湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期月考（五）數(shù)學(xué)試題

湖南師大附中屆高三月考試卷（五）數(shù)學(xué)時(shí)量：分鐘滿分：分85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則的最大值是（）A.B.0C.1D.2【答案】D【解析】【分析】由題可得c范圍，即可得答案.【詳解】根據(jù)，，若，可得，故最大值為2，故選：D.2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和,那么它的通項(xiàng)公式（）A.nB.2nC.2n＋1D.n＋1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)即可求．【詳解】，,當(dāng)時(shí)，，.第1頁(yè)/共21頁(yè)故選：B.3.以邊長(zhǎng)為1的正三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由題可得旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)幾何體為兩個(gè)同底的圓錐，結(jié)合題目數(shù)據(jù)可得相應(yīng)體積.徑為，所得幾何體的底面積為，則體積為.故選：D.4.已知圓）A.4B.2C.6D.【答案】A【解析】【分析】由題可得直線過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)到圓心距離等于圓心到直線距離時(shí)可得最小值.【詳解】圓，則直線過(guò)定點(diǎn)，因定點(diǎn)在圓內(nèi)，定點(diǎn)到圓心的距離為，所以直線與圓相交弦長(zhǎng)的最小值為.故選：A.第2頁(yè)/共21頁(yè)5.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】B【解析】【分析】通過(guò)舉反例排除A,C兩項(xiàng)，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推理，可以排除D項(xiàng)，證得B項(xiàng).【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí)，顯然不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，利用不等式的性質(zhì)易得，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由不等式的性質(zhì)，可得，故D錯(cuò)誤.故選：B.6.已知，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用兩角差的余弦公式展開，即可求出，再由二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋瑒t，即，所以.故選：B.第3頁(yè)/共21頁(yè)7.已知函數(shù)，若函數(shù)存在5個(gè)零點(diǎn)，則（）A.1B.C.1或D.【答案】B【解析】【分析】畫出函數(shù)圖像，通過(guò)換元，結(jié)合有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，通過(guò)函數(shù)圖像即可求解；【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，已知有5個(gè)零點(diǎn)，即方程有5個(gè)實(shí)數(shù)根，令，則有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，；由的圖象可知，當(dāng)，時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，有三個(gè)實(shí)數(shù)根，可滿足有五個(gè)零點(diǎn).將代入中，得，解得或，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意，故選：B.8.對(duì)于三元點(diǎn)集，若對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得，則稱為“空間基本點(diǎn)集”.下列集合是“空間基本點(diǎn)集”的是（）第4頁(yè)/共21頁(yè)A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)于ABC，由空間向量基底概念可判斷各選項(xiàng)正誤.對(duì)于D，由題目中所提供信息可得答案.，，一個(gè)基底.對(duì)于A，三個(gè)向量，，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的豎坐標(biāo)相同且為0，則三個(gè)向量都在平面上，即三個(gè)向量共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，三個(gè)向量，，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)相同且為0，則三個(gè)向量都在平面上，即三個(gè)向量共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，三個(gè)向量，，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)相同且為0，則三個(gè)向量都在平面上，即三個(gè)向量共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)空間中任意向量為，，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，則為“空間基本點(diǎn)集”，故D正確故選：D36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.A、A質(zhì)檢員從生產(chǎn)流水線上隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，質(zhì)檢員從事先選定的10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品.假設(shè)該車間生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率為0.210件產(chǎn)品中有2A、兩名質(zhì)檢員抽取的產(chǎn)品中次品的件數(shù)分別為，則（）第5頁(yè)/共21頁(yè)A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由二項(xiàng)分布及超幾何分布知識(shí)可得答案.【詳解】對(duì)于AB，由題意知服從二項(xiàng)分布，則，，故A、B正確；對(duì)于CD，服從超幾何分布，所以，故C錯(cuò)誤，根據(jù)超幾何分布的期望公式，，D正確.故選：ABD10.已知復(fù)數(shù)，，是方程的三個(gè)互不相等的復(fù)數(shù)根，則（）A.可能是純虛數(shù)B.，，的實(shí)部之和為2C.，，的虛部之積為2D.【答案】ABD【解析】ABAC，由A分析結(jié)合復(fù)數(shù)乘法可得答案；對(duì)于D，由復(fù)數(shù)摸計(jì)算公式可得答案.【詳解】因?yàn)椋淙齻€(gè)不同的復(fù)數(shù)根為：，，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)為純虛數(shù)，故A正確；因?yàn)槿齻€(gè)根的實(shí)部分別是0，1，1，三個(gè)實(shí)部之和為2，故B正確；因?yàn)槿齻€(gè)根的虛部分別是1，，，三個(gè)虛部之積為，故C錯(cuò)誤；根據(jù)模長(zhǎng)定義，，故D正確.故選：ABD在直三棱柱中，，，分別是，的第6頁(yè)/共21頁(yè)中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.異面直線與所成的角為45°B.C.若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則平面截直三棱柱所得截面的周長(zhǎng)為D.點(diǎn)是底面三角形的余弦值為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】BCD【解析】與A,利用直線和平面垂直的性質(zhì)定理證明平面，即可判斷B,延長(zhǎng)，交和的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，為平面截直三棱柱所得的截面,可判斷C,過(guò)作的垂線，連接，過(guò)作的平行線交于點(diǎn)，則，所以截面為直三棱柱的截面，即可判斷D；【詳解】選項(xiàng)A，過(guò)點(diǎn)作的平行線，則為異面直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，且，所以平面，所以，所以，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角，所以，故異面直線與所成的角為60°，故選項(xiàng)A不正確；選項(xiàng)B，由已知得為等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，則，第7頁(yè)/共21頁(yè)為直三棱柱，平面，平面，，，平面，，平面，，設(shè)與交于點(diǎn)，其中，，，，，，，，平面，，平面，故，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，延長(zhǎng)，交和的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)，連接，，則四邊形為平面截直三棱柱所得的截面，由已知得，由，則，即，由，則，即，由余弦定理可知，解得，其周長(zhǎng)為，故選項(xiàng)C正確；第8頁(yè)/共21頁(yè)選項(xiàng)D，若上存在一點(diǎn)使二面角的余弦值為，連接和，因?yàn)槠矫?，，，二面角的平面角為，即，設(shè)，則，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，，解得，過(guò)作的垂線，連接，過(guò)作的平行線交于點(diǎn)，則，所以截面為直三棱柱的截面，所以符合題意的的軌跡長(zhǎng)度為線段的長(zhǎng)，所以，故選項(xiàng)D正確.第9頁(yè)/共21頁(yè)故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第4小問(wèn)的解決關(guān)鍵是利用二面角的定義求得，從而推得，進(jìn)而得到的軌跡長(zhǎng)度為的長(zhǎng)，從而得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.在的展開式中，的系數(shù)為80，則實(shí)數(shù)的值為___________.【答案】【解析】【分析】求得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，結(jié)合題意，列出方程，即可求解.【詳解】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，其中，因?yàn)檎归_式中的系數(shù)為，令，可得，解得.故答案為：.13.已知定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，則與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為________________.【答案】3【解析】【分析】由題可得有對(duì)稱軸為軸，對(duì)稱中心，然后在同一坐標(biāo)系中畫出與圖象，即可得答案.【詳解】函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為.定義在上的偶函數(shù)滿足，則函數(shù)有對(duì)稱軸為軸，對(duì)稱中心；又當(dāng)時(shí)，，第10頁(yè)/共21頁(yè)在同一坐標(biāo)系在內(nèi)作出與的圖象，由圖象可得，與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，又均是與的圖象的對(duì)稱中心，則兩函數(shù)所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為3.故答案為：314.已知雙曲線右支上任意一點(diǎn)處作雙曲線的漸近線分別于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)時(shí)，該雙曲線的離心率為________________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出雙曲線C在點(diǎn)P處的切線方程，與兩漸近線聯(lián)立求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由此證明點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，可得，計(jì)算求得，得解.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線在點(diǎn)處的切線為，切線與軸交于點(diǎn)，根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)在雙曲線第一象限，由，得，所以，第11頁(yè)/共21頁(yè)則在點(diǎn)處的切線斜率為，所以在點(diǎn)的切線方程為，令，得，所以點(diǎn).設(shè)點(diǎn)，，漸近線方程為，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)，同理可得，又，，所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，即得，即，解得.又，所以，即，所以雙曲線的離心率故答案為：四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大??；（2）已知為邊上一點(diǎn)，若為的平分線，，，求的值.【答案】（1）（2）第12頁(yè)/共21頁(yè)【解析】1）利用余弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；（2）由題意可知，用三角形面積公式代入計(jì)算即可求出的值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)橛嘞叶ɡ淼?，所以，因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】由題意知，即，因?yàn)闉榈钠椒志€，所以，又因?yàn)?，，，所以，解得?16.如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，平面平面，，，，，，且.（1）已知點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，證明：平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.第13頁(yè)/共21頁(yè)【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1交于點(diǎn)中點(diǎn)為為中點(diǎn)，為中位線，且為平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，分別求得平面的一個(gè)法向量為的法向量為與平面所成銳二面角的余弦值為，由求得a，再由點(diǎn)C到平面的距離求解.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，連接交于點(diǎn)，取中點(diǎn)為，連接，，，在四邊形中，，，故四邊形為平行四邊形.故為中點(diǎn)，所以在中，為中位線，則且，又且，故且，即四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，平面，即平面.【小問(wèn)2詳解】第14頁(yè)/共21頁(yè)因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，，，設(shè)平面的法向量為，，取由平面與平面所成銳二面角的余弦值為，可得，解得或（舍去）故，又，所以點(diǎn)到平面距離.17.如圖，橢圓過(guò)點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且與軸相交的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn).第15頁(yè)/共21頁(yè)（1）求橢圓的方程；（2）若，求直線在軸上截距的范圍.【答案】（1）（2）【解析】1）由題知，進(jìn)而解方程即可求得答案；（2）設(shè)，進(jìn)而分別與橢圓和拋物線聯(lián)立計(jì)算弦長(zhǎng)，，再求直線在軸上截距的范圍即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意得解得所以，焦點(diǎn).所以橢圓的方程是：.【小問(wèn)2詳解】由題可設(shè)直線方程為：，，，，.第16頁(yè)/共21頁(yè)由得,由題知，，,.又點(diǎn)到直線的距離，.由得，由題知，得，..，，解得：且,或，直線在軸上截距的取值范圍是.18.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在上恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】1）求出函數(shù)的定義域，求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；第17頁(yè)/共21頁(yè)（2對(duì)恒成立，數(shù)求出函數(shù)的最小值，并求出最小值的取值范圍，即可得出整數(shù)的最大值.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域是.因?yàn)椋瑒t.①當(dāng)即時(shí)，，，此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；②當(dāng)即時(shí)，由得，.若，，時(shí)，此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；若，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.綜上所述，時(shí)，的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；時(shí)，減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由，得，即對(duì)恒成立.令，其中，第18頁(yè)/共21頁(yè)則，令，則，因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增.又，，所以滿足，即，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增故，故，又因?yàn)?，，所以的最大值?【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.19.在重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為.①若用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作.②若用表示事件首次發(fā)生所需的試驗(yàn)次數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從幾何分布，記作.（1）現(xiàn)有十把外形相同的鑰匙，其中只有一把能夠打開門.放回兩種情形求事件“至多試3次打開門”