2024學(xué)年廈門市某中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月考試卷（附答案解析）

2024學(xué)年廈門市雙十中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月考試卷

一、單選題（本大題共8小題）

1.等差數(shù)列｛4｝中，已知%+%+%=18,則該數(shù)列的前9項(xiàng)和為（）

A.54B.63C.66D.72

2.棱長為1的正四面體A3CD中，點(diǎn)E是4D的中點(diǎn)，則8A.e萬=（）

D布

A1

,444

3.設(shè)Sn是等比數(shù)列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)和，若S3=4。4++。6=6，則衿

)

19

D.

c16

4.已知兩條直線4：元-gy+2=0與4：%-百y+6=0被圓。截得的線段長均為2,則圓。的面積為

()

A.2兀B.3兀C.4兀D.571

5.如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)K，尸2在X軸上，A,B是橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn),

且軸，PFJ/AB,則此橢圓的離心率是（）

1

C.一

3DT

6.已知四面體ABCD中，AB,BC,3D兩兩垂直，BC=BD=血，A3與平面AC。所成角的正

切值為g,則點(diǎn)B到平面ACZ）的距離為（）

1

.A/3R2A/3_V5□2非

2355

7.設(shè)meR,若過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+%=0和過定點(diǎn)8的動(dòng)直線〃式-y-m+2=0交于點(diǎn)P（x,y）,

則|酬.|尸3|的最大值是（）

5

A.-B.2C.3D.5

2

8.正方體的棱長為5,點(diǎn)“在棱A3上，且411=2,點(diǎn)尸是正方體下底面ABC。內(nèi)

（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P到直線4。的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)”的距離的平方差為25,則動(dòng)點(diǎn)P到

5點(diǎn)的最小值是（）

A.2y/3B.76C.73D.血

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知S,,是等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，％>0,且$=九，則（）

A.公差d>0B.46>°C.S32=0D.〃=17時(shí)，S“最大

10.在正方體中，超=2,點(diǎn)E是人4的中點(diǎn)，空間中一點(diǎn)尸滿足

AP=xAB+yAAl（x,ye［0,l］）,貝!］（）

A.當(dāng)x=l時(shí)，AB1CP

B.當(dāng)y=i時(shí)，三棱錐尸-BCR的體積為定值

C.當(dāng)無=；時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得〃平面AC，

D.當(dāng)x+y=l時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得CJ與CR所成角為60。

11.雙紐線，也稱伯努利雙紐線，伯努利雙紐線的描述首見于1694年，雅各布?伯努利將其作為

橢圓的一種類比來處理.橢圓是由到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡，而卡西尼卵形線則是由

到兩定點(diǎn)距離之乘積為定值的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)此定值使得軌跡經(jīng)過兩定點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，軌跡便為伯努

利雙紐線.曲線C：（爐+力2=4優(yōu)一力是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（）

2

A.曲線。經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))

B.已知4卜忘,0),B(A/2,0),尸為雙紐線上任意一點(diǎn)，則印+|即220

C.若直線丫="與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍為

D.曲線C關(guān)于直線y=x對稱的曲線方程為(丁+力2=4卜2-巧

三、填空題(本大題共3小題)

12.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足S“=2"+2-3(〃eN*),則4=.

13.如圖，在四棱柱A3CD-A耳G2中，底面A3C。是平行四邊形，點(diǎn)E為3。的中點(diǎn)，若

\E=xA4,+yAB+zAD，貝！Jx+y+z=.

14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比

為常數(shù)2(2^1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)4(-7,0),8為直線/：

2尤+y+3=0上的動(dòng)點(diǎn)，尸為圓C：(x—2y+y2=9上的動(dòng)點(diǎn)，則|叫+3］陽的最小值為.

四、解答題(本大題共5小題)

15.若數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S“，且2s“=3a〃—l(〃wN*),等差數(shù)列也｝滿足4=34,-4.

⑴求數(shù)列｛4｝,也“｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)%=今，求數(shù)列k｝的前“項(xiàng)和I.

16.如圖，在四棱錐中，AD//BC,ABLBC,AB=BC^1,AD=a(a>\),R4_L平面ABCD,

尸￡)與平面ABC。所成角為45。，E為PD中點(diǎn),

P

C

(1)證明：BE±PD；

3

⑵若直線尸C與平面ABE所成角為60。，求。的值.

17.已知雙曲線C：萬一方=l(a>0,b>0)的虛軸長為4,直線2x—y=0為雙曲線C的一條漸近線.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,過點(diǎn)T(2,0)的直線/交雙曲線C于點(diǎn)N(點(diǎn)M在第

一象限)，記直線的斜率為七，直線NB的斜率為％2，求證：察為定值.

18.已知橢圓C:5+A=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳耳，離心率為導(dǎo)設(shè)P(xo，y0)是第一

象限內(nèi)橢圓C上的一點(diǎn)，尸片1g的延長線分別交橢圓C于點(diǎn)A3,連接OP,AB,AK，若APg的

周長為4A/2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)尸入，x軸，求△尸4居的面積；

⑶若分別記的斜率分別為左，心，求:-2的最大值.

19.已知兩個(gè)數(shù)列｛%｝和｛〃｝的項(xiàng)數(shù)均為P,且對于數(shù)列4M2，,4.，其中左=12,p,若存在外滿

足：①VM｛1,2,-,耳，都有勾(4；②于《1,2,，耳，使得a,=4,則稱數(shù)列也｝是｛%｝的單極數(shù)

列.

⑴已知%eN*,若｛%｝的單極數(shù)列為1,2,2,3,3,3,求滿足條件的｛叫的個(gè)數(shù).

(2)已知也｝是｛%,｝的單極數(shù)列.

(i)若見+i+2%Y=&，求％：-4.

n+1

2勿〃為奇數(shù)13

(ii)右見=｛n,當(dāng)一<4<1時(shí)，證明：0<Z(4-q)<1263.

加2_(_］尸勿〃為偶數(shù)2?

4

參考答案

1.【答案】A

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知%+%+%=3%=18,貝?。萆?6,

故前9項(xiàng)的和為5=^^=9%=9x6=54.

故選A.

2.【答案】A

【詳解】因?yàn)镃E=C4+AE，

所以BACE=BA-(CA+AE)=BACA+BAAE，

X|BA|=|CA|=I,|AE|=1,網(wǎng)的=(,網(wǎng)碼=與，

TT19jr1

所以BACE=lxlxcos—+lx—xcos——=—.

3234

故選：A.

3.【答案】B

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，求得q3的值，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得

結(jié)果.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛an)的公比為q，若q=l，則a4+a5+a6=3at=S3,矛盾.

所以，qWl，故(14+(15+怒=)—。皿工［)=q3s3，貝!Iq3=I,

所以，S6=*2=(l+q3).號J1=|S3，

1—Q±-QZ

Sg=a^)=(1+Q3+￡/6)a^)=^S3，

因此，包=強(qiáng).三=".

S645s310

4.【答案】A

【詳解】因?yàn)閮蓷l直線小龍—6y+2=0與%:X—島+6=0,

所以

匕_

所以乙與4間的距離為h=］J==2，

所以圓心c到直線4的距離為I,

因?yàn)橹本€4被圓截得的弦長為2,

22

所以圓的半徑為r=71+l=72.

5

所以圓C的面積為兀r=27t.

故選：A.

5.【答案】B

22

【詳解】橢圓方程=+*=1(。>6>0),

ab

(八

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為一C,一,A(a,o),B(O,b),&(c,o),

\a.

bh2hh2

于是k=—,k=----,由^AB二得—=-----,即b=2c,

ABaPF22aca2ac

故a=y/5c，e=—=?

a5

故選：B

6.【答案】D

【詳解】以5為原點(diǎn)，BC,BD,B4所在直線分別為X、，、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所

設(shè)BA=f,t>0,3(0,0,0),C(72,0,0),0(0,72,0),A(0,0,/).AB=(0,0,-/),C4=(-72,0,r),

CD=(-V2,A/2,0).

設(shè)平面AC￡)的法向量為〃=(x,y,z),

n-CA==—yflx+tz=0'令i得"「產(chǎn)，故〃力(」,

則

t-

7

因?yàn)橹本€AB與平面ACD所成角的正切值為

所以直線AB與平面AC。所成角的正弦值為好

5

\AB-^yf275

即F2-T>解得t=2.

AB\-\n?Jl+1+工

6

(⑻

所以平面ACZ)的一個(gè)法向量〃=1』,一

“\^B-n\722A/5

故B到平面AC。的距離為“=同=J]]]=~T

故選：D

7.【答案】A

【分析】先確定兩直線所過的定點(diǎn)A、8的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩直線的位置關(guān)系可判斷它們垂直，

結(jié)合基本不等式求解即可.

【詳解】依題意，直線無+〃9=。過定點(diǎn)4(0,0),直線〃zx-y-〃2+2=O可整理為1)+(2-y)=0,

故直線過定點(diǎn)8(1,2),

又因?yàn)橹本€x+畋=0和直線〃a-，-"?+2=0始終垂直，P為兩直線交點(diǎn),

所以R4_LPB,

則|AB|2=|PA|2+網(wǎng)'=(1-0)2+(2-0)2=5,

由基本不等式可得|R4|郴|1尸"哂="=|,

當(dāng)且僅當(dāng)|尸司=\PB\=?時(shí)取等號，所以4HpM的最大值是：

22

故選：A.

8.【答案】A

【詳解】

如圖所示，作PQ^AO,Q為垂足，則易知尸。上平面ADRA，

過點(diǎn)Q作QRLA。，交4。于R,則易知42,平面PQR,所以依即為P到直線4R的距離.

因?yàn)镻R?—尸M2=25,J!LPR2-PQ2=RQ2=25,所以PM=PQ.

所以點(diǎn)P的軌跡是以AO為準(zhǔn)線，點(diǎn)M為焦點(diǎn)的拋物線.

7

如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的軌跡方程是V=4x(0VyW4),

點(diǎn)A(-L0),B(4,0),設(shè)pj：，d，所以|尸理=一4]+y^-/+16

=J—(y2-8)2+12,所以當(dāng)丁=8,I即取得最小值2相.

V16

故選：A

9.【答案】BC

【詳解】設(shè)等差數(shù)列也,｝的公差為",

由S13=Sig得％4+05+%6+47+%8+=3(^6+6^7)=0,

由于〃1>0,所以d<0,^16>0,?17<0,所以AD選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.

%=CX32=16(陽+%)=0,c選項(xiàng)正確.

故選：BC

10.【答案】AC

【詳解】對于選項(xiàng)A,當(dāng)x=l時(shí)，AP=AB+yAAi,

如圖所示，

根據(jù)平面向量基本定理，此時(shí)P在線段8片上,

由于在正方體中，至，平面BBCC，CPu平面BBCC，

所以ABLCP,選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B,當(dāng)y=l時(shí)，AP=xAB+AAl,

8

如圖所示,

由平面向量基本定理，此時(shí)P在線段A4上，

由圖可知，三棱錐尸-3cA當(dāng)以平面BC2為底面時(shí)SBCD,為定值，

但因?yàn)轫旤c(diǎn)p在線段4片上運(yùn)動(dòng)，所以P到底面BCR的高不確定,

故三棱錐尸-BCR的體積不是定值，選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

對于選項(xiàng)C,當(dāng)x=g時(shí)，如圖所示，

止匕時(shí)AP=^AB+yAA],

由平面向量基本定理，取AB與4耳中點(diǎn)/W,N,則P在線段/WN上運(yùn)動(dòng),

由圖可知，過B點(diǎn)且與平面AC，平行的平面為平面ABC-

MAO平面48cl=尸，所以此時(shí)8尸〃平面AC2，

又P是MN與交點(diǎn),即當(dāng)且僅當(dāng)P是/WN中點(diǎn)時(shí)，有〃平面AC。，

故選項(xiàng)C正確；

對于選項(xiàng)D,如圖所示,

以。為原點(diǎn)，DC,DA,分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

9

則D(0,0,0),A(0,2,0),8(2,2,0),C(2,0,0),Dx(0,0,2),4(0,2,2),￡(2,0,2),

因?yàn)閤+y=l,則有APnxAB+Q—x)",

又AB=(2,0,0),胡=(0,0,2),

所以AP=(2x,0,2—2x),

所以P(2元,2,2-2x).

于是CjP=(2x—2,2,—2x),CDX=(-2,0,2),

所以GP,CR的夾角為60。時(shí)有，

CpC?|-2(2x-2)-4x|1

cos60°=

|C/I"CQI7(2X-2)2+4X2+4-2A/22

解得x=0或x=l,

即尸（0,2,2）或尸（2,2,0）都可以使得CRCQ的夾角為60。，

選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.【答案】BCD

【詳解】對于A,由（/+/『=4（/一?。傻茫?-2y+（/+2）2=8-2//,

所以-2<x<2,-2<y<2,

令y=0,解得x=0,尤=2或無=一2；

當(dāng)、=±1時(shí)，得（丁+1丫=4（/-1）,無解；

當(dāng)丫=±2時(shí)，得（無2+4）2=4（/一勺，無解；

所以曲線C經(jīng)過整點(diǎn)（2,0）,（-2,0）,（0,0）,故A錯(cuò);

對于B,由于&卜0,0）,B（6,0）,貝打期=2&,

所以尸為雙紐線上任意一點(diǎn)，貝/以|+怛回22血，B正確；

對于C,直線>=區(qū)與曲線卜2+力2=4（/一力一定有公共點(diǎn)（o.。）,

若直線>=履與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，

10

所以，（Y+V）=4（"一V）,整理得了4（1+k2y=4尤2（1一后2）無非零實(shí)數(shù)解，

y=kx

l-k2<0,實(shí)數(shù)上的取值范圍為（為,-1][1,及），故C正確；

對于D,曲線方程中尤，y互換可得曲線C關(guān)于直線y=x對稱的曲線方程為

（x2+y2）2=4（y2-x2）,故D正確.

故選：BCD.

□?【答案】晨f5,,n在=1,2

【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列｛%｝滿足S”=2"+2-3,

當(dāng)心2時(shí)，有?！?S“-加=（2--3）-（2"+|-3）=2向；

當(dāng)”=1時(shí)，有％=耳=8-3=5,不符合凡=2用，

|5,n=l,

故“"12向,心2.

故答案為：]f5評2=,l?

13.【答案】0

【詳解】在四棱柱ABCD-A瓦G2中，底面A3C。是平行四邊形，點(diǎn)E為8。的中點(diǎn),

所以A^E=A^A.+AB+BE-AA+AB+—BD=AA+AB+—^BA+AZ））=—AA^+—AB+—AD

又\E=xA\+yAB+zAD

所以x=-Ly=g,z=；

即％+y+z=O.

故答案為：0.

14.【答案】3也

【詳解】令照=3|即,則喝=3,

依題意，圓C：（x-2>+y2=9是由點(diǎn)A,￡）確定的阿波羅尼斯圓，且4=3,

11

則叫而+7>+了

設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為D(m,n)

IP0yl(x-m)2+(y-n)2

整理得Xi-誓而該圓的方程為

9m+7.

--------=4

4

9nm=l

則—=0解得點(diǎn)。的坐標(biāo)為0(1,0),

4n=Q

49-9m2-9n2

=5

8

2+3

因此照+3網(wǎng)=3|叫+3閥23因,當(dāng)班)，/時(shí)，最小,最小值為

所以當(dāng)時(shí)，|網(wǎng)+3|陽的值最小為36.

故答案為：375

15.【答案】⑴為=37"2n+l

(2)(=2一展

【詳解】(1)25?=3??-l(neN*

又25“_]=3%1-1(〃22),

兩式相減得2%=3〃“-3al，

即區(qū)=3,故數(shù)列｛%,｝是以3為公比的等比數(shù)歹!],

an-\

又當(dāng)〃=1時(shí)，2sl=2q=3%-1,得％=1,

%=3"、

=3%=3,&=%+4=3+4=7,

卜_卜A

.?.等差數(shù)列也｝的公差為勺?=?=2,

3—12

：.bn=2〃+1；

12

/、i/、_/=2〃+1

(2)由(1)可r得c,=一^,

2n-\2〃+1

+----------------

2n-\2〃+1

-------1----：-

3〃3向

1

2〃32n+l42n+4

上兩式相減得I=|+>,++----2-+1=-1+2x

3〃+】7-

3〃31-13"|一百r'

3

???--審

16.【答案】（1）證明見解析:

(2)a=2.

【詳解】（1）因?yàn)锳P//5C,AB.LBCf

所以AD/AB,因?yàn)镻A_L平面ABCD,尸。與平面ABCD所成角為45。,

所以NPD4為尸。與平面ABCD所成角，即NPD4=45。,

則PD=AD=a[a>\),又AD,ABu平面ABCD,

所以PA_LAD,PA_LAB,

所以可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則由題4（。，。，0），2（1,。，。），石[吟多尸（0，。，“）0（0,“,0）（（1,1,0）,

所以BE=1-1,彳,][,PD=（0,a,-a）,PC=（1,L-a）,AB=（1,0,0）,

所以底產(chǎn)/）=[-1,*小.（0?,一4）=￡一￡=0,

所以BE_LPr>，即助_i_ao.

（2）設(shè)平面ABE的法向量為元=（x,y,z）,

aac

nLBEn-BE=Q—x+—y+—z=0

則,所以，所以由(1)得22

n±ABn?AB

=0尤=0

取y=-l,貝U”=（O,-l,l）,又直線PC與平面ABE所成角為60。,

13

所以sin60°=|cosn,Pc|=nPCQ+1

HMJi?+仔+(_〃『^(-1)2+12

瑞T*‘解得

17.【答案】⑴V—9=1(2)證明見詳解

【詳解】(1)：虛軸長為4,...26=4,即6=2,

:直線2x—y=0為雙曲線C的一條漸近線，

.b_._

..~=2,??〃=1,

故雙曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程為V—2=1.

(2)由題意知，A(-l,0),8(1,0),

Tx

N

由題可知，直線/的斜率不能為零，故可設(shè)直線/的方程為無2,

設(shè)Af(xi,yi),N(%2,%),

X2-4-1,

聯(lián)立

x=幾y+2,

得(4加2—l)y2+16ny+12=0,

?I_16孔

.?力+>2=一而二P

12

町i”=一孤i+%)，

?.?直線MA的斜率自=七7,

XI十1

直線NB的斜率k=~~-,

2X2~I

yi3

?kixi+1yi5y2+1)

P為定值.

'"2"丁2(伙+3)儀"+3廣_/+均+3及

X2~1

18.【答案】⑴1+y*

14

⑵半

（3）-276

2

【詳解】（1）由題意："一'=立,44=4近,

a2

可得：a=V2,b=\,

故橢圓方程］+丁=1；

（2）設(shè)43，%）,8（%2，%），

當(dāng)尸耳，x時(shí)，由耳（—1,0）,乙。,0）1在第一象限，可得毛=1,%=等，

即P。,白），故求得直線24方程為2點(diǎn)y=x+l,

聯(lián)立方程‘+1，得（2應(yīng)＞-If+2/=2,

x+2y=2

整理得10丁-4應(yīng)y-l=O,%+%=-：，

E一刃=+=嚕=￥，

所以SPAF2=；僧閶回一%|=；*2*半=半；

（3）設(shè)/（%1，丫1）,8（%2，，2），因?yàn)椤福?o，yo）在橢圓。上，故說+2y；=2,

由題意尸4:尸』^+1）,尸2:了=4（＞1）

y=%（x+1）

故將直線承與橢圓C聯(lián)立方程.%o+l，

、/+2/=2

--i2

代入可得必+2上JQ+1）=2

_/+1_

二匚I、I3入0+4%

整理可得：（2%o+3）d+4丁2無一3片—4%=0,所以“為指

，即T

3xn+4%%

即芯=一年？%=一

2x+3

02x0+3

15

y=±（i）

同理：將直線P8與橢圓C聯(lián)立方程Ao1

x2+2y2=2

--i2

代入可得V+2=2

/一1

整理可得：（3—2x0）f—490彳+4毛—3fo=O,所以/%=3；1-：。

3廝-4y'3^-4y

即％=j’％=力n,即80

、2%—32x0—3?

%?%

2XQ—32%0+34%%==%_

所以左2=k

3XQ—43XQ+412焉_24_3宙_2）'「/

2XQ—32XQ+3

..11

故-----

k2k]

風(fēng)＞?！埂?-他+如]=2跖

由P（%o，yo）在第一象限內(nèi)，故

玉）