2024年中考數(shù)學(xué)題型突破：二次函數(shù)與角度有關(guān)的問(wèn)題12題（專項(xiàng)訓(xùn)練）

題型九二次函數(shù)綜合題

類型四二次函數(shù)與角度有關(guān)的問(wèn)題(專題訓(xùn)練)

4

1.(2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線y=尤2+陵+4與無(wú)軸交于4-3,0),3兩

點(diǎn)，與>軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線解析式及C兩點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)。坐標(biāo)；

(3)該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E,使得N4CE=45。，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴拋物線解析式為丁=-32-gx+4,3(1,0),0(0,4)；(2)D(-2,T)或O(T,4)

或0(4,4)；(3)5^-1,

【分析】(1)將點(diǎn)A(T,0)代入拋物線解析式，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而分別令無(wú),y=0,

即可求得民C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)分三種情況討論，當(dāng)A3,AC,為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；

(3)根據(jù)題意，作出圖形，作AGLCE交于點(diǎn)G,尸為AC的中點(diǎn)，連接GO,GF,則A,O,C,G

在。F上，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得出6在》=-％上，進(jìn)而勾股定理，根據(jù)bG=g建

立方程，求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，進(jìn)而得出CG的解析式，即可求解.

4

【詳解】(1)解：：拋物線y==/+bx+4與x軸交于A(-3,0),

4

???-§x(-3)9-3b+4=0

Q

解得：b=—.

48

???拋物線解析式為y=-1X2-|X+4,

當(dāng)％=0時(shí)，y=4,

C（0,4）,

48

當(dāng)y=O時(shí)，0=——x2——x+4

33

解得：x,=-3,X2=1,

：.B(l,0)

（2）VA（-3,0）,B（l,0）,C（0,4）,

設(shè),

..?以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

當(dāng)回為對(duì)角線時(shí)，胃=￥￥=2±2

2222

解得：m=-29n=-4,

???。(-2T)；

-3+01+m4+0_0+〃

當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí),

2~22-2

解得：m=-4,n=4

???4）

-3+m_0+10+40+〃

當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí),

22~2

解得：m=4,n=4

：.0（4,4）

綜上所述，以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，。(-2,-4)或。(<4)或。(4,4)

(3)解：如圖所示，作AGLCE交于點(diǎn)G,尸為AC的中點(diǎn)，連接G0GF,

..?△AGC是等腰直角三角形，

，A,O,C,G在?！股?

VA（-3,0）,C（0,4）,

/[-Ta]'AC=ylAO2+CO2=5>

GF=-AC=-

22

,?ZAOG=ZACG=45°,

G在y=-x上，

設(shè)G（/,T）,貝IJGV=[/+：]+（--2）2

7

解得：「-展/2=。(舍去)

77

二點(diǎn)G

設(shè)直線CG的解析式為y=kx+4

77

???一=——左+4

22

解得：笈=;.

，直線CG的解析式y(tǒng)=；x+4

VA（-3,0）,3（1,0）,

拋物線對(duì)稱軸為直線x=U=T,

177

當(dāng)尸-1時(shí)，-x(-l)+4=—,

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，圓周

角角定理，勾股定理，求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.已知拋物線丁=。/+法—3與X軸相交于4—1,0),3(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)

N(〃,0)是x軸上的動(dòng)點(diǎn).

圖I

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,若〃<3,過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)P,交直線于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)P

作PD,5c于點(diǎn)D,當(dāng)n為何值時(shí)，&PDGABNG；

(3)如圖2,將直線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使它恰好經(jīng)過(guò)線段OC的中點(diǎn)，然后將它向

上平移三3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線。耳.

2

(1)tanZBOBl-；

②當(dāng)點(diǎn)N關(guān)于直線OB】的對(duì)稱點(diǎn)凹落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

【答案】⑴y一爐―2%—3；(2)”=枝；(3①3325+：而,0)或(25-：而,0)

【分析】

(1)根據(jù)點(diǎn)A,3的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；

(2)先根據(jù)拋物線的解析式可得點(diǎn)C,P的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式，

從而可得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后分別求出PG,BG的長(zhǎng)，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

PG=BG,由此建立方程求解即可得；

(3)①先利用待定系數(shù)法求出直線3。的解析式，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得直線。用的解析

式，從而可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得；

②先求出直線NN】的解析式，再與直線。及的解析式聯(lián)立求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得

點(diǎn)Ni的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式求解即可得.

【詳解】

[a—b—3=0

解：⑴將點(diǎn)4-1,0),8(3,0)代入丁=加+法—3得：'十"八，

9a+3b-3=Q

a=l

解得＜C，

b=-2

則拋物線的解析式為y=/-2x-3；

(2)由題意得：點(diǎn)尸的坐標(biāo)為P(〃,1—2〃—3),

對(duì)于二次函數(shù)y=d—2x—3,

當(dāng)x=0時(shí)，y=—3,即C(0,—3),

設(shè)直線BC的解析式為y^kx+c,

3kc——0k—1

將點(diǎn)3(3,0),C(0,—3)代入得：-,解得",

c=-31c=-3

則直線BC的解析式為y=尤—3,

/.G(〃,〃一3),

PG=n—3—{n2—2n_3)=-n2+3n,BG——3)2+(n—3)2=(3—M)A/2，

\-APDG=ABNG,

:.PG=BG,即一+3〃=(3—九),

解得〃=或〃=3(與〃v3不符，舍去)，

故當(dāng)〃=夜時(shí)，APDG三通NG；

(3)①如圖，設(shè)線段OC的中點(diǎn)為點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)6作4軸的垂線，交直線。用于點(diǎn)￡,

3

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為。(0,—-)，點(diǎn)￡的橫坐標(biāo)為3,

2

設(shè)直線BD的解析式為y=kox+cQ,

一f1

3左0+=0%=一

將點(diǎn)3(3,0),。(0,—3)代入得：[3，解得I2

2Co=-T

I2c—

13

則直線BD的解析式為y=

由平移的性質(zhì)得：直線。用的解析式為y=

33

當(dāng)x=3時(shí)，y=-.即E(3,g),

3

:.OB=3,BE=-,

2

BF1

tanZBOR=——=-,

1OB2

故答案為：—'；

2

②由題意得：NNJOB],

則設(shè)直線NN】的解析式為y=-2x+c1；

將點(diǎn)N(〃,0)代入得：—2“+。=0,解得G=2",

則直線NN】的解析式為y=—2x+2〃，

y=-2x+Inx=-n

-5

聯(lián)立〈1，解得《；，

y=—x2

I2=

42

即直線NN1與直線。耳的交點(diǎn)坐標(biāo)為（y/7,-M）,

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（sJ）,

s+n43

=-ns=-n

25534

則，解得《,即N[(—n,—n),

/+024

---=—nt=-n

[255

343c34

將點(diǎn)乂(二凡《〃)代入,二%2-2%一3得：(―n)-2x—n-3=—n,

整理得：9/—50〃-75=0,

解得”巴。西或”25-1。/,

99

則點(diǎn)N的坐標(biāo)為J5+：巧,0）或（25—；而，0）

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、全等三角形的性質(zhì)、正切三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，熟練

掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線）=-/+2%+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)

AQD.點(diǎn)P,。在此拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為九（機(jī)＞0）,連接AP,AQ.

（1）求此拋物線的解析式.

⑵當(dāng)點(diǎn)。與此拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)，求機(jī)的值.

⑶當(dāng)ZPAQ的邊與x軸平行時(shí)，求點(diǎn)P與點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的差.

（4）設(shè)此拋物線在點(diǎn)A與點(diǎn)尸之間部分（包括點(diǎn)A和點(diǎn)尸）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為

%,在點(diǎn)A與點(diǎn)。之間部分(包括點(diǎn)A和點(diǎn)。)的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為為.當(dāng)

生-4=7〃時(shí)，直接寫出加的值.

【答案Xl)y=f2+2x+l；⑵%=g；(3)點(diǎn)P與點(diǎn)。的縱坐標(biāo)的差為1或8；(4)機(jī)=；或加=:

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)化為頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為2根，即可求解；

(3)分AQ〃x軸時(shí)，AP〃x軸時(shí)分別根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求得Q的橫坐標(biāo)與P的橫坐標(biāo)，

進(jìn)而代入拋物線解析式，求得縱坐標(biāo)，即可求解；

(4)分四種情況討論，①如圖所示，當(dāng)P,。都在對(duì)稱軸尤=1的左側(cè)時(shí)，當(dāng)尸,。在對(duì)稱軸兩

側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在尤=1的右側(cè)時(shí)，當(dāng)P的縱坐標(biāo)小于1時(shí)，分別求得九，%,根據(jù)也-4=，〃建

立方程，解方程即可求解.

【詳解】(1)解：,??拋物線外=「#+物+C經(jīng)過(guò)點(diǎn)40,1).

/.C=1

拋物線解析式為y=-x2+2x+l；

(2)解：：丫=-尤2+2.》+1=—(x—iy+2,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為。,2),

..?點(diǎn)。與此拋物線的頂點(diǎn)重合，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2〃z

2m=1,

解得：加=;;

(3)①AQ〃無(wú)軸時(shí)，點(diǎn)A,Q關(guān)于對(duì)稱軸尤=1對(duì)稱，

xQ=2m=2,

Am=l,貝!J-F+2xl+l=2,-22+2X2+1=1，

AP(l,2),Q(2,1)

.?.點(diǎn)尸與點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的差為2-1=1；

②當(dāng)AP〃x軸時(shí)，則A,P關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

xp=m=2,xQ=2m=4

則4+2X4+1=-7

P(2,l),2(4,-7)；

???點(diǎn)尸與點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的差為1-(-7)=8；

綜上所述，點(diǎn)P與點(diǎn)。的縱坐標(biāo)的差為1或8；

(4)①如圖所示，當(dāng)P，。都在對(duì)稱軸x=l的左側(cè)時(shí),

0<m<—

2

P{jn,-m2+2m+1）,Q（2加，一（2小了+2（2m）+1）即Q（2機(jī),-4加之+4加+1）

**?4=>尸一=（一加2+2根+1）—1=-m2+2m;

22

h2=yQ-yA=-4m+4m+l—1=-4m+4m

<4一匕=機(jī)

-4m2+4m+m2-2m=m

解得："Z=g或〃Z=O（舍去）；

②當(dāng)P,。在對(duì)稱軸兩側(cè)或其中一點(diǎn)在對(duì)稱軸上時(shí)，

則4=—m2+2m,b=2—1=1,

1+m2-2m=m，

解得：叫呼（舍去）或Y（舍去）;

4m2-4m+l-l=m

解得：m=1■或旭=0（舍去）；

4

④當(dāng)p在直線y=i上或下方時(shí)，即"叱2,

偽=2—（-4m2+4m+l）=4m2—4m+l,

/.4m2—4m+l—（m2—2m+l）=m

解得：m=l（舍去）或根=0（舍去）

綜上所述，根=：或根=鼻.

34

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，頂點(diǎn)式，熟練掌握二次函數(shù)的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.二次函數(shù),=加+/7%+4（"0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4一4,0）,5（1,0）,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P

為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接的、AC,交于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)P作尸軸于點(diǎn)D.

y

M

(i)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接BC,當(dāng)NDPB=2NBCO時(shí),求直線8P的表達(dá)式；

(3)請(qǐng)判斷：笑是否有最大值，如有請(qǐng)求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由.

1515P04

【答案】(1)y=-x2-3x+4；(2)y=——x+—；(3)請(qǐng)■有最大值為一，P點(diǎn)坐

88QB5

標(biāo)為(—2,6)

【分析】

(1)將A(—4,0),8(1,0)代入y=ox2+6x+4(aw0)中，列出關(guān)于a、b的二元一次方程

組，求出a、b的值即可；

(2)設(shè)8P與y軸交于點(diǎn)E,根據(jù)尸。//y軸可知，ZDPB=ZOEB,當(dāng)ZDPB=2ZBCO,

即/OEB=2NBCO,由此推斷AOEB為等腰三角形，設(shè)OE=a,則CE=4—。，所以

BE=4-a,由勾股定理得BE?=0^2+032,解出點(diǎn)E的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法確定出BP

的函數(shù)解析式即可；

(3)設(shè)與AC交于點(diǎn)N,過(guò)B作y軸的平行線與AC相交于點(diǎn)M.由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可

得AC所在直線表達(dá)式，求得M點(diǎn)坐標(biāo)，則9=5,由BMI/PN,可得

△PNQsABMQ,^=—=—,設(shè)3%+4)(_4<%<0),則

N(a。,a。+4)”=W；—3a。+4—(a。+4)=幺二也=一(……,根據(jù)二次函數(shù)

QB555

性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解：(1)由題意可得:

。.（田+力㈠中二。

a+b+4=0

CL——1

解得：《

b=-3'

，二次函數(shù)的表達(dá)式為y=—爐—3x+4；

（2）設(shè)3P與y軸交于點(diǎn)E,

PD//y軸，

：.ZDPB=ZOEB,

■:NDPB=2NBCO,

：.ZOEB=2ZBCO,

ZECB=ZEBC,

BE=CE,設(shè)OE—a，

則CE=4—a,.'.BE=4--a>

在RIABOE中，由勾股定理得BE2=OE2+OB2，

.?.(4-a)2=/+儼

解得a=--,

8

設(shè)BE所在直線表達(dá)式為y=依+e（左，0）

15

,c15

左■0+e=—,~~8

8解得＜

15

左?l+e=O.

I-'

**?直線BP的表達(dá)式為y=----xH—.

88

(3)設(shè)。。與AC交于點(diǎn)N.

過(guò)B作y軸的平行線與AC相交于點(diǎn)M.

由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-4,0),(0,4)

可得AC所在直線表達(dá)式為y=x+4

...M點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5),BM=5

由BM//PN，可得APNQS^BMQ,

.PQPNPN

QB~BM~5

設(shè)P(a。,—UQ—3ao+4)(—4<tz0<0),則N(%,4+4)

.PQ—q；—3ao+4—(a。+4)—a；—4ao—(4+2)~+4

5—5—5

PO

.?.當(dāng)/=—2時(shí)，=?有最大值0.8,

QB

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,6).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)以及一次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖像的性質(zhì)，相似三角形，勾股定

理等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵，本題綜合性強(qiáng)，涉及知識(shí)面廣，

難度較大，屬于中考?jí)狠S題.

5.（2023?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=+石與x軸，V軸分別交于點(diǎn)A3,

2

拋物線的頂點(diǎn)尸在直線48上，與x軸的交點(diǎn)為C,。，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,0）.直線與

直線BD相交于點(diǎn)E.

⑴如圖2,若拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。.

①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求黑的值.

⑵連接PCNCPE與/BAO能否相等？若能，求符合條件的點(diǎn)夕的橫坐標(biāo)；若不能，試說(shuō)明

理由.

【答案】（1）①y=-主6/+3&x；②：；（2）能，6或"I或一,或一:.

233/3

【分析】（1）①先求頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；

②過(guò)點(diǎn)E作硝，OC于點(diǎn)設(shè)直線5<7為〉=區(qū)+石，把C（2,0）代入，得0=2左+6,

解得上=-1,直線8。為）；=一或x+班.同理，直線02為）；=36^.聯(lián)立兩直線解析

22

式得出￡，根據(jù)團(tuán)〃30,由平行線分線段成比例即可求解;

、

（2）設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為t+45,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2—2,0）.①如圖2-1,當(dāng)t>2時(shí),

7

存在NCPE=ZBAO.記/。P￡=/區(qū)4。=%//爐。=力，則NAPD=a+〃.過(guò)點(diǎn)p作DF_Lx

AF2

軸于點(diǎn)八則"=，+2.在口3廠中，3,。=”〕進(jìn)而得出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為6功

如圖2-2,當(dāng)0＜，42時(shí)，存在/CPE=/B4O.記NCPE=/BAD=a,NAPD=0.過(guò)點(diǎn)尸作

AF2

軸于點(diǎn)尸，貝?。軦F=，+2.在RJAP/中，cosZBAO=得出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)

2T.7J

為③如圖2—3,當(dāng)一2</40時(shí)，存在/CPE=ZBAO.記/54。=1.過(guò)點(diǎn)尸作PELx

軸于點(diǎn)/，則AF=f+2.在RJAP尸中，f=cosNBAO=g,得出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為④

如圖2-4,當(dāng)f4-2時(shí)，存在NCPE=NBAO.記/R4O=c.過(guò)點(diǎn)P作尸尸軸于點(diǎn)尸，

AF214

則A尸=T—2.在Rt~4P產(chǎn)中，—=cosZPAF=-,得出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為一三.

【詳解】(1)解：@vOC=2,

.??頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1.

???當(dāng)尤=i時(shí)，y=%+乒與

?*?點(diǎn)p的坐標(biāo)是

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=q(x-+半，把(0,0)代入,

得0=a+§君,

2

解得”-地.

2

，該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-竽(x-1)z+警，

即》=一孚一+3/龍.

②如圖1,過(guò)點(diǎn)后作后“，。。于點(diǎn)

圖1

設(shè)直線BC為丁=丘+正，把C(2,0)代入，得0=2k+石,

解得『好，

2

二直線BC為y=力x+布.

2

同理，直線。尸為丁=述元.

2

y=一與x+a,

1

九一2’

解得.

113

：.0H=-,HC=2——

222

EH//BO,

.BEOH_1

**EC-HC-3,

（2）設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為卜手f+指］,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2—2,0）.

①如圖2—1,當(dāng)，＞2時(shí)，存在NCPE=NBAO.

iBZCPE=ZBAO=a,ZAPC=p,貝iJZAPO=a+〃.

??,―PCD為△以。的外角,

.??APCD=a+（3.

,.?PC=PD.

：.ZPDC=/PCD=a+p.

JZAPD=ZADP.

：.AP=AD=2t.

過(guò)點(diǎn)P作尸尸，x軸于點(diǎn)尸，則A尸=/+2.

AF2

在Rt^APF中，cosZBAO=——=-,

AP3

~~~=~，解得t=6.

2t3

.??點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為6.

記NC尸石=NBA。=a,NAP。=/?.

???N?。。為△叢□的外角，

:./PDC=oc+/3.

:./PCD=/PDC=a+/3

:.ZAPC=ZACP.

：.AP=AC=4.

過(guò)點(diǎn)尸作夕方_Lx軸于點(diǎn)/，則AF=1+2.

AF2

在RSAP/中，cosZBAO=——=-,

AP3

1+222

:?丁="解得七?

圖2-2

③如圖2-3,當(dāng)一2＜七。時(shí)，存在NCPE=ZBAO.記N84O=a.

■:PC=PD,

：.ZPDC=ZPCD=-ZCPE=-a.

22

?,.ZAPD=ZBAO-ZPDC=a--=-a.

22

：.ZAPD=ZPDA.

：.AD=AP=-2t.

過(guò)點(diǎn)P作尸廠JLx軸于點(diǎn)尸，則A尸=，+2.

,.,AF_2

在Rt&4P歹中，——=cosZBAO=-

AP3f

./+22々刀,日6

??一丁=—,解得t---?

-It37

???點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1'.

④如圖2-4,當(dāng)他一2時(shí)，存在NCPE=NR4O.記NBAO=a.

,:PC=PD,

：.ZPCD=ZPDC=-ZCPE=-a.

22

圖2-4

ZAPC=ZBAO-ZPCD=a--a=-a.

22

：.PA=CA=4.

過(guò)點(diǎn)。作戶方，1軸于點(diǎn)尸，貝IJA尸=T—2.

AF2

在Rt^AP尸中，——=cosZPAF=-,

AP3

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-■—.

綜上，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為6。,-，-弓.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，解直角三角形，平行線分線段成比例，熟練掌握以

上知識(shí)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，拋物線y=如？+"+3卜一(6加+9)與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,已

知3(3,0).

(1)求m的值和直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)P為拋物線上一點(diǎn)，若S"BC=S^ABC,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)Q為拋物線上一點(diǎn)，若NACQ=45。，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【分析】

(1)求出A,B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法計(jì)算即可；

(2)做點(diǎn)A關(guān)于BC的平行線聯(lián)立直線4片與拋物線的表達(dá)式可求出耳的坐標(biāo)，設(shè)

出直線與y軸的交點(diǎn)為G,將直線BC向下平移，平移的距離為GC的長(zhǎng)度，可得到直線

P3P2,聯(lián)立方程組即可求出P；

（3）取點(diǎn)。，連接CQ,過(guò)點(diǎn)A作A。，。。于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作軸于點(diǎn)尸，過(guò)

點(diǎn)C作CELD歹于點(diǎn)E，得直線CD對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為y=。尤-3,即可求出結(jié)果；

【詳解】

（1）將5（3,0）代入y=mx：+（蘇+3卜一（6m+9）,

化簡(jiǎn)得加之+加二。，則加=0（舍）或〃7=—1,

m=T,

2

得：y=-x+4x-3,則C（0,—3）.

設(shè)直線3C對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為>=丘+6,

（Q=2k+b

將8（3,0）、C（0,—3）代入可得13/，解得左=1，

則直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3.

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作aq〃BC,設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為G,將直線BC向下平移GC個(gè)

單位，得到直線鳥鳥，

由（1）得直線BC的解析式為y=x—3,A（l,0）,

直線AG的表達(dá)式為y=x—l,

y=x-l

聯(lián)立

y=-x2+4x-3

???6(2,1),

由直線AG的表達(dá)式可得G(-1,0),

：.GC=2,CH=2,

直線PiP2的表達(dá)式為y=x-5,

(3)如圖，取點(diǎn)。，連接CQ,過(guò)點(diǎn)A作ADLCQ于點(diǎn)

過(guò)點(diǎn)。作，x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)。作CE，DF于點(diǎn)E，

ZACQ=45°,

；.AD=CD,

又：ZA￡>C=90°,

：.ZADF+ZCDE=9Q°,

VZCDE+ZDCE=90°,

：./DCE=ZADF,

又；ZE=ZAFD=90°,

：.ACDE^ADAF,則AF=Z）石，CE=DF.

設(shè)DE=AF=a,

VOA=1,OF=CE,

**.CE=DF=a+1.

由0C=3,則Z）尸=3—a,即a+l=3—a,解之得，a=1.

所以D（2,—2）,又C（0,—3）,

可得直線CD對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為y=gx-3,

設(shè)Q1根機(jī)—3],代入,=_犬2+4%—3,

121227

m-3=-m+4m-3,—m=-m+4m,m"——m=0,

222

又mW。,則m=1.所以

2124）

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，結(jié)合一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?新疆?統(tǒng)考中考真題）【建立模型】（1）如圖1,點(diǎn)8是線段C。上的一點(diǎn)，AC1BC,

AB1BE,ED1BD,垂足分別為C,B,D,AB=BE.求證：AACBRBDE；

【類比遷移】（2）如圖2,一次函數(shù)y=3x+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A、與X軸交于點(diǎn)8,將線

段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BC、直線AC交x軸于點(diǎn)。.

①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②求直線AC的解析式；

【拓展延伸】（3）如圖3,拋物線丁=爐-3尤-4與x軸交于A,3兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），

與了軸交于C點(diǎn)，已知點(diǎn)G（0,-1），連接8。.拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得tanZMBQ=1,

若存在，求出點(diǎn)加的橫坐標(biāo).

【分析】［建立模型］(1)根據(jù)題意得出NC=/D=/AfiE=90。，ZA=ZEBD,證明

△ACBRBDE(AAS),即可得證；

［類比遷移］(2)①過(guò)點(diǎn)C作CELx軸于點(diǎn)E,同(1)的方法，證明ACBE/A&4O,根據(jù)

一次函數(shù)V=3x+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A、與x軸交于點(diǎn)8,求得4(0,3),B(-l,0),進(jìn)而

可得C點(diǎn)的坐標(biāo)；

②由4(0,3),設(shè)直線AC的解析式為>=丘+3,將點(diǎn)C(T,1)代入得直線AC的解析式為

1c

y=-X+3-

［拓展延伸］(3)根據(jù)解析式求得A(T,0),3(4,0)；①當(dāng)M點(diǎn)在無(wú)軸下方時(shí)，如圖所示，

連接MB,過(guò)點(diǎn)。作3M于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)H作軸于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)、B作BEJ.DE,于

點(diǎn)、E,證明AQZ汨SAHEB,根據(jù)tan/MBQ=tan/Q2"=：=要得出察=瞿=1,設(shè)

3BHBHBE3

(721、

DH=a,則3E=3a,求得點(diǎn)”［歷，-mJ，進(jìn)而求得直線的解析式，聯(lián)立拋物線解析

式即可求解；②當(dāng)M點(diǎn)在x軸的上方時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作QGLMB,于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G

作P尸〃x軸，交，軸于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)3作PBJ.FP于點(diǎn)P,同①的方法即可求解.

【詳解】［建立模型］(1)證明：：AC1BC,ABYBE,EDVBD,

：.ZC=ZD=ZABE=90°,

：.ZABC+ZA=90°,ZABC+ZEBD=90°,

/.ZA=ZEBD,

又：AB=BE,

/.AACB'BDE(AAS)；

［類比遷移］(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CELx軸于點(diǎn)E,

y

^DE/B\O\

圖2

,/將線段AB繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BC,

：.BA=BC,ZABC=90°,

又ZAOB=/CEB=90。,

：.ZABO=90°-NCBE=Z.ECB,

ACBE當(dāng)ABAO（AAS）,

BE=AO,CE=BO,

:一次函數(shù)y=3x+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A、與x軸交于點(diǎn)8,

當(dāng)x=0時(shí)，y=3,即A（0,3）,

當(dāng)y=o時(shí)，x=-1,即3（-1,0）,

BE=AO=3,CE=BO=\,

：.EO=EB+BO=3+1=4,

?,.C（-4,l）；

②???A（0,3）,設(shè)直線AC的解析式為尸=依+3,

將C（-4,l）代入得：1=^+3

解得：|

直線AC的解析式為y=；x+3,

（3）：拋物線y=V-3x-4與無(wú)軸交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）,

當(dāng)y=°時(shí)，尤2—3無(wú)一4=0,

解得：尤1=-1,尤2=4,

A（-I,o）,8（4,0）；

①當(dāng)/點(diǎn)在龍軸下方時(shí)，如圖所示，連接MB,過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)反，過(guò)點(diǎn)“作OEly

軸于點(diǎn)￡),過(guò)點(diǎn)B作BE/DE,于點(diǎn)E,

7

解得：”歷,

設(shè)直線BH的解析式為y=kfx+b,

(721

代入〃[焉，一^|，5(4,0)得：而，+Z?=—?dú)v,

(；[4k,+b=0

解得：;，

kf=—

[11

?,?直線BM解析式為丁=4號(hào)，

:728

V=-x-----

聯(lián)立1111,

y=x2-3x-4

,4

解得：玉=4（舍去），x2=——；

②當(dāng)M點(diǎn)在％軸的上方時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作P尸〃1軸,

同理可得△尸GQS^PBG,

.FG_FQ_QG\

**PB-PG-GB_3?

設(shè)FG=b,則依=3〃，

?.?FP=4,

4—b

：.GP=4-b,FQ=——,

3

?.?FQ=PB+\,

解得：b=^6,

設(shè)直線MB的解析式為y=mx+nf

/r-、f13

(13|/---YYl-\-Yl----

代入G證,6，3(4,0x)得：1010,

I)4m+n=0

1

m=---

13

解得：彳，

n=——

[13

14

???直線MB的解析式為y=-，

14

、，、y=—%—

聯(lián)立1313,

y=%2-3.X-4

14

解得：再=4(舍去)，x2———,

綜上所述，M的橫坐標(biāo)為44或七14.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)

與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，拋物線y=(x+l)(x—a)(其中。＞1)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

(1)直接寫出N0C4的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)(用a表示)；

(2)若點(diǎn)D為△A5C的外心，且△BCD與△ACO的周長(zhǎng)之比為加：4,求此拋物線

的解析式；

(3)在(2)的前提下，試探究拋物線y=(x+l)(x-上是否存在一點(diǎn)P,使得

NC4P=NDB4?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)Z0CA=45°,AB=a+1；(2)y=x2-x-2；(3)存在，Pi，

24

P2(1,-2).

【分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù)解析式可得A(a,0),C(0,-a),B(T,0),即可得出0A=0B=a,

0B=l,即可證明AOCA是等腰直角三角形，可得N0CA=45°,根據(jù)線段的和差關(guān)系可表示AB

的長(zhǎng)；

(2)如圖，作△ABC的外接圓。D,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=J5q,利用兩點(diǎn)間

距離公式可用a表示出BC的長(zhǎng)，根據(jù)圓周角定理可得/D=2/0AC=90°,可得ADBC是等腰

直角三角形，即可證明△DBCsZSoCA,根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比列方程求出a

值即可得答案；

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DHLAB于H,過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線，交x軸于F,過(guò)點(diǎn)0作OGLAC于

G,連接AP交CF于E,可得aOCF是等腰直角三角形，利用待定系數(shù)法可得直線CF的解析

式，根據(jù)外心的定義及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)D坐標(biāo)，即可得出BH、DH的長(zhǎng)，根

據(jù)NC4P=ZBHD=ZACE=90°可證明△BHDsZ\ACE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求

出CE的長(zhǎng)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得點(diǎn)E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線AE解析式，聯(lián)立

直線AE與拋物線的解析式求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可得答案.

【詳解】

(1):拋物線y=(%+1)(%-。)(其中。＞1)與X軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

.?.當(dāng)x=0時(shí)，y=-a,

當(dāng)y=0時(shí)，(x+l)(x-a)=。，

解得：西=-1,x2=a,

/.A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),

/.OB=1,OA=OC=a,

/.△OCA是等腰直角三角形，

.\Z0CA=45°,AB=OA+OB=a+l.

(2)如圖，作AABC的外接圓OD,

:點(diǎn)D為的外心，

:.DB=DC,

?.'△OCA是等腰直角三角形，0A=a,

.\Z0AC=45°,AC=&q,

ZBDC和ZBAC是BC所對(duì)的圓心角和圓周角，

.?.ZBDC=2ZBAC=90°,

.\ZDBC=45O,

，ZDBC=ZOAC,

.'.△DBC^AOCA,

V△BCD與△ACO的周長(zhǎng)之比為710:4，

.BCMVa2+1M

??----=------，即Hn---k--=----，

AC441a4

解得：a=±2,

經(jīng)檢驗(yàn)：〃=±2是原方程的根，

'：a>l,

a=2,

???拋物線解析式為：y=(%+l)(x-2)二f一1一2.

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DHLAB于H,過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線，交x軸于F,過(guò)點(diǎn)0作0GLAC于

G,連接AP交CF于E,

Va=2,

AC(0,-2),A(2,0),AC=2&，

VZ0CA=45°,

.?.Z0CF=45°,

.-.△OCF是等腰直角三角形，

：.F(-2,0),

設(shè)直線CF的解析式為y=kx+b,

~2k+b=Q

b=-2

k=-l

解得：v

b=—2’

/.直線CF的解析式為y=-x—2,

「△OCA是等腰直角三角形，OG±AC,

，0G所在直線為AC的垂直平分線，點(diǎn)G為AC中點(diǎn),

:點(diǎn)D為5c的外心，

.,.點(diǎn)D在直線0G上,

VA(2,0),C(0,-2),

AG(1,-1),

設(shè)直線0G的解析式y(tǒng)=mx,

直線0G的解析式y(tǒng)=-x,

?.?點(diǎn)D為4ABC的外心，

...點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，

-1+21

.??點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為一^=:,

22

把X=y代入y=-x得y=-g,

D(一,---)，

22

113

.\DH=—,BH=1+—=-,

222

VZCAP=ZDBA,ZBHD=ZACE=90°,

.,.△BHD^AACE,

2叩13

DllBH…一一

------=------，BP2_2，

CEAC~CE~242

解得：CE=2也，

3

,/點(diǎn)E在直線CF上，

工設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(n,-n-2),

???CE="/+(_〃_2+2)2=半,

2

解得：n-±—,

3

242

；?E](—,—),E?(一，

333

設(shè)直線AE】的解析式為y=k1x+b1,

24

+b

-~JK\=~J~,

2k[+4=0

%=一

解得：P2,

4=t

二直線AEi的解析式為y=gx—1,

同理：直線AE2的解析式為y=2x—4,

y—一x一1

聯(lián)立直線AE]解析式與拋物線解析式得r2

y=X2-x-2

1

X,x2

解得：~;~2，\i=八（與點(diǎn)A重合，舍去），

、，-5[%=0

y=2%-4

聯(lián)立直線AEe解析式與拋物線解析式得，2°

y=x-x-2

Xi—1XQ—2

解得:2（與點(diǎn)A重合，舍去），

%=一2[%=0

：.?2(1,-2).

E2

綜上所述：存在點(diǎn)P,使得NC4P=NDBA,點(diǎn)P坐標(biāo)為Pi(―L，--),P2(1,-2).

24

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、圓周角

定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵

9.(2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=f2+3x+l交y軸

于點(diǎn)A,直線y=-g元+2交拋物線于反C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)。，交無(wú)

軸于點(diǎn)E.

⑴求點(diǎn)￡>,瓦C的坐標(biāo)；

⑵尸是線段OE上一點(diǎn)(OP<EF),連接AfOECr,且+石尸=21.

①求證：是直角三角形；

②ZDFC的平分線bK交線段DC于點(diǎn)K,P是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)

3tan/PPK=l時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】⑴C(3,l),0(0,2),E(6,0)；⑵①證明見(jiàn)解析，②點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,3)或(4,3"-6)

【分析】(1)根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)求解即可；

(2)①設(shè)尸(犯0),然后利用勾股定理求解，m=2,過(guò)點(diǎn)C作軸，垂足為G.再由

等腰三角形及各角之間的關(guān)系即可證明；②根據(jù)題意得出tan/P/7K=；,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

9,_/+3,+1),根據(jù)題意得:<?<3.分兩種情況分析：M)當(dāng)點(diǎn)尸在直線"的左側(cè)拋物線

上時(shí)，tan/《尸K=g,g<f<2.(z7)當(dāng)點(diǎn)尸在直線"的