四川省瀘州市瀘縣第五中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

瀘縣五中2025年春期高一開學(xué)考試數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷2至4頁．共150分．考試時間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的．請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的定義求出，結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，則，故選：D2.命題“”的否定是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定可得否定命題.【詳解】命題“”的否定是“”.故答案為：B.3.若，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即可得解.【詳解】由，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故選：B.4.若一扇形的面積和半徑均為，則其圓心角的弧度數(shù)為（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)扇形的面積公式計算可得.【詳解】設(shè)圓心角的弧度數(shù)為，依題意可得，解得，即其圓心角的弧度數(shù)為.故選：A5.若函數(shù)是定義域上的偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的方程，從而得解.【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，所以是定義域在上的偶函數(shù)，則，即對恒成立，所以，由于不恒為，故，從而得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.故選：A.6.已知，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系求得的值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋?，則由，可得，故，故選：D7.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.， B.，C， D.，【答案】C【解析】【分析】求解不等式即可.【詳解】由題意，得，所以，，得，，故所求函數(shù)的定義城為，，故選：C.8.已知，則（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切二倍角公式，將齊次化即可得出答案.【詳解】由題，得，則或，因?yàn)椋裕?故選：A二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)同角基本關(guān)系，結(jié)合完全平方公式可判斷各項(xiàng).【詳解】對于A：因?yàn)樗约矗訟正確;對于B、C：因?yàn)?，且，所以，即，所以所以B錯誤，C正確;對于D：聯(lián)立，解得所以，所以D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.不等式無解 D.的最大值為【答案】BD【解析】【分析】對于選項(xiàng)A:驗(yàn)證是否成立即可判斷；對于選項(xiàng)B:驗(yàn)證是否成立即可判斷；對于選項(xiàng)C:利用即可驗(yàn)證有解；對于選項(xiàng)D:利用二倍角公式，結(jié)合基本不等式即可判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A:不是的周期，故A錯誤;對于選項(xiàng)B:關(guān)于對稱，故B正確；對于選項(xiàng)C:有解，故C錯誤；對于選項(xiàng)D:，若，則，若則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，原式取等，故D正確.故選:BD.11.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)a使得方程有五個互不相等的實(shí)數(shù)根分別為，，，，，且，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】作出在上的圖象，由方程有五個互不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合圖象可得，從而判斷A；由對數(shù)的性質(zhì)可得，從而有，結(jié)合基本不等式即可判斷B；由題意可得，結(jié)合，即可判斷C；由余弦函數(shù)的對稱性可得，，代入得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)可求得的范圍，從而判斷D.【詳解】作出在上的圖象，如圖所示：對于A，因?yàn)椋忠驗(yàn)榉匠逃形鍌€互不相等的實(shí)數(shù)根，所以，故A錯誤；對于B，由題意可得，且有所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故B正確；對于C，由題意可得，由A可知，所以，故C正確；對于D，由圖可知：與關(guān)于對稱，與關(guān)于對稱，且，，所以，所以因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，即，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確作出在上的圖象，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和余弦函數(shù)的對稱性，即可求解問題.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）注意事項(xiàng)：（1）非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無效．（2）本部分共8個小題，共92分．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分．12.函數(shù)的圖象過定點(diǎn)_________．【答案】【解析】【分析】利用求得正確答案.【詳解】當(dāng)時，，所以定點(diǎn)為.故答案為：13.已知，且“”是“”充分不必要條件，則a的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】先確定充要條件，再由充分不必要條件的定義求解，【詳解】等價于或，而且“”是“”的充分不必要條件，則．故答案為：．14.已知函數(shù)，則不等式的解集是_________．【答案】【解析】【分析】由解析式可判斷得在上單調(diào)遞減，然后結(jié)合題意和單調(diào)性定義列出不等式組求解即可.【詳解】當(dāng)時，，單調(diào)遞減，且；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，且；故可知在上單調(diào)遞減，因此．故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合.（1）求集合；（2）設(shè)集合，且，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出集合的補(bǔ)集，再與集合求交集即得；（2）由可得，列出不等式組，解之即得.【小問1詳解】，則，又，則；【小問2詳解】，且，，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為：.16.已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先利用三角函數(shù)定義求得的值，進(jìn)而求得的值；（2）先求得的值，再利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可求得該式的值.【小問1詳解】角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)，則，則；【小問2詳解】由（1）得，則，則17.設(shè)．（1）若不等式對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）由題設(shè)對一切實(shí)數(shù)x恒成立，討論參數(shù)m，結(jié)合一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立列不等式組求范圍即可.（2）討論、，結(jié)合一元二次不等式的解法求解集.【小問1詳解】由題設(shè)，即對一切實(shí)數(shù)x恒成立，當(dāng)時，不恒成立；當(dāng)時，只需，可得；綜上，.【小問2詳解】當(dāng)時，，即，可得；解集為；當(dāng)時，，若，則，若，即時，可得或，解集為；若，即時，可得，解集為；若，即時，可得或，解集為；若，則，可得，解集為.18.科技創(chuàng)新成為全球經(jīng)濟(jì)格局關(guān)鍵變量，某公司為實(shí)現(xiàn)1600萬元的利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵研發(fā)人員的獎勵方案：當(dāng)投資收益達(dá)到600萬元時，按投資收益進(jìn)行獎勵，要求獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加，獎金總數(shù)不低于20萬元，且獎金總數(shù)不超過投資收益的.（1）現(xiàn)有①；②；③三個獎勵函數(shù)模型.結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及已知條件.當(dāng)時，判斷哪個函數(shù)模型符合公司要求？（2）根據(jù)（1）中符合公司要求函數(shù)模型，要使獎金達(dá)到50萬元，公司的投資收益至少為多少萬元？【答案】（1）①不符合，②不符合，③符合，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)公司要求知函數(shù)為增函數(shù)，同時應(yīng)滿足且，一一驗(yàn)證所給的函數(shù)模型即可；（2）由，解不等式即可.【小問1詳解】由題意，符合公司要求的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且對任意恒有且.①對于函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，不符合要求；②對于函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合要求；③對于函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，因?yàn)槎援?dāng)時，恒成立，因此為符合公司要求的函數(shù)模型.【小問2詳解】由得，所以,所以公司的投資收益至少為萬元.19.已知函數(shù)．（1）若，求在區(qū)間上的值域；（2）若方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用換元法令，，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）由（1）知利用換元法可得，，方程有實(shí)根即等價于即有實(shí)數(shù)根且大于零，從而可得，即可求解；（3）若對任意的，總存在，使得，可得,由復(fù)合函數(shù)知識可得函數(shù)在時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增，從而求出，則只需令在上恒成立即可，分離參數(shù)可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，令，因?yàn)?，所以，所以可得一個二次函數(shù)，所以當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，有最大值，所以.所以時，在區(qū)間上的值域?yàn)?【小問2詳解】由（1）知當(dāng)令，，，則，即有實(shí)數(shù)根，此時實(shí)數(shù)根大于零，所以可得，解得：.所以方程有實(shí)根，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【小問3詳解】由題意得，若對任意的，總存在，使得，可得,由函數(shù)可得當(dāng)時單調(diào)遞減，當(dāng)時單調(diào)遞增，函數(shù)為增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)定義可得函數(shù)在時單調(diào)遞減，時