浙江省A9協(xié)作體2022-2023學年高一下學期數(shù)學期中聯(lián)考試卷（含答案）

浙江省A9協(xié)作體2022-2023學年高一下學期數(shù)學期中聯(lián)考試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．已知復數(shù)z=1+2i（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）．A．2 B．?2 C．2i D．?2i2．平面向量a=(1，x)，b=(?2，3)，若A．?32 B．?23 C．3．平面上四點O，A，B，C，滿足AC=2A．OC=23C．OC=234．若m，n是空間兩條不同的直線，α，β是空間兩個不同的平面，那么下列命題成立的是（）A．若α//m，βB．若m//α，n?αC．若m//n，nD．若α//β，m?α5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，A=60°，a=7，c=2，那么bA．3 B．4 C．5 D．36．已知平面向量a=(1，2)，b=(?3，A．(?3，4) B．(35，?7．如圖扇形AOB所在圓的圓心角大小為2π3，P是扇形內(nèi)部（包括邊界）任意一點，若OP=xOAA．332 B．3 C．2218．如圖從半徑為定值的圓形紙片O上，以O(shè)為圓心截取一個扇形AOB卷成圓錐，若要使所得圓錐體積最大，那么截取扇形的圓心角大小為（）A．26π3 B．25π3二、多選題9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（）A．若A>B，一定有sinA>sinBB．若a2+bC．一定有bcosC+ccosB=a成立D．若acosA=bcosB，那么△ABC一定是等腰三角形10．如圖正方體ABCD?A1B1C1D1，E、F分別為A．對于任意M點，B1M與平面B．存在M點，使得A1M與平面C．存在M點，使得直線B1M與直線D．對于任意M點，直線A1M與直線11．已知a，b，c是平面上三個非零向量，下列說法正確的是（）A．一定存在實數(shù)x，y使得a=xB．若a?bC．若(a?D．若a?(b?c)=(a?12．直三棱柱ABC?A1B1CA．23 B．225 C．3三、填空題13．已知復數(shù)z=2+3i1?i，那么|z|=14．如圖等腰梯形ABCD，AB∥CD，AB=1，AD=2，CD=3，那么該梯形直觀圖的面積是.15．平面上任何兩個不共線的向量都可以作為平面向量的一組基底，若作為基底的兩個向量相互垂直就稱該組基底是一組正交基底.施密特正交化法指出任何一組不共線的向量都可以轉(zhuǎn)化為一組正交基底，其方法是對于一組不共線的向量a，b，令c=b?a?ba2a，那么c就是一個與a16．已知平面向量a，b，c，若|a|=|a?b|=2，四、解答題17．（1）已知1?2i(i是虛數(shù)單位)是方程x2+mx+n=0(m，（2）在復數(shù)范圍內(nèi)解方程：x218．已知平面向量a，b，c滿足，|a|=1，|b|=2，（1）若向量a，b的夾角為π3，且b⊥c（2）若|c|的最小值為3，求向量a，19．如圖在一城市叉路口有一個三角形狀的口袋公園，已知公園一邊AB長為18m，另一邊AC長為16m，∠BAC大小為60°，為方便人們通行，政府部門欲在AB，AC兩邊上分別找兩點D，E，修建一條的電動自行車道路DE，DE需要把公園分為面積相等的兩個部分，所建道路的寬度忽略不計.（1）若設(shè)AD=x，AE=y，求x，y滿足的關(guān)系式；（2）如何選擇D，E可以使得所修道路最短？并求出最小值.20．如圖所求，四棱錐P?ABCD，底面ABCD為平行四邊形，F(xiàn)為PA的中點，E為PB中點.（1）求證：PC∥平面BFD；（2）已知M點在PD上滿足EC∥平面BFM，求PMMD21．在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，已知cosC+cosAcosB=3cosAsinB，D是邊BC上的點，滿足CD=2（1）求角A大??；（2）求三角形面積S的最大值.22．如圖一：球面上的任意兩個與球心不在同一條直線上的點和球心確定一個平面，該平面與球相交的圖形稱為球的大圓，任意兩點都可以用大圓上的劣弧進行連接.過球面一點的兩個大圓弧，分別在弧所在的兩個半圓內(nèi)作公共直徑的垂線，兩條垂線的夾角稱為這兩個弧的夾角.如圖二：現(xiàn)給出球面上三個點，其任意兩個不與球心共線，將它們兩兩用大圓上的劣弧連起來的封閉圖形稱為球面三角形.兩點間的弧長定義為球面三角形的邊長，兩個弧的夾角定義為球面三角形的角.現(xiàn)設(shè)圖二球面三角形ABC的三邊長為a，b，c，三個角大小為α，β，γ，球的半徑為R.（1）求證：a+b>c（2）①求球面三角形ABC的面積S（用α，β，γ，R表示）.②證明：α+β+γ>π.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】z=1+2i?z=1?2i，則z故答案為：B

【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的定義寫出z的共軛復數(shù)，即可得z的虛部.2．【答案】A【解析】【解答】由題意，a=(1，x)，b=(?2，故答案為：A

【分析】根據(jù)向量共線的坐標表示列出方程，求解可得x的值.3．【答案】B【解析】【解答】因為AC=2CB，所以即3OC=2OB故答案為：B

【分析】根據(jù)平面向量的基本定理結(jié)合向量三角形的運算法則進行化簡，即可得答案.4．【答案】D【解析】【解答】當α//m，β//當m//α，n?α時，m，當m//n，n//根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知D符合題意，故答案為：D

【分析】α，β相交或平行，可判斷A；m與n平行或異面，可判斷B；m//α或m?α，判斷C；由面面平行的性質(zhì)得5．【答案】D【解析】【解答】因為A=60°，a=7，c=2所以有a2=b故答案為：D

【分析】利用余弦定理進行求解，即可得b的值.6．【答案】C【解析】【解答】與b方向相同的單位向量為：e=b|b|，則a故答案為：C

【分析】根據(jù)投影向量的計算公式和向量坐標的數(shù)量積、數(shù)乘運算即可求出答案.7．【答案】C【解析】【解答】以點O為坐標原點，OA所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，設(shè)扇形AOB的半徑為r，則A(r，0)、設(shè)點P(acos因為OP=x所以，xr?y2r=a所以，2x+y=(2x?y)+2y=2a其中φ為銳角，且tanφ=因為0≤θ≤2π3，則當θ+φ=π2且a=r時，2x+y取得最大值故答案為：C.

【分析】以點O為坐標原點，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，設(shè)點P(acosθ，asinθ)(0≤a≤r，0≤θ≤2π8．【答案】A【解析】【解答】設(shè)扇形AOB的半徑為R，扇形的圓心角為θ(0<θ<2π)，則扇形的弧長為θR，設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則2πr=θR，則r=θR則h=R所以，該圓錐的體積為V==R當且僅當4π2?故答案為：A.

【分析】設(shè)扇形AOB的半徑為R，扇形的圓心角為θ(0<θ<2π)，設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h求出r、h關(guān)于θ的表達式，利用三元基本不等式可求得圓錐體積的最大值及其對應(yīng)的θ的值，即可得答案.9．【答案】A,B,C【解析】【解答】對于A項：因為在三角形中A>B，所以a>b，根據(jù)正弦定理：asinA=bsin對于B項：因為a2+b2?故△ABC是鈍角三角形，所以B正確；對于C項：bcosC+ccossinA=sin(B+C)，sin對于D項：acosA=bcosB，即解得A=B或A+B=π2，所以故答案為：ABC.

【分析】根據(jù)正、余弦定理對邊角進行合理轉(zhuǎn)化，可判斷A、B；根據(jù)正、余弦定理對邊角進行合理轉(zhuǎn)化，結(jié)合兩角和差以及二倍角公式進行判斷C、D.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】對于A選項，取線段BB1的中點G，連接A1在正方體ABCD?A1B1C因為F、G分別為AA1、BB1的中點，所以，所以，四邊形A1FBG為平行四邊形，所以，同理可得D1E//A因為D1E?平面BDF，BF?平面BDF，所以，D1同理可證B1E//平面因為B1E∩D1E=E，B1E、D因為B1M?平面B1D1對于B選項，取線段DD1的中點H，連接A1在正方體ABCD?A1B1C因為F、H分別為AA1、DD1的中點，則所以，四邊形A1FDH為平行四邊形，所以，∵A1H?平面BDF，DF?平面BDF，所以，A同理可證A1G//平面因為A1H∩A1G=A1，A1G對于任意過點A1且在平面A1GH內(nèi)的直線l，則l//但A1M?平面BDF，所以，A1對于C選項，連接CG、FG，在正方體ABCD?A1B1C因為F、G分別為AA1、BB1的中點，則所以，四邊形ABGF為平行四邊形，所以，F(xiàn)G//AB且FG=AB，因為AB//CD且AB=CD，所以，F(xiàn)G//CD且FG=CD，所以，四邊形CDFG為平行四邊形，故DF//CG，同理可證B1E//CG，則故當點M與點E重合時，B1對于D選項，假設(shè)存在點M，使得直線A1M與直線BF共面，則A1、B、F即M∈平面A1BF，事實上，點M?平面假設(shè)不成立，故對任意的點M，直線A1M與直線故答案為：ACD.

【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合線面平行的判定定理、線面平行的性質(zhì)定理和異面直線的定義，逐項進行判斷，可得答案.11．【答案】B,C【解析】【解答】只有當b，c不是共線向量時，一定存在實數(shù)x，y使得a=x由a?由(a|a所以C符合題意；當a?b=b?c=0時，顯然a故答案為：BC

【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，逐項進行判斷，可得答案.12．【答案】B,C,D【解析】【解答】設(shè)底面△ABC外接圓的半徑為r，則2r=BC設(shè)直三棱柱ABC?A1B1C1的高為h，外接球的半徑為在銳角△ABC中A=π3，由正弦定理得bsin則b=233∴bc=4∵0<B<π20<2π3?B<π2∴S所以VABC?故答案為：BCD

【分析】設(shè)底面△ABC外接圓的半徑為r，利用正弦定理求出2r，設(shè)直三棱柱ABC?A1B1C13．【答案】26【解析】【解答】因為z=2+3i所以|z|=(?故答案為：26

【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)模的計算公式求解，可得答案.14．【答案】6【解析】【解答】由題意可知等腰梯形ABCD的高AE=A由斜二測畫法的規(guī)則可知：該梯形直觀圖中的高為12AB，CD故答案為：6

【分析】根據(jù)斜二測畫法的性質(zhì)，結(jié)合梯形面積公式，即可求解出答案.15．【答案】(【解析】【解答】因為a=(1，2)，b根據(jù)題意，c=就是一個與a配對組成正交基底的向量.故答案為：(4

【分析】利用向量數(shù)量積的運算結(jié)合c=16．【答案】[?【解析】【解答】因為|a|=|a令x=a?b，y=所以b=a?所以b==4+=4+=4+又0≤|x+y所以4?92≤4+即b?故答案為：[?

【分析】令x=a?b，y=a?17．【答案】（1）解：根據(jù)題意得：(1?2所以(?1+m+n)?(22則?1+m+n=02解得：m=?2，n=3.（2）解：因為(x所以(x+1得(x+1+即x1=?1?【解析】【分析】(1)將1?2i代入方程，再根據(jù)復數(shù)相等列方程，求解即可得實數(shù)m，n的值；18．【答案】（1）解：因為b⊥c，所以b?c=代入|a|=1，|b|=2得（2）解：設(shè)a，b夾角為θ，由c=t|c故當t=?2cosθ時，|c|2由題意4?4cos2θ=3又θ∈[0，π]，所以θ=π【解析】【分析】(1)根據(jù)b⊥c得b→?c→=b→?(ta→+19．【答案】（1）解：可知S△ABCS△ADE=12xysin60°，根據(jù)（2）解：可知：DE所以取AD=AE=12m時，DE最短為12m.【解析】【分析】(1)先求出S△ABC，然后用x，y及三角形的面積公式表示出S△ADE，然后列方程求解出x，y滿足的關(guān)系式；

(2)列出余弦定理方程，結(jié)合(1)中的結(jié)論與基本不等式求解，即可得DE最短值.20．【答案】（1）證明：連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OF，因在△PAC中，F(xiàn)為PA中點，O為AC中點，則PC∥FO.又PC?平面BFD，F(xiàn)O?平面BFD，故PC∥平面BFD；（2）解：如圖連結(jié)FM交AD延長線于G，連結(jié)BG交CD于N，連結(jié)EF，F(xiàn)N，PG，EN.因EF∥CN，則E，又EC∥平面BFM，平面BFM∩平面EFNC=FN，則EC∥FN，四邊形EFNC為平行四邊形，可得EF=CN=12CD?N則△BCN?△GDN，即EN為△PBG中位線，則EN∥PG，EN=1又EF=DN，EF∥DN，則四邊形EFDN為平行四邊形，EN從而FD∥PG，△FMD～△GMP?PM【解析】【分析】(1)由已知得PC∥FO，結(jié)合線面平行的判定定理可得出PC∥平面BFD；

(2)連結(jié)FM交AD延長線于G，連結(jié)BG交CD于N，由線面平行的性質(zhì)定理可得出EC∥FN，利用△BCN?△GDN得EN∥PG，EN=12PG，再利用△FMD～△GMP21．【答案】（1）解：由三角形內(nèi)角和性質(zhì)可知，cosC=?cos(A+B)=sinAsinB?cosAcosB，sinAsinB=3∵B∈(0∴tanA=3，又∴A=π（2）解：因為CD=2DB所以AD=13∴|即4=1∴36?2bc=b解得bc≤6，當b=2c=23∴S=1【解析】【分析】(1)由三角形的內(nèi)角和性質(zhì)及余弦兩角和的公式化簡可得角A的大?。?/p>

(2)利用向量的基本定理，以AC→，AB→為基底，表示出