第04講 拓展二 集合與常用邏輯用語中的新定義題（原卷版）

第04講拓展二集合與常用邏輯用語中的新定義題目錄TOC\o"1-1"\h\u新定義題之小題 1新定義題之解答題 12新定義題之小題1．（2024·上海靜安·二模）如果一個非空集合上定義了一個運(yùn)算，滿足如下性質(zhì)，則稱關(guān)于運(yùn)算構(gòu)成一個群.（1）封閉性，即對于任意的，有；（2）結(jié)合律，即對于任意的，有；（3）對于任意的，方程與在中都有解．例如，整數(shù)集關(guān)于整數(shù)的加法（）構(gòu)成群，因?yàn)槿我鈨蓚€整數(shù)的和還是整數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，對于任意的，方程與都有整數(shù)解；而實(shí)數(shù)集關(guān)于實(shí)數(shù)的乘法（）不構(gòu)成群，因?yàn)榉匠虥]有實(shí)數(shù)解.以下關(guān)于“群”的真命題有（

）①自然數(shù)集關(guān)于自然數(shù)的加法（）構(gòu)成群；②有理數(shù)集關(guān)于有理數(shù)的乘法（）構(gòu)成群；③平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積（）構(gòu)成群；④復(fù)數(shù)集關(guān)于復(fù)數(shù)的加法（）構(gòu)成群.A．0個； B．1個； C．2個； D．3個.2．（23-24高三下·甘肅·階段練習(xí)）如果集合U存在一組兩兩不交（兩個集合交集為空集時，稱為不交）的非空子集，且滿足，那么稱子集組構(gòu)成集合U的一個k劃分．若集合I中含有4個元素，則集合I的所有劃分的個數(shù)為（

）A．7個 B．9個 C．10個 D．14個3．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）對于集合A，B，定義A\B=且，則對于集合A={}，B={}，且，以下說法正確的是（

）A．若在橫線上填入”∩”，則C的真子集有212﹣1個.B．若在橫線上填入”∪”，則C中元素個數(shù)大于250.C．若在橫線上填入”\”，則C的非空真子集有2153﹣2個.D．若在橫線上填入”∪”，則C中元素個數(shù)為13.4．（2022高三·全國·專題練習(xí)）當(dāng)一個非空數(shù)集滿足“如果，則，且時，”時，我們稱就是一個數(shù)域，以下四個關(guān)于數(shù)域的命題：①0是任何數(shù)域的元素；②若數(shù)域有非零元素，則；③集合是一個數(shù)域；④有理數(shù)集是一個數(shù)域，其中真命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（多選）（24-25高二下·全國·期末）群的概念由數(shù)學(xué)家伽羅瓦在19世紀(jì)30年代開創(chuàng)，群論雖起源于對代數(shù)多項(xiàng)式方程的研究，但在量子力學(xué)、晶體結(jié)構(gòu)學(xué)等其他學(xué)科中也有十分廣泛的應(yīng)用.設(shè)是一個非空集合，“”是一個適用于中元素的運(yùn)算，若同時滿足以下四個條件，則稱對“”構(gòu)成一個群：（1）封閉性，即若，，則存在唯一確定的，使得；（2）結(jié)合律成立，即對中任意元素，，都有；（3）單位元存在，即存在，對任意，滿足，則稱為單位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，則稱與互為逆元.根據(jù)以上信息，下列說法中錯誤的是（

）A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B．和均關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群C．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群D．平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積構(gòu)成群6．（多選）（2024·廣西柳州·三模）設(shè)S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運(yùn)算“*”（即對任意的，對于有序元素對，在S中有唯一確定的元素a*b與之對應(yīng)）.若對任意的，有，則對任意的，下列等式中恒成立的是（

）A． B．C． D．7．（多選）（2023高一·全國·專題練習(xí)）對任意集合，記且，則稱為集合的對稱差，例如，若，，則，下列命題中為真命題的是（）A．若且，則B．若且，則C．存在，使得D．若且，則8．（多選）（22-23高一上·重慶渝中·階段練習(xí)）對于一個非空集合，如果滿足以下四個條件：①，②，③，若且，則，④，若且，則，就稱集合為集合A的一個“偏序關(guān)系”，以下說法正確的是（

）A．設(shè)，則滿足是集合A的一個“偏序關(guān)系”的集合共有3個B．設(shè)，則集合是集合A的一個“偏序關(guān)系”C．設(shè)，則含有四個元素且是集合A的“偏序關(guān)系”的集合共有6個D．是實(shí)數(shù)集R的一個“偏序關(guān)系”9．（多選）（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知，如果實(shí)數(shù)滿足對任意的，都存在，使得，則稱為集合的“開點(diǎn)”，則下列集合中以0為“開點(diǎn)”的集合有（

）A．， B．，C． D．10．（多選）（23-24高一上·浙江臺州·期末）設(shè)是正整數(shù)，集合.對于集合中任意元素和，記，.則（

）A．當(dāng)時，若，則B．當(dāng)時，的最小值為C．當(dāng)時，恒成立D．當(dāng)時，若集合，任取中2個不同的元素，，則集合中元素至多7個11．（23-24高二下·廣東·期末）若數(shù)集的子集滿足：至少含有2個元素，且任意兩個元素之差的絕對值大于1，則稱該子集為數(shù)集的超子集．已知集合，記，記的超子集的個數(shù)為，當(dāng)?shù)某蛹瘋€數(shù)為221個時，．12．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）設(shè)集合為含有個元素的有限集．若集合的個子集滿足以下3個條件：①均非空；②中任意兩個集合交集為空集；③．則稱為集合的一個階分拆．若，為的2階分拆，集合所有元素的平均值為，集合所有元素的平均值為，則的最小值等于，最大值等于．13．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）若非空集合G關(guān)于運(yùn)算?滿足：（1）對任意的a，，都有，（2）對任意的a，b，，都有，（3）存在，對，都有，則稱G關(guān)于運(yùn)算?構(gòu)成“幺半群”．現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：①G為正自然數(shù)集，?為整數(shù)的加法．②G為奇數(shù)集，?為整數(shù)的乘法．③G為素?cái)?shù)集，?為整數(shù)的乘法．④G為平面向量集，?為平面向量的數(shù)量積．⑤G為所有二次三項(xiàng)式的集合，?為多項(xiàng)式加法．⑥G為純虛數(shù)集，?為復(fù)數(shù)的乘法．其中G關(guān)于運(yùn)算?構(gòu)成“幺半群"的是．14．（2024高一·全國）記不超過的最大整數(shù)為，若集合，集合，當(dāng)或1或內(nèi)的無理數(shù)時，；當(dāng)（為既約真分?jǐn)?shù)）時，.若（表示中任意一個元素都大于中任意一個元素），則的取值范圍是.15．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）設(shè)表示不超過的正整數(shù)集合，表示k個元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，則；若，則m的最大值為．新定義題之解答題16．（23-24高二下·浙江寧波·期中）對于，定義，，其中為中最大的數(shù)，例如：，，.給定正整數(shù)，根據(jù)以上內(nèi)容，對于，請回答下列問題:(1)（用和表示）;(2)滿足的有序數(shù)對有多少個?(3)滿足的有序數(shù)對有多少個?(4)滿足的有序數(shù)對有多少個?17．（23-24高一下·北京·期中）設(shè)為正整數(shù)，若滿足：①；②對于，均有.則稱具有性質(zhì).對于和，定義集合.(1)設(shè)，若具有性質(zhì)，寫出一個及相應(yīng)的；(2)設(shè)和具有性質(zhì)，那么是否可能為，若可能，寫出一組和，若不可能，說明理由.18．（22-23高一下·北京密云·期末）已知集合（且），，且．若對任意，當(dāng)時，存在，使得，則稱是的元完美子集．(1)判斷下列集合是否是的3元完美子集，并說明理由；①；

②．(2)若是的3元完美子集，求的最小值．19．（23-24高二下·北京豐臺·期末）已知集合（，且）．若集合，同時滿足下列兩個條件，則稱集合，具有性質(zhì)．條件（1）：，，且，都至少含有兩個元素；條件（2）：對任意不相等的，，都有，對任意不相等的，，都有．(1)當(dāng)時，若集合，具有性質(zhì)，且集合中恰有三個元素，試寫出所有的集合；(2)若集合，具有性質(zhì)，且，，求證：；(3)若存在集合，具有性質(zhì)，求的最大值．20．（23-24高二下·北京朝陽·期末）已知n是正整數(shù)，集合.若集合且P中元素個數(shù)為k，則稱P是的k元子集.若P是的一個k元子集，且對任意：，都存在P中若干個不同元素，，，，滿足，則稱P是的k元基子集.(1)判斷是否是的4元基子集，說明理由；(2)設(shè)P是的7元子集，判斷P是否一定是的7元基子集，說明理由；(3)若的任意k元子集均是k元基子集，求k的最小值.21．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知集合對于，定義與的差與間的距離為.(1)當(dāng)時，設(shè)，求；(2)證明：，且；(3)設(shè)中有個元素，記中所有兩元素間的距離的平均值為，證明：.22．（2025高三·全國·專題練習(xí)）對給定的正整數(shù)，令，對任意的，，定義與的距離．設(shè)是的含有至少兩個元素的子集，集合中的最小值稱為的特征，記作．(1)當(dāng)時，直接寫出下述集合的特征：；(2)當(dāng)時，設(shè)且，求中元素個數(shù)的最大值；(3)當(dāng)時，設(shè)且，求證：中的元素個數(shù)小于．23．（2024·北京西城·三模）記集合.對任意，，記，對于非空集合，定義集合.(1)當(dāng)時，寫出集合；對于，寫出；(2)當(dāng)時，如果，求的最小值；(3)求證：.（注：本題中，表示有限集合A中的元素的個數(shù).）24．（23-24高一下·北京順義·期中）已知為實(shí)數(shù)集的一個非空子集，稱是一個加法群，如果連同其上的加法運(yùn)算滿足如下四條性質(zhì)：①，；②，；③，，使得；④，，使得．例如是一個無限元加法群，是一個單元素加法群．(1)令，，分別判斷，是否為加法群，并說明理由；(2)已知非空集合，并且，有，求證：是一個