高考數(shù)學(xué)（文）創(chuàng)新人教A版課件第六章數(shù)列第4節(jié)

第4節(jié)數(shù)列求和最新考綱1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法.1.求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法知

識(shí)

梳

理(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.(3)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng).(4)倒序相加法把數(shù)列分別正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣.(5)錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣.(6)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和.形如an＝(－1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解.例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.2.常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)診

斷

自

測(cè)解析

(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1討論求解.答案

(1)√

(2)√

(3)×

(4)√2.(2017·東北三省四市二模)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1－an＝2，a1＝－5，則|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(

) A.9

B.15

C.18

D.30

解析由題意知{an}是以2為公差的等差數(shù)列，又a1＝－5，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.

答案

C3.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為(

) A.2n＋n2－1 B.2n＋1＋n2－1 C.2n＋1＋n2－2 D.2n＋n－2答案C答案

2018答案

an＝2(n＋1)考點(diǎn)一公式法求和【例1】

(2017·全國(guó)Ⅱ卷)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2. (1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若T3＝21，求S3.解(1)設(shè){an}公差為d，{bn}公比為q，∴當(dāng)q＝4，d＝－1時(shí)，S3＝－6；當(dāng)q＝－5，d＝8時(shí)，S3＝21.故{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1.規(guī)律方法1.數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，則先求通項(xiàng).2.通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差或等比或可求數(shù)列前n項(xiàng)和的數(shù)列來(lái)求之.【訓(xùn)練1】

(2017·北京卷)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿(mǎn)足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.

解

(1)設(shè){an}的公差為d，由a1＝1，a2＋a4＝10得1＋d＋1＋3d＝10，所以d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. (2)由(1)知a5＝9.設(shè){bn}的公比為q，由b1＝1，b2·b4＝a5得qq3＝9，所以q2＝3，

所以{b2n－1}是以b1＝1為首項(xiàng)，q′＝q2＝3為公比的等比數(shù)列，考點(diǎn)二分組轉(zhuǎn)化法求和解

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；a1也滿(mǎn)足an＝n，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T(mén)2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和解

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，從而{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1，n∈N*.規(guī)律方法

1.利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng).2.將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等.解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.考點(diǎn)四錯(cuò)位相減法求和(易錯(cuò)警示)【例4】

(必修5P61AT4(3))求和：1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1.當(dāng)x≠1時(shí)，設(shè)Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①則xSn＝x＋2x2＋…＋(n－1)xn－1＋nxn，②①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn.③規(guī)律方法

1.一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和.2.在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式.易錯(cuò)警示

(1)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.(2)在利用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，應(yīng)注意分清是n項(xiàng)還是n－1項(xiàng).所以a1＋a2＝2(a1＋1)，a1＋a2＋a3＝3(a1＋2)，且a2＝3，a3＝5.解得a1＝1，所以Sn＝n2，所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，n＝1時(shí)也滿(mǎn)足.故an＝2n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)·3n，所以Tn＝1×3＋3×32＋…＋(2n－1)·3