2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考3（新高考）（解析版）

2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考03

（新高考通用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)

在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.“國(guó)<3”是的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】解不等式，根據(jù)包含關(guān)系結(jié)合充分、必要條件分析求解.

【詳解】由忖<3,解得一3<x<3；

由/<X,解得0<X<1；

因?yàn)閧x[0<x<l}是{x|-3<x<3}的真子集，

所以“|x|<3”是“無(wú)2<*”的必要不充分條件.

故選：B.

2.已知全集。={123,4,5},集合M={1,2,3},N={3,4},則1（河口"）=（）

A.{5}B.{1,2}C.{1,4,5}D.{1,2,4,5）

【答案】D

【分析】根據(jù)交集和補(bǔ)集的概念計(jì)算即可.

【詳解】由題意可得:MnJV={l,2,3}n{3,4}={3},則a（MfW）={l,2,4,5}.

故選：D.

22

3.雙曲線(xiàn)力>0)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)x+島-2=0垂直，則雙曲線(xiàn)C的離心率為()

ab

A.拽B.2C.-D.4

33

22

【解析】?.?雙曲線(xiàn)C:?-==1(。>0,6>0)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)》+6夕-2=0垂直，

故選：B.

4.已知。=1.6,b=e06,c=l+lnl.6,則q,b,c的大小關(guān)系正確的是()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

【解析】令〃x)=e，-l-x,則/'(x)=e*T,x>0,有/'(x)>0.

故函數(shù)〃x)在(0,+s)單調(diào)遞增，故)(0.6)>/(0)=0,

gPe°-6-l>0.6,所以e°6>1.6,即X

令g(x)=lnx+l-尤，貝i]g<x)='-l=L^,x>l,有g(shù)[x)<0.

XX

故函數(shù)g(x)在(1,+8)單調(diào)遞減,故g(1.6)<g(l)=0,即lnl.6+1-1.6<0,

所以lnl.6+l<L6,即〃>c.

綜上：6〉Q〉C.故選：D

5.己知四棱錐P-/3CD的底面A8CD是邊長(zhǎng)為26的正方形，側(cè)面4P8，底面/BCD,//尸臺(tái)=120。，則

四棱錐尸的外接球的表面積為()

A.40KB.28兀C.生叵D.16兀

3

【答案】B

【解析】依題意/B=2百，ZAPB=120°,設(shè)八4?5外接圓的半徑為廠，

四棱錐尸-4BCD的外接球的半徑為火，

。他26/

則一sinZAPB一6一，即廠=2,

又側(cè)面4P8_L底面48CD,底面48co為正方形，

APBnABCD=AB,ABLAD,ADu平面/BCD,

所以4D_L平面PN2,

所以A=J/+（1J=,+（⑹2=S，

所以四棱錐夕-48。。的外接球的表面積$=4兀及2=28膜故選：B

jr____

6.平行四邊形N8CD中，48=3,AD=4,ZBAD=-,若赤=前，CF=2FD，則左方=（）

A.4B.6C.18D.22

【答案】C

【解析】由題意可知，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示

71

因?yàn)锳B=3,AD=4,ZBAD=~,

所以40,0),8(3,0),0(5,2道),。(2,2道).

設(shè)E(x)),則礪=(x-3,y),沅=(5-x,2君-力

由荏=就，得(x-3,y)=(5-x,2VJ-y),

x—3=5-x二），所以￡（4,e）.

即,解得＜

y=2sJ3-y

設(shè)廠（國(guó),M）,貝U3=（再-5,必一2g）,麗=（2—玉,2道-弘），

^CF=2FD，得卜「5,M一20）=2（2-再,2退一乂）=（4-2%,4班一2%）,

即；-2H412不解得。2。’所以川3,2@—

所以布=（4,6）,方=（3,2道），

而簫=(4,⑹.(3,2@=4x3+百x26=18.故選：C.

7.已知函數(shù)/■(x)=2sin(3x+!在10,4]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)0的取值范圍

為()

\71「67]「78]「89一

L17J|_1717J|_1717J|_1717J

【答案】C

【解析】由2E—色V3無(wú)+色<2配+巴狀eZ,^--—<x<—+-,keZ,

2623939

，/(x)的單調(diào)增區(qū)間為--吾1，丘Z.

???/(X)在上單調(diào)遞增，.[O苫，0<a<jy.

由2癡+—<3x+^<2fat+—7r,A:eZ,解得工^+-<x<+—7i,A：eZ,

2623939

，/(x)的單調(diào)減區(qū)間為~^~+~g,~^~+~gn，左eZ,

又函數(shù)在ya,y7t上單調(diào)遞減，.,--^<ya<y7t,:.^<a<^n.

綜上，?4段曾，即實(shí)數(shù)。的取值范圍為陌兀，之兀],故選：C

8.在一次考試中有一道4個(gè)選項(xiàng)的雙選題，其中B和C是正確選項(xiàng)，A和D是錯(cuò)誤選項(xiàng)，甲、乙兩名同

學(xué)都完全不會(huì)這道題目，只能在4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選取兩個(gè)選項(xiàng).設(shè)事件/="甲、乙兩人所選選項(xiàng)恰有一個(gè)

相同"，事件N="甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全不同"，事件X="甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全相同“，事件丫="甲、

乙兩人均未選擇B選項(xiàng)”，則()

A.事件M與事件N相互獨(dú)立B.事件X與事件y相互獨(dú)立

c.事件M與事件y相互獨(dú)立D.事件N與事件y相互獨(dú)立

【答案】c

【解析】依題意甲、乙兩人所選選項(xiàng)有如下情形:

①有一個(gè)選項(xiàng)相同，②兩個(gè)選項(xiàng)相同，③兩個(gè)選項(xiàng)不相同,

所以尸("■=!’尸⑻尸”■總"KT

因?yàn)槭录﨧與事件N互斥，所以尸Qw)=o,又P(M).P(N)=，,

9

所以事件M與事件N不相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤;

C21i

尸(")="笆=丘片尸(x)尸")=五，故B錯(cuò)誤；

由尸(川丫)=§§■=:=尸(朋9尸(Y),則事件M與事件y相互獨(dú)立，故c正確；

c4C4o

因?yàn)槭录﨨與事件y互斥，所以尸(NT)=0,

又P(y)?尸(N)==,所以事件N與事件Y不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：c.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.己知i是虛數(shù)單位，若z(l+i)=煞，則()

A.復(fù)數(shù)z的虛部為-2B.復(fù)數(shù)萬(wàn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

C.|z—2i|=25D.復(fù)數(shù)z是關(guān)于久的方程N(yùn)+6x+13=0的一個(gè)根

【答案】ABD

【分析】求得復(fù)數(shù)z的虛部判斷選項(xiàng)A；求得復(fù)數(shù)萬(wàn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限判斷選項(xiàng)B；求得|z—2i|的值判斷選

項(xiàng)C；代入驗(yàn)證法判斷選項(xiàng)D.

【詳解】由題意可得，z=1=等=Q渭f=_3_2i,

復(fù)數(shù)z的虛部為一2,故A正確：

z=-3+2i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(一3,2)在第二象限，故B正確；

\z—2i|=|-3—4i|=5,故C錯(cuò)誤；

由(一3—2i)2+6(-3-2i)+13=5+12i-18-12i+13=0

可得復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程/+6x+13=。的一個(gè)根.故D正確.

故選：ABD

10.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿(mǎn)足％=29,S12=518,則下列選項(xiàng)正確的有()

A.佝=13B.數(shù)列｛與｝是遞增數(shù)列

S-30"

C.當(dāng)〃=15時(shí)，S“取得最大值為225D."2n的最小值為1

【答案】ACD

【分析】利用己知可求得”=-2,進(jìn)而可得通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式，再結(jié)合選項(xiàng)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】因?yàn)?=29,弗=品，所以12x29+1'。；-Dd=18義29+--2,解得"=-2,

2

an=—In+31,Sn=-n+30n,

對(duì)于A.令”=9,解得％=13,故A正確；

對(duì)于B.d=—2<0,數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，因此數(shù)列｛%｝不是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C.S”=-〃2+30〃=—(〃—15y+225,當(dāng)〃=15時(shí)，S〃取得最大值為225.故C正確;

.S—30〃—幾2幾之

對(duì)于D.—.....=------=-----,

an-30-2n+l2n-l

22x(x-1)、力2

令vx-b/'(x)=苛方在r[1，+8)上單調(diào)遞增’?聶的最小值為1，故D

正確.

故選：ACD.

11.對(duì)于三次函數(shù)〃x)=&+加+%+d(叱0),給出定義：設(shè)/'(尤)是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù),/〃(X)是函

數(shù)((X)的導(dǎo)數(shù)，若方程/(x)=0有實(shí)數(shù)解％,則稱(chēng)為函數(shù)y=/(x)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)

現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心.若函數(shù)

249

/(X)=-X3-X2-12X+-^,則下列說(shuō)法正確的是()

〃x)的極大值點(diǎn)為1-2,子

A.

B./(X)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(9］是小)的對(duì)稱(chēng)中心

D.=4042

【答案】BCD

【分析】求出/'(X)=2X2-2X-12,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求得極值，要注意極值點(diǎn)是一個(gè)數(shù)，可判斷

A項(xiàng)；根據(jù)極大值、極小值的正負(fù)，可得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即判斷B項(xiàng)；根據(jù)/"(x)=0的解的情況，可

判斷C項(xiàng)；由對(duì)稱(chēng)中心可推得/(力+/(1-x)=4,用倒序相加法即可求得式子的和，判斷D項(xiàng).

【詳解】由題意知/'(X)=2X2-2X-12.

令尸(x)>0,解得"-2或x>3,所以/(x)在(-叱-2)上單調(diào)遞增，在(3,+⑹上單調(diào)遞增;

令/'(x)<0,解得-2<x<3,所以在(-2,3)上單調(diào)遞減.

X/(-2)=|X(-2)3-(-2)2-12X(-2)+^=^,/⑶=：X-2X3+?=-?

3oo3oo

所以，/(X)在工=-2處有極大值;'(-2)=子]47，在尤=3處有極小值/(3)=-1913.

66

所以/(X)的極大值點(diǎn)為-2,A項(xiàng)錯(cuò)誤；

又極大值〃-2)=宏137>0,極小值/(3)=-1?12<0,作出〃x)的圖象，

66

有圖象可知，/(x)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，故B正確;

/"(x)=4x-2,令/〃(x)=0,解得x=；,

又7cmT2X；+>2,由題意可知，點(diǎn)2]是〃x)的對(duì)稱(chēng)中心，故C正確;

因?yàn)辄c(diǎn)是小)的對(duì)稱(chēng)中心，所以有出一。+」$[=4,即〃x)+/(1)=4.

1232021

令S=f

2022202220222022

2021202020191

又s=f+,?,+/

2022202220222022

120212202020211

所以2S=f+…+/

202220222022202220222022

二2021x4=8084,,所以S=4042.故D正確.

故選：BCD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知。5c的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為生b,c,若。=81=9,。=7.則2(2邊上的中線(xiàn)/初的長(zhǎng)

為.

【答案】7

92?72-R211

【解析】在AABC中，由余弦定理得cos4="+/一=”,

2x9x721

因?yàn)榱Α檫吷系闹芯€(xiàn)，所以而=；(方+%),

----------?21/?2?2?

所以“初\AB+AC+2AB-49+81+2x7x9x—=49,

421

A

13.設(shè)函數(shù)〃x)="■圖象上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)為心總存在函數(shù)圖象g(x)=asinx+x(a>0)上一點(diǎn)處的

切線(xiàn)6使得〃4，則實(shí)數(shù)。的最小值為.

【答案】f

4

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩個(gè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)出切線(xiàn)的斜率的值域，再將題意轉(zhuǎn)化為兩個(gè)

值域的子集關(guān)系，根據(jù)子集關(guān)系列式可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)函數(shù)/(X)在點(diǎn)(再,〃再))處的切線(xiàn)為4,函數(shù)g(x)在點(diǎn)(X2，g(X2))處的切線(xiàn)為，2,

因?yàn)樾?=”,則o一已

ex

因?yàn)閮?yōu)+$[2,+切，所以/'(x)e所以八x”—0),

而g(x)=〃sinx+x,g'(x)=1+acosx￡[1-Q1+Q],所以且'(工2)￡[1-4,1+。],

依題意可知，對(duì)VXieR,總*26尺，使得/'(xJ=g'(X2),所以+,

所以-―且i+葭。，解得。'所以實(shí)數(shù)。的最小值為:故答案為：!

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若％e[a,6],3x2e[c,d],有/(網(wǎng))=g(/),則〃力的值域是g(x)值域的子集.

22

14.已知知月分別為橢圓=i(a>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)橢圓c在y軸上的點(diǎn)/與1的直線(xiàn)與c

交于點(diǎn)8,且3不在線(xiàn)段/月上，4耳8=90。，2M閶=3忸閶，則C的離心率為.

【答案】叵

5

【分析】根據(jù)已知設(shè)忸閭=2機(jī)，0<m<a,則卜閭=3加.根據(jù)橢圓的定義以及已知條件推得。=3加，所以

忸凰=4m.進(jìn)而在瑪以及48耳心中，根據(jù)余弦定理以及角之間的關(guān)系，得出關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理即可得

出之間的關(guān)系，代入離心率公式，即可得出答案.

由已知2|/閭=3忸"I，不妨設(shè)忸閭=2加，0<m<a,則閭=3加.

由橢圓的定義可知忸耳|=2°-2〃九

因?yàn)辄c(diǎn)/在V軸上，耳片分別為C的左、右焦點(diǎn)，

所以HKI=H閭=3加.

由448=90。,得|/「+忸葉=|叫,，

即(3m)2+(2a-2m)2=(5加了,

則2a-2m=4%,所以0=3加，所以忸耳|=4機(jī).

因?yàn)?AFE+NBFE=180°,

所以cos//鳥(niǎo)耳=-cosNBF?F[,

邑業(yè)匣1曰"L廖「+由可T附2

2以閭.閨可2忸BIM聞

口口9m2+4/—9m24m2+4c2-16m2

即--------------=----------------,

2x3加x2c2x2mx2c

整理可得，9m2=5c2,貝卜=述加.

5

a3m5

故答案為：正.

5

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)2024年7月26日，第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在法國(guó)巴黎正式開(kāi)幕.人們?cè)谟^看奧運(yùn)比賽的

同時(shí)，開(kāi)始投入健身的行列.某興趣小組為了解成都市不同年齡段的市民每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)從抽取200

人進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)

年齡合計(jì)

周平均鍛煉時(shí)間少于4小時(shí)周平均鍛煉時(shí)間不少于4小時(shí)

50歲以下4060100

50歲以上(含50)2575100

合計(jì)65135200

(1)試根據(jù)&=0。5的力2獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)是否與年齡有關(guān)？(/精確到0.001)；

(2)現(xiàn)從50歲以下的樣本中按周平均鍛煉時(shí)間是否少于4小時(shí)，用分層隨機(jī)抽樣法抽取5人做進(jìn)一步訪(fǎng)談,

再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人填寫(xiě)調(diào)查問(wèn)卷.記抽取3人中周平均鍛煉時(shí)間不少于4小時(shí)的人數(shù)為X，求X的

分布列和數(shù)學(xué)期望.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

2

0n(ad—be)

參考公式及數(shù)據(jù)：'=(a+b)(c+d)(a+c)(b+dy其中〃=〃+"c+d.

9

【答案】⑴有關(guān)聯(lián)⑵分布列見(jiàn)解析，I

【分析】(1)根據(jù)二聯(lián)表中數(shù)據(jù)，求解卡方，即可與臨界值比較作答，

(2)根據(jù)抽樣比可得抽取的5人中，周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)少于4小時(shí)的有2人，不少于4小時(shí)的有3人，即可

利用超幾何分布的概率公式求解.

【詳解】(1)零假設(shè)周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡無(wú)關(guān)聯(lián).

由2義2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得/=20°(4°x75-25x60)2°5.128,

100x100x65x135

~5.128>x005=3.841.

根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷〃。不成立，

即認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.

所以50歲以下和50歲以上(含50)周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)有差異.

(2)抽取的5人中，周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)少于4小時(shí)的有5x需=2人，不少于4小時(shí)的有5義靜=3人,

所以X所有可能的取值為1,2,3,

所以尸(X=l)=^=\，尸(X=2)=*=*尸(X=3)=胃1

10

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X123

331

P

10510

331Q

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望磯X)=lxm+2x1+3xm=1

16.(15分)已知函數(shù)”上。;二.

(1)若x>0時(shí)，恒有〃(x)>。，求0的取值范圍；

(2)證明：當(dāng)x〉l時(shí)，ex(l+lnx)>ex2.

【答案】(1)1叫g(shù);(2)證明見(jiàn)解析

【解析】(1)由若x>0時(shí)，恒有/?(x)>a,

所以當(dāng)x>0時(shí)，e*-1->o恒成立，

設(shè)=ex-l-x-ax2(x>0),

則令g(x)=_T(x)=e，一l-2ax(xN0),

則g'(x)=e<2a,顯然g'(x)在(0,+e)單調(diào)遞增，

故當(dāng)x>0時(shí),g'(x)>g,(O)=l-2a,

當(dāng)aV；時(shí)，1-2.20,貝I]g'(x)>0對(duì)x>0恒成立，

則/'(x)在(0,+8)單調(diào)遞增,

從而當(dāng)x>0時(shí),/,(x)>/,(0)=0,即/(x)在(0,+8)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>/(0)=0,符合題意；

當(dāng)時(shí)，g'(O)=l-2a<0,又因?yàn)間'[ln(l+2a)]=€皿5)=1>0,

所以存在為e(0,In(1+2a)),使得g'(xo)=O,

所以當(dāng)0<x<x°時(shí)，g'(x0)<0,/'(x)單調(diào)遞減，r(x)<r(o)=o,

則〃X)單調(diào)遞減，此時(shí)/(x)</(o)=o,不符合題意.

綜上所述，。的取值范圍為1-叫(

(2)要證當(dāng)x>l時(shí)，e*(l+lnx)>ex2,即證亡"回一i>o,

X

設(shè)加(x)=

則m'(x\=(l+lnx)c=1+2嘰1-lnx-21n尤+X-】C，T,

、I'fx3X3'

令〃(x)=xlnx-21nx+x-l(x21),

7

貝(J"(x)=Inx+2——單調(diào)遞增,

2

所以當(dāng)x〉1時(shí)，〃'(％)=Inx+2——>/⑴=0,則〃(x)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)工〉1時(shí)，H(X)=xlnx-21nx+x-l>?(1)=0,

則當(dāng)x〉l時(shí)，m(x)>0,即加(x)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x>l時(shí)，加3=/'(1”“)一1>%(1)=0,原式得證

17.(15分)如圖，在四棱錐中，AB=AC=CD=2BE=4,BE//CD,CD±CB,AB1AC,

平面NBC_L平面2CDE,。為8c中點(diǎn).

（2）求平面ABC與平面ADE夾角的余弦值；

（3）線(xiàn)段NC上是否存在一點(diǎn)。，使。?！ㄆ矫?DE?如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，求槳的值.

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解

尾

⑶存在，隼=\

【分析】（1）根據(jù)題意可得/OL5C,再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)分析證明；

（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求平面/5C與平面/OE的法向量，利用空間向量求面面夾角；

（3）設(shè)。（。,0,。），利用空間向量結(jié)合線(xiàn)面平行可得a=孝，即可得結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)镹3=/C,。為3c中點(diǎn)，則NO_L2C,

且平面48C_L平面5CDE,平面/BCD平面8cDE=8C,BCu平面48C,

所以NO_L平面8cDE.

（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C2,CD分別為xj軸，平行于49的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(272,0,20),E(40,2,0),D(0,4,0),<9(2V2,0,0),

可得標(biāo)=(2亞,2,-2亞)，麗=卜4也,2,0),

-AE=2y/2x+2y-2cz=0

設(shè)平面ADE的法向量方=(xj,z),則_

n-ED=-4-\/2x+2y=0

令x=l,則y=2啦,z=3,可得拓=（1,2夜,3）

由題意可知：平面ABC的法向量而=(o,i,o),

./一一\n-m272_2

則n儂(〃'昉=麗

3axi-3

2

所以平面ABC與平面ADE夾角的余弦值為y.

(3)線(xiàn)段/。上是否存在一點(diǎn)。，使。。//平面4OE.

設(shè)0(Q,O,Q),則。0=｝一2板,0,4),

若O0//平面則而_Lk

可得OQ-n=a-2A/2+3〃=0,解得a=,

即訪(fǎng)=停，0，*,G4=(2V2,0,272),可知函=

所以存在點(diǎn)。，使。?！ㄆ矫鍺DE,此時(shí)哭==.

AC4

18.(17分)設(shè)有窮數(shù)列也｝的項(xiàng)數(shù)為"7,若她“心=。(。為常數(shù)，且"0,"1,2,3,…,團(tuán))，則稱(chēng)該數(shù)列為

等積數(shù)列，。叫做該數(shù)列的公共積.

⑴若1,打,4,2,4是公共積為a的等積數(shù)列，求該數(shù)列的公共積。及2,濟(jì)；

(2)若也｝是公共積為。的等積數(shù)列，且砥他t=c(丘N*且為常數(shù))，證明：當(dāng)加=4r+2(reN*)

時(shí)，對(duì)任意給定的凡。，數(shù)列｛4｝中一定存在相等的兩項(xiàng)；

(3)若也｝是公共積為1的等積數(shù)列，且0<6,<&?=1,2,3「、加-1),加是奇數(shù)，對(duì)任意的

〃.也［5］亍叫J,都存在正整數(shù)〃41,間，使得廣2,求證：也｝是等比數(shù)列.

【答案】⑴。=4,4=2也=±2

(2)證明見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)等積數(shù)列定義求解可得答案；

(2)當(dāng)扭=4r+2(reN*)時(shí)，根據(jù)等積數(shù)列的定義，b2r+ib2r+2=a,&+也,”=c及人也用=。可得答案;

(3)設(shè)加=2/+l?eN*),利用6”也也，…也用是公共積為1的等積數(shù)列得。+i=l，存在正整數(shù)“，使得

上每工2』)，必有長(zhǎng)以史.擊應(yīng)，…，(/,再有一,得"，…%是

公比為〃+2的等比數(shù)列可得答案.

【詳解】(1)???1也也，2,4為等積數(shù)列，；.°=卜4=4.

:.b2x2=a=4,b3xb3=a=4,

b2=2也=+2；

(2)當(dāng)冽=4r+2(-EN*)時(shí)，

丁也｝是公共積為。的等積數(shù)列，.??%+i%+2=。，

又,°2r+也r+2

X*-*bxb4r+2=a,blb2=c=a,

.4=如+2，即原命題得證;

(3)設(shè)加=2%+l,￡N*).

???［也/3,…也+i是公共積為1的等積數(shù)列，且0<4<%?=1,2,3,…2),

:月+i=1,bt+i=1.

：.bx<b2<b3<???<bt<bt+l=1<bt+2<???<b2t+v

b.

???對(duì)任意的"bj(/,;e[/+l,2t+1]),都存在正整數(shù)u，使得/=bu("e[1,2t+1]),

5

,這("D項(xiàng)均為例｝中的項(xiàng),

bt+2bt+2h+2bt+2

由題可知，1<曾<"<3<一.<曾<%+1,

4+24+24+24+2

?二必有3=2+2,2tl=2+3，普=h+4,…=b2t,

4+24+24+24+2

h+L-k-卜h+L-k媼=4+2.

J—4+2，J—4+2，7—4+2，

2+22+34+4

T7??"+2=

乂?7—4+2，

b1+i

bM,bl+2,-,〃陽(yáng)是公比為bt+2的等比數(shù)列.

2T=l(i=1,2,3,…,2f+1),

1

，也｝是公比為加2的等比數(shù)列.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用等積數(shù)列的定義和等比數(shù)列的定義求解.

19.（17分）已知拋物線(xiàn)「：必=2Px（p>0）的焦點(diǎn)為尸,：T上任意一點(diǎn)P到F的距離與到點(diǎn)E（2,0）的距離之

和的最小值為3.

（1）求拋物線(xiàn)r的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)44與：r分別交于點(diǎn)4c與點(diǎn)反。，延長(zhǎng)AB,DC交于點(diǎn)。，線(xiàn)段AC與2。的中點(diǎn)分

別為MN.

①證明：點(diǎn)。在定直線(xiàn)上；

②若直線(xiàn)4,直線(xiàn)。ON的斜率分別為尢，左2,求k島的取值范圍.

【答案】⑴/=4x；

（2）①證明見(jiàn)解析;②1,0）.

【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，把P到尸的距離與到點(diǎn)E的距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為尸到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d

和到點(diǎn)E的距離之和的最小值，在根據(jù)平面幾何即可得出答案；

（2）①設(shè)4（西,弘）152，%）,。（%,%）,。（乙,以），計(jì)算出直線(xiàn)N2的方程和直線(xiàn)8的方程，然后聯(lián)立并根

據(jù)韋達(dá)定理即可證明；②計(jì)算出/a=—一2,1「，再根據(jù)基本不等式求解.

mH——-+2

【詳解】（1）拋物線(xiàn)r的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-5,設(shè)點(diǎn)尸到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d.

由拋物線(xiàn)的定義，得四|+附="|即22+53,解得P=2,

當(dāng)且僅當(dāng)尸，瓦尸三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立，所以?huà)佄锞€(xiàn)r的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=4x.

（2）①設(shè)必）,3（修,％），。小，為卜。（X4/4），

直線(xiàn)K的方程為x=my+2,直線(xiàn)12的方