第06講 拓展一：平面向量的拓展應(yīng)用 精講（原卷版）

第06講拓展一：平面向量的拓展應(yīng)用目錄TOC\o"1-1"\h\u高頻考點(diǎn)一：平面向量夾角為銳角問題 1高頻考點(diǎn)二：平面向量夾角為鈍角問題 2高頻考點(diǎn)三：平面向量模的最值（或范圍）問題（定義法） 3高頻考點(diǎn)四：平面向量模的最值（或范圍）問題（幾何法） 4高頻考點(diǎn)五：平面向量模的最值（或范圍）問題（三角不等式法） 5高頻考點(diǎn)六：平面向量模的最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法） 6高頻考點(diǎn)七：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（定義法） 7高頻考點(diǎn)八：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（向量數(shù)量積幾何意義法） 7高頻考點(diǎn)九：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法（自主建系法）） 8高頻考點(diǎn)十：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（積化恒等式法） 10高頻考點(diǎn)一：平面向量夾角為銳角問題典型例題例題1．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知：向量與的夾角為銳角．若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．例題2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，為互相垂直的單位向量，，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．例題3．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量．若，，其中，若，的夾角為銳角，求的取值范圍．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知平面向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．2．（23-24高一下·福建莆田·階段練習(xí)）已知與的夾角為.(1)求在方向上的投影向量;(2)求的值;(3)若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.高頻考點(diǎn)二：平面向量夾角為鈍角問題典型例題例題1．（23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）已知，與的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）若向量，的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．例題3．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為，且.(1)求；(2)求與的夾角的余弦值；(3)若與夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）設(shè)兩個(gè)向量，滿足，，，之間的夾角為，若向量與向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一下·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）設(shè)兩個(gè)向量滿足，(1)求在上的投影向量（用坐標(biāo)表示）；(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.高頻考點(diǎn)三：平面向量模的最值（或范圍）問題（定義法）典型例題例題1．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（

）A．4 B．2 C． D．5例題2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題3．（23-24高三下·上海松江·階段練習(xí)）向量滿足，，，則的最大值為.練透核心考點(diǎn)1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，，，為的中點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）若、是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直，且模長都是2的向量，向量滿足，則的最大值是．3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）定義：已知兩個(gè)非零向量與的夾角為.我們把數(shù)量叫做向量與的叉乘的模，記作，即.(1)若向量，，求；(2)若平行四邊形的面積為4，求；(3)若，，求的最小值.高頻考點(diǎn)四：平面向量模的最值（或范圍）問題（幾何法）典型例題例題1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知向量滿足：為單位向量，且和相互垂直，又對任意不等式恒成立，若，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知向量、垂直，且，若，則的最小值為（

）A．34 B．26 C．24 D．14例題3．（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）已知平面向量滿足，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．3練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）已知向量滿足，，則的最大值等于（

）A． B． C．2 D．2．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則線段的長的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．高頻考點(diǎn)五：平面向量模的最值（或范圍）問題（三角不等式法）典型例題例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知平面向量，，滿足：，，，則，且的取值范圍為.練透核心考點(diǎn)1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為單位向量，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．6高頻考點(diǎn)六：平面向量模的最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法）典型例題例題1．（23-24高二上·福建泉州·期中）在棱長為2的正方體中，為中點(diǎn)，在平面內(nèi)，且滿足.則點(diǎn)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（23-24高三·浙江·開學(xué)考試）均為單位向量，且它們的夾角為45°，設(shè)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．例題3．（23-24·浙江溫州·模擬預(yù)測）已知平面向量滿足，則的取值范圍是．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三上·重慶九龍坡·期中）已知，，，，則的取值范圍（

）A． B．C． D．2．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知五個(gè)點(diǎn)，滿足：，，則的最小值為．3．（23-24高三上·河南駐馬店·階段練習(xí)）△QAB是邊長為6的正三角形，點(diǎn)C滿足，且，，，則的取值范圍是.高頻考點(diǎn)七：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（定義法）典型例題例題1．（23-24高三上·陜西西安·期中）在直角中，，點(diǎn)M是外接圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12例題2．（23-24高三上·北京大興·期中）已知等邊的邊長為，分別是的中點(diǎn)，則；若是線段上的動點(diǎn)，且，則的最小值為．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知中，，，的對邊，，成等比數(shù)列，，延長至點(diǎn)，使.求：(1)的大??；(2)的取值范圍.高頻考點(diǎn)八：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（向量數(shù)量積幾何意義法）典型例題例題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知正六邊形的邊長為2，對稱中心為，以為圓心作半徑為1的圓，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．例題2．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）如圖，是邊長2的正方形，為半圓弧上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)）則的取值范圍為．

練透核心考點(diǎn)1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知平行四邊形ABCD中，，，，若以C為圓心的圓與對角線BD相切，P是圓C上的一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧沈陽·一模）已知是半徑為1的球面上不同的三點(diǎn)，則的最小值為.高頻考點(diǎn)九：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法（自主建系法））典型例題例題1．（23-24高一下·全國·期末）在邊長為2的正方形中，動點(diǎn)P，Q在線段上，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．1 D．例題2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在菱形ABCD中，，若點(diǎn)M在線段AD上運(yùn)動，則的取值范圍為．例題3．（23-24高一下·天津紅橋·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，(1)求的值；(2)若求實(shí)數(shù)λ的值；(3)在（2）的條件下，若M，N是線段BC上的動點(diǎn)，且求的最小值.練透核心考點(diǎn)1．（多選）（23-24高一下·四川涼山·階段練習(xí)）已知梯形ABCD中，，，，，，點(diǎn)P，Q在線段BC上移動，且，則的值可能為（

）A．3 B． C． D．2．（2024·天津河西·一模）在中，D是AC邊的中點(diǎn)，，，，則；設(shè)M為平面上一點(diǎn)，且，其中，則的最小值為．3．（23-24高一下·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）如圖，已知是邊長為的正方形的中心，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向，同時(shí)質(zhì)點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)沿方向在該正方形上運(yùn)動，直至它們首次相遇為止．已知質(zhì)點(diǎn)的速度為，質(zhì)點(diǎn)的速度為．(1)請將表示為時(shí)間（單位：）的函數(shù)______；(2)求的最小值．高頻考點(diǎn)十：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（積化恒等式法）典型例題例題1．（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）閱讀一下一段文字：，，兩式相減得我們把這個(gè)等式稱作“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了在沒有夾角的參與下將兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算化為“?！钡倪\(yùn)算．試根據(jù)上面的內(nèi)容解決以下問題：如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．(1)若AD＝6，BC＝4，求的值；(2)若，，求的值．例題2．（23-24高一下·貴州·階段練習(xí)）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①；②.由①-②得，我們把最后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了沒有夾角參與的情況下將兩個(gè)向量的數(shù)量積化為“?！钡倪\(yùn)算.如圖所示的四邊形中，，為中點(diǎn).(1)若，求的面積；(2)若，求的值.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一