圓錐曲線中的新概念問題專題突破訓練 高三數(shù)學二輪復習

圓錐曲線中的新概念問題(分值：34分)1.(17分)(2024·浙江9＋1高中聯(lián)盟模擬)如圖，由部分橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0，y≤0)和部分雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(y≥0)，組成的曲線C稱為“盆開線”.曲線C與x軸有A(2，0)，B(－2，0)兩個交點，且橢圓與雙曲線的離心率之積為eq\f(\r(7),4).(1)設過點(1，0)的直線l與C相切于點M，求點M的坐標及直線l的方程；(2)過A的直線m與C相交于點P，A，Q三點，求證：∠PBA＝∠QBA.2.(17分)(2024·南航蘇州附中二模)過拋物線外一點P作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，我們稱△PAB為拋物線的阿基米德三角形，弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應的“囧邊形”，且已知“囧邊形”的面積恰為相應阿基米德三角形面積的三分之二.如圖，點P是圓Q：x2＋(y＋5)2＝4上的動點，△PAB是拋物線Γ：x2＝2py(p>0)的阿基米德三角形，F(xiàn)是拋物線Γ的焦點，且|PF|min＝6.(1)求拋物線Γ的方程；(2)利用題給的結論，求圖中“囧邊形”面積的取值范圍；(3)設D是“囧邊形”的拋物線弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上的任意一動點(異于A，B兩點)，過D作拋物線的切線l交阿基米德三角形的兩切線邊PA，PB于M，N，證明：|AM|·|BN|＝|PM|·|PN|.圓錐曲線中的新概念問題1.(1)解由題設可得a2+b2a×a2故橢圓方程為x24+y23=1(y≤0),雙曲線方程為x由圖可知,切點M在雙曲線x24?y23=1設M(x0,y0),雙曲線方程化為y=3x24?3,則則直線l的斜率k=3x則切線l的方程為x0x因為直線l過點(1,0),所以x0=4,將x0=4代入x24?y23=1(y≥0所以M(4,3),直線l的方程為x-y-1=0.(2)證明由題意可得PQ的斜率存在且不為零,故設方程為y=k(x-2),聯(lián)立x2(3-4k2)x2+16k2x-16k2-12=0,Δ即k≠32解得x=2或x=8k即Q8k聯(lián)立x2(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0,解得x=2或x=8k即P8k所以kBP+kBQ=?12k所以kBP=-kBQ,所以∠PBA=∠QBA.2.(1)解由題意得,Q(0,-5),r=2,F0,p由|PF|min=|QF|-r=p2+3=6?p=6所以拋物線Γ:x2=12y.(2)解設AB:y=kx+m,Ax1Bx2聯(lián)立x2=12y,y=kx+m?x2-12kx-12m=0,Δ=48則x1+x2=12k,x1x2=-12m,由x2=12y?y'=x6所以PA:y-x1212=x16(x-x1)同理,PB:y=x2聯(lián)立直線PA,PB可得x16x代入PA方程中,得yp=x16·即P(6k,-m),故△PAB的面積S△PAB=12|AB|=1=43(3k2+m)3因為P(6k,-m)在圓Q上,所以36k2+(5-m)2=4?k2=4?(5?m)236且m∈于是3k2+m=4?(m=?m顯然此式在m∈[3,7]上單調(diào)遞增,故3k2+m∈?3也即3k2+m∈[3,7],因此S△PAB=43(3k2+m)32∈[36,28由題干知“囧邊形”面積等于23S△PAB所以“囧邊形”面積的取值范圍為24,56(3)證明由(2)知,xP=x1設D(x3,y3),過D的切線y-y3=16x3