2018-2019學(xué)年高中一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)講義第六章數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

第六章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公式數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式an＝f(n)表示，這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和2.數(shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)(n，an)畫在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)使用公式表示的方法遞推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法3.an與Sn的關(guān)系若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))4．?dāng)?shù)列的分類[小題體驗(yàn)]1．已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為1,3,7,15，則數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為________．答案：an＝2n－1(n∈N*)2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(an,2an＋3)，則a5等于________．答案：eq\f(1,161)3．(教材改編題)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝3n－1，則an＝________.答案：2×3n－11．?dāng)?shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)．2．易混項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào)．3．在利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，往往容易忽略先求出a1，而是直接把數(shù)列的通項(xiàng)公式寫成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只適用于n≥2的情形．[小題糾偏]1．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝n2＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________．答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,2n－1，n≥2))2．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－n2＋9n，則該數(shù)列第________項(xiàng)最大．答案：4或5eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．已知n∈N*，給出4個(gè)表達(dá)式：①an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，n為奇數(shù)，,1，n為偶數(shù)，))②an＝eq\f(1＋－1n,2)，③an＝eq\f(1＋cosnπ,2)，④an＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2))).其中能作為數(shù)列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通項(xiàng)公式的是()A．①②③ B．①②④C．②③④ D．①③④解析：選A檢驗(yàn)知①②③都是所給數(shù)列的通項(xiàng)公式．2．根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)4,6,8,10，…；(2)(易錯(cuò)題)－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，…；(3)－1,7，－13,19,…；(4)9,99,999,9999，….解：(1)各數(shù)都是偶數(shù)，且最小為4，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝2(n＋1)，n∈N*.(2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝(－1)n×eq\f(1,nn＋1)，n∈N*.(3)這個(gè)數(shù)列，去掉負(fù)號(hào)，可發(fā)現(xiàn)是一個(gè)等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為6，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5)，n∈N*.(4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以寫成10－1,100－1,1000－1，10000－1，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝10n－1，n∈N*.[謹(jǐn)記通法]由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng)公式的策略(1)根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征，并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想，具體如下：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)符號(hào)特征等．(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是利用不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來(lái)調(diào)整．如“題組練透”第2(2)題．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]已知下面數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求{an}的通項(xiàng)公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝2n－an.解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5.(2)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2－a1，所以a1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n－an)－[2(n－1)－an－1]＝2－an＋an－1，即an＝eq\f(1,2)an－1＋1，轉(zhuǎn)化可得an－2＝eq\f(1,2)(an－1－2)．所以{an－2}是以首項(xiàng)為a1－2＝－1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，所以an－2＝(－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，即an＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1.[由題悟法]已知Sn求an的3個(gè)步驟(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式；(3)對(duì)n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來(lái)寫．[即時(shí)應(yīng)用]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；(2)若an＞0，Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，求an.解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，又a1也適合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝eq\f(1,6)(a1＋1)(a1＋2)，即aeq\o\al(2,1)－3a1＋2＝0.解得a1＝1或a1＝2.因?yàn)閍1＝S1＞1，所以a1＝2.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,6)(an＋1)(an＋2)－eq\f(1,6)(an－1＋1)(an－1＋2)，所以(an－an－1－3)(an＋an－1)＝0.因?yàn)閍n＞0，所以an＋an－1＞0，所以an－an－1－3＝0，所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．所以an＝3n－1.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式)eq\a\vs4\al(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——多角探明)[鎖定考向]遞推公式和通項(xiàng)公式是數(shù)列的兩種表示方法，它們都可以確定數(shù)列中的任意一項(xiàng)，只是由遞推公式確定數(shù)列中的項(xiàng)時(shí)，不如通項(xiàng)公式直接．常見的命題角度有：(1)形如an＋1＝anf(n)，求an；(2)形如an＋1＝an＋f(n)，求an；(3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.[題點(diǎn)全練]角度一：形如an＋1＝anf(n)，求an1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：∵an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)，∴an－1＝eq\f(n－2,n－1)an－2，an－2＝eq\f(n－3,n－2)an－3，…，a2＝eq\f(1,2)a1.以上(n－1)個(gè)式子相乘得an＝a1·eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·…·eq\f(n－1,n)＝eq\f(a1,n)＝eq\f(1,n).當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，上式也成立．∴an＝eq\f(1,n)(n∈N*)．角度二：形如an＋1＝an＋f(n)，求an2．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：由題意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝eq\f(n－12＋n,2)＝eq\f(n2＋n－2,2).又∵a1＝1，∴an＝eq\f(n2＋n,2)(n≥2)．∵當(dāng)n＝1時(shí)也滿足此式，∴an＝eq\f(n2＋n,2)(n∈N*)．角度三：形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝3，∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)．[通法在握]典型的遞推數(shù)列及處理方法遞推式方法示例an＋1＝an＋f(n)疊加法a1＝1，an＋1＝an＋2nan＋1＝anf(n)疊乘法a1＝1，eq\f(an＋1,an)＝2nan＋1＝Aan＋B(A≠0,1，B≠0)化為等比數(shù)列a1＝1，an＋1＝2an＋1[演練沖關(guān)]根據(jù)下列條件，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n；(2)a1＝eq\f(1,2)，an＝eq\f(n－1,n＋1)an－1(n≥2)；(3)a1＝1，an＝3an－1＋4(n≥2)．解：(1)由題意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.(2)因?yàn)閍n＝eq\f(n－1,n＋1)an－1(n≥2)，所以當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n＋1)，所以eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n＋1)，eq\f(an－1,an－2)＝eq\f(n－2,n)，…，eq\f(a3,a2)＝eq\f(2,4)，eq\f(a2,a1)＝eq\f(1,3)，以上n－1個(gè)式子相乘得eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a3,a2)·eq\f(a2,a1)＝eq\f(n－1,n＋1)·eq\f(n－2,n)·…·eq\f(2,4)·eq\f(1,3)，即eq\f(an,a1)＝eq\f(1,n＋1)×eq\f(1,n)×2×1，所以an＝eq\f(1,nn＋1).當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝eq\f(1,1×2)＝eq\f(1,2)，與已知a1＝eq\f(1,2)相符，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,nn＋1).(3)因?yàn)閍n＝3an－1＋4(n≥2)，所以(an＋2)＝3(an－1＋2)．因?yàn)閍1＋2＝3，所以{an＋2}是首項(xiàng)與公比都為3的等比數(shù)列．所以an＋2＝3n，即an＝3n－2.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．?dāng)?shù)列eq\r(2)，eq\r(6)，2eq\r(3)，2eq\r(5)，…，則2eq\r(14)是該數(shù)列的()A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng)C．第9項(xiàng) D．第10項(xiàng)解析：選Beq\r(2)，eq\r(6)，2eq\r(3)，2eq\r(5)，…可轉(zhuǎn)化為eq\r(2)，eq\r(6)，eq\r(12)，eq\r(20)，…，所以可知接下的項(xiàng)為eq\r(30)，eq\r(42)，eq\r(56)＝2eq\r(14)，所以2eq\r(14)為第7項(xiàng)．2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2－2n＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝2n－3 B．a(chǎn)n＝2n＋3C．a(chǎn)n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－3，n≥2)) D．a(chǎn)n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n＋3，n≥2))解析：選C當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1時(shí)a1的值不適合n≥2的解析式，故通項(xiàng)公式為選項(xiàng)C.3．(2018·衢州模擬)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an為()A.eq\f(1,n＋1) B.eq\f(2,n＋1)C.eq\f(1,n) D.eq\f(2,n)解析：選B由an＋1＝eq\f(2an,an＋2)可得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,2).所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝1為首項(xiàng)，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列，所以eq\f(1,an)＝eq\f(n＋1,2)，即an＝eq\f(2,n＋1).4．(2018·諸暨模擬)已知數(shù)列{an}中，對(duì)任意的p，q∈N*都滿足ap＋q＝apaq，若a1＝－1，則a9＝________.解析：由題可得，因?yàn)閍1＝－1，令p＝q＝1，則a2＝aeq\o\al(2,1)＝1；令p＝q＝2，則a4＝aeq\o\al(2,2)＝1；令p＝q＝4，則a8＝aeq\o\al(2,4)＝1，所以a9＝a8＋1＝a1a8＝－1.答案：－15．(2018·金華模擬)在數(shù)列{an}中，an＝eq\f(n－60,n－50)(n∈N*)，則該數(shù)列的最大項(xiàng)為________；最小項(xiàng)為________．解析：因?yàn)閍n＝eq\f(n－60,n－50)＝1－eq\f(10,n－50)，所以可知當(dāng)n＜50時(shí)，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)n＞50時(shí)，數(shù)列{an}也是遞增的．對(duì)比函數(shù)y＝1－eq\f(10,x－1)的圖象可知，當(dāng)n＝49時(shí)，數(shù)列{an}取到最大項(xiàng)，最大值為11；當(dāng)n＝51時(shí)，數(shù)列取到最小項(xiàng)，最小值為－9.答案：11－9二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．?dāng)?shù)列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an等于()A.eq\f(－1n＋1,2) B．coseq\f(nπ,2)C．coseq\f(n＋1,2)π D．coseq\f(n＋2,2)π解析：選D令n＝1,2,3，…，逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)，易得D正確．2．(2018·江山模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，則a5＝()A．－16 B．16C．31 D．32解析：選B當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2a1－1，所以a1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，an＝2an－1，所以有eq\f(an,an－1)＝2，所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)為an＝2n－1，所以a5＝24＝16.3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，則此數(shù)列是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列解析：選C因?yàn)镾n＋Sn＋1＝an＋1，所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＋Sn＝an，兩式相減，得an＋an＋1＝an＋1－an，所以有an＝0.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋a1＋a2＝a2，所以a1＝0.所以an＝0.即數(shù)列是常數(shù)列．4．(2018·浦江模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an＝n2，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n－1)))2 B．a(chǎn)n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))2C．a(chǎn)n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n－1)))2，n≥2)) D．a(chǎn)n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))2，n≥2))解析：選C當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，a1a2a3…an－1＝(n－1)2，所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝eq\f(n2,n－12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n－1)))2.所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n－1)))2，n≥2.))5．(2018·麗水模擬)數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，0≤an＜\f(1,2)，,2an－1，\f(1,2)≤an＜1，))若a1＝eq\f(3,5)，則a2018＝()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：選A由a1＝eq\f(3,5)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，得a2＝2a1－1＝eq\f(1,5)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以a3＝2a2＝eq\f(2,5)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以a4＝2a3＝eq\f(4,5)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所以a5＝2a4－1＝eq\f(3,5)＝a1.由此可知，該數(shù)列是一個(gè)周期為4的周期數(shù)列，所以a2018＝a504×4＋2＝a2＝eq\f(1,5).6．在數(shù)列－1,0，eq\f(1,9)，eq\f(1,8)，…，eq\f(n－2,n2)，…中，0.08是它的第____________項(xiàng)．解析：令eq\f(n－2,n2)＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，即(2n－5)(n－10)＝0.解得n＝10或n＝eq\f(5,2)(舍去)．答案：107．(2018·海寧模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝2n－1，則該數(shù)列的前8項(xiàng)和為________．解析：S8＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝1＋5＋9＋13＝28.答案：288．在一個(gè)數(shù)列中，如果對(duì)任意的n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.解析：依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：289．已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：(1)由Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)，可得a1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,2)a2，解得a2＝2；同理，a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an，①當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n－1)＋eq\f(1,2)an－1，②①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n.10．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋4.(1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；(2)對(duì)于n∈N*，都有an＋1>an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.因?yàn)閚∈N*，所以n＝2,3，所以數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為a2，a3.因?yàn)閍n＝n2－5n＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2－eq\f(9,4)，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或n＝3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2.(2)由an＋1>an，知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－eq\f(k,2)<eq\f(3,2)，即得k>－3.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－3，＋∞)．三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·2n＋1，該數(shù)列的項(xiàng)排成一個(gè)數(shù)陣(如圖)，則該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為________．a(chǎn)1a2a3a4a5a6……解析：由題意可得該數(shù)陣中的第10行、第3個(gè)數(shù)為數(shù)列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝eq\f(9×10,2)＋3＝48項(xiàng)，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故該數(shù)陣第10行、第3個(gè)數(shù)為97.答案：972．(2018·溫州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x－logx4(0<x<1)，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an滿足f(2an)＝2n(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)判定數(shù)列{an}的單調(diào)性．解：(1)因?yàn)閒(x)＝log2x－logx4(0<x<1)，f(2an)＝2n(n∈N*)，所以f(2an)＝log22an－log2an4＝an－eq\f(2,an)＝2n，且0<2an<1，解得an<0.所以an＝n－eq\r(n2＋2).(2)因?yàn)閑q\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋1－\r(n＋12＋2),n－\r(n2＋2))＝eq\f(n＋\r(n2＋2),n＋1＋\r(n＋12＋2))<1.因?yàn)閍n<0，所以an＋1>an.故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1．等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)．2．等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2).3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．[小題體驗(yàn)]1．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________.答案：102．(2018·溫州模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝5，a5＝3，則an＝________；S7＝________.答案：－n＋8283．(教材習(xí)題改編)已知等差數(shù)列5,4eq\f(2,7)，3eq\f(4,7)，…，則前n項(xiàng)和Sn＝________.答案：eq\f(1,14)(75n－5n2)1．要注意概念中的“從第2項(xiàng)起”．如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列．2．求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)，需要注意“自變量n為正整數(shù)”這一隱含條件．[小題糾偏]1．首項(xiàng)為24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，則公差d的取值范圍是()A．(－3，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(8,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(8,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(8,3)))答案：D2．(2018·湖州模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝16，a6＝10，則公差d＝________；Sn取到最大時(shí)的n的值為________．解析：因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，且a3＝16，a6＝10，所以公差d＝eq\f(a6－a3,6－3)＝－2，所以an＝－2n＋22，要使Sn能夠取到最大值，則需an＝－2n＋22≥0，所以解得n≤11.所以可知使得Sn取到最大時(shí)的n的值為10或11.答案：－210或11

eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．(2017·嘉興二模)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若eq\f(S1,S4)＝eq\f(1,10)，則eq\f(S3,S5)＝()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,7) D.eq\f(4,7)解析：選A設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)镾n為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且eq\f(S1,S4)＝eq\f(1,10)，所以10a1＝4a1＋6d，所以a1＝d.所以eq\f(S3,S5)＝eq\f(3a1＋3d,5a1＋10d)＝eq\f(6d,15d)＝eq\f(2,5).2．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a2＝－d，若ak是a6與ak＋6的等比中項(xiàng)，則k＝()A．5 B．6C．9 D．11解析：選C因?yàn)閍k是a6與ak＋6的等比中項(xiàng)，所以aeq\o\al(2,k)＝a6ak＋6.又等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a2＝－d，所以[a2＋(k－2)d]2＝(a2＋4d)[a2＋(k＋4)d]，所以(k－3)2＝3(k＋3)，解得k＝9或k＝0(舍去)，故選C.3．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a7＝2a5，則數(shù)列{an}中第________項(xiàng)的值與4a5的值相等．解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a7＝2a5，∴a1＋6d＝2(a1＋4d)，則a1＝－2d，∴an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)d，而4a5＝4(a1＋4d)＝4(－2d＋4d)＝8d＝a11，故數(shù)列{an}中第11項(xiàng)的值與4a5的值相等．答案：114．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝________.解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a12＝a1＋11d＝－8，,S9＝9a1＋\f(9×8,2)d＝－9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝－1.))∴S16＝16×3＋eq\f(16×15,2)×(－1)＝－72.答案：－72[謹(jǐn)記通法]等差數(shù)列基本運(yùn)算的方法策略(1)等差數(shù)列中包含a1，d，n，an，Sn五個(gè)量，可“知三求二”．解決這些問(wèn)題一般設(shè)基本量a1，d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式列方程(組)求解，體現(xiàn)方程思想．(2)如果已知等差數(shù)列中有幾項(xiàng)的和是常數(shù)的計(jì)算問(wèn)題，一般是等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)結(jié)合使用，體現(xiàn)整體代入的思想．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二等差數(shù)列的判斷與證明)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)](2018·舟山模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(3,5)，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由．解：(1)證明：b1＝eq\f(1,a1－1)＝－eq\f(5,2)，當(dāng)n≥2時(shí)，bn－bn－1＝eq\f(1,an－1)－eq\f(1,an－1－1)＝eq\f(1,2－\f(1,an－1)－1)－eq\f(1,an－1－1)＝eq\f(an－1－1,an－1－1)＝1.所以數(shù)列{bn}是以首項(xiàng)為－eq\f(5,2)，1為公差的等差數(shù)列．(2)因?yàn)閎1＝－eq\f(5,2)，公差d＝1；所以bn＝－eq\f(5,2)＋n－1＝n－eq\f(7,2)＝eq\f(1,an－1).所以an＝eq\f(2,2n－7)＋1.所以當(dāng)n＝3時(shí)，(an)min＝a3＝－1；當(dāng)n＝4時(shí)，(an)max＝a4＝3.[由題悟法]等差數(shù)列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法對(duì)于任意自然數(shù)n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列解答題中證明問(wèn)題等差中項(xiàng)法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問(wèn)題前n項(xiàng)和公式法驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列[即時(shí)應(yīng)用]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝eq\f(an－1,2an－1＋1)(n∈N*，n≥2)，數(shù)列{bn}滿足關(guān)系式bn＝eq\f(1,an)(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：(1)證明：∵bn＝eq\f(1,an)，且an＝eq\f(an－1,2an－1＋1)，∴bn＋1＝eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,\f(an,2an＋1))＝2＋eq\f(1,an)，∴bn＋1－bn＝2＋eq\f(1,an)－eq\f(1,an)＝2.又b1＝eq\f(1,a1)＝1，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．(2)由(1)知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又bn＝eq\f(1,an)，∴an＝eq\f(1,bn)＝eq\f(1,2n－1).∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,2n－1).eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)及最值)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]1．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S11＝22，則a3＋a7＋a8＝()A．18 B．12C．9 D．6解析：選D由題意得S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝eq\f(112a1＋10d,2)＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6.2．(2018·嘉興一中模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6>S7>S5，則滿足an>0的最大n的值為______，滿足SkSk＋1<0的正整數(shù)k＝______.解析：由題可得a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S6<0，所以使得an>0的最大n的值為6.又a6＋a7＝S7－S5>0，則S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝11a6>0，S12＝eq\f(12a1＋a12,2)＝6(a6＋a7)>0，S13＝eq\f(13a1＋a13,2)＝13a7<0，因?yàn)閧an}是遞減的等差數(shù)列，所以滿足SkSk＋1<0的正整數(shù)k＝12.答案：612[由題悟法]1．等差數(shù)列的性質(zhì)(1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，am－an＝(m－n)d?eq\f(am－an,m－n)＝d(m≠n)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差．(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.2．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的2種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法：①當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；②當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.[即時(shí)應(yīng)用]1．(2018·浙江新高考聯(lián)盟)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且eq\f(S4,S8)＝eq\f(1,3)，則eq\f(S8,S16)＝()A.eq\f(3,10) B.eq\f(3,7)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：選A因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列，因?yàn)閑q\f(S4,S8)＝eq\f(1,3)，所以不妨設(shè)S4＝1，則S8＝3，所以S8－S4＝2，所以S16＝1＋2＋3＋4＝10，所以eq\f(S8,S16)＝eq\f(3,10).2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，最后6項(xiàng)的和為180，Sn＝324(n＞6)，則數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為________．解析：由題意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，又Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝324，∴18n＝324，∴n＝18.答案：18一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．(2018·杭州模擬)已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3＝aeq\o\al(2,2)－4.則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝2n－1 B．a(chǎn)n＝－2n＋3C．a(chǎn)n＝2n－1或－2n＋3 D．a(chǎn)n＝2n解析：選A設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由a3＝aeq\o\al(2,2)－4可得1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d＝±2.因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以d>0，故d＝2.所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.2．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a5＝6，則S9為()A．45 B．54C．63 D．27解析：選B法一：∵S9＝eq\f(9a1＋a9,2)＝9a5＝9×6＝54.故選B.法二：由a5＝6，得a1＋4d＝6，∴S9＝9a1＋eq\f(9×8,2)d＝9(a1＋4d)＝9×6＝54，故選B.3．(2018·溫州十校聯(lián)考)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a5等于()A．8 B．10C．12 D．14解析：選B設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍1＝2，S3＝12，所以S3＝3a1＋3d＝6＋3d＝12，解得d＝2.所以a5＝2＋4d＝10.4．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________.解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn＋1)＝1，即eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝－1.又eq\f(1,S1)＝－1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首項(xiàng)為－1，公差為－1的等差數(shù)列．∴eq\f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－eq\f(1,n).答案：－eq\f(1,n)5．等差數(shù)列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，則{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為________．解析：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝a5＋a6<0，,a5>0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5>0，,a6<0，))∴Sn的最大值為S5.答案：S5二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝eq\f(1,2)，S4＝20，則S6＝()A．16 B．24C．36 D．48解析：選D設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由S4＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，解得d＝3，所以S6＝6a1＋15d＝3＋45＝48.2．(2018·浙江五校聯(lián)考)等差數(shù)列{an}中，a1＝0，等差d≠0，若ak＝a1＋a2＋…＋a7，則實(shí)數(shù)k＝()A．22 B．23C．24 D．25解析：選A因?yàn)閍1＝0，且ak＝a1＋a2＋…＋a7，即(k－1)d＝21d，又因?yàn)閐≠0，所以k＝22.3．(2018·河南六市一聯(lián))已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若{an}和{eq\r(Sn)}都是等差數(shù)列，且公差相等，則a6＝()A.eq\f(11,4) B.eq\f(3,2)C.eq\f(7,2) D．1解析：選A設(shè){an}的公差為d，由題意得，eq\r(Sn)＝eq\r(na1＋\f(nn－1,2)d)＝eq\r(\f(d,2)n2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n)，又{an}和{eq\r(Sn)}都是等差數(shù)列，且公差相同，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝\r(\f(d,2))，,a1－\f(d,2)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝\f(1,2)，,a1＝\f(1,4)，))a6＝a1＋5d＝eq\f(1,4)＋eq\f(5,2)＝eq\f(11,4).4．(2018·東陽(yáng)模擬)已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋45,n＋3)，則使得eq\f(an,bn)為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5解析：選D由eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋45,n＋3)，可得eq\f(an,bn)＝eq\f(A2n－1,B2n－1)＝eq\f(7n＋19,n＋1)＝7＋eq\f(12,n＋1)，所以要使eq\f(an,bn)為整數(shù)，則需eq\f(12,n＋1)為整數(shù)，所以n＝1,2,3,5,11，共5個(gè)．5．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(Sn,S2n)為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為()A．bn＝n－1 B．bn＝2n－1C．bn＝n＋1 D．bn＝2n＋1解析：選B設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0)，eq\f(Sn,S2n)＝k，因?yàn)閎1＝1，則n＋eq\f(1,2)n(n－1)d＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,2)×2n2n－1d))，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n上式均成立，所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，解得d＝2，k＝eq\f(1,4).所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1.6．(2018·金華十校聯(lián)考)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，S2＝a3，則a2＝________；Sn＝________.解析：設(shè)公差為d，則2＋d＝1＋2d，所以d＝1.所以a2＝1＋1＝2；Sn＝n＋eq\f(nn－1,2)＝eq\f(nn＋1,2).答案：2eq\f(nn＋1,2)7．在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為________．解析：由題意，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn有最大值，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d<0，,a8>0，,a9<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d<0，,7＋7d>0，,7＋8d<0，))解得－1<d<－eq\f(7,8).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,8)))8．(2018·湖州模擬)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－25，則其前10項(xiàng)和S10的值為________，數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn為________．解析：因?yàn)閍n＝4n－25，所以S10＝eq\f(10－21＋40－25,2)＝－30；因?yàn)閨an|＝|4n－25|，所以當(dāng)n≤6時(shí)，Tn＝－a1－a2－…－an＝－eq\f(n－21＋4n－25,2)＝n(23－2n)；當(dāng)n>6時(shí)，Tn＝－a1－a2－…－a6＋a7＋…＋an＝eq\f(n－21＋4n－25,2)－2S6＝n(2n－23)＋132.所以Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n23－2n，n≤6，,n2n－23＋132，n>6.))答案：－30Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n23－2n，n≤6，,n2n－23＋132，n>6))9．已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a,4,3a，前n項(xiàng)和為Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn＝eq\f(Sn,n)，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和Tn.解：(1)設(shè)該等差數(shù)列為{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋eq\f(kk－1,2)·d＝2k＋eq\f(kk－1,2)×2＝k2＋k.由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)證明：由(1)得Sn＝eq\f(n2＋2n,2)＝n(n＋1)，則bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以Tn＝eq\f(n2＋n＋1,2)＝eq\f(nn＋3,2).10．(2018·南昌調(diào)研)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,4Sn＝aeq\o\al(2,n)＋2an－3，且a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列，當(dāng)n≥5時(shí)，an>0.(1)求證：當(dāng)n≥5時(shí)，{an}成等差數(shù)列；(2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)證明：由4Sn＝aeq\o\al(2,n)＋2an－3,4Sn＋1＝aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1－3，得4an＋1＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＋2an＋1－2an，即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.當(dāng)n≥5時(shí)，an>0，所以an＋1－an＝2，所以當(dāng)n≥5時(shí)，{an}成等差數(shù)列．(2)由4a1＝aeq\o\al(2,1)＋2a1－3，得a1＝3或a1＝－1，又a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列，所以由(1)得an＋1＋an＝0(n≤5)，q＝－1，而a5>0，所以a1>0，從而a1＝3，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－1n－1，1≤n≤4，,2n－7，n≥5，))所以Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)[1－－1n]，1≤n≤4，,n2－6n＋8，n≥5.))三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．(2018·浙江五校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則eq\f(2Sn＋16,an＋3)的最小值為________．解析：設(shè)公差為d.因?yàn)閍1，a3，a13成等比數(shù)列，所以(1＋2d)2＝1＋12d，解得d＝2.所以an＝2n－1，Sn＝n2.所以eq\f(2Sn＋16,an＋3)＝eq\f(2n2＋16,2n＋2)＝eq\f(n2＋8,n＋1).令t＝n＋1，則原式＝eq\f(t2＋9－2t,t)＝t＋eq\f(9,t)－2.因?yàn)閠≥2，t∈N*，所以當(dāng)t＝3，即n＝2時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2Sn＋16,an＋3)))min＝4.答案：42．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值；(2)當(dāng)a1＝2時(shí)，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)法一：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.由an＋1＋an＝4n－3，得(a1＋nd)＋[a1＋(n－1)d]＝4n－3，∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3，即2d＝4,2a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－eq\f(1,2).法二：在等差數(shù)列{an}中，由an＋1＋an＝4n－3，得an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1，∴2d＝an＋2－an＝(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝4n＋1－(4n－3)＝4，∴d＝2.又∵a1＋a2＝2a1＋d＝2a1＋2＝4×1－3＝1，∴a1＝－eq\f(1,2).(2)由題意，①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×eq\f(n－1,2)＝eq\f(2n2－3n＋5,2).②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝1＋9＋…＋(4n－7)＝eq\f(2n2－3n,2).第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為eq\f(an＋1,an)＝q.(2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.2．等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))3．等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k)；(3)若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))(λ≠0)仍然是等比數(shù)列；(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.[小題體驗(yàn)]1．(教材習(xí)題改編)將公比為q的等比數(shù)列a1，a2，a3，a4，…依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新的數(shù)列a1a2，a2a3，a3a4，….此數(shù)列是()A．公比為q的等比數(shù)列 B．公比為q2的等比數(shù)列C．公比為q3的等比數(shù)列 D．不一定是等比數(shù)列答案：B2．(2018·臺(tái)州模擬)已知等比數(shù)列{an}各項(xiàng)都是正數(shù)，且a4－2a2＝4，a3＝4，則an＝________；S10＝________.解析：設(shè)公比為q，因?yàn)閍4－2a2＝4，a3＝4，所以有4q－eq\f(8,q)＝4，解得q＝2或q＝－1.因?yàn)閝>0，所以q＝2.所以a1＝eq\f(a3,q2)＝1，an＝a1qn－1＝2n－1.所以S10＝eq\f(1－210,1－2)＝210－1＝1023.答案：2n－110233．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an(n∈N*)，則a3＝______；S5＝_________.答案：91211．特別注意q＝1時(shí)，Sn＝na1這一特殊情況．2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.3．在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤．4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比數(shù)列(例如：當(dāng)公比q＝－1且n為偶數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比數(shù)列；當(dāng)q≠－1或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)總成立．[小題糾偏]1．在等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝8，則a5等于()A．5 B．±5C．4 D．±4解析：選Caeq\o\al(2,5)＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4，又∵a5＝a3q2>0，∴a5＝4.2．設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝3a3，則公比q＝________.答案：－eq\f(1,2)或1eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一等比數(shù)列的基本運(yùn)算)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]1．(2018·紹興模擬)等比數(shù)列{an}的公比為2，前n項(xiàng)和為Sn.若1＋2a2＝S3，則a1＝()A.eq\f(1,7) B．eq\f(1,5)C.eq\f(1,3) D．1解析：選C由題可得，1＋4a1＝a1＋2a1＋4a1，解得a1＝eq\f(1,3).2．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝126，則n＝________.解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．又∵Sn＝126，∴eq\f(21－2n,1－2)＝126，∴n＝6.答案：6[由題悟法]解決等比數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的2種常用思想方程的思想等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問(wèn)題可迎刃而解分類討論的思想等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q)[即時(shí)應(yīng)用]1．(2018·暨陽(yáng)模擬)等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，a1a9＝2a3a6，S5＝－62，則a1的值為()A．2 B．－2C．1 D．－1解析：選B設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍1a9＝2a3a6，所以aeq\o\al(2,1)q8＝2aeq\o\al(2,1)q7，所以q＝2.因?yàn)镾5＝－62，所以S5＝eq\f(a11－25,1－2)＝31a1＝－62，所以a1＝－2.2．(2018·寧波模擬)已知等比數(shù)列{an}滿足a2＝eq\f(1,4)，a2a8＝4(a5－1)，則a4＋a5＋a6＋a7＋a8的值為()A．20 B．31C．62 D．63解析：選B因?yàn)閍2a8＝aeq\o\al(2,5)＝4(a5－1)，解得a5＝2.所以q＝2.所以a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝1＋2＋4＋8＋16＝31.3．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項(xiàng)和等于________．解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q3＝9，,a\o\al(2,1)·q3＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,q＝\f(1,2).))又eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為遞增數(shù)列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2，))∴Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.答案：2n－1eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)](2016·全國(guó)卷Ⅲ)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若S5＝eq\f(31,32)，求λ.解：(1)證明：由題意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝eq\f(1,1－λ)，故a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(λ,λ－1).因此{(lán)an}是首項(xiàng)為eq\f(1,1－λ)，公比為eq\f(λ,λ－1)的等比數(shù)列，于是an＝eq\f(1,1－λ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ－1)))n－1.(2)由(1)得Sn＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ－1)))n.由S5＝eq\f(31,32)得1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ－1)))5＝eq\f(31,32)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ－1)))5＝eq\f(1,32).解得λ＝－1.[由題悟法]等比數(shù)列的4種常用判定方法定義法若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列中項(xiàng)公式法若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列通項(xiàng)公式法若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式法若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列[提醒](1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定．(2)若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．[即時(shí)應(yīng)用](2018·衢州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若數(shù)列{bn}滿足bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列．證明：因?yàn)镾n＋1＝4an＋2，所以S2＝a1＋a2＝4a1＋2，又a1＝1，所以a2＝5，b1＝a2－2a1＝3，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝4an－1＋2.所以Sn＋1－Sn＝an＋1＝4an－4an－1.因?yàn)閎n＝an＋1－2an，所以當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(bn,bn－1)＝eq\f(an＋1－2an,an－2an－1)＝eq\f(4an－4an－1－2an,an－2an－1)＝eq\f(2an－2an－1,an－2an－1)＝2.所以{bn}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì))eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]1．(2018·寧波模擬)已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}滿足a6－aeq\o\al(2,7)＋a8＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b2b8b11＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：選D由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a6＋a8＝2a7.由a6－aeq\o\al(2,7)＋a8＝0，可得a7＝2，所以b7＝a7＝2.由等比數(shù)列的性質(zhì)得b2b8b11＝b2b7b12＝beq\o\al(3,7)＝23＝8.2．若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且eq\f(S4,S2)＝5，則eq\f(S8,S4)＝________.解析：由題可得，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比數(shù)列，因?yàn)閑q\f(S4,S2)＝5，不妨設(shè)S2＝1，則S4＝5，所以S4－S2＝4，所以S8＝1＋4＋16＋64＝85，所以eq\f(S8,S4)＝eq\f(85,5)＝17.答案：17[由題悟法]等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為3類通項(xiàng)公式的變形根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口等比中項(xiàng)的變形前n項(xiàng)和公式的變形[即時(shí)應(yīng)用]1．(2018·諸暨模擬)已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20.則該數(shù)列的前9項(xiàng)和為()A．50 B．70C．80 D．90解析：選B由等比數(shù)列的性質(zhì)得S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，由S3＝40，S6－S3＝20，知公比為eq\f(1,2)，故S9－S6＝10，S9＝70.2．(2018·浙江聯(lián)盟模擬)已知{an}是等比數(shù)列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，則a3＋a5＝________；a4的最大值為________．解析：因?yàn)閍n>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝(a3＋a5)2＝25，所以a3＋a5＝5，所以a3＋a5＝5≥2eq\r(a3a5)＝2a4，所以a4≤eq\f(5,2).即a4的最大值為eq\f(5,2).答案：5eq\f(5,2)一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．(2018·舟山模擬)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比數(shù)列，則xyz的值為()A．－3 B．±3C．－3eq\r(3) D．±3eq\r(3)解析：選C因?yàn)椋?，x，y，z，－3成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)及等比中項(xiàng)可知，xz＝3，y2＝3，且y與－1，－3符號(hào)相同，所以y＝－eq\r(3)，所以xyz＝－3eq\r(3).2．(2018·柯橋模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足a5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3，則此數(shù)列的公比為()A．2 B．3C．4 D．5解析：選B因?yàn)閍5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3，兩式相減，得a6－a5＝2S5－2S4＝2a5，所以q＝eq\f(a6,a5)＝3.3．(2018·金華十校聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a9a10a11的值為()A．10 B．25C．50 D．75解析：選B因?yàn)閍7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝52＝25.4．(2018·浙江名校協(xié)作體測(cè)試)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的正整數(shù)n，均有Sn＋3＝8Sn＋3，則a1＝_________，公比q＝________.解析：因?yàn)镾n＋3＝8Sn＋3，所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＋2＝8Sn－1＋3，兩式相減，可得an＋3＝8an，所以q3＝8，解得q＝2；當(dāng)n＝1時(shí)，S4＝8S1＋3，即15a1＝8a1＋3，解得a1＝eq\f(3,7).答案：eq\f(3,7)25．(2018·永康適應(yīng)性測(cè)試)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝2an＋n，則a1＝______，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝_______.解析：因?yàn)镾n＝2an＋n，所以當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2a1＋1，所以a1＝－1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an＋n－2an－1－n＋1，即an＝2an－1－1，即an－1＝2(an－1－1)，所以數(shù)列{an－1}是以－2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an－1＝－2n，所以an＝1－2n.答案：－11－2n二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若a4＋a6＝10，則a7(a1＋2a3)＋a3a9的值為()A．10 B．20C．100 D．200解析：選Ca7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝aeq\o\al(2,4)＋2a4a6＋aeq\o\al(2,6)＝(a4＋a6)2＝102＝100.2．(2018·浙江五校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則“a1<a2<a3”是“{an}為遞增數(shù)列”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選C由a1<a2<a3可得1<q<q2，所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；當(dāng)數(shù)列{an}為遞增數(shù)列時(shí)，滿足a1<a2<a3.所以“a1<a2<a3”是“{an}為遞增數(shù)列”是充要條件．3．已知數(shù)列{an}滿足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，則logeq\f(1,3)(a5＋a7＋a9)的值是()A．－5 B．－eq\f(1,5)C．5 D.eq\f(1,5)解析：選A∵log3an＋1＝log3an＋1，∴an＋1＝3an.∴數(shù)列{an}是以公比q＝3的等比數(shù)列．∵a5＋a7＋a9＝q3(a2＋a4＋a6)，∴l(xiāng)ogeq\f(1,3)(a5＋a7＋a9)＝logeq\f(1,3)(9×33)＝logeq\f(1,3)35＝－5.4．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為()A．7 B．8C．9 D．10解析：選B設(shè)該女子第一天織布x尺，則eq\f(x1－25,1－2)＝5，得x＝eq\f(5,31)，∴前n天所織布的尺數(shù)為eq\f(5,31)(2n－1)．由eq\f(5,31)(2n－1)≥30，得2n≥187，則n的最小值為8.5．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若存在m∈N*，滿足eq\f(S2m,Sm)＝9，eq\f(a2m,am)＝eq\f(5m＋1,m－1)，則數(shù)列{an}的公比為()A．－2 B．2C．－3 D．3解析：選B設(shè)公比為q，若q＝1，則eq\f(S2m,Sm)＝2，與題中條件矛盾，故q≠1.∵eq\f(S2m,Sm)＝eq\f(\f(a11－q2m,1－q),\f(a11－qm,1－q))＝qm＋1＝9，∴qm＝8.∴eq\f(a2m,am)＝eq\f(a1q2m－1,a1qm－1)＝qm＝8＝eq\f(5m＋1,m－1)，∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.6．(2018·超級(jí)全能生模擬)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，a1，S2,5成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的公比q＝________，Sn＝_________.解析：由題可得，2S2＝2(1＋q)＝1＋5＝6，所以q＝2，所以Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.答案：22n－17．(2018·慈溪中學(xué))在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若a1＝1，a1＋a3＋a5＝21，則q＝________；a3＋a5＋a7的值為________．解析：設(shè)公比為q.則由a1＝1，a1＋a3＋a5＝21可得q4＋