2024-2025學年廣東省陽江市高二年級上冊1月期末測試數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年廣東省陽江市高二上學期1月期末測試數(shù)學

檢測試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設集合0={-2[1,0,1,2}「={-1,2},5={-1,0,1）；則（”）”=（）

A.{-2,-1,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,2}D.{2}

【正確答案】B

【分析】根據(jù)集合的運算，即可得到結果.

【詳解】電8={—2,2},（電為={-2,7,2},

故選：B

2.已知x,y＞0,gx+；y=4町，貝U3x+2〉的最小值為（）

A.-1B.1C.0D.1

【正確答案】B

【分析】由題設」-+1=4,且初＞0,應用基本不等式“1”的代換求目標式最小值，注意

3x2y

取值條件.

11，

【詳解】由題設丁+丁=4,且個＞0,

3x2y

所以3x+2y=：(3x+2y)(；+白=：(2+|^+§2%2+2F扣=1,

43x2y43x2y4，3x2y

2y3x11

當且僅當廣=丁，即％=—,y=—時等號成立，

3x2y64

所以3x+2＞的最小值為1.

故選：B

3.已知幕函數(shù)＞=/(x)的圖象過點,則/(3)的值為()

[22)

二1

A.9B.3C.V3D.-

3

【正確答案】A

(^21

【分析】設＞=/(x)=Xa,根據(jù)/3=5求出。，即可求出函數(shù)解析式，再代入計算可

I2J2

得.

(1

【詳解】設＞=/(x)=xa,則//=注=1,所以a=2,

\J\J

則/(x)=f,所以/(3)=32=9.

故選：A

4.若關于x的一元二次方程--2°尤+4=0有兩個實根，且一個實根小于1,另一個實根大于

2,則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-oo,-2)B.(2,+co)

C.I-,+co|D.(-oo,-2)O(2,+oo)

【正確答案】C

【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布，結合已知作出對應二次函數(shù)圖象，列出不等式，求解

即可得出答案.

【詳解】設/(%)=k—2ax+4,

根據(jù)已知結合二次函數(shù)性質(zhì)，作圖

A=(-2?)2-16=4(?2-4)>0

則有，/⑴=5-2a<0,

/(2)=8-4a<0

解得a〉3

2

故選：C.

「sin2x

5.已知cosx+sinx=^~，貝U兀、=(

7亞77

D.

-6~63

【正確答案】D

【分析】由倍角公式和差角公式、平方關系求解即可.

2

sin2x_2sinxcosx(sinx+cosx)-1fV2Y7

【詳解】(兀)行V2.V242^[V3?

cos%-———cosx+——sinx-----xLv7

I4；2223

故選：D

6.已知向量A=(cos%sina),b=(-sintz,costz),m=+b>n=a+，則應與

元的夾角為()

71717171

A.—B.—C.—D.一

6432

【正確答案】A

【分析】根據(jù)向量的坐標運算及數(shù)量積的運算性質(zhì)、夾角公式求解.

【詳解】a=(coscr,since),b=(-sincr,costz),

.,.同=1,=1,5-6=-sin(zcosa+costzsintz=0,

故選：A

7.某圓錐的母線長為4,軸截面是頂角為120。的等腰三角形，過該圓錐的兩條母線作圓錐的

截面，當截面面積最大時，圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為（）

A.4B.2C.V3D.72

【正確答案】D

【分析】設該圓錐的頂點為S,底面圓心為O,連接S。，得到=；SCxS3xsinNCSB,

得到SB,SC的夾角為90。時，△5SC的面積最大，結合匕_BOC=%.SBC，列出方程，即可求

解.

【詳解】設該圓錐的頂點為S,底面圓心為O,N3為底面圓的直徑，連接SO,由圓錐的母線

長為4,軸截面是頂角為120。的等腰三角形可知圓錐的高S。=2,底面圓半徑為26，

設C為圓錐底面圓周上一點，連接8C,OC,則S^SBC=；SCXSBxsinNCS8,

所以當△5SC的面積最大時，即sinNCSS最大時，即SB,SC的夾角為90。時，

△1sse的面積最大，此時△的。的面積為8,且BC=40，

取中點。，連接則0。1BC,

在直角ABOD中，可得0。=yJoB2-BD2=2，

所以A50c的面積為凡BOC=,*4血*2=4后，

2

設圓錐底面圓的圓心。到截面SBC的距離為h,

則由VS_BOC=VO_SBC可得§xSOxS^BOC=-xhxSASBC，

即gx2x40=；x/zx8,解得力=?,

所以圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為J].

故選：D.

8.已知P,4瓦。是表面積為16兀的球。表面上的四點，球心。為一5。的內(nèi)心，且到平面

尸48,P8C,R4C的距離之比為2:2:近，則四面體P-45。的體積為（）

A.3B.4C.5D.6

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意分析可知AA8C是邊長為的等邊三角形，點尸在底面48。的投影在

直線5。上，建系，設P（2cos6,0,2sin。），sin6?>0,利用空間向量結合點到面的距離可

得sin9=",進而可求體積.

2

【詳解】由題意可知：球心。既是AASC的內(nèi)心，也是的外心，則為等邊三角

形，

設球。的半徑為夫，則4成2=16兀，解得及=2,

由正弦定理可得48=2Rsin60°=28，即AA8C的邊長為2百，

分別取的中點。,￡,連接5。，

因為。到平面的距離相等，由對稱可知：點尸在底面48。的投影在直線上,

如圖，以。為坐標原點，5。為x軸所在直線，為y軸所在直線，過。作底面45C的垂

線為z軸所在直線，建立空間直角坐標系，

(0,26,0),

不妨設平面尸4B,P8C,PZC的法向量依次為;=u.

ULUUUll(

且劣=卜1,五0),6>5=(2,0,0),OC=(-1,-

221

則O到平面尸48,PBC,PNC的距離依次為i——i~7,

44+/74+^Vi+c2

22a2=b2

可得E：一-I'=2:2:s[l,整理得<

4+b2Vl+c2Sc1

因為。尸=2,設。(2cos0,0,2sin6),sin6>0,

LILUlLLLLL

則74P=(2cos^+l,0,2sin^),5P=(2cos^-2,0,2sin^),

n-AP=2cos6+1+2asin6=0

一Fc41C7?八c華口72cos8+1I-cos6^

則《m-AP=2cos6+1+26sin。=0,解得a=b=----；-----,c=-；----

sin。sin。

p?BP=2cos1-2+2csin6=0

2

則2cos6+l1-cos。,解得cos，=L

=3+7

ksin。sin。2

則sin6=Vl-cos26>=->即點P到底面ABC的距離為也,

22

所以四面體P—45C的體積為J_x』x3x2百x巫=3.

322

故選：A.

關鍵點睛:

1.分析可知“是邊長為2的等邊三角形，點P在底面45。的投影在直線上；

2.巧妙設點或向量，方便分析計算.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.在中，內(nèi)角4瓦。的對邊分別為出仇c,則下列說法中正確的有()

A.若。=6,/=工，則”5C面積的最大值為垃

32

B,若a=6,6+c=8,則面積的最大值為36

C.若角A的內(nèi)角平分線交BC于點。，且處=工,°=3,則面積的最大值為3

DC2

Q

D.若=為的中點，且/河=2,則面積的最大值為一

3

【正確答案】BCD

【分析】利用余弦定理、基本不等式以及三角形的面積公式可判斷AB；根據(jù)角平分線的性質(zhì)

及余弦定理，結合二次函數(shù)求解最值判斷C,根據(jù)余弦定理結合二次函數(shù)求解最值判斷D.

【詳解】對于A,由余弦定理可得BO?=ZB2+NC2—2N8ZCCOS巴，

3

即AB2+AC2-AB-AC=36

由基本不等式可得36=4^2—=

即當且僅當25=ZC=6時，等號成立，

所以S,/iC=-AB-ACsm-=—AB-AC<9y5>所以A錯誤；

^ADL-234

對于B,由余弦定理可得cosA=>=1+c)2-=64-36-2bc=14_1

2bc2bc2bcbe

所以S“BC=gbesinZ=；beJ1-cos2A=1-(14-be)1=j7bc-49,

因為8=b+cN2癡，所以bc?16,當且僅當6=c=4時，等號成立，

所以S“Bc=J7bc—49V3g,即“面積的最大值為3嶼，故B正確；

對于C,設=NBDA=0,則ZCDA=130°-/3,

在△45。和AZCD中，分別運用正弦定理，得坐，;當2和d￡=Sm(180?！?

BDsin(zDCsintz

因為sin(1800—p)=sin￡,所以需=、|ABBD1八

即nn=——,所以b=2c,

ACDC2

A2+z32_/j25c2—9

由余弦定理可得cosz=2t~嘰=2^2,所以

2bc4c2

S--bcsinA=c~yll-cos2A=,c4-———-=—V-c4+10c2-9>

"4RC2NI4J4

=1^-(c2-5)2+16<jx4=3,當且僅當°=石時，等號成立，

所以AA5C面積的最大值為3,所以C正確；

對于D,設a1/=x,則區(qū)4==2x,在ABAM中，由余弦定理得4x2+x2-4x2cos5=4，

20,RQ

所以當/=一即x=過時，(S“BC)=-,D正確.

93'△4'°。/max3

故選：BCD.

方法點睛：本題以三角形中的邊角關系為背景設置了求三角形面積的最大值問題.求解時，

先運用余弦定理求得邊角關系，再建立三角形的面積函數(shù)，進而借助基本不等式或二次函數(shù)

的圖象和性質(zhì)，分析探求出其最大值使得問題獲解.

10.已知函數(shù)/(x)=|"+1]-麻一l|(xeR),則()

A./(x)是R上的奇函數(shù)

B.當0=1時，〃%)<1的解集為—84

C.當a<0時，/(x)在R上單調(diào)遞減

D.當awO時，>=/(x)值域為[-2,2]

【正確答案】ABD

【分析】對于A,直接由奇函數(shù)的定義即可判斷；對于B,直接分類討論解絕對值不等式即可

判斷；對于C,舉出反例，推翻C選項；對于D,通過令/=axeR換元法，然后再分類討論

求出>=/(x)的值域即可判斷.

【詳解】對于A,首先/(x)的定義域是R關于原點對稱，其次

f(-x)=|—tzx+1|—|——1|=|tzx—1|—+1|=-f(x),

即/(X)是R上的奇函數(shù)，故A正確；

-2,x<-\

對于B,當a=l時，/(x)=|x+l|-|x-l|=<2x,-l<x<l,所以/(x)<1=x<-1或

2,x>1

2x<1

解得xW-l或—即當a=1時，/卜)<1的解集為1—叫3],故B正確；

對于C,不妨取a=—1<0,止匕時/(x)=|x-l|-k+l|,對玉=2</=3,有

/(X1)=1-3=-2=2-4=/(X2),故C錯誤；

對于D,當awO,xeR時，令/=axeR,此時

f(x)=|ax+l|-|ax-l|=p+l|-p-l|=eR,

而g(f)=,+[-k-]=<2/,一1<f?1,當-1</<1時，-2=2t<2,

2,t>l

從而當aw0時，>=g(。即>=/(x)值域為[-2,2].

故選：ABD.

關鍵點點睛：對于AC選項的判斷比較常規(guī)，直接由定義即可判斷，對于B,注意分類討論解

決速度最快了，對于D,通過換元令/=axeR,這樣就不要分a>0或加0進行討論了.

11.已知函數(shù)/(x)=0-1,則下列正確的有()

X+1

A.函數(shù)〃x)在(0,+8)上為增函數(shù)B,存在xeR,使得/(-x)=-〃x)

C.函數(shù)AM的值域為(H。,—2]U[T,+8)D.方程/(x)-/=。只有一個實數(shù)根

【正確答案】ABD

【分析】首先去絕對值，依次判斷函數(shù)的單調(diào)性和值域，再求解/(-x)=-/(x)的方程，再利

用數(shù)形結合判斷D.

X—1

【詳解】A.當x>0時，==函數(shù)在(0,+力)上為增函數(shù)，故A正確；

B.當尤>0時，—x<0,若/(一x)=—/(x)，則一一一1=—--+1,

-x+lX+1

即x2+x_1=0>其中A=5>0,所以方程存在實數(shù)根，故B正確；

C.當xNO時，/(%)=------1=----,函數(shù)在[0,+8)上為增函數(shù)，此時一1W><。，

X+1X+1

_x1

當x<0且xw—1時，/(%)=------1=-2+——，此時函數(shù)在(—叫—1)和(—1,0)單調(diào)遞

減，止匕時><—2或>>—1,所以函數(shù)的值域是(―8,—2)U[—1,+8),故C錯誤；

D.由以上求值域的過程可知，x20和x<—1時，當_1<》<0時，旦_1=/，

X+1

1

即—2+——=f9,

x+1

如圖畫出了=一2+一一和y=/,當—l<x<0的圖象，

X+1

兩函數(shù)圖象在區(qū)間(-1,0)只有1個交點，所以方程/(x)--=0只有一個實數(shù)根，故D正

確.

故選：ABD

12.正方體45CD—44GA棱長為4,動點尸、。分別滿足/=加元+〃可，其中

me(0,1),〃eR且〃w0,|函+西]=4；R在與G上，點T在平面4aBi4內(nèi)，則()

A.對于任意的加e（0,1）,〃eR且〃W0,都有平面平面4片。

B,當加+〃=1時，三棱錐8-4尸。的體積不為定值

C.若直線火T到平面ZCD］的距離為2百，則直線與直線RT所成角正弦值最小為走.

3

D.而?詼的取值范圍為［-28,4］

【正確答案】ACD

【分析】建空間直角坐標系，用向量知識求解四個選項.

【詳解】

對于A,以A為坐標原點，AB,AD,所在直線為無軸，y軸，z軸建立空間直角坐標

系，

則/（0,0,0）,￡＞（0,4,0）,C（4,4,0）,。（0,4,4）,4（0,0,4）,4（4,0,4）,5（4,0,0）

設平面4片。的法向量為加=（X],%,Z1）,

福=（4,0,0）,40=（0,4,-4）

m-A,B}=4x]=0

則.，令必=1,則玉=0,4=1,

m?A]D=4.i-4zj=0

則機=（0,1,1）,

^C=（4,4,0）,近=（0,4,4）,

AP=mAC+nADx=加（4,4,0）+〃（0,4,4）=（4m,4m+An,An）,

設平面NCP的法向量為〃=（%,%,22），

n-AC=4x,+4V,=0

則{-.'；，令％=1，則%=T，=1,

n-AP=47nx2+(4m+4n)y2+4?z2=0

又加?〃=(-l)xl+lxl=O,

所以蘇所以對于任意的加e(O,l),〃eR且“wO,都有平面ZCP_L平面，故

A正確；

對于B,當掰+〃=1時，P(4m,4,4?)

設平面A[BD的法向量為u=(x3,j3,z3)

可=(-4,0,4),麗=(-4,4,0),

u-BA}=—4x,+4Z]=0

則1—.,令退=1，則%=1，Z3=1,

u-BD=-4x3+4y3=0

所以M=(1,1,1),

又BP=(-4〃,4,4〃),

\BP-u\44A/3

點P到平面ABD的距離為d==下=+

{MM3

又—B-4PD

又因為的面積為定值，所以三棱錐8-的體積為定值，故B錯誤;

對于C,設火（4』,4）,T（a,0,c）,貝質(zhì)=（1,4,1）

因為直線AT到平面ZC。的距離為2JJ，所以AT〃平面ZC。1，

/=(4,4,0),近=(0,4,4)

設面zcn為不=（%4,%/4）,則

kAC=4X4+4y4=0

，令%=-1，則4=1/4=1,

k-ADX=4y4+4Z4=0

所以不=(1,—1,1)

所以而仄=a—4+6+c—4=0，即a+6+c=8,

—,、\AR-k\\8-b\廠

又NR=（4,仇4）,則^^=^^=2J3,解得6=2或6=14,

若b=2,所以a+c=6,火（4,2,4）,

又西=（0,0,4）,

設直線DD,與直線RT所成角為。,

所以

RT.DDI_|4c—16|_IC2-8C+16__2c_4

RT^DD144a―4j+4+（c—盯V2c2-12c+24\22c2-12c+24

當cos0最大時，sin0最小，

令g(c)=21_,g,(c)=：44—c),

1)2c2—12c+24(2c2-12c+24)

g(c)在［0,4］單調(diào)遞增，

所以g(c)max=g("=l，gDin=8⑼=一，

2O

cos。最大值為」上+1=』&,所以sin。最小為立，所以直線。Q與直線RT所成角正弦

\2633

值最小為J；

3

若6=14,所以a+c=—6,R(4,14,4),根據(jù)對稱性可得sin。最小為辛，故C正確;

對于D,設Q（x,y,z）因為|班+南卜4,所以班=（4—x,—y,—z）,

QC=（4-x,4-y,4-z）,

QB+QQ=（8-2x,4-2y,4-2z）,

所以陛+西卜^/（8-2%）2+（4-2^）2+（4-22）2=4，

?^x2+V2+Z2-8X-4J-4Z+20=0,

即(x_4y+(y_2)2+(2_2)2=4

所以點0的運動軌跡為一個以(4,2,2)為球心，半徑為2的球面上一點，所以2?xW6,

A1Q=(x,y,z-4),QD=(-x,4-y,-z)

所以AQ-QD=-x2-y2-z2+4y+4z=20-8x,

當x=6時，最小為-28,當x=2時，最大為4

所以羸?詼的取值范圍為[-28,4],故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

二八?z71、3sin2tz+2sin2a土生

13.己知sin(一+tz)=-,則--------------的值為_______.

451+tana

7

【正確答案】一一##-0.28

25

【分析】化簡所求值的式子，再利用誘導公式及二倍角的余弦公式計算即得.

【詳解】依題意，

sin2a+2sin2(z2sinacosa+2sin2a2sinacosa(cosa+sina).一

------------------=-------------：-----------=-------------------------------=sin2(z

1+tana?[sinorcosa+sina

cosa

TTTT37

=-cos(^+2cr)=-[l-2sin2(^+a)]=-[l-2x(1)2]=-^.

故-二

25

X2+2xX<Q

14.已知點(2,1)在函數(shù)/(x)=<'—的圖像上，且/(X)有最小值，則常數(shù)。的一

[2-3,x>a

個取值為.

【正確答案】1(不唯一)

【分析】分別畫出函數(shù)y=/+2x和》=2工-3的圖像，再根據(jù)條件求解.

【詳解】設g(x)=x2+2x/(x)=2，—3,分別繪制g(x),//(x)函數(shù)的大致圖像如下圖：

其中g(x)=x?+2x有最小值，gmin(x)=g(-l)=-l,/(%)=2工一3沒有最小值，y=-3

是它的漸近線，

點(2,1)在〃(x)上，,aM2,〃⑴=—1,如上圖，當a<1時,/(x)不存在最小值,

:A<a<2；

故Q=1(不唯一).

15.三棱錐4-3CZ)的四個頂點都在表面積為20兀的球。上，點4在平面的射影是線

段5c的中點，AB=BC=2^，則平面BCD被球。截得的截面面積為.

【正確答案】4兀

【分析】求出球的半徑，由題目條件得到為等邊三角形，作出輔助線，找到球心的位

置，并得至【JDP=J。。?—op?=2,求出截面面積，

【詳解】設球O的半徑為R,則4成2=2071，解得R=6，

因為點/在平面BCD的射影是線段的中點M,即AM工平面BCD,

因為5Cu平面BCD,所以

由三線合一可知，AB=AC,

因為AB=BC=2也,所以“5。為等邊三角形，

故BM=CM=5AM=3,且球心。在平面48C上的投影為的中心N,

即AN=2,MN=1,

過點。作。平面BCD于點尸，連接故0D<，

則0P與平行，故OP=MN=\,

由勾股定理得DP=>JoD2-OP2=2，

平面BCD被球。截得的截面為圓，半徑為2,

故面積為兀.2?=4兀.

故4兀

16.在四面體中，AB=\,BC=2,CD=5且AB，BC,CDIBC,異面

jr

直線/B,3所成的角為一，則該四面體外接球的表面積為

6---------

【正確答案】阮或32兀

【分析】將四面體45CD放到長方體中，則。在長方體的后側(cè)面所在的平面內(nèi)，由異面直線

TT

AB,所成的角為一，即可大致確定。的位置，利用對稱性以。點在z軸正方向時為例

6

找出外接球球心位置并利用半徑得出等量關系，求得半徑大小后便可得出四面體外接球的表

面積.

【詳解】依題意，將四面體45CD放到長方體中，則。在長方體的后側(cè)面所在的平面內(nèi)，

71

因為異面直線N8,3所成的角為一，CEHAB,

6

由對稱性可知，當。點在Z軸負方向時，解法與4或。2位置相同;

可設ZC的中點為尸，四面體/BCD外接球的球心為。，球的半徑為R,

由題意可知，球心。在過點尸且垂直于平面/5C的垂線上，且滿足R=OC=OD,

建立如上圖所示的空間直角坐標系，因為N8=l,BC=2,CD=C，

、

設O’,l，4又C（O,O,O）,R|3,0,V3

2222J

7\

（匚、2

由火2=。。2=。。2，所以R?=工+1+戶=1+1+_

f,或

42J

J?2=-+l+r2=4+1+

4

解得/=走或/

22

所以火2=2或火2=8，

即可知四面體ABCD外接球的表面積為4成2=8?；?2兀.

故8兀或32兀

方法點睛：在考查幾何體外接球問題時，如果外接球球心的位置用幾何法不太容易確定，可

采取分割補形法或坐標法來確定其位置，進而求得半徑.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在445c中，角4瓦。所對應的邊分別為a,b,c,且a+6=11,c=7,cosZ=—L求:

7

(1)a的值；

(2)sinC和"BC的面積.

【正確答案】(1)a=8

(2)故sinC="，的面積為6百

2

【分析】(1)應用余弦定理列方程求值即可；

(2)由同角三角函數(shù)平方關系求sin”,應用正弦定理求sinC,三角形面積公式求的

面積.

【小問1詳解】

因為Q+b=11,c=7,cosA=—,

7

b2+c2-a2(ll-^)2+72-4Z2_85—Ila

所以，由余弦定理得:cosA=~，解得a=8-

2bc2x(11-〃)x7―77—7a

故a=8.

【小問2詳解】

由COS4=-1，/E(0,7I),則sin/=-cos?4=,

77

由正弦定理得.csin/7義7百，

sinC=---------=-----------=——

a82

又a+b=ll,a=8,得力=3,

/.S4BC=；仍sinC=66.

故sinC=E,445c的面積為6百.

2

18.某高校承辦了奧運會的志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績并分

成五組：第一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組［85,

95］,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7,第一組和第

五組的頻率相同.

(1)求a、b的值；

(2)估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第60百分位數(shù)(精確到0.1)；

【正確答案】(1)a=0.005,6=0.025

(2)平均數(shù)為69.5,第60百分位數(shù)71.7

【分析】(1)由三、四、五組的頻率之和為0.7可求出力值，再由所有頻率之和為1求出。值;

(2)根據(jù)平均數(shù)等于每個小矩形面積乘上小矩形底邊中點的橫坐標之和求解，再根據(jù)百分位

數(shù)的定義求解第60百分位數(shù)即可.

【小問1詳解】

?.?第三、四、五組的頻率之和為0.7,

*??(0.045+0.020+ci)x10=0.7?解得a=0.005,

所以前兩組的頻率之和為1—0.7=0.3,即(a+b)xl0=0.3,

所以6=0.025；

【小問2詳解】

這100名候選者面試成績的平均數(shù)為

50x0.005xl0+60x0.025xl0+70x0.045xl0+80x0.02xl0+90x0.005x10=69.5，

前兩個分組頻率之和為0.3,前三個分組頻率之和為0.75,所以第60百分位數(shù)在第三組，

設第60百分位數(shù)為x,則(x—65)x0.045=0.6—0.3,解得x77L7,

故第60百分位數(shù)為71.7.

ITJT

19.如圖，在所有棱長都等于1的三棱柱/8C—/山Ci中，/ABBi=-,ZBiBC=-.

23

(1)證明:AiCi±BiC；

(2)求直線3C與平面/8514所成角的大小.

【正確答案】(1)證明見解析

【分析】(1)利用勾股定理得出異面直線所成角定義即得.(2)首先根據(jù)題意連

接AiB,交于點。，連接BCi,連接C。，進而證明C。，平面44881,再根據(jù)線面角的

定義即得.

【小問1詳解】

兀

證明：連接/Bi,在△/A81中，AABB\=~,AB=BB\=\,所以

JI

在△3C21中，NBiBC=—,BC=BBi=l,所以BC=1,

3

所以在△NCSi中，4Bi=行，3c=1,NC=1,所以

所以NC_L3c.

又因為在三棱柱48C-//1C1中，AC//A.C,1；

所以4G，8c.

【小問2詳解】

方法1

連接ABi，AxB,交于點。，連接2Q,連接CO.

B

在邊長都為1的正方形4N881中，。是/S的中點,

又因為2iC=/C=l,

所以CO_L4gl.

因為四邊形33CC1邊長都為1，所以3G.

由⑴知HC_L4G.

又因為/iCin5C=C,AiCi,8。尸平面/eel,

所以SC，平面//Ci.

因為Ni^u平面/[BQ,所以SC_L48.

因為在邊長都為1的四邊形4/851中，AiBLABi.

又因為481nBic=21，ABi,Bi?平面/SC,

所以4B_L平面A8C.

因為CC>u平面ABlC）所以cOLAiB.

又因為48口481=。，AiB,485平面44g8i,

所以CO_L平面

所以NC5。即為直線3c與平面/ABMi所成的角.

在邊長都為1的四邊形N14881中，/ABBi=*,所以80=42.

22

67T

因為8C=1,所以cosNC8O="，所以/C8O=一,

24

TT

所以直線BC與平面/2以出所成角的大小為一.

4

方法2

取481中點。，連接2。，CO.

在△/CBi中，AC=BiC=l,所以CO_L4S,

6

在邊長都為1的正方形44821中，BO=—,AiB=6.

2

又因為AC^^rBxC^—AxB-,

所以△4CB1為直角三角形，所以。。=注.

2

在△/CBi中，COnBO2=BC,

所以C0_L2。.

又因為N8m80=。，ABi,8。u平面//臺分，

所以CO_L平面44881,

所以NC2。即為直線3c與平面NABMi所成的角.

在邊長都為1的四邊形出4881中，/ABBi=*,所以80=42.

22

BJT

因為8C=1,所以cosNC8O=J，所以NC80=一,

24

jr

所以直線BC與平面ABBA所成角的大小為一.

4

20.已知直線/1：2x+y—8=0,直線4：x—y+2=0,設直線與乙的交點為/，點尸的坐

標為(2,0).

(1)經(jīng)過點尸且與直線4垂直的直線方程；

(2)求以NP為直徑的圓的方程.

【正確答案】(1)X—2〉—2=0

(2)(X-2)2+(J-2)2=4

【分析】第一問運用直線垂直的定義得到斜率，結合點斜式方程求解即可，第二問通過聯(lián)立

直線得到關鍵點的坐標，求出圓的半徑和圓心后用標準方程求解即可.

【小問1詳解】

易知4的斜率為-2,故所求直線斜率是:

???直線過點P,故直線方程為y=-2(x-2)

二?方程為x—2y—2=0

【小問2詳解】

2x+y—8=0y=4

聯(lián)立方程組《解得

x-y+2=0x=2

故/(2,4),P(2,0),由中點坐標公式得/尸中點坐標為(2,2)

Ap

由兩點間距離公式得一=2,

2

故所求圓方程為(x—2)2+(y—2)2=4

21.已知直線a:3x+4y+12=0和圓C：/++2》-4了-4=0.

(1)求與直線加垂直且經(jīng)過圓心。的直線的方程；

(2)求與直線加平行且與圓C相切的直線的方程.

【正確答案】(1)