nèi)的兩條直線有三種位置關(guān)系：相交、重合、既不相交也不重合。

定義：在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。直線a,6平行，記做,讀做a平行，。

說明：

同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系有相交、重合、既不相交也不重合三種，兩條直線相交，一定只有一個

公共點(diǎn)，如果兩條直線有兩個公共點(diǎn)，那么它們一定重合。若沒有特別說明，兩條“重合”的直線視為一

條直線。

圖例表示方法

X

相交線直線a與b相交于點(diǎn)0

b

直線〃與b相交

---------------------------a

平行用符號“〃”表示，讀做“平行”，直線。與6平行可表示為

平行線

---------------------------b

“涼/〃”或“6//a”

直線a與方平行

知識點(diǎn)2平行線的畫法

步驟畫法圖示

P

*

一“落”將三角板的一邊落在已知直線a上

a.--y

用一把直尺緊靠在三角板的另一邊上

推移三角板，使與已知直線。重合的那一邊經(jīng)過已知

三“推”

點(diǎn)尸

P

四“畫”沿過已知點(diǎn)的三角板的一邊畫直線

利用三角尺、直尺畫平行線的四個步驟：

畫出的直線》就是與直線。平行的直線，如圖。

注意：（1）在作圖中必須確保直尺固定好位置后不再變動；推動三角尺時，要始終保持一邊緊靠直尺。

（2）平常我們在作業(yè)本、演算紙上畫平行線示意圖時，可以不這么畫，但若題目本身就是畫圖題，就要嚴(yán)

格按照步驟畫圖.。

知識點(diǎn)3平行線的基本事實(shí)

基本事實(shí)：經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行。

注意：

⑴平行線的基本事實(shí)特別強(qiáng)調(diào)“過直線外一點(diǎn)”，而非直線上的點(diǎn)。

（2）“有且只有一條直線”強(qiáng)調(diào)直線的存在性和唯一性。

如圖（1）,過直線。外一點(diǎn)尸，能且只能畫出一條直線與直線a平行。

如圖（2）,假設(shè)過點(diǎn)尸能畫出兩條直線b,c都與直線。平行（實(shí)際上這種情況不存在），那么說明直線6,

c是同一條直線，依據(jù)就是平行線的基本事實(shí)。

—L-b

C

---------------------a--------------------a

圖⑴圖⑵

拓展：直線的平行關(guān)系具有傳遞性，平行于同一條直線的兩條直線平行，如圖，若"例C//6,則4%。

abc

1.4平行線的判定

知識點(diǎn)1平行線的判定方法1（基本事實(shí)）

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。

簡單地說，同位角相等兩直線平行。如下圖，如果NA3QNC,那么BFHCE。

推理過程：因?yàn)椋ㄒ阎?

所以BF//CE（同位角相等，兩直線平行）o

推論：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。

AM

CDE

知識點(diǎn)2平行線的判定方法2

兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。

簡單地說，內(nèi)錯角相等，兩直線平行。如下圖，如果N2=N1,那么BF//CE。

推理過程：因?yàn)?2=/1（已知），

所以BFV/CE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

AM

I-------------------------7

_______

CDE

知識點(diǎn)3平行線的判定方法3

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。

簡單地說，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。如圖。如果N3+NC=180。，那么BF//CE。

推理過程：因?yàn)镹3+NC=180。（已知），

所以BF//CE（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

AM

CDE

說明：

⑴平行線的判定方法要“記簡稱，理解原話”。三種判定方法都有一個大前提：兩條直線被第三條直線所

截，如果沒有這個大前提，就不會出現(xiàn)“三線八角”，也就談不上利用它們來判定兩直線平行了。

⑵除了平行線的三個判定方法外還有平行線的定義和平行于同一條直線的兩條直線平行這兩種方法可以

判定兩條直線平行。

1.5平行線的性質(zhì)

知識點(diǎn)1平行線的性質(zhì)

1.平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成：兩直線平行，同位角相等。

性質(zhì)2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

性質(zhì)3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

如圖，已知AD//BC,可得如下結(jié)論：N1=N3（兩直線平行，同位角相等）

N2=N5（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。

/3+/8=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）。

而N1=N2的依據(jù)是“對頂角相等”，與4。和3c是否平行無關(guān)。

2.平行線的判定與性質(zhì)之間的關(guān)系

同位角相等

內(nèi)錯角相等兩條直線平行

同旁內(nèi)角互補(bǔ)

1.6圖形的平移

知識點(diǎn)1平移的定義

1.定義：一個圖形沿某個方向移動,在移動的過程中，原圖形上所有的點(diǎn)都沿同一個方向移動相等的距

離_,這樣的圖形運(yùn)動叫做圖形的平移。

2.平移的要素：平移的要素是平移的方向和平移的距離。

如圖,三角形ABC沿射線BC的方向移動BD長可得到三角形FDE,三角形43c的這個位置變換就是平移。

點(diǎn)A平移到點(diǎn)尸，點(diǎn)尸是點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)，原來的圖形三角形A3C是原像，三角形尸。E是三角形ABC平移

后的像。

A

B揚(yáng)CE

說明：

⑴平移是圖形的基本變換，要弄清一個圖形的平移變換，首先要弄清平移的方向，它可以向上、下、左、

右移動，也可以斜向移動，但不能轉(zhuǎn)動，即圖形的“朝向”不能變；其次要弄清平移的距離，就是新圖形

與原圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線的長度。

⑵平移時圖形的所有點(diǎn)移動的方向一致，并且移動的距離相等，所以要確定一個圖形平移的方向和距離，

只需確定其中一個點(diǎn)平移的方向和距離即可。

知識點(diǎn)2平移作圖

平移作圖的四個步驟:

［一“定斗-確定平移的方向和距離

［二:找斗-找出原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)

過關(guān)鍵點(diǎn)作承^^或在同一條直線上)且相等的線

已超廣段，得到關(guān)鍵點(diǎn)平移后的對應(yīng)點(diǎn)

而七嘰_按原圖形順序依次連接各不對應(yīng)點(diǎn)，

,「得到的圖形即為平移后的圖形

如圖(1),將A點(diǎn)平移到A'點(diǎn)，作出四邊形ABCD平移后得到的四邊形AEC7K圖(2)中的四邊形AECD

是所要作的圖形。

4'A'D'

B'\---------

4^_P

BCBC

圖⑴圖⑵

注意：

⑴在平移過程中，注意平移的方向和距離要符合要求；

⑵利用平移設(shè)計(jì)圖案時，首先要確定基本圖案，然后通過連續(xù)平移得到組合圖案。

知識點(diǎn)3平移的性質(zhì)

1.平移不改變圖形的形狀和大小

(1)圖形平移后會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。

(2)新圖形和原圖形中的對應(yīng)線段平行(或在同一條直線上)且相等，對應(yīng)角相等。

2.一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，兩組對應(yīng)點(diǎn)的連線平行(同一條直線上)且相等。

第二章二元一次方程組

2.1二元一次方程

知識點(diǎn)1二元一次方程的定義

1.含有兩個未知數(shù),且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次的方程叫做二元一次方程。

2.二元一次方程必須滿足的三個條件

彳,y的次方程兩邊

(1)方程中只含有兩個未知數(shù);數(shù)均為1_1丁耳都是整式

5%+4y=3

(2)含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1次；

含有x,y兩

⑶方程是整式方程。個未如數(shù)

注意：

對于“含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1”的理解應(yīng)該是含有未知數(shù)的這一項(xiàng)的次數(shù)是1,而不是每一個字母的次數(shù)都

是1,例如：2孫+2=5就不是二元一■次方程，而是二元二次方程。

知識點(diǎn)2二元一次方程的解

1.使二元一次方程兩邊的值相等的一對式知數(shù)的最叫做二元一次方程的一個解。

2.在二元一次方程中，只要給定其中一個未知數(shù)的值，就可以相應(yīng)地求出另一個未知數(shù)的值，因此二元一次

方程有無數(shù)個解。但是如果對未知數(shù)加以條件限制，一般有有限個解。

說明：

方程2x+y=5的解有無數(shù)個，但方程2x+y=5的正整數(shù)解只有后二:和二：

2.2二元一次方程組和它的解

知識點(diǎn)3二元一次方程組的定義

1.由兩個一次方程組成,并且含有兩個叫做二元一次方程組。

2.判斷一個方程組是否為二元一次方程組的方法共含兩個未知數(shù)

(1)判斷方程組中的方程是否都為整式方程；兩個整=7,

式方程=0.

含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都為1

(2)判斷方程組中是否只含有兩個未知數(shù)；

(3)判斷方程組中含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是否為1。

同時滿足以上三點(diǎn)的方程組為二元一次方程組，否則不是二元一次方程組。

注意：

⑴二元一次方程組不一定都是由兩個二元一次方程組成的，方程組的個數(shù)也可以超過兩個，其中有的方程可以

%+y=0

—3=0

是一■元一■次方程，但整個方程組中，只能含有兩個未知數(shù)。例如:x-y=3都是二元一次

%—9=y*

、2y—2x=—6

方程組，而仁；，廣都不是二元一次方程組。

⑵方程組無論是由幾個方程組成的，必須一■共含有兩個未知數(shù)，多一■個未知數(shù)或少一■個未知數(shù)都不行。

知識點(diǎn)4二元一次方程組的解

1.同時滿足二元一次方程組中各個方程的皿。叫做二元一次方程組的解。

2.代入法判斷一組數(shù)是否為二元一次方程組的解

將一組未知數(shù)的值代入二元一次方程組中每個方程的兩邊。當(dāng)所有等式都成立時，這組未知數(shù)的值是該二

元一次方程組的解。

知識點(diǎn)5根據(jù)實(shí)際問題列二元一次方程組

列二元一次方程組的步驟

(1)審題：認(rèn)真審題，理解題意，弄清題目中的數(shù)量關(guān)系，找出其中的關(guān)系等量；

(2)設(shè)未知數(shù)(設(shè)兩個未知數(shù))：用字母表示題目中的兩個未知量；

⑶列方程組：將題中涉及的量用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，利用這些代數(shù)式列出反映兩個等量關(guān)系的方

程。

注意：

一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量；②同類量的單

位要統(tǒng)一。

(1)由實(shí)際問題列方程組是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找

出題目中的等量關(guān)系。

⑵找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點(diǎn)，有如下規(guī)律和方法：

①確定應(yīng)用題的類型，按其一般規(guī)律找等量關(guān)系。

②將問題中給出的條件按意思分割成兩個層面，有“「時一般”；”前后各一層，分別找出兩個等量關(guān)系。

③借助表格提供的信息，按橫向和縱向去分別找等量關(guān)系。

④圖形問題，分析圖形的長、寬，從中找等量關(guān)系。

2.3解二元一次方程組

知識點(diǎn)1代入消元法解二元一次方程組

1.定義：把其中一個方程的某一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示,然后把它代入到另一個

方程中,便得到一個一元一次方程，這種解方程組的方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

2.用代入法解二元一次方程組的一般步驟

名稱具體做法目的注意事項(xiàng)

用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個變形為y=a%+b^x=ay+b)

(1)變形選系數(shù)簡單的方程變形

未知數(shù)，得到變形的方程的形式

把y=ax+b(x=ay+力)代入另一個消去一個未知數(shù),轉(zhuǎn)化為一元一

⑵代入代入時要“只代不算”

沒有變形的方程中次方程

去括號時不漏乘，移項(xiàng)時

(3)求解解代入后得到的一元一次方程求出一個未知數(shù)的值

要變號

把求得的未知數(shù)的值代入步驟⑴變

(4)回代求出另一個未知數(shù)的值一般代入變形后的方程

形后的方程中

要用｛將無，y的值聯(lián)立

(5)寫解把兩個未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來表示成的猿="的形式

起來

注意：

(1)當(dāng)二元一次方程組中各項(xiàng)的系數(shù)不全是整數(shù)時，應(yīng)先化簡方程，使系數(shù)均為整數(shù)。例如解方程組

'V—1

-------2y+3=0

?(y+3時，應(yīng)先經(jīng)過去分母、去括號、移項(xiàng)以及合并同類項(xiàng)等步驟，將方程組變形為

3—=—

V36

(x—8y=-11

(2x+y=15°

⑵優(yōu)先選用方程的一個未知數(shù)表示其中系數(shù)為±1的另一個未知數(shù)；若沒有系數(shù)是±1的未知數(shù)，一般選擇系數(shù)

的絕對值最小的方程變形。

知識點(diǎn)2加減消元法解二元一次方程組

L定義：對于二元一次方程組，當(dāng)兩個方程的同一個未知數(shù)的系數(shù)是互為相反數(shù)或相同時,可以通過把

兩個方程的兩邊相加或相減來消元,轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。這種解二元一次方程組的方法叫做加

減消元法，簡稱加減法。

2.用加減法解二元一次方程組的一般步驟

名稱具體做法目的

根據(jù)絕對值較小的未知數(shù)(同一個未知數(shù))的系使兩個方程中某一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為

(1)變形

數(shù)的最小公倍數(shù)，在方程兩邊乘適當(dāng)?shù)臄?shù)相反數(shù)

利用加減法消去系數(shù)相等或互為相反數(shù)的同一

(2)加減轉(zhuǎn)化為一^元一?次方程

未知數(shù)

(3)求解解消元后得到的一元一次方程求出一個未知數(shù)的值

把求得的未知數(shù)的值代入步方程中某個比較簡

(4)回代求出另一個未知數(shù)的值

單的方程中

(5)寫解把兩個未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來表示成的c的形式

注意：

(1)同乘一個數(shù)時容易出現(xiàn)漏乘的項(xiàng)；

⑵將兩個方程相加減時，注意不要弄錯符號；

⑶運(yùn)用加減法解方程組時，注意把含相同未知數(shù)的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)寫在對應(yīng)位置上；

⑷盡量避免出現(xiàn)未知數(shù)的系數(shù)為負(fù)數(shù)的情況。

2.4二元一次方程組的應(yīng)用

知識點(diǎn)列二元一次方程組解決實(shí)際問題的步驟

(1)審：弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系；

(2)設(shè)：用字母表示題中的兩個未知數(shù)；

(3)列：根據(jù)找出的兩個等量關(guān)系列出方程組；

(4)解：解方程組；

(5)驗(yàn)：檢驗(yàn)所得的解是否為方程組的解，檢驗(yàn)是否符合實(shí)際情況；

(6)答：寫出答案(包括單位)。

注意：

未知數(shù)的單位：設(shè)未知數(shù)時，未知數(shù)的單位要明確寫出。

檢驗(yàn)：檢驗(yàn)是否符合實(shí)際情況，比如是否為整數(shù)、正數(shù)，是否可以取。等。

2.5三元一次方程組及其解法

知識點(diǎn)1三元一次方程的定義

含有工個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是二^的方程叫做三元一次方程。

說明：類比二元一次方程理解

理解三元一次方程的相關(guān)概念，加深對“元”和“次”的認(rèn)識。

知識點(diǎn)2三元一次方程組的定義

1.由三個一次方程組成,并且含有三個未知數(shù)的方程組叫做三元一次方程組。

2.三元一次方程組需具備以下3個條件

⑴方程中含有三個未知數(shù);

(2)每個方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)均為1次；

(3)方程組中都是整式方程。

三者缺一不可。

注意：

“含有三個未知數(shù)”指的是方程組中一共含有三個未知數(shù)，而不一定是每個方程中都含有三個未知數(shù)。

知識點(diǎn)3三元一次方程組的解

1.同時滿足三元一次方程組中各個方程的解叫做這個三元一次方程組的解。

2.判斷一組數(shù)是否為三元一次方程組的解時，將這一組數(shù)分別代入三個方程中，若三個方程均成立，則這組

數(shù)是該方程組的解。

注意：

同二元一次方程組一樣，三元一次方程組的解滿足方程組中任意一個方程。

知識點(diǎn)4三元一次方程組的解法

1.解三元一次方程組的基本思路

解三元一次方程組的基本思路是先消去一個未知數(shù),將解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，

進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為消元解一元一次方程。消元的基本方法是代入法和加減法。

說明：解三元一次方程組的基本思路仍然是“消元”

2.解三元一次方程組的一般步驟

(1)首先利用代人法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知

數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組：

(2)解這個二元一次方程組，求出這兩個未知數(shù)的值；

(3)把求得的兩個未知數(shù)的值代人原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，得到一個關(guān)于第三個未知數(shù)的一

元一次方程；

第三章整式的乘除

3.1同底數(shù)幕的乘法

知識點(diǎn)1同底數(shù)幕的乘法

1.一般地，對于任意底數(shù)a與任意正整數(shù)加，n。

a771,an=（a.a........?Q,（a■a■......,a）=a-a,....,a=am+n。

'??1i1

m個〃〃個〃（m+〃）個a

因此，我們有/+辦（加,〃都是正整數(shù)）。

2.同底數(shù)嘉的乘法法則：同底數(shù)嘉相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

惠v——??指數(shù)

r

底數(shù)

3.推廣：a7",a",aP?>p都是正整數(shù)）；am+n=am-anGn,〃都是正整數(shù)）

注意：

⑴不要忽略指數(shù)是1的因式嗎，如a?a5=a1+5；

⑵底數(shù)可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，當(dāng)?shù)讛?shù)是多項(xiàng)式時通常把底數(shù)看做一個整體,運(yùn)用整體思想求解。

知識點(diǎn)2幕的乘方

“個心〃個小

n?------I1?

/?_^mn

1.一般地，對于任意底數(shù)a與任意正整數(shù)機(jī)，小\(4-1—LtLt.....Lt—Lt—Lt.

因此，我們有（am）"=*（根，"都是正整數(shù)）。

2.慕的乘方法則：塞的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

_fl772

3.推廣：［（產(chǎn)）叩=上匕（〃2,n,P都是正整數(shù)）；產(chǎn)*（叱）=（an）Cm,"都是正整數(shù)）。

4.同底數(shù)塞的乘法法則與乘方法則異同點(diǎn)：

注意：

（1）應(yīng)用周的乘方法則進(jìn)行計(jì)算時，要特別注意符號問題，負(fù)數(shù)的奇次幕為負(fù)，負(fù)數(shù)的偶次森為正。

an（71為偶數(shù)）(a-b)n(n為偶數(shù))，

（一a尸;(a-b)n

-anO為奇數(shù)）-(a-b)n(ri為奇數(shù))

⑵①春的乘方的底數(shù)指的是氟的底數(shù)；②法則中“指數(shù)相乘”指的是賽的指數(shù)與乘方的指數(shù)相乘，這里注意與

同底數(shù)賽的乘法法則中的“指數(shù)相加”的區(qū)別。

知識點(diǎn)3積的乘方

1.一般地，對于任意底數(shù)a,b與任意正整數(shù)〃：

n

Cab)=(ah)"(afe),...,(ah)=(a-a,....,a),(6,6-...,b)=anbn.

n個(ab)〃個?！皞€

fl

因此，我們有Cab)=anbn(w是正整數(shù))。

2.積的乘方法則：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的法相乘。

3.推廣：(abc)是正整數(shù))；0nbn=(ab)"("是正整數(shù))。

注意：

⑴每個因式都要乘方，不要漏掉任何一個因式；

⑵要注意系數(shù)連同它的符號一起乘方，尤其當(dāng)系數(shù)是7時，不可忽略；

⑶式子中的a,b可以代表一個單項(xiàng)式，也可以代表一個多項(xiàng)式。

3.2單項(xiàng)式的乘法

知識點(diǎn)1單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)事分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因

式。

注意：

⑴在計(jì)算時，應(yīng)先進(jìn)行符號運(yùn)算，積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積；

⑵注意按順序運(yùn)算；

⑶不要丟掉只在一個單項(xiàng)式里含有的字母因式；

(4)此法則對于多個單項(xiàng)式相乘仍然成立。

知識點(diǎn)2單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)再把所得的積相加。

用式子表示為?n(a+6+c)=nta+mb+mc(m,a,b,c都是單項(xiàng)式)。

說明：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的實(shí)質(zhì)

利用乘法分配律將單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式。

注意：

用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)時，不能漏乘。

3.3多項(xiàng)式的乘法

知識點(diǎn)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

用式子表示為(。+〃)(6+，〃)=。其實(shí)質(zhì)是把多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘多項(xiàng)。

3.4乘法公式

知識點(diǎn)1平方差公式

1.平方差公式

(1)平方差公式的推導(dǎo)：(a+b)(a—b)=a2—ab+ab—b2=a2—b2o

(2)平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩數(shù)的平方差。

(3)用式子表示：(a+b)(a-b)=a2—b2

說明：平方差公式的幾何意義

圖(1)中的陰影部分的面積S=a?—b2；圖(2)中的陰影部分的面積S=(a+6)(a—6),可得(a+b)(a-

b)=a2-b2o

圖⑴圖⑵

2.平方差公式的特點(diǎn)

(1)左邊是兩個二項(xiàng)式相乘，并且這兩個二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；

(2)右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；

(3)公式中的a和力可以表示具體的數(shù)或單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式。

拓展：平方差公式的特征

①位置變化：(x+y)i-y+x^^-y1

②符號變化：(-x+y)(T-y)=(-x)2_y2=爐

③指數(shù)變化：(xI+y^^-y^x4-))4

④系數(shù)變化：(2a+6)(2a-b)=4a2-62

⑤換式變化：[xy+(z+??)][尤j-(z+m)]=(x^)2-(z+m)2=x2j2-(z+//i)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2

?增項(xiàng)變化：(x-y+z)(x-y-z)=(x-j)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+^-z2=x2-2xy+j；2-z2

知識點(diǎn)2完全平方公式

L完全平方公式

(1)完全平方公式的推導(dǎo)：

(a+b)2=(a+h)(a+/?)=a2+ah+a/?+h2=a2+2ab+b2；

2222

(a—b)2=(a—b)(a—b)=a—ab—ab+b=a—2ab+bo

(2)完全平方公式：兩數(shù)和(或差)的平方，等于這兩個數(shù)的平方和，加上(或減去)這兩個數(shù)積的2倍。

2222

(3)用式子表示：(a+b)2=+2ab+b；(a—b)=a—2ab+bo

說明：完全平方公式的幾何意義

圖(1)中大正方形的面積的兩種表示方法：S=(a+b)2,S=a2+2ab+b2;

圖(2)中陰影部分的面積的兩種表示方法：S=(a—b)2,S=a2-2ab+b2;

g

圖(2)

拓展：補(bǔ)充公式

①Q(mào)2+產(chǎn)=(0+以—2ab;

@a2+h2=(a—b)2+2ab;

③(a+h)2=(a—b)2+4ab;

④(a—b)2=(a+b)2—4ab;

⑤(a+b)2+(a—b)2=2(a2+h2);

⑥(a+bp—(a—b)2=4ab;

⑦(a+h—c)2=a2+b2+c2+2ab—2bc—2ac;

?(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2=2a2+2b2+2c2+2ab+2bc+2ac;

⑨(a±5)2=M+2±2；

3.5整式的化簡

知識點(diǎn)整式的化簡求值

1.整式的化簡應(yīng)遵循先乘法、再乘除、最后算加減的順序。能運(yùn)用乘法公式的則運(yùn)用公式。

2.化簡求值：先按運(yùn)算順序把整式化簡，再把對應(yīng)字母的值代入，求整式的值。

注意：

在整式的化簡求值中，一定記住，要先化簡，再求值。不要上來就把已知數(shù)代進(jìn)去，不然計(jì)算量會非常大。

3.6同底數(shù)幕的除法

知識點(diǎn)1同底數(shù)幕的除法

同底數(shù)幕的除法法則：同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

用式子表示：a771+欠=a771-71m,〃都是正整數(shù)，且［">"）

注意：

⑴底數(shù)在0,因?yàn)?不能做除數(shù)；

⑵單獨(dú)的一個字母，其指數(shù)是1,而不是0;

⑶應(yīng)用同底數(shù)幕除法的法則時，底數(shù)a可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什么。

拓展：

aP=am~n~p（a^O,m,n,p都是正整數(shù)，且相>〃+p）。

此法則可以逆用，^am-n=am^an（a^0,m,〃都是正整數(shù)，且加>〃）

知識點(diǎn)2零指數(shù)幕與負(fù)整數(shù)指數(shù)幕

1.任何不等于零的數(shù)的零次嘉都等于」一。即a。=1成立的條件是辦0。

2.任何不等于零的數(shù)的-p⑦是正整數(shù)）次嘉，等于這個數(shù)的p次塞的倒數(shù)。

用式子表示：af=煮（存0,p是正整數(shù)）。

3.規(guī)定了零指數(shù)幕與負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉的意義，就把指數(shù)的概念從正整數(shù)推廣到了整數(shù)。正整數(shù)指數(shù)幕的各種運(yùn)

算法則對整數(shù)指數(shù)幕都適用。

知識點(diǎn)3科學(xué)記數(shù)法

科學(xué)記數(shù)法：有了負(fù)指數(shù)累后，絕對值小于1的數(shù)，也能寫成axlO-"的形式，其中〃是正整數(shù)，1Wa<10,這叫

科學(xué)記數(shù)法。

注：對于一個絕對值小于1的數(shù)，如果小數(shù)點(diǎn)后至第一個非0數(shù)字前有加個0,則10"的指數(shù)”="7+1.

3.7整式的除法

知識點(diǎn)1單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)次分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的灌

虬作為商的一個因式。

8a664c8a664

4a2"-4

商式=系數(shù)x同底數(shù)球x被除式里單獨(dú)有的幕

被除式的系數(shù)底數(shù)不變,保留在商里

除式的系數(shù)指數(shù)相減作為因式

注意：

⑴在運(yùn)算中單項(xiàng)式的系數(shù)包括它前面的符號；

⑵不要遺漏只在被除式中含有的字母；

(3)注意運(yùn)算順序

⑷單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的結(jié)果仍是單項(xiàng)式。

知識點(diǎn)2多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個單項(xiàng)式,再把所得的商相加。

用式子表示：(士+b+c)+〃z=(m#0)。

注意：

⑴一定要注意法則中的“每一項(xiàng)”，在相除過程中不要漏除；

⑵符號仍是運(yùn)算中的重要問題，注意多項(xiàng)式中每一項(xiàng)的符號和單項(xiàng)式的符號。

第四章因式分解

4.1因式分解

知識點(diǎn)因式分解

一般地，把一個多項(xiàng)式化成幾個整式的積的形式,叫做因式分解，有時我們也把這一過程叫分解因式。

注意：(1)因式分解與整式乘法的關(guān)系：

因式分解

一個多頊?zhǔn)絴、'「幾個整式的積

整式乘法

(2)因式分解的結(jié)果必須滿足：①式子乘積的形式；②每個因式都是整式；③結(jié)果分解要徹底。

4.2提取公因式法

知識點(diǎn)1提取公因式

1.一般地，一個多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都含有的相同的因式叫做這個多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。

2.如果一個多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么可把該公因式提取出